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专题14 解三角形求角问题
【广东省佛山市2024届高三一模】
已知中，，边上的高与边上的中线相等，则__________.
通过建立平面直角坐标系，设，结合中点坐标公式得到点坐标，根据垂直关系得到点坐标，通过题目中的长度关系列出方程即可求解.
如下图所示，以为轴正方向建立平面直角坐标系，
设，
作，取AC中点G，则，
则，
由
1．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则的余弦值是（ ）．
A． B． C． D．
2．在直角三角形中，，，，点P在斜边BC的中线AD上，则的值可能为（ ）
A． B．8 C． D．2
通过建立平面直角坐标系，以所求角为变量，通过中点坐标公式得到中点的坐标，结合长度关系列方程求解即可.
建立如图所示的平面直角坐标系，
，∴
∵，∴，
∴，∴，∴
结合中线得到，平方后将向量关系转化为数量关系，结合同角三角函数平方关系求解即可.
如下图所示，设边上的高为，边上的中线为，
在中，，所以，
由，平方得，
代入得，，
化简得，，解得，
又因为，所以，所以.
3．已知AD是的中线，若，，则的最小值是 ．
从题目所给“中线”这一特征入手，利用中线长定理得到，结合余弦定理和长度关系得到再解方程即可.
AB边上的高.
考虑中线长定理可知，
得，
由余弦定理可知，
于是，
则，
得.
4．在锐角中，，，则中线的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知AM是中BC边上的中线．求证：．

从题目所给“中线”这一特征入手，将边也构造出一个中点，即通过延长构造出中位线，结合长度关系的转化和相似三角形直接得到角度大小即可.
延长，使得，
∵D是AC中点，，BD是△ACF中位线，∴，
∵，∴
由，可知，∴
∴
从题目所给“三角形的高”这一特征入手，分类讨论E在AB延长线上和E在线段上，由中点作平行线构造中位线和直角三角形，结合勾股定理计算即可求解答案.
1.E在AB延长线上时，作，设，
则，即
∴，解方程得，
易知此时B为钝角，∴
2.E在线段上时，同上易知，不符合题意（舍去）
综上：
从题目所给“中线”这一特征入手，将面积进行拆分，运用面积相等得到大三角形面积为两个小三角形面积之和，结合三角形面积公式代入求解即可.
如图所示，E为AC的中点，CD为AB边上的高，
则有，
又，∴，
又，∴
所以.
6．已知在中，角和角的角平分线交点为到的距离为2，的周长为4，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知在中，角和角的角平分线交点为到的距离为2，的周长为4，，则（ ）
A． B． C． D．
从题目所给“中线”入手，倍长中线，则可以构造出一组全等三角形，再进行角的关系的转化，由余弦定理进行计算，代入同角三角函数平方关系进行计算即可.
设，则，
由面积公式可知，∴
倍长中线至D点，连结CD，易知，
则
∴，
易知，∴∠ABC为钝角
由同角三角函数的平方关系可，
解之得，即，∴，∴
8．在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则边上中线长的最小值为 .
由“中线”这一特征可知，大三角形面积等于两倍小三角形面积，代入面积公式计算即可.
BD是AC边上中线，设AB边上高为h
由，
又，∴
即，∴，∴
9．中，内角的对边分别为边上的中线，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．的最大值为
10．在中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（ ）
A．若是高，则 B．若是中线，则
C．若是角平分线，则 D．若，则是线段的三等分点
11．已知的内角的对边分别为，若，，，则边上的中线AD的长为 .
12．在中，角A，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长度的最大值为 ．
13．在中，，为边上的中线，，则该三角形面积最大值为 ．
14．在中，，为边上的中线且，则的取值范围是 ．
15．在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
16．在中，，，，AD是三角形的中线．E，F分别是AB，AC边上的动点，，（x，），线段EF与AD相交于点G．已知的面积是的面积的2倍，则（ ）
A． B．x＋y的取值范围为
C．若，则的取值范围为 D．的取值范围为
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若边BC的中线，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．△ABC的面积为
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量法求得的余弦值.
【详解】由余弦定理得，
所以，所以三角形是直角三角形，且，
以为原点建立如图所示平面直角坐标系，
，
，
，
所以.
故选：B
2．CD
【分析】利用已知条件，建立坐标系，利用斜率的数量积化简，结合二次函数的性质求解最值即可．
【详解】解：以为坐标原点，以，方向分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，
则，，,
设，，所以，，，
则，
所以．
所以时数量积取得最大值，当或时数量积取得最小值．
即．
故选：CD．
3．
【分析】先求得，然后利用基本不等式求得的最小值.
【详解】，
，
所以，当且仅当时等号成立.
故答案为：

4．D
【分析】利用正弦定理边化角，结合已知求出边b长的取值范围，再借助平面向量用b表示出中线的长，求出函数值域作答.
【详解】令的内角所对边分别为，由正弦定理及得，即，
锐角中，，即，同理，
于是，解得，又线段为边上的中线，
则，又，于是，
因此，当时，，，
所以中线的取值范围是.
故选：D
5．证明过程见解析
【分析】根据这一等式，利用余弦定理进行证明即可.
【详解】因为AM是中BC边上的中线，
所以，
因为，所以
，
.
6．A
【分析】由题意可得出，又因为，解方程可求出，再由平面向量数量积的定义求解即可.
【详解】设，
角和角的角平分线交点为到的距离为2，
所以点为的内心，且点到各边的距离都为，
的周长为4，所以，
所以的面积为：，
又因为，所以，解得：，
.
故选：A.
7．A
【分析】由题意可得出，又因为，解方程可求出，再由平面向量数量积的定义求解即可.
【详解】设，
角和角的角平分线交点为到的距离为2，
所以点为的内心，且点到各边的距离都为，
的周长为4，所以，
所以的面积为：，
又因为，所以，解得：，
.
故选：A.
8．
【分析】先由等式得，再由的面积为得到，
结合图象和余弦定理可得，利用基本不等式可得最小值.
【详解】因为，
由正弦定理得，整理得，即，
因，所以，得，
则，
因为，所以.

如图，设边上的中点为，在中，由余弦定理，得，又，
所以
由得代入上式，
得，
当且仅当时取等，所以AC边上中线长的最小值为.
故答案为：.
9．ACD
【分析】根据向量数量积的运算律即可判断A，根据余弦定理，结合不等式和三角函数的性质即可求解BCD.
【详解】因为，A正确；
因为，所以，故错误；
由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立），由选项知，所以，解得，
由于，所以，故C正确；
对于（当且仅当时，等号成立），因为，所以，又，所以的最大值，D正确.
故选：ACD

10．BC
【分析】分别求CD为高线，中线，角平分线及等分线时CD的长.
【详解】由题，，所以，
若CD是高，，得，故A错误；
若CD是中线，，所以，
所以，故B正确；
若CD是角平分线，则，
即，得，故C正确；
若D为线段AB的三等分点，或，
，或，
所以或，故D错误.
故选：BC.
【点睛】根据D在AB的位置，可用，表示，用向量方法解决平面几何问题是常用思路.
11．
【分析】根据余弦定理得出.进而在中，利用余弦定理，即可得出答案.
【详解】
由余弦定理可得，.
在中，有，，
由余弦定理可得
，
所以，.
故答案为：.
12．
【分析】利用正余弦定理化简得，再由平面向量在几何中的应用结合基本不等式计算即可.
【详解】
在中有，
故由正弦定理可得，
由余弦定理得，
由三角形中线的性质可得：，
即，
又，
故，当且仅当时取得等号，
所以.
故答案为：.
13．8
【分析】法一：已知，以为定点，建立直角坐标系，由，得动点的轨迹，由此可得面积最大值；
法二：引入变量与角，由余弦定理得到的等量关系，又面积为，消，再求函数最值即可.
【详解】法一：如图建立直角坐标系，

设，由得：，
即：，
所以点A的轨迹为以为圆心，半径为的圆，，
所以当A到x轴距离最大时，即为半径时，面积最大.
故．
法二：设，则，在中，
由余弦定理可知，，，
而，，
由图可知，为半圆上的点与连线的斜率，其最小值为直线的斜率，

故面积的最大值为.
故答案为：8.
14．
【分析】根据题意利用可得，结合数量积的运算律整理得，设，代入结合一元二次方程求的取值范围.
【详解】设，
因为为边上的中线，则，
可得，
即，整理得，
设，则，
可得，整理得，
关于的方程有正根，则有：
①当，即时，则，解得；
②当，即时，则，解得或（舍去），符合题意；
③当，即时，则，解得；
综上所述：，即的取值范围是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：有关三角形中线长度问题的求解，可考虑利用向量运算来建立关系式.有关三角形边长的和、差的取值范围，可考虑余弦定理（或正弦定理），结合基本不等式（或三角函数的取值范围）等知识来求解.
15．A
【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值．
【详解】设，，
由于，
在和中应用余弦定理可得：
，整理可得：，
结合勾股定理可得的面积：
，
当且仅当时等号成立．
则面积的最大值为6．
故选：A.
16．ACD
【分析】利用三角形面积公式即可得到，利用对勾函数的性质和基本不等式即可判断B，利用共线向量定理的推论即可判断C，利用转化法计算即可判断D.
【详解】对A，，
，
又因为，即，
解得，故A正确，

对B，因为，，则，解得，则，
则，
当且仅当时等号成立，
根据对勾函数的图象与性质可知当或1时，，则，故B错误，
对C，因为，，所以，
因为点三点共线，
则存在，使得
则有，则，，故C正确；
对D，，，
则
，
因为，则，则，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题较难的CD选项的判定，需要利用共线向量定理的推论，从而得到，然后解出，从而得到其范围；对于D选项，则利用转化法来计算，最后得到，再进行消元转化为单变量表示即可得到其范围.
17．ACD
【分析】根据正弦定理，结合平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的定义、三角形面积公式进行求解即可.
【详解】根据正弦定理，由
，
因为，所以，因此，
因为，所以，因此选项A正确，选项B不正确；
因为是中线，所以由
，或舍去，
因此，所以选项C正确；
△ABC的面积为，所以选项D正确，
故选：ACD
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