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专题4 折叠问题中的面积最值问题
（黄冈市2023学年高三年级9月调研考试）设矩形ABCD（AB＞BC）的周长为12，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折后交DC于点M，则△ADM的面积最大值为______．
折叠过后三角形全等+基本不等式求最值
法一：设，则，，
由
当且仅当时取等号
法二：，∴，∴
令，则，
，，
∴
即当且仅当“”取“”
∴，∴或
∵，∴（舍去）
∴，，∴当且仅当“”取“”
1．某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形的周长为4米，沿折叠使到位置，交于，研究发现，当的面积最大时最节能，则最节能时的面积为
A． B． C． D．2
2．设矩形ABCD的周长为16cm，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，则的面积取最大值时，AB的长为 ．
引入角度，利用三角函数关系建立关系式，最后换元，利用基本不等式求解
解析：设，在中，
∴
又，∴，∴
∴，
令，∴
当且仅当，即时△ADM面积最大
3．设矩形的周长为20，把沿AC向折叠，AB折叠后交DC于点，则线段AP的长度最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．在边长为的正三角形ABC的边AB、AC上分别取M、N两点，沿线段MN折叠三角形，使顶点A正好落在边BC上，则AM的长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．
导数法
利用二倍角公式解方程找到目标三角形中的边长数量关系进而得到目标函数，进一步用导数法求得最值
设，则
∵，∴得
由翻折和平行知：
在中，，在中，
又，即，解得
，
令，解得
当时，，当时，
∴时，S有最大值
5．如图甲，在等腰直角三角形中，，，分别为两直角边上的点，且，沿直线折叠，得到四棱锥，如图乙，则四棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一块边长为正方形铁片上有四个以为顶点的全等的等腰三角形（如图1），将这4个等腰三角形裁下来，然后用余下的四块阴影部分沿虚线折叠，使得，重合，，重合，，重合，，重合，，，，重合为点，得到正四棱锥（如图2）．则在正四棱锥中，以下结论正确的是（ ）

A．平面平面
B．平面
C．当时，该正四棱锥内切球的表面积为
D．当正四棱锥的体积取到最大值时，
解析法
建系后，通过解析法表示直线与CD，从而求出M点横坐标
：
如图，设AD=m，AB=n，则，，，
，即，
又，
当且仅当时取“”号
7．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A落在线段DC上．
（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；
（2）在（1）的条件下，若时，求折痕长的取值范围．
割补法
将目标三角形的面积分割成两个易表示的三角形的面积之差，消元后转化为基本不等式求解
如图，设AD=a，AB=b，则，且，∴为等腰三角形
，，
，
，
当且仅当，取“”
8．如图,将一张边长为的正方形纸折叠,使得点始终落在边上,则折起的部分的面积最小值为

A． B． C． D．
9．如图，将菱形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，点C，D的对应点分别是，且，折痕AP交BC于点P．若，，则PC的长等于 ．

10．矩形ABCD中，，，AD的中点为M，折叠矩形使得点A落在边CD上，则点M到折痕的距离的取值范围是 ．
11．如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则小正方形的边长为 时，这个纸盒的容积最大，且最大容积是 ．

12．折纸是我国民间的一种传统手工艺术．现有一张长、宽的长方形的纸片，将纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为．若，则折痕长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
13．设矩形的周长为20，把三角形沿向三角形折叠，折过去后交于点P（如图所示），则三角形的面积的最大值为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题可以先通过设分别为，再通过题目所给信息以及得出之间的关系，然后通过的面积列出算式，当其最大时求出的值，最后得出结果．
【详解】设为，为，
因为四边形是周长为4的长方形，为
所以为为，
因为为，所以为
由题意可知，
所以有即，化简得，
所以化简得
所以当时面积最大，此时，故选C．
【点睛】本题在计算过程中，首先要对图像以及题目所给的条件有着一个充足的了解，再通过各边之间的关系列出算式求出所需要的值．
2．cm
【分析】画出示意图，设且，则，由全等三角形及勾股定理求得，用表示出的面积，应用基本不等式求最值并确定取值条件，即可得结果.
【详解】如下图示，设且，则，，
由，，，故△△，
令，，故，
所以，整理得，
则，
当且仅当时等号成立，
所以的面积取最大值时，AB的长为cm.
故答案为：cm
3．D
【分析】利用二倍角公式，诱导公式求得的表达式，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】设，
设折叠后为，设，
在中，
，
，
在中，
，
当且仅当时等号成立.此时.
故选：D
4．C
【解析】设，在三角形中，利用正弦定理求得的表达式，结合的取值范围，求得的最小值，也即是的长度的最小值.
【详解】显然A，P两点关于折线MN对称，
连接MP，图（2）中，可得AM＝PM，则有∠BAP＝∠APM，
设∠BAP＝θ，∠BMP＝∠BAP+∠APM＝2θ，
再设AM＝MP＝x，则有，
在△ABC中，∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝120°﹣θ，
∴∠BPM＝120°﹣2θ，
又∠MBP＝60°，
在中，由正弦定理知，
即，
∴，
∵0°≤θ≤60°，
∴0°≤120°﹣2θ≤120°，
∴当120°﹣2θ＝90°，即θ＝15°时，sin（120°﹣2θ）＝1．
此时x取得最小值，且∠AME＝75°．
则AM的最小值为．
故选：C
【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于中档题.
5．B
【分析】由体积公式得平面与平面垂直时，四棱锥体积最大，设，用表示出体积，然后由导数求得最大值．
【详解】如图1，分别是中点，则共线且，如图2，在折叠的过程中，当平面与平面垂直时，由面面垂直的性质定理得平面，当平面与平面不垂直时，是点到平面的一个斜线段，因此到平面的距离小于，所以四棱锥体积最大时，平面与平面垂直时，由面面垂直的性质定理得平面，
设长为，则,，，，
则四棱锥体积为，
由，易得时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，即在处取到最大值，，
故选：B.
【点睛】结论点睛：由点到平面的距离的定义知平面外任一点到平面的距离是到平面上任一点距离的最小值．在把折起时，由于到直线的距离为定值，因此当平面与平面垂直时，到平面的距离最大，从而相应棱锥体积最大．
6．ABD
【分析】对于A，利用正棱锥的性质分析判断，对于B，由已知可得‖，再利用线面平行的判定理判断，对于C，利用等体积法可求得内切球的半径，对于D，设，可得，利用导数可求出其最大值.
【详解】对于A，连接，在正四棱锥中，，由折叠可得，为的中点，所以，
因为四边形为正方形，所以，即，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，所以A正确，

对于B，因为‖，平面，平面，所以‖平面，所以B正确，
对于C，当时，因为四边形为正方形，所以，
因为在图1中，为等腰直角三角形，所以，所以，
因为正方形铁片的边长为10，所以
所以中边上的高为，，
所以，
设内切球的半径为，则，
所以，解得，
所以该正四棱锥内切球的表面积为，所以C错误，
对于D，设，则，，
所以，
令，则，令，
则，
令，则（舍去），或，
当时，，当时，，
所以当时，有最大值，所以D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：此题考查正四棱锥的性质，考查导数的综合应用，考查正四棱锥内切球半径的求解，解题的关键是利用等体积法求出内切球的半径，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.
7．（1）；（2）.
【分析】（1）当时，此时A点与D点重合，求出折痕所在的直线方程．当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为，可知：A与G关于折痕所在的直线对称，有，解得故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标即线段OG的中点M的坐标表示，即可得出结果；
（2）当时，折痕长为当时，折痕所在的直线交BC于点，交y轴于点，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出结果．
【详解】（1）当时，此时点A与点D重合，折痕所在的直线方程为；
当时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为，
所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有，
即，交点，
故点G的坐标为，
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标线段OG的中点为，
所以折痕所在的直线方程为，即，
综上所述，折痕所在的直线方程为；
（2）当时，折痕的长为2；
当时，折痕所在的直线交BC于点，
交y轴于点，，
又因为，所以，所以
综上所述，折痕长的取值范围为．
8．B
【分析】设，可证明、，从而可求、，从而可得所求梯形的面积表达式为，从而可求其最小值.
【详解】如图，

过作与，则，连，交于，
则由折叠知，与关于直线对称，即，
有，，，
∵，，∴，
∴，
设，则，，
代入上式得：，
∵，，
∴，在和中，
∵，∴，∴，
故，
∴梯形的面积为
，
得当时，梯形面积最小，其最小值，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质及翻转变换，是一道综合题，有一定的难度，先证明，再利用相似三角形的性质得出的长，再表示出求出梯形面积，进而求出最小值.
9．##
【分析】利用对称性，结合锐角三角函数定义、菱形的性质进行求解即可.
【详解】如图所示：设于点，交于，
因为ABCD是菱形，所以，
因为将菱形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，点C，D的对应点分别是，
所以，，，
因为，
所以在直角中，，
所以，，
在直角中，，
所以，
，
因为ABCD是菱形，
所以，因此，
根据对称性，显然可知，
所以，
即，于是有，
所以，
故答案为：

【点睛】关键点睛：本题的关键是应用图形对称性的性质、锐角三角函数定义.
10．
【分析】设折叠矩形使得A落在边上，当在D处时，此时折痕过M，即点M到折痕的距离为0．当到C处时，取得最大值，求出，即可求出答案.
【详解】设折叠矩形使得A落在边上，
当在D处时，此时折痕过M，即点M到折痕的距离为0．
当从D向C运动的过程中（如图1），
中点为O，则，过M作于点N，
则，此时在增大，也增大，
故当到C处时，取得最大值（如图2），
此时，所以，
故点M到折痕的距离的取值范围是．
故答案为：．
11． 2 144
【分析】设剪下的四个小正方形的边长为x cm，利用长方体的体积公式得到体积V关于x的函数，再应用导数研究其单调性并求出最值作答.
【详解】设剪下的四个小正方形的边长为x cm，
则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒的底面矩形长为cm，宽为cm，
则长方体纸盒的底面积为，而长方体纸盒的高为x cm，
于是长方体纸盒的体积（），，
求导得，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
所以当时， ()．
故答案为：2；144
12．C
【分析】由已知可确定，分别在三种折叠方式下利用面积建立关于折痕的函数关系式，根据二次函数和对勾函数的单调性可求得最值，由此可得结果.
【详解】由题意得：长方形纸片的面积为，又，
，；
①当折痕如下图所示时，
设，，则，解得：，，
令，，
在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
，；
②当折痕如下图所示时，
设，，则，解得：，
，
令，则在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
；
③当折痕如下图所示时，
设，，则，解得：，
令，则在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
；
综上所述：折痕长的取值范围为；
折痕长的最大值为.
故选：C.
13．
【分析】根据题意设，，利用平面几何知识表示出，进而求得，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意可设翻折后B点的位置为,
因为矩形周长为20，设，
则 ，由翻折可知，即有,
而,故 ，
,设 ，则，
在中，由勾股定理得： ，
则 ，
，即， ，
则，
，当且仅当时取等号，
，即三角形的面积的最大值为，
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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