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专题 8 三角形中的最值问题
（三湘名校教育联盟2023-2024学年高三上学期10月大联考数学试题）如图，的内角，，的对边分别为，，．若．
（1）求角的大小；
（2）若是线段上的点，，，求的最大值．
利用余弦定理，得到，再变形转化为结合基本不等式进行求解
（1）在中，由余弦定理有，所以，又因为，所以；
（2）延长至使得，连接，易知，所以，，，在中，由余弦定理有，即，因此，解之得，当且仅当，时取等号．所以的最大值为8．
1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
2．在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
通过建立平面直角坐标系，求得，利用得，再进一步求得最值．
解：由及可得，建立如图所示直角坐标系
设点
由可得点
又，∴，
即，∴，
得，当且仅当，等号成立，∴最大值为8
3．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
4．若，则的最大值是 .
通过设，对同一三角形面积的两种不同路径表示得到，再进一步求得最值
由已知得（如图），由，设
∴，，
由面积关系
，∴，
当时，即时，取最大值8
5．在中，角，，所对的边分别为，，.，的平分线交于点，且，则的最小值为 .
6．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
将向量表示，再数量化转化为，再进一步求得最值．
（2）在中，∴，∴，
又，∴，
∴，
即
∴，∴，当且仅当时“＝”成立
7．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
8．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
9．如图，在等腰直角中，，，点在线段上.

(Ⅰ) 若，求的长；
（Ⅱ）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.
(1)证明：a＋b＝2c；
(2)求cos C的最小值．
11．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．
（1）当p=，b=1时，求a，c的值；
（2）若角B为锐角，求p的取值范围．
12．如图，已知是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB，AC上的点，线段MN经过的中心G，设．
（1）分别记，的面积为，，试将，表示为的函数．
（2）求的最大值与最小值．
13．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且,则的取值范围是 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
2．（1）；（2）
【分析】（1）根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得，进而得角的大小；
（2）根据余弦定理，由基本不等式即可求得，再结合三角形边关系求得的取值范围.
【详解】（1）∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
（2）由余弦定理可知，
代入可得，
当且仅当时取等号，
∴，又，
∴的取值范围是．
【点睛】本题考查了三角恒等变形的应用，由余弦定理及基本不等式求边的范围，属于中档题.
3．9
【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式
由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即，
因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
故答案为：.
［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式
由三角形内角平分线性质得向量式．
因为，所以，化简得，即，亦即，
所以，
当且仅当，即时取等号．
［方法三］：解析法＋基本不等式
如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以．
下同方法一．
［方法四］：角平分线定理＋基本不等式
在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一．
［方法五］：正弦定理＋基本不等式
在与中，由正弦定理得．
在中，由正弦定理得．
所以，由正弦定理得，即，下同方法一．
［方法六］： 相似＋基本不等式
如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则．
由，得，即，从而．下同方法一．
【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；
方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大；
方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；
方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；
方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；
方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单．
4．
【详解】设，则，根据面积公式得，①
根据余弦定理得，，
将其代入①式得，
，
由三角形三边关系有，解得，
故当时，取得最大值
考点：解三角形
点评：主要是考查了三角形的面积公式的运用，属于基础题.
5．
【分析】利用等面积法可得，从而，再利用乘“1”法及基本不等式可求解．
【详解】因为，
所以，所以，可得．
所以，
（当且仅当，即，时取等号）．
故答案为：．
6．9
【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式
由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即，
因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
故答案为：.
［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式
由三角形内角平分线性质得向量式．
因为，所以，化简得，即，亦即，
所以，
当且仅当，即时取等号．
［方法三］：解析法＋基本不等式
如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以．
下同方法一．
［方法四］：角平分线定理＋基本不等式
在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一．
［方法五］：正弦定理＋基本不等式
在与中，由正弦定理得．
在中，由正弦定理得．
所以，由正弦定理得，即，下同方法一．
［方法六］： 相似＋基本不等式
如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则．
由，得，即，从而．下同方法一．
【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；
方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大；
方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；
方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；
方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；
方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单．
7．9
【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式
由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即，
因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
故答案为：.
［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式
由三角形内角平分线性质得向量式．
因为，所以，化简得，即，亦即，
所以，
当且仅当，即时取等号．
［方法三］：解析法＋基本不等式
如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以．
下同方法一．
［方法四］：角平分线定理＋基本不等式
在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一．
［方法五］：正弦定理＋基本不等式
在与中，由正弦定理得．
在中，由正弦定理得．
所以，由正弦定理得，即，下同方法一．
［方法六］： 相似＋基本不等式
如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则．
由，得，即，从而．下同方法一．
【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；
方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大；
方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；
方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；
方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；
方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单．
8．##
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.

9．(Ⅰ)或（Ⅱ）当时， 的面积的最小值为
【详解】解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=,OP=2,
由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OP·MP·cos45°,
得MP2-4MP+3=0,
解得MP=1或MP=3.
(2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,
在△OMP中,由正弦定理,
得=,
所以OM=,
同理ON=.
故S△OMN=OM·ON·sin∠MON
=×
=
=
=
=
=
=.
因为0°≤α≤60°,
30°≤2α+30°≤150°,
所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1,
此时△OMN的面积取到最小值.
即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4.
10．（1）见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得，再根据，即可得到，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.
试题解析：（1）由题意知，，
化简得：
即，因为，所以，
从而，由正弦定理得.
（2）由（1）知，，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
考点：三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理.
【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键.
11．（1）a=1，c=或a=，c=1 （2）＜p＜
【详解】（1）解：由题设并利用正弦定理得
故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，
进而求得a=1，c=或a=，c=1
（2）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，
即p2=+cosB，
因为0＜cosB＜1，
所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣
又由sinA+sinC=psinB知，p是正数
故＜p＜即为所求
12．(1) ，． (2) 最大值240,最小值216
【分析】（1）根据点是正的中心，可求得，进而利用正弦定理求得，然后利用三角形面积公式求得，同理可得；
（2）把（1）中求得和代入求得函数的解析式，进而根据的范围和正弦函数的单调性求得函数的最大值和最小值．
【详解】（1）点是正的中心，．
在中，，，
．
在中，同理，可得．
，
．
（2）
，当时，；
当或时，．
【点睛】本题考查解三角形的问题，考查学生综合分析问题和解决问题的能力，由一定综合性．
13．
【分析】由已知求得， ，由正弦定理化边为角，，由锐角三角形得出，，由两角和正弦公式，二倍角公式，两角和的余弦公式，化简后，利用余弦函数性质、不等式性质得出结论．
【详解】因为，所以，
，因为为锐角，，所以，从而，
，
三角形为锐角三角形，，所以，
，，，
，时，，
所以，
所以，即，
故答案为：．
答案第1页，共2页
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