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专题6 多边形中边角的求法
【稳派2024届高三10月统一调研】
典例:折纸是一种玩具，也是一项思维活动，如图，把一个足够长的长方形纸条打好一个结，然后拉紧压平，再截去伸出的部分，就得到一个正五边形，若，把该正五边形折纸展开，得到一个纸条，记该纸条的周长为，则______．
由结合三角形的边角关系得出，进而得出，，再由倍角公式求解.
在等腰梯形中，，，，
，展开后的纸条如下图，
该纸条的周长，
所以
故答案为：
1．△ABC中，BD是AC边上的高，A=，cosB=-，则=（　　）
A． B． C． D．
2．在中，，，，的平分线交于，为边上的高，则的面积为 ．
构造平行四边形，由余弦定理得出，进而由倍角公式求解.
在等腰梯形ABCD中，过C作交AD于F
∵正五边形每个内角为108°，且，∴
∵，∴，则
在等腰△FCD中，由余弦定理有，∴，
.
故答案为：
3．圆内接四边形ABCD中，，，，，则△面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知中，BC边上的中线，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
构造平行四边形，由正弦定理得出，进而由倍角公式求解.
在等腰梯形ABCD中，过C作交AD于F
∵正五边形每个内角为108°，且，∴
∵，∴，则
在等腰△FCD中，由正弦定理有，
∴
.
故答案为：
5．在中，是边上的一点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，为边上一点，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
由余弦定理得出，进而结合幂函数的单调性得出，最后由倍角公式求解.
在等腰梯形ABCD中，连BD
∵，
∴在△CBD与△ABD中，由余弦定理有
又，则，
∴，即
∴，
∴.
故答案为：
7．在中，，，为边上的中点，且的长度为，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知在中，，点在边上，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
延长AB、DC交于O，由余弦定理得出，再由相似比得出，最后由倍角公式求解.
延长AB、DC交于O
∵ABCD为等腰梯形，∴△DBC，△OAD为等腰三角形
在△OBC中，由余弦定理有，
解得，∴
∵，∴，即
∴，
∴.
故答案为：
9．如图，在平面四边形中，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10． 中，，，，则的角平分线的长为（ ）
A． B． C． D．
11．△ABC中，BD是AC边上的高，，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．如图中，已知点在边上，，，，，则等于（ ）
A．4 B．24 C． D．20
13．在中，角，点是边上一点，点在上.若，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．在中，，为中点，，，则边的长为 .
15．中，为边的中线，，，，则中线的长为 .
16．如图，在中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足，，则的大小为 ．

试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】利用三角形面积公式和正弦定理分别求出，，从而确定的比值．
【详解】解：
由正弦定理可知
，即

故选A．
【点睛】在求解三角形时我们不仅可以利用正弦定理、余弦定理，还可以结合三角形面积公式来解决问题．
2．##
【分析】由余弦定理求出,使用角平分线及正弦定理得到，求出，再利用高线求出，得到，求出直角三角形面积.
【详解】在中，由余弦定理得：，
在三角形ABD中，由正弦定理得：，
同理在三角形ACD中，由正弦定理可得：，
因为，又的平分线交于D，所以，，
故，即，所以，
而，又为边上的高，
所以，，从而，
所以的面积为.
故答案为：
3．B
【分析】由题设知，若则，根据余弦定理得求，进而求得，结合三角形面积公式求△面积即可.
【详解】若，则，
∴在△中，，
在△中，，
∴，则，
∴，而，故，
∴.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：根据存在外接圆的四边形性质，结合余弦定理求角，利用三角形面积公式求面积.
4．A
【分析】在和中，由余弦定理，化简可得；在中，由余弦定理可知，由此可得，由此即可求出的周长.
【详解】在和中，由余弦定理，可知
∴
在中，由余弦定理可知
∴
∴
所以的周长为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中等题.
5．C
【分析】根据题意，可得出，利用正弦定理可知，设，在中由正弦定理得：，进而利用诱导公式、两角和与差正弦和余弦公式、二倍角正弦公式进行化简，求出的值，从而得出.
【详解】解：如图所示，
在中，，，所以，
由正弦定理知，
设，，，所以，
设，
在中，由正弦定理得：，
则，即，
所以，整理得，
即，
即，所以，
又，则，所以．
故选：C.
6．C
【分析】由正弦定理求得，继而求出，再根据三角形外角定理，结合两角和的正弦公式，求得答案.
【详解】如图示：
在 中，由正弦定理得： ,
故 ,而,故只能是锐角，
故，
所以
，
故选：C
7．A
【分析】根据，结合余弦定理可得到，由此可整理得到；在中，利用余弦定理可得，解方程组可求得.
【详解】
在中，；
在中，；
，，又，
，
整理可得：，即，
，；
在中，，
，解得：（舍）或，
.
故选：A.
8．D
【分析】根据给定条件求出，，在中由余弦定理求出，再在中由正弦定理计算作答.
【详解】在中，， ，则，
因，则，
在中，由余弦定理得：，即，
在中，由正弦定理得：，
所以.
故选：D
9．D
【分析】利用正弦定理建立关系，根据三角函数的有界限即可求解AB的取值范围
【详解】由题意，平面四边形中，延长、交于点，如图，
，
为等腰三角形，，
若点与点重合或在点右方，则不存在四边形，
当点与点重合时，
根据正弦定理：，
算得，
，
若点与点重合或在点上方，则不存在四边形，
当点与点重合时，
根据正弦定理：
算得，
，
综上所述，的取值范围为．
故选：D
【点睛】本题考查了正余弦定理的运用和数形结合的思想，构成三角形的条件的处理．属于中档题．
10．B
【分析】作出图形，利用余弦定理求得，进而求得的值，利用正弦定理可求得的值，最后在中利用余弦定理求得的长.
【详解】在中，，，，
由余弦定理得，
由余弦定理得，
由题意可得，，，
在中，由正弦定理得，①
在中，由正弦定理得，②
①②得，，则，
在中，由余弦定理得.
故选：B.
【点睛】本题考查三角形角平分线长的计算，考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
11．A
【分析】由同角三角函数的基本关系以及和角公式得出，再根据等面积法得出，最后由正弦定理得出.
【详解】∵
∴
∵
∴
由正弦定理可知，即
∴；
故选：A．
12．B
【分析】利用诱导公式可求得，在中，利用余弦定理可求得、，进而得到，在中，根据余弦定理可构造方程求得结果.
【详解】，，
在中，
由余弦定理得：，
，，
，
又，，.
故选：.
【点睛】本题考查余弦定理解三角形的知识，涉及到诱导公式的应用，关键是能够利用余弦定理和诱导公式求得.
13．B
【解析】设，则，.在中，表示，在中，表示，，然后在中，由正弦定理求解.
【详解】如图所示：
设，
则，.
在中，，
在中，，
在中，由正弦定理得，
即，
.
故选：B
【点睛】本题主要考查正弦定理在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题
14．
【分析】设，，由、，利用正余弦定理、倍角正弦公式得、求出所设参数，结合三角形性质确定的长度.
【详解】设，，

在和中，，，
又，得，
在中，，
由，有，
所以，整理得：，①
又，即，整理得：，②
联立①②得，，即，解得或，
三角形ADC中的三边关系知：，故，所以.
故答案为：
15．##
【分析】先由三角形构建平行四边形，使转化为，然后在根据余弦定理求，即可.
【详解】
如图，以边,为邻边做平行四边形，
因为边的中线，则由平行四边形性质知共线，且，
在平行四边形中，，，
在中，由余弦定理得：
，
所以，，
故答案为：
16．
【分析】根据题意可得，结合正弦定理与、三角形内角和定理与两角和差余弦公式即可求得，从而得的大小.
【详解】因为BD的垂直平分线过点A，所以，则，所以．
又因为在中，，，所以．
在中，由正弦定理，得，所以,
因为，所以为锐角，所以，
则，
又，所以．
故答案为：.
答案第1页，共2页
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