资源简介

专题 10 解三角形中的范围问题
【湖北腾云联盟2024届高三十月联考T8】在锐角中，角的对边分别为，且的面积，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
由面积公式结合同角三角函数的基本关系得出，
法一：由正弦定理的边化角公式结合三角恒等变换得出，由锐角三角形的性质结合三角函数的性质得出，进而得出所求范围.
法二：由积化和差公式得出，结合地位平行对称以及三角函数的性质得出，进而求出范围.
由，得，可得，
两边平方，可得，
整理可得，
可得，则．
法一：由正弦定理得：
，其中．
，即，
，
，
，故选B.
法二：．
由题设知地位平行对称，不妨设，
为锐角三角形，，
，
，，
，故选B．
1．在中内角，，的对边分别是，，，面积为，则的最大值是 .
2．在中，角，，的对边分别为，，，且，的外接圆半径为，若有最大值，则实数的取值范围是 ．
由三角形面积公式以及三角恒等变换得出，
法一：利用极限思想得出范围，再由余弦定理结合对勾函数的性质的取值范围；
法二：由正弦定理以及三角恒等变换得出，由极限思想当时，，从而得出范围，进而得出的取值范围；
由，得，可得，
即，得，则．
法一：
在中，．
在中，．
是锐角三角形，．
令，则．则，
易知在区间单调递减，在区间单调递增．
．
的取值范围是．故选B．
法二： ，
由题设知地位平行对称，不妨，
为锐角三角形，，
当时，，
则，，
，
，故选B．
3．已知的内角，，的对边分别为，，，角为钝角，设的面积为，若，则的取值范围是 ．
4．已知在中，，为，所对的边，，，.则的最大值为
由三角形面积公式以及三角恒等变换得出，
法一：由余弦定理得出，再由三角函数的性质得出范围，进而求出范围.
法二：由余弦定理得出，由锐角三角形性质以及余弦定理得出范围，进而求出范围.
由，得，同解法二得，
逆用正切的半角公式，可得，
再由万能公式，可得．
法一：由余弦定理得：
．
，
又，
，故，
，
，故选B．
法二：令，则，
由，可得，
为锐角三角形，
解得，即，
，故选B．
5．锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．的外心为，三个内角、、所对的边分别为、、，，，则面积的最大值是
7．在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
10．在锐角△中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝1，则△ABC面积的取值范围为
A． B．
C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】根据三角形面积公式及余弦定理，化简，再利用均值不等式得出，设，利用导数求最大值即可
【详解】（当仅当时取等号）.
设，，则，令得，不妨设且，当时，，当时，.所以当时有最大值，此时，所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于应用三角形面积公式及余弦定理，化简所给式子，再利用均值不等式是解题的关键，难点在于利用导数求函数的最大值，属于较难题目.
2．
【分析】根据正弦定理、余弦定理化简得到，再利用正弦定理与三角恒等变换将化简为，再根据存在最大值，分析的范围列式即可
【详解】由已知及正弦定理可得，整理得，由余弦定理得，又，得，由正弦定理得，
，
其中，又，
若存在最大值，即有解，即，
解得，即的范围是．
3．
【分析】先根据得出，所以，
，，
进而可得，最后根据三角函数的有界性进行计算即可.
【详解】根据题意，得，所以，所以，又B为钝角，因此，所以，，所以，于是
，因为，因此.
故答案为：.
【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用以及三角恒等变换的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
4．
【解析】由于，根据平面向量平行四边形法则，得出D点为的中点，结合正弦定理可表示，，然后代入后结合辅助角公式进行化简，再结合正弦函数的性质可求．
【详解】解：已知，，，
显然D点为的中点，设.
根据正弦定理，得，
∴，，，
∴
为辅助角）．
故答案为：.
【点睛】本题考查利用三角函数的性质求最值，还涉及正弦定理求解三角形以及辅助角公式的应用，考查计算能力.
5．B
【分析】根据正弦定理，结合可求得角B．又由三角形为锐角三角形，求得角C的取值范围，即可求解．
【详解】由正弦定理得，
又
故选B.
【点睛】本题主要考查正弦定理和正弦两角和差公式的应用．正弦定理和余弦定理在解三角形中应用比较多，这两个定理和其推论一定要熟练掌握并能够灵活运用，注意锐角三角形中角的范围的确定，是本题解答的关键，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题.
6．
【分析】取边的中点，作边的中线，由三角形外心和中线的性质，将化简，即可由余弦定理求得，再由和余弦定理，借助基本不等式求得的最大值，即可求得三角形面积的最大值.
【详解】
取边的中点，连接、，
∵为的外心，
∴，即，
∵为边的中点，
∴为边的中线，，
∴
，
又∵，
∴，整理得，
∴由余弦定理可得，∴，
又，由余弦定理，即，
∴由基本不等式，即，当且仅当时，等号成立，
∴的面积，
即当且仅当时，面积的最大值为.
故答案为：.
【点睛】解决向量与解三角形综合问题，重点在于将向量与三角形中的几何关系转化为三角形边、角的数量关系，再结合题目进行求解即可.
7．D
【分析】利用余弦定理、正弦定理，三角形面积的正弦表示以及三角恒等变换化简得出，利用为锐角三角形求出角的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】由题意得：，得：，
又，得：，
由余弦定理得：，化简得：，
由正弦定理得:
，
因为：，则：，
又因为正弦函数在上单调递增，所以：，即：，
则：，
因为为锐角三角形，则：，解得：，则：，
所以：
，
令：，则函数在上单调递增，
故，故D项正确.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用三角恒等变换与解三角形的相关知识化得，从而得到的取值范围，进而利用正弦定理的边角变换与三角恒等变换即可得解.
8．C
【分析】根据题意，化简得到，求得，得到，且，又由外接圆半径为，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理的
又因为，可得，
所以，
即，
因为，可得，可得，即，
解得或（舍去），
因为，所以，则，
又因为外接圆半径为，所以，
又由
，
因为为锐角三角形，且，所以且，
解得，可得，所以，
所以.
故选：C.
9．C
【分析】
由余弦定理结合面积公式，再应用同角三角函数关系求出，由正弦定理边角互化，再应用两角和差公式化简，最后应用基本不等式及对勾函数的单调性求解即得.
【详解】中，由余弦定理得，
且的面积为，
由，得，化简得，
又，，所以，
化简得，解得，或（不合题意，舍去）
所以，
所以，
由，且，，
解得，
所以，所以，所以，
设，其中，
所以，
当且仅当时，即时取最小值，
令，
由对勾函数可得函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以．
故选：C.
10．A
【分析】
由正弦边角关系、三角恒等变换及三角形内角性质可得，进而有，再把化为并确定的范围，应用余弦函数性质求范围即可.
【详解】由，则，
所以，
则，
所以或（舍），故，
综上，，且
所以，
，
由锐角△，则，可得，则，
所以，故.
故选：A
【点睛】关键点点睛：将条件由边化角求角的关系，即，再把目标式，由边化角得求范围.
11．D
【分析】由，结合正余弦定理求得角，继而由结合正余弦定理求出，再表示出，，利用三角函数的性质求得的范围，即可求得答案.
【详解】由，由正弦定理得,
即有，而，则，
又，
由正弦定理 余弦定理得，，化简得：，
由正弦定理有：，即，，
是锐角三角形且，有，，
解得，
因此
，
由得：，，
所以.
故选：D
12．A
【分析】由题意首先求得△ABC的外接圆半径，然后将三角形面积公式转化为关于∠B的函数，由△ABC为锐角三角形可得，据此确定△ABC的面积的取值范围即可.
【详解】由正弦定理可得，，，
，
又为锐角三角形，，即，，
，.
本题选择A选项.
【点睛】求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑