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专题7 三角函数中w取值范围问题
【绵阳市高中2024届第一次诊断性考试】已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（ ）
A. B. C. D.
由，结合余弦函数的性质，讨论和两种情况，得出或者，进而求出所有满足条件的的积所属区间.
当时，因为此时的最小值为，
所以，即.
若，此时能取到最小值，即，
代入可得，满足要求；
若取不到最小值，则需满足，即，
所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间，
故选：C
1．若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是 ．
2．已知函数满足.若在上恰好有一个最小值和一个最大值，则 ；若在上恰好有两个零点，则的取值范围是 .
讨论，将，看成是两个函数的交点问题，数形结合得出，再由余弦函数的性质讨论得，进而得出所求.
，
，
①，，
，∴方程有唯一解，，
②，，，
∴，∴.
3．已知函数在上单调，而函数有最大值1，则下列数值可作为取值的是（ ）
A． B． C．1 D．2
4．已知函数是在区间上的单调减函数，其图象关于直线对称，且，则的值可以是（ ）
A．4 B．12 C．2 D．8
讨论，将，构造成函数，利用导数结合零点存在性定理得出上存在零点，再由余弦函数的性质讨论得，进而得出所求.
∵，∴，
∵的最小值为，∴
①当时，，即
令，
显然在上递增，而
∴，使且，
，∴
而，故存在，使
∴时，的最小值可取
②当时，（即：）时，显然，∴（合题意）
综上所述：，选C
5．已知函数，若在区间上不存在零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．3 B． C． D．
8．设函数．若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．12
9．已知定义在上的奇函数满足，当时，.若函数在区间上有10个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数是上的增函数，且，其中是锐角，并且使得在上单调递减．则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数的最小正周期为，若，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】利用三角函数的性质计算即可.
【详解】在时，，此时的图象关于直线对称，
若，则，
易知或时，，
因为恰有两个零点，故，此时只能取到，如下图所示，符合题意；
若，则，同上，有，
此时只能取到，如下图所示，符合题意；

综上.
故答案为：.
【点睛】本题关键在于对符号的讨论，还需要考虑到的对称性，取零点时通过数形结合注意端点即可.
2． 4
【分析】整理得.空1：根据题意可知，进而可求；空2：根据周期性特征分析可知，进而可得，以为整体，结合正弦函数分析求解.
【详解】因为，设的最小值正周期为，
若在上恰好有一个最小值和一个最大值，且，
则，所以；
若在上恰好有两个零点，则，解得，
即，且，可得，
因为，则，
且，
且，
可得或或，
解得或或，
所以的取值范围是.
故答案为：4；.
【点睛】方法点睛：求解函数的性质问题的两种意识：
1.转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为的形式．
2.整体意识：类比的性质，只需将中的“”看成中的“x”，采用整体代入求解．
3．D
【分析】根据余弦函数的性质求出的范围，即可求出的范围，依题意只需考虑存在，使得，即可求出的取值范围，即可判断.
【详解】由余弦函数的性质可知，当在上单调时，
，得，
则
由于选项中取，，1，2，其区间端点的前缀分别是，，，，区间角的终边呈周期性变化，
因此只需考虑存在，使得，
则取非负整数，且，，
所以的取值区间是，选项中只有适合.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是结合余弦函数的单调性求出的范围，从而得到，根据正弦函数的周期性及最大值，从而求出的取值范围.
4．AB
【分析】根据函数图象关于直线对称，函数在取得最值，可得；求出的范围，根据函数在区间上是单调减函数，列出不等式关系，继而可求出的取值范围，再结合条件，即可确定的值.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
根据，则，
因为是在区间上的单调减函数，
所以
，
因为，所以或，
当时，，
当时，；
由于是在区间上的单调减函数，
且，
所以，
所以，，
，
根据或，
可得，或.
故选:
5．B
【分析】利用辅助角公式化简，结合周期公式列不等式确定，再求出函数在上存在零点时的的范围，从而在范围内去掉这些范围，即可得答案.
【详解】由题意得，
在区间上不存在零点，设的最小正周期为T，
则，
又函数的零点满足，即，
若，则，
因为，故，则时，，
时，，结合得，
由于在区间上不存在零点，
故在的范围内去除和，
则，
故选：B
【点睛】方法点睛：本题考查根据函数在某区间上不存在零点求参数范围问题，解答时先确定参数，再假设函数在区间上存在零点，结合正弦函数性质求得参数范围，然后去掉这些范围，即可得答案.
6．C
【分析】根据图象变换求出的解析式，利用周期缩小的范围，再从反面求解可得结果.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，
即，因为函数在上没有零点，则，即，
即，则，由，得，得，
若函数在上有零点，则，，
即，又，则.当时，解得.
当时，解得.当时，解得，与矛盾.
综上，若函数在上有零点，则或，
则若没有零点，则或.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用三角函数平移法则求出函数的解析式，利用间接法求解的范围是解决本题的关键.
7．C
【分析】分段写出函数的解析式，并确定其单调减区间，再结合集合的包含关系求解作答即可.
【详解】由题意知，
函数的单调递减区间为，
则或，
由，解得，
而，故需满足，即，此时不存在；
由，解得，
则需满足，即，即，
故，即，
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解的含义，结合其解析式，求出函数的单调区间，进而转化为集合间的包含关系，列不等式求解即可.
8．A
【分析】
直接利用，，求出和的表达式，进一步利用在区间上有且只有一个极大值点，通过分类讨论求出的值，进而可得最大值.
【详解】由已知得，，，
则，
其中，
因为，
当时，
当时，，
因为在区间上有且只有一个极大值点，
所以，
解得，
即，
所以，
当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去；
当时，，此时，此时有一个极大值点，成立；
所以的最大值为.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是通过条件将和都用整数表示出来，然后对的值由大到小讨论找到符合条件的结果.
9．A
【分析】根据题意可知和都是周期为2的周期函数，因此可将的零点问题转换为和的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.
【详解】由得是一个周期为2的奇函数，
当时，，因此，
因为是奇函数，所以 ，，
且的周期为，且，，，，
求的零点，即是与的交点，如图：
为与在区间的交点图形，因为与均为周期为2的周期函数，
因此交点也呈周期出现，由图可知的零点周期为，
若在区间上有10个零点，则第10个零点坐标为，
第11个零点坐标为，因此.
故选：A
【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往可以转化为常见函数的交点的个数问题，而图象的刻画需结合函数的奇偶性、周期性等来处理.
10．A
【分析】由条件可分类讨论确定与的关系，再根据三角函数的性质可判定选项.
【详解】若，由函数单调性可知，
此时显然，符合题意；
若，由函数的单调性知，
则不符合题意.
故，可排除C、D选项，
又，
此时在上单调递减，
则，
综上可知.
故选：A
【点睛】本题关键在于利用函数的单调性讨论确定，再结合三角函数的性质计算即可.
11．B
【分析】把函数零点问题转化为两个函数交点问题，数形结合即可求解.
【详解】因为函数在上恰有4个不同的零点，
则方程在上恰有4个不同的解，
即方程在上恰有4个不同的解，
所以函数与函数在上恰有4个不同的交点，
因为函数，且在上单调递减，
所以函数函数在上单调递减，且，，
函数是由函数图象纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，
作出两个函数图象，如图：
要使函数与函数在上恰有4个不同的交点，
由图知：的周期满足，所以，
所以，即实数的取值范围为.
故选：B
【点睛】方法点睛：函数零点问题的解决办法：
（1）直接法：根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
12．D
【分析】根据余弦函数的周期公式和求出，再根据余弦函数的图象可得结果.
【详解】由题意的最小正周期为T，则，
又，可得，即，
又，所以，
在区间上恰有3个零点，
当时，，
结合函数的图象如图所示：

则在原点右侧的零点依次为，，，，…，
所以，解得，即的取值范围为．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：根据余弦函数的图象求解是解题关键.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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