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专题 12 三角恒等变换中的求值问题
【武汉市江岸区2023-2024学年高三年级元月调考第8题】
已知在中，，则（ ）
A. B. C. D.
根据三角形内角和及诱导公式化消去，得出，再根据正余弦的和差角公式展开并分解因式将问题化为求的值，后根据正弦定理及角的范围结合二倍角公式分别计算得，即可.
由诱导公式及三角形内角和可知
，
因为，故，所以，
故，故，
故，
而，故，
故，
故.
故选：A．
（2023·全国·模拟预测）
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）
2．已知，且，则 .
先根据条件确定结果为正数，将问题式平方得出，再利用二倍角公式及正余弦和差公式化简得出计算即可.
由已知易得，
所以，
而
，
，即．
（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，，则 .
法一、构造对称结构，，利用余弦的和差角公式计算，得出计算即可.
法二、设，得，可分别求出，利用角的范围及同角三角函数的平方关系及完全平方公式计算即可.
法一、由已知易知，
所以．
记，，
则
，
即，①
即，②
由①－②得，
即．
法二、由正弦定理可得：，显然，
则，
设，则有，即，
∴，
再设，即，
易知，∴，
∴，
（舍负）.
∴选A
5．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，P为费马点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
利用和差化积将问题式化为，根据正余弦的差角公式展开得，再利用二倍角公式分别计算即可.
由已知及正弦定理可得，
易知，∴，
由和差化积公式得：原式
易知，所以，
同理，所以，
故原式.
故选：A
6．的值为（ ）
A． B． C． D．前三个答案都不对
（2023上·江苏苏州·高三江苏省梁丰高级中学校考阶段练习）
7．求值：（ ）
A． B． C．1 D．
（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）
8．已知，求（ ）
A． B． C． D．
（2024·全国·模拟预测）
9．已知，则（ ）
A．2m B． C． D．
10．对集合和常数，把定义为集合相对于的“正弦方差"，则集合相对于的“正弦方差”为（ ）
A． B． C． D．与有关的值
11．（多选）若，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知向量，满足，，则的最大值为 ．
（2023上·海南·高三校联考阶段练习）
13．的值为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】应用诱导公式及已知有，再由及差角余弦公式得，最后由和角正弦公式有，即可求结果.
【详解】因为，结合题设，
所以，而，
所以，
即，所以，
所以.
故选：D
2．
【分析】根据角的范围，确定的范围，结合，利用二倍角公式求出的值，以及的值，再利用两角和的余弦公式即可求得答案.
【详解】由于，故，结合，
可得，
则，
，
所以
；
故答案为：
3．D
【分析】分别将和分别平方相加求出，然后逆用正弦两角差公式并结合倍角公式从而求解.
【详解】由得，，
由得，，
两式相加得，，
则，
所以，故D正确.
故选：D.
4．
【分析】将,分别平方再求和即可.
【详解】由题,,
.
两式相加得.
故.即.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换.属于中等题型.
5．A
【分析】设，则，由正弦定理得到和的关系式，进而得到，设，得到，进而求得，求得，结合，即可求解.
【详解】如图所示，根据题意，设，
则，
在中，由余弦定理得，所以，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
联立方程组，可得，所以，
代入上式，可得且，
所以，
设，则，
由，可得，所以，
又由，由对勾函数的性质，可得，
所以，
由，可得，
又由函数在上为单调递减函数，
所以.
故选：A.

6．B
【分析】利用和差化积和二倍角的正弦公式可求代数式的值.
【详解】根据题意，
．
故选：B.
7．A
【分析】利用积化和差和和差化积公式，结合半角公式，诱导公式化简得到结果.
【详解】由积化和差公式可得
，
故
，
由和差化积公式可得
，
故
所以.
故选：A
【点睛】和差化积公式：，
，
，
积化和差公式：，
，
，
.
8．D
【分析】利用三角函数诱导公式化简已知等式可得，再利用两角和差的余弦公式结合同角三角函数关系化简可得，继而利用三角恒等变换，化简求值，即得答案.
【详解】由题意知，
即，
故，
即，
故，
即
，
故选：D
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数诱导公式以及两角和差的公式化简得出的表达式之后，要利用拆角的方法，继而结合三角恒等变换公式，化简求值即可.
9．B
【分析】根据已知条件利用倍角公式和两角和与差的正弦余弦正切公式进行求解；利用特殊值法也可以直接求解.
【详解】通解：因为，
所以，
即，
所以，
所以，
于是
，
优解： 取，
则
，
所以，
则，
故选：B．
10．C
【分析】先确定集合相对于的“正弦方差”的表达式，再利用半角公式，两角和与差的余弦公式化简可得结果.
【详解】由题知，集合相对于的“正弦方差”为
把，，
，代入上式整理得，.
故选：C.
11．BC
【分析】利用和差化积公式化简，从而可求得，即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
因为，，所以，
从而，
于是，
所以，从而．
故选：BC.
12．##
【分析】
利用向量的运算建立平面直角坐标系即可得，由得，则，结合三角函数设，利用三角函数的性质即可求得最值.
【详解】取平行四边形，连接

设，则，
因为向量，满足，所以，即，
设，，如图以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

则
所以，则，故，
所以
因为，又，可设
即，所以，其中，所以，所以，
故的最大值为，即的最大值为.
故选：.
13．
【分析】根据两角差的正切公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识求得正确答案.
【详解】
，
所以.
故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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