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专题9 三角函数应用中的最值问题 一题多解
【山东省临沂市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题】某劳动教育基地欲修建一段斜坡．假设斜坡底在水平面上，斜坡与水平面的夹角为，斜坡顶端距离水平面的垂直高度为2.4米，人沿着斜坡每向上走1米，消耗的体能为，则从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的最少体能为______．此时______．
由题设条件得出消耗体能，结合斜率的几何意义以及直线与圆的位置关系求解即可.
设坡为，消耗体能，
令，，
转化为到斜率.
由题意点在圆上.
，∴
1．函数的值域为 .
2．已知，则S的取值范围是 ．
表示出斜坡总长，即可求出人从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的体能的表达式，求其导数，判断其单调性，可求得极小值点也即最小值点，结合同角三角函数关系即可求得答案.
由题意知斜坡总长为米，，
则人从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的体能为，
即，
故，
设，
当时，即时，，在上单调递增，
当时，即时，，在上单调递减，
故时，即时，取最小值，
此时，y的最小值为，
即人从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的最少体能为0.7，此时，
故答案为：0.7，
3．如图，矩形OABC中，，以O为圆心，OC为半径作圆与OA相交于点D，在BC上取一点E，OA上取一点F，使得EF与相切于点G，则四边形OFEC的面积取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料，O为半圆的圆心，，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为 .
由题意得出消耗的体能关系式，法一：由万能公式结合基本不等式求解即可；
法二：由柯西不等式进行求解；法三：由倍角公式结合基本不等式求解即可.
法一：当且仅当，即，此时“＝”成立
法二：，
即
即，当且仅当取“＝”，即时取“＝”
法三：坡长，消耗体能为：，
当且仅当，即时取得最小值，此时
5．如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成θ角，该铁棒欲通过该直角走廊，则铁棒的长度L= （用含θ的表达式表示）；当a=b=2 m时，能够通过这个直角走的铁的长的最大值为 .
6．湖北省第十六届运动会将于年月在宜昌举行，为了方便宜昌市民观看，夷陵广场大屏幕届时会滚动直播赛事，已知大屏幕下端离地面米，大屏幕高米，若某位观众眼睛离地面米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）（ ）
A． B． C． D．
由题意得出消耗的体能关系式，借助辅助角公式得出，由三角函数的性质得出，从而得出消耗体能.
设坡长为l，则，消耗体能为，则
即，∴，
设，∴，即
∵，∴，∴，即，
即，∴a的最小值为0.7
此时，∴
7．已知是半径为，圆心角为扇形,是扇形弧上的动点，是扇形的接矩形，则的最大值为 .
8．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图.已知是半径为，圆心角为的扇形，D是弧上的动点.过点D作，垂足为A.某公司欲建一个风景区，该风景区由和正方形构成，则该风景区面积的最大值为 '.
10．既要金山银山，又要绿水青山，说明了既要发展经济，又要保护环境，两者兼得，社会才能又快又好的发展.现某风景区在践行这一理念下，计划在如图所示的以为直径的半圆形山林中设计一条休闲小道(C与A，B不重合)，A，B相距400米，在紧邻休闲小道的两侧及圆弧上进行绿化，设，则绿化带的总长度的最大值约为 米.(参考数据：，)
11．如图，某公园要在一块圆心角为，半径为的扇形草坪中修建一个内接矩形文化景观区域，若，则文化景观区域面积的最大值为 .
12．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP，，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为.记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）.求新路总长度的最小值 ．

13．某市以市民需求为导向，对某公园进行升级改造，以提升市民的游园体验.已知公园的形状为如图所示的扇形区域，其半径为2千米，圆心角为，道路的一个顶点C在弧上.现在规划三条商业街道，要求街道与平行，交于点D，街道与垂直（垂足E在上），则街道长度最大值为 千米.
14．某干燥塔的底面是半径为1的圆面O，圆面有一个内接正方形框架，在圆O的劣弧上有一点P，现在从点P出发，安装三根热管，则三根热管的长度和的最大值为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】设，，得到为单位圆上的动点；令，根据直线斜率的坐标运算得到表示该单位圆上的点与点所在直线的斜率，将其转化为过点的直线与单位圆有交点，设过点的直线方程为，联立方程消得到关于的一元二次方程，令求得的范围，从而求解.
【详解】由题意得：，
设，，则，
所以为单位圆上的动点，且，
令，即表示该单位圆上的点与点所在直线的斜率.
如图：

设过点的直线方程为，
即直线与单位圆有交点，
联立，消整理得：，
所以，
化简得：，解得：，
所以，
所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
2．
【分析】将转化为点与点的连线斜率，而点在上，点在上，利用图像可观察出S的取值范围.
【详解】解：等价于点与点的连线斜率，
点在上，点在上，
如图：
观察图像，当过点的直线和圆相切，且斜率存在时，斜率最小，无最大值，
设该直线为，即，
此时有，解得：
故S的取值范围，
故答案为：
【点睛】本题考查分式型式子的最值问题，利用数形结合转化为斜率问题，是中档题.
3．B
【分析】根据图中线段之间的关系，将四边形OFEC的面积表示为关于的解析式，再结合导数判断其单调性，求最值即可.
【详解】设，，因为点G为切点，所以，
当与重合时，在Rt中，，
所以，即，所以，
过E作，垂为H，则，
在中，
所以
设，则，
令，解得；令，解得，
所以当时，单调递减；当时，单调递增，
所以时，有最小值，即有最小值.
故选：B
4．
【分析】分两种情况讨论：（1）斜边在BC上，设，则，（2）若在若一条直角边在上，设，则，进一步利用导数的应用和三角函数关系式恒等变形和函数单调性即可求出最大值.
【详解】（1）斜边在上，设，则，
则，，
从而.
当时，此时，符合.
（2）若一条直角边在上，设，则，
则，，
由知.
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
.
当，即时，最大.
故答案为：.
【点睛】此题考查实际问题中导数，三角函数和函数单调性的综合应用，注意分类讨论把所有情况考虑完全，属于一般性题目.
5．
【分析】第一空：根据示意图及三角函数定义，即可得长度L的表达式；
第二空：根据第一空的表达式，化简可得，令，根据范围，可得t的范围，根据二次函数性质，可得L的最小值，即可得答案.
【详解】作出示意图，铁棒，，
在中，，
在中，，
所以；
当时，
令，因为，，
所以，，
所以，且在上单调递增，
所以当时，即时，L的最小值为，
所以能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值为.
故答案为：；
6．B
【分析】设，表示出，，利用两角和差正切公式，结合基本不等式可确定当时，取得最大值，由此可得结论.
【详解】如图所示，
由题意知：，，
设，则，，
（当且仅当，即时取等号），
，当时，可以获得观看的最佳视野.
故选：B.
7．
【分析】设,用表示出的长度,进而用三角函数表示出,结合辅助角公式即可求得最大值.
【详解】设
扇形的半径为,是扇形的接矩形
则
,所以
则
所以
因为,所以
所以当时, 取得最大值
故答案为:
【点睛】本题考查了三角函数的应用,将边长转化为三角函数式,结合辅助角公式求得最值是常用方法,属于中档题.
8．D
【分析】如图，连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解．
【详解】如图所示： ．
连接，设，作，，垂足分别为．
根据平面几何知识可知，，，．
∴，．
故四边形的面积也为四边形的面积，
即有
，其中．
所以当即时，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用三角函数解决几何中的最值问题，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力，属于基础题．
9．(或
【分析】设，把正方形的面积和的面积表示为的三角函数，利用三角函数求最值.
【详解】设，则，所以正方形的面积，的面积.
则风景区的面积，
其中，当，即时，
取得最大值，且最大值为.
10．880
【分析】用表示出绿化带的总长度，再利用导函数研究函数的单调性，可求得最值.
【详解】如图所示，设圆心为O，连接，，
因为点C在半圆上，所以，所以，
弧的长为，所以绿化带的总长度为
，.所以.
令，得，所以.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，取得极大值，也是最大值，所以.
故答案为：880.
【点睛】本题考查三角函数的实际应用，关键在于求得函数，并运用导函数去研究函数的的单调性，属于中档题.
11．
【分析】取中点，连结，交于点，交于点，连结，设，推导出和，从而得出文化景观区域面积，利用三角函数的性质，解出面积最大值．
【详解】取中点，连结，交于点，交于点，连结，
设，则，，
，
文化景观区域面积：
，
当，即时，文化景观区域面积取得最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查文化景观区域面积的最大值的求法，考查扇形、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12．
【分析】求新路总长度的问题转化为三角函数的最值问题，利用基本不等式求解即可.
【详解】如图：

连接.
∵∠PCA＝，可得∠MCP＝，∠NCQ，
在直角三角形MCP中，则，所以MP＝，，
NQ＝，
设新路长为，其中(，)，则，
∴，
，当时取等号.
故答案为：.
13．
【分析】设，利用几何关系得出，由勾股定理得出，再由正弦函数的性质得出长度的最大值.
【详解】过点作的垂线，垂足为，设，
则，
又，所以.
在直角三角形中，
，其中.
因为，所以，又，
所以当时，有最小值为，
即.
综上，街道长度的最大值为千米.
故答案为：
14．
【分析】连接BD，DP，设，利用直径所对圆周角为直角，以及三角函数定义表示出所求，然后利用辅助角公式化简可解.
【详解】如图．连接，设，则，
在中，，在中，
所以
，其中，
所以，由的范围可以取到最大值．
故答案为：
答案第1页，共2页
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