资源简介

专题13 解三角形与平面向量中的最值问题
【重庆市2023年11月质量检测第8题】
在等边中，M为内一动点，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
角度一、翻折得，根据四边形对角互补确定四点共圆，建立平面直角坐标系，结合三角换元表示三点坐标，利用两点距离公式及辅助角公式、三角函数有界性计算即可.
角度二、建立坐标系，由定边定角确定的轨迹，设，利用阿氏圆的概念含参表示的轨迹方程，则两圆相交由此得出圆心距不大于半径之和，解不等式即可.
角度一、四点共圆+三角换元
如图所示，以BC边的中点O为原点，BC为x轴，过O点垂直于BC的直线为y轴，建立直角坐标系如图，
再将延x轴翻折得，设的外接圆的圆心为Q，
∵，∴四点共圆，且M点在的劣弧BC上，
不妨设等边的边长为2，可得：，，，，
又点M所在圆的方程为：，故，
∴，
化简得：，
其中，，
即，解得，
∴.
故选：C．
角度二：阿波罗尼斯圆+圆与圆位置关系
设的边长为，如图所示以中点为原点，直线、分别为轴建系，
则，取的中心，并翻折得，
易知，
可得四点共圆，圆心为，
则M点在（部分）上，
另设，，
则，
即，则又在以为圆心，为半径的圆上，
故两圆有公共点，所以，
即，即，解得．
故选：C.
1．设向量，，，，点在内，且向量与向量的夹角为，则的取值范围是 ．
2．在中，，且所在平面内存在一点使得，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
角度一、翻折得，根据四边形对角互补确定四点共圆，构造相似三角形转化两边之比结合正弦定理计算即可；
角度二、取BC中点D，由定边定角确定的轨迹为圆，逆用阿氏圆可得，构造中位线将两边之比转化，利用正弦定理及三角函数的值域计算即可.
角度一、构造相似三角形
如图所示，将延翻折得，作的外接圆，设其直径为，
∵，∴四点共圆，且M点在的劣弧BC上，
延长交于点，易知三点共线，且，是外接圆的直径，
即，则，所以，
则，故．当且仅当过圆心时取得等号.
故选：C.
角度二：逆用阿波罗尼斯圆+函数思想
同上得与的外接圆与，取BC中点D，MC中点N，
易知，所以，
又，则由正弦定理可知：，
当且仅当时取得等号.
故选：C.
3．若实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点，则线段长度的最小值是 ．
4．在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为 ．
角度一、设，，利用正弦定理得出，，作商结合三角函数的值域计算即可；
角度二、将绕点B逆时针旋转60°得，结合正弦定理将线段比值化为，根据三角函数的值域计算即可；
角度一、正弦定理+函数思想
如图所示：设，，则．
在与中，分别由正弦定理得： ①
②
②÷①得：，
当且仅当时等号成立，故的最小值为，
故选：C．
角度二、几何性质+函数思想
将绕点B逆时针旋转60°得，
则，，，，
所以，
当时，取得最小值为．
（2022年全国甲卷理16）
5．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
（2024·全国·模拟预测）
6．已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（浙江省名校协作体2024届高三上学期7月适应性测试）
7．在中，点，分别是，边上的中点，线段，交于点D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
（2023·山西临汾·校考模拟预测）
10．在中，点D在上，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）
11．已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·安徽滁州·统考二模）
12．在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，顶角，点为AB的中点，记△OAB的面积，则（ ）
A． B．S的最大值为6
C．的最大值为6 D．点B的轨迹方程是
（2024上·福建泉州·高二校考阶段练习）
13．如图，四边形中，，，，，则面积的最大值为 .
（2023·四川泸州·四川省叙永第一中学校校考一模）
14．在中，，若点为的中点，则的取值范围为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】以直线OA为x轴，线段OA的中垂线为y轴建立坐标系，探求点C的坐标满足的关系，再利用换元法借助三角恒等变换计算作答.
【详解】以直线OA为x轴，线段OA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图，
因，则，而，解得，
则，设，有，，
因向量与向量的夹角为，则，
，，
，整理得：，即，
因此，，，令点，，
令，
则，
于是得，又，即有，解得，
当时，，即，而，有，
，矛盾，即，
当时，，即有，其中锐角满足，
则有，，，显然存在满足条件，则，因此，，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：给定向量的模探求向量问题，可以建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示，利用代数运算、三角变换等方法解决.
2．B
【解析】以的中点为坐标原点，建立直角坐标系，写出三点的坐标，利用两点间距离公式，以及圆与圆的位置关系，解不等式，得出的范围，再由三角形的面积公式以及二次函数的性质，即可得出面积的最大值.
【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系
设，，，则
设，由得
即，
即点既在为圆心，为半径的圆上，又在为圆心，1为半径的圆上
可得，由两边平方化简可得
则的面积为
由，可得，取得最大值，且为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了两点间距离公式的应用以及由圆与圆的位置关系求参数范围，属于中档题.
3．
【分析】由成等差数列得直线过定点，然后可知在以为直径的圆上，由图形可知，求出即可得到结果.
【详解】解：由、、成等差数列可得，∴直线过定点，
由点在直线的射影为得， ，则的轨迹是以为直径的圆，
易得，圆心，，∴．
故答案为: .

【点睛】本题考查直线和圆中的最值类问题，考查了等差中项的性质，考查了直线过定点问题.关键在于能够确定所求最小值即为两点间距离减去半径.
4．
【分析】以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系. 设，根据已知条件可求得点在以为圆心，2为半径的圆上，取，可得，从而有，因此＝，因此只要最小即可．
【详解】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.
则，，
设，则，，
因为
所以，即：
整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为2的圆上.
在轴上取，连接
可得，所以，所以
由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.
此时最小为.
故答案为．
【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的几何应用．解题关键点有二，一是建立坐标系，求出点在一个圆上，二是取点，构造出，于是，问题转化为求的最小值．
5．##
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.

6．C
【分析】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到，结合为锐角三角形，得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范围即可.
【详解】因为，得．
由余弦定理得，
所以，即．
由正弦定理得，
因为，则，
所以，即．
因为是锐角三角形，所以，，所以．
又在上单调递增，所以，则．
因为是锐角三角形，所以，，，
所以，
由正弦定理得
，
令，因为，所以．
在上单调递增，
当时，，当时，，
故
故选：C．
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
7．C
【分析】
方法一：由三角形重心的性质求解；方法二：设，根据题意计算可得，再由共线可求出的值.
【详解】
方法一：可由三角形重心的性质知：
方法二：设，则，
由共线可知，，，故，
故选：C．
8．B
【分析】设点在圆上，且，，设直线，的倾斜角分别为，.两角差正切公式得，再求出即可
【详解】设，是单位圆的直径的端点，在圆上，
设，点为的重心，.
点在圆上.
是锐角三角形，点在圆上，且，，
设直线，的倾斜角分别为，.
则，，
.
.
故选：.
9．A
【分析】以D为坐标原点，DB,DC分别为x,y轴建立直角坐标系，求出A点轨迹方程，再根据圆的性质求最值.
【详解】以D为坐标原点，DB,DC分别为x,y轴建立如图所示直角坐标系，则,因为，，所以由平面几何知识得A点轨迹为圆弧（因为为平面四边形，所以取图中第四象限部分的圆弧），设圆心为E,则由正弦定理可得圆半径为，
因此对角线的最大值为
故选：A
【点睛】本题考查正弦定理、圆的轨迹方程以及圆的性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
10．B
【分析】根据给定条件，利用余弦定理把表示成的函数，再利用导数探讨函数的最值即可得解.
【详解】依题意，由，得，
设，由，得，
在中，，
在中，，
则，
令，则，
由，解得，由，解得，
因此在上单调递增，在上单调递减，
即当时，取得最大值，
因此当时，取得最大值为，
所以的最大值为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用余弦定理，将问题转化为求函数最值，由此得解.
11．C
【分析】先根据正弦定理可得，再建立平面直角坐标系求解的轨迹方程，进而可得面积的最大值.
【详解】在中，在中，
故，，
因为，故，
又角的平分线交于点，则，故.
故.
以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，，
故，，设，则，
即，故，
化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）.
故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.

故选：C
12．ABD
【分析】令且，根据题设及两点距离公式求轨迹为且，应用余弦定理、三角形面积公式求表达式，利用，结合圆的性质求面积、最大值，令，则代入轨迹求B的轨迹方程，即可判断各项的正误.
【详解】由，，为AB的中点，
若且，则，故，
整理得：，则轨迹是圆心为，半径为2的圆（去掉与x轴交点），
如下图，由圆的对称性，不妨令在轨迹圆的上半部分，即，
令，则，
所以，则，
所以，A正确；
由，则S的最大值为6，B正确；
由下图知：，所以无最大值，C错误；
令，则代入轨迹得，即，
所以轨迹为且，D正确；
故选：ABD
13．
【分析】
建立直角坐标系，求解出相应圆的标准方程，延长交圆③于点F，得到，，进而求解的最大值.
【详解】以E为坐标原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，
则，，A在圆①：上，
D在圆②：上，
作圆③：，
延长交圆③于点F，则，
所以.
设直线与圆②交于点G，
取，连接，，得，
则，则，
为圆②内接三角形，当且仅当为正三角形时，最大，
此时，所以的最大值为，
即的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用数形结合的思想进行转化为圆的标准方程,利用圆的性质和三角形面积求解.
14．
【分析】由中点性质结合向量的加法法则得，平方结合向量运算律的性质得，由余弦定理得，所以，利用基本不等式及不等式性质得范围.
【详解】记，因为，点为的中点，所以，
所以，
在中，由余弦定理知，
所以，
当且仅当即时，等号成立，即的最大值为，
又，所以，所以的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是找到与的关系，从而建立分式函数，利用基本不等式求解，另外注意向量在解三角形中的应用，尤其是边角关系转化时.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑