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专题17 三角值域问题
【湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高三下学期2月收心考试】
将函数的图象上所有点的横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍，向下平移1个单位长度，向左平移个单位长度，最后所有点的纵坐标不变横坐标压缩到原来的0.5倍，得到函数的图象．若对任意，都存在，使得，则的取值范围为______．
根据题意得到函数值域包含关系，利用值域中一定有1这个元素，缩小的取值范围，再结合更多的约束条件得到精确的范围.
由已知可知，因为对任意，都存在，使得，所以在上的值域是在上值域的子集
在上的值域，且
因为值域中一定有1这个元素，所以∴（必要条件）
还需要约束的最小值小于等于－1，所以或者．
因此或者，所以
（2023下·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）
1．设.若对任意，都存在，使得，则可以是（ ）
A． B． C． D．
根据题意得到函数值域包含关系，转化为动直线与函数的图象恒有公共点，结合图象进而讨论即可.
由已知，
当时，的值域为．
令，则当时，，．
令，则由已知得动直线
与函数，的图象恒有公共点，
即动直线与函数的图象恒有公共点．
又，∴．
在坐标系中画出直线，与函数的大致图象
结合图象可知，或
由此解得或，
因此的取值范围为
根据题意得到函数值域包含关系，进而分，情况讨论即可.
由已知，，
当时，的值域为．
令，则当时，，．
令，则由题意知，
对，关于的方程，即在恒有解，（*）
注意到当时，，且当时，，
因此，要满足（*），只要函数的值域包含即可．
当时，函数在上单调递增，其值域为，显然此时；
②当时，，函数的值域为，其中a是中的最小值．
由得或
由此解得或，
综上，的取值范围为
（2024上·云南昆明·高一校考期末）
2．已知函数，，对任意，存在、，使得，则实数的取值范围是 .
（2022下·湖南株洲·高三株洲二中校考期中）
3．已知函数．
(1)当时，直接写出的单调区间（不要求证明），并求出的值域；
(2)设函数，若对任意，总有，使得，求实数的取值范围．
（2024上·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）
4．已知函数，且．
(1)设，若对任意，总存在，使成立，求实数t的取值范围；
(2)函数的图象与函数的图象关于直线对称，求不等式的解集．
（2022·全国·高三专题练习）
5．下列四种变换方式，其中能将的图象变为的图象的是（ ）
①向左平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的；
②向左平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的；
③横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度；
④横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度；
A．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④
（2024上·湖南长沙·高一周南中学校考期末）
6．已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是 .
（2023下·山东德州·高一统考期中）
7．已知函数，若任意，存在，满足，则实数t的取值范围是 ．
（2022下·辽宁大连·高一大连八中校考期中）
8．已知函数，其中．
(1)若，，求的对称中心；
(2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在且上恰好有个零点，求的最小值；
(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．
（2023下·四川成都·高一统考期末）
9．已知函数，函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，.
(1)若，求；
(2)若对任意，存在使得成立，求实数的取值范围.
（2023下·江西南昌·高一校考阶段练习）
10．已知函数.
(1)对任意，存在实数、，使得，且，同时函数图象经过点，若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 再向左平移个单位长度，得到函数图象，求函数的解析式；
(2)在（1）的基础上，设，则是否存在实数，满足对于任意，都存在，使得成立
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】由题意可知，，若对任意，都存在，使得成立，得，只需，即可，进而将选项中的角，依次代入验证，即可求解.
【详解】因为对任意，都存在，使得成立，
所以，即，
因为，，所以，
若对任意，都存在，使得成立，
得，只需，即可，
因为，则，
对于A：当时，，则，因为，
所以的取值不符合条件，故A错误；
对于B：当时，，则，因为，的取值符合条件，故B正确；
对于C：当时，，则，
因为，的取值不符合条件，故C错误；
对于D：当时，，则，
因为，的取值不符合条件，故D错误；
故选：B
2．
【分析】求出函数在区间上的最大值和最小值，以及函数在上的最大值和最小值，由题意可得出，即可求得实数的取值范围.
【详解】当时，，则，
则，
因为，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
又因为，，故，
因为任意，存在、，使得，
则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
3．(1)单调递增区间为和，递减区间为和；值域是
(2)
【分析】（1）利用对勾函数性质结合奇偶性判断单调区间，利用基本不等式求值域；
（2）求出的值域并将题目转化为函数的值域是的值域的子集，分情况讨论t的范围，求的最值列不等式求解.
【详解】（1）当时，,
易知，且定义域关于原点对称，故为奇函数；
结合对勾函数的性质可得：的单调递增区间为和，递减区间为和．
当时，，
当且仅当时等号成立；
当时，，当且仅当时，等号成立．
所以的值域是；
（2），
因为，所以，所以，，
所以，那么的值域为．
当时，总有，使得，
转化为函数的值域是的值域的子集，
即当时，恒成立．
当时，在上单调递增，可得，，所以；
当时，，满足题意；
当时，对任意的，，显然，
所以，对任意的恒成立，可得．
当时，，，此时．
综上可得，实数的取值范围为．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ．
4．(1)
(2)
【分析】（1）由求得，根据正弦函数性质可得，然后将问题转化为，，使得，参变分离，结合对勾函数性质可解；
（2）先求的解析式，然后结合余弦函数图象即可求解.
【详解】（1）因为，
则，可得，
因为，则，所以，可得，
所以．
当时，，则，
依题意，，使得，
所以，
因为，则，
令，函数在上单调递减，
所以，所以，，
因此，实数t的取值范围是．
（2）因为与的图象关于直线对称，
则
，
因为，令，
则，即，
作出函数的图象如图所示：
由可得，
即，
因为，故，可得，
解得或，
即，
因此，原不等式的解集为．
5．B
【分析】利用三角函数图象的平移变换、周期变换进行判断.
【详解】因为，
对于①，函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，故①正确；
对于②，函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到，故②错误；
对于③，将函数的图象每个点的横坐标缩短为原来的，得到，
再向左平移个单位长度，得到，故③错误；
对于④，将函数的图象每个点的横坐标缩短为原来的，得到，
再向左平移个单位长度，得到，故④正确.故A，C，D错误.
故选：B
6．
【分析】由题意得函数的最小正周期，解出的值，由对任意恒成立，列关于的不等式组求解即可.
【详解】函数的最大值为3，其图象与直线相邻两个交点的距离为，
则的最小正周期，由，得，解得，
若对任意恒成立，即对任意恒成立，
则，解得，
由，可得时，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：相邻的两个最大值点间隔一个周期，余弦不等式可以利用单位圆和三角函数线或借助于函数图象求解.
7．
【分析】由，求得，根据题意得到，再由，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】由，可得，则，
可得，即，
因为任意，存在，满足，
是的值域的子集，
因为，可得，则，
则满足，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式可化简，由已知可确定最小正周期，由此可得；利用整体代换法可求得的对称中心；
（2）根据三角函数平移变换可得，结合和可求得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此可得结果；
（3）根据已知可知的值域是值域的子集，根据三角函数值域求法可求得两个函数的值域，根据包含关系可构造不等式组求得结果.
【详解】（1）；
，，最小正周期，
，解得：，；
令，解得：，此时，
的对称中心为.
（2）由题意知：；
，，
或，
解得：或，又，，
，其最小正周期；
令，即，解得：或；
若在上恰有个零点，则，
要使最小，则恰好为的零点，.
（3）由（2）知：，
设在上的值域为；在上的值域为，
若对任意，存在，使得成立，则；
当时，，，则；
当时，，，；
由可得：，又，，即实数的取值范围为.
9．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简的解析式，从而由解得；
（2）利用三角函数的图象变换规律求出函数的解析式，根据题意，将所给条件转化为和的值域的包含关系，根据分段函数的特征及二次函数的性质分类讨论，列出不等式组，求得实数的取值范围．
【详解】（1）
，
若，则，
∴，∴.
（2），
当时，，，
若对任意，存在使得成立，
则函数的值域是的子集.
，
令，记，
当时，，
，
在时单调递减，则，即，
由题意得，解得，又，矛盾，所以无解；
当时，，
，
，
在时单调递减，在时单调递增，在时单调递减，
，
由题意得，解得，
又，所以；
当时，，，
，
在时单调递减，在时单调递增，
，
由题意，解得，
又，所以；
当时，，，
，
在时单调递减，则，即，
由题意得，解得，
又，所以，
综上可得，.
【点睛】方法点睛：一般地，已知函数，，
（1）若，总有成立，则；
（2）若，使得成立，则；
（3）若，使得成立，则；
（4）若，使得成立，则的值域是值域的子集．
10．(1)
(2)不存在
【分析】（1）根据题设函数性质求得、，写出解析式，再由图象平移写出解析式；
（2）由（1）及题设求出、在上的值域，根据恒成立成立确定值域间的包含关系，即可判断参数的存在性.
【详解】（1）由题，对任意，存在实数s、t，使得，且，
所以函数的半个周期为，最小正周期为，所以，
又函数图象经过，则，即，
又，可得，故，
将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），则，
再向左平移个单位长度，得到函数图象，则有．
（2）由，则，故，即．
由，则，故，又，
所以，即，
假设存在实数m，满足对任意，都存在，使得成立，
则的值域是值域的子集，即，则，
此方程组无解，故满足题意得实数m不存在．
答案第1页，共2页
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