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专题1 1 由三角条件等式求最值
【天一大联考-顶尖联盟2024第二次考试理数】
16．已知，若，则的最小值为______．
切化弦，通分，再由和角公式得出，再由积化和差公式结合基本不等式得出最值.
，
由题意知，因此．
所以，
当且仅当，即时等号成立．
（2019·高一课时练习）
1．若、，且，则的最大值是 .
（2016下·湖北·高三阶段练习）
2．在中，角、、所对的边分别为，，，且，则的最大值为 .
设，结合得出，结合不等式的性质得出最值.
同解析得．
设，则，∴，即：
∴，又，∴，仅当时，
此时，综上最小值为．
（2023·陕西安康·校联考模拟预测）
3．已知，若，则的最小值为 ．
（2023下·湖北咸宁·高一统考期末）
4．已知均为锐角，，则的最小值为 .
由三角恒等变换得出，结合平方关系得出，令，则，再由导数得出最值.
由恒等式知，∴，
∴，
设，∵，
∴，∴，
当时，，∴在，∴，∴
（2023下·江苏苏州·高一统考期末）
5．已知，为一个斜三角形的两个内角，若，则的最小值为 ．
（2022上·甘肃定西·高三校考阶段练习）
6．已知均为锐角，，则的最小值是 .
由结合平方关系得出，令，由的范围得出的范围，进而由二次函数的性质求最值.
由题意知由已知可得，
则，∴
令，则，（z为锐角）
而，显然当时，取得最小值，此时
（2019·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）
7．已知，且，则的最小值为 .
（2023·上海·统考模拟预测）
8．已知，且，则的最大值为
由结合三角恒等变换得出，由的范围结合三角函数的性质得出，进而由结合二次函数的性质求最值.
解：由已知，
即，
∴，
即，
∴．
又，
∴，解得
（其中）的最小值为．
当且仅当，即时取得，∴的最小值为．
（2022上·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）
9．若，，且，则的最大值为 ．
（2001·北京·高考真题）
10．已知（均为锐角），那么的最大值等于 ．
（2023下·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）
11．已知，则的取值范围是 .
（2018下·广西河池·高一阶段练习）
12．已知，则的取值范围是 .
（2022上·四川攀枝花·高一统考期末）
13．已知，则的最大值为 ．
（2021下·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）
14．已知，则函数的最大值是 ．
（2021·四川绵阳·绵阳中学实验学校校考模拟预测）
15．已知，则的最大值为
（2016·湖北襄阳·统考一模）
16．已知，则的最大值为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】利用基本不等式计算出的最大值，并求出的取值范围，可得出的最大值.
【详解】、，且，，因此，.
由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为，故答案为.
【点睛】本题考查利用基本不等式求角的最值，同时也考查了两角差的正切公式的应用，在利用三角函数值求角时，要求出角的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.
2．
【分析】利用正弦定理将边化为角，化简得出和的关系，再代入两角差的正切公式，利用基本不等式求出最大值．
【详解】解：中，，
，
，
；
因为，所以，所以，
，当且仅当，即时取“”，
的最大值为．
故答案为：．
3．##
【分析】由两角和的正弦公式化简已知式，可得，从而得到，利用二次函数的性质可求最小值.
【详解】由题意知：
，
由题意知，因此．
所以，故，
因为，所以，
所以
，
而，故，故的最小值为.
故答案为：.
4．##
【分析】化切为弦，然后利用两角和余弦公式展开，利用基本不等式求解最值即可.
【详解】，
因为均为锐角，则，因此，
因此
，当且仅当时，等号成立.
故答案为：
5．##
【分析】利用同角三角函数的平方和商数关系及二倍角的余弦公式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，，
因为在上均单调，结合图象可得
所以，
由，得，
所以，
因为为一个斜三角形的两个内角，即，，，
因此，显然有，即角为一斜三角形的内角，
所以当时，取最小值.
故答案为：
6．
【分析】根据两角和的余弦公式化简后由同角三角函数的基本关系得出，再由均值不等式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
由均为锐角，，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：
7．
【分析】根据同角三角函数关系式及基本不等式,可得,同理证明另外两组式子成立,不等式两边同时相加,化简即可得解.
【详解】由题意知,
则
因为,则,不等式两边同时加
可得
开平方可得,
同理,,
相加可得
化简得
故答案为:
【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,同角三角函数关系式的应用,根据基本不等式求最值,属于中档题.
8．
【分析】利用三角恒等变换的知识化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式以及一元二次不等式的解法求得正确答案.
【详解】因为
，
所以，
则，
所以，即，
即，即，
解得，所以的最大值为．
故答案为：
9．
【分析】由题意结合商数关系及平方关系可得，再利用基本不等式即可得出答案.
【详解】解：由，
得，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为.
故答案为：.
10．
【分析】根据同角三角函数基本关系，；进而由基本不等式的性质，可得，将代入，化简可得答案．
【详解】解：，
．
．
．
，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
11．
【分析】根据题意得到，求得或，结合，即可求解.
【详解】因为，可得，
解得或，
又由
因为，或，所以.
故答案为：.
12．
【分析】令，由已知可得，由可求.
【详解】令①，②，
由①2+②2，得.
∴，∴.
故答案为：.
13．
【分析】消元，转化为求二次函数在闭区间上的最值
【详解】
，
，
时，取到最大值，
故答案为：．
14．
【分析】由可得， 进而利用二次函数的性质可得结果.
【详解】
因为
所以
当时，函数有最大值为：
故答案为：
15．
【分析】由已知求得，可得，利用同角三角函数基本关系可得，利用二次函数性质即可求解.
【详解】，
，，即
又，
利用二次函数的性质知，当时，
故答案为：
16．
【分析】令 与已知等式求平方和，再由两角差余弦公式变形，结合余弦函数性质可得最值．
【详解】令 ①，因为 ②，由，化简并整理，得，即，即，所以，时等号成立，所以的最大值为（且时取得最大值），
故答案为：．
答案第1页，共2页
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