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专题19 解三角形中的面积问题
【长郡中学2024届高三月考试卷（五）】
已知是边上的点，
，，且，则面积的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
解题策略：本题是一道三角函数题，考查求三角形的面积的取值范围，其中综合了求动点的轨迹的问题．解决此类问题有两个关键点，一是通过已知边、角的条件，得到点满足的条件，进而得到点的轨迹方程为圆；二是面积公式的选择，决定求范围的方法．
利用正弦定理多次解三角形，化简变形得，根据线段比值建立坐标系得出的轨迹，利用三角形面积公式，结合图形计算即可.
设．在和中，
由正弦定理，得
由①②得 ③
在和中，由正弦定理，得
由③④，得⑥
由③、⑥两式相除，得．
又在中，由正弦定理，得
所以，所以．
以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
由，可得，．设，
由，得，
整理，得，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（除与轴的交点），
所以．
故选A，B．
感悟反思：
此法第一步运用了正弦定理和面积公式，把底边上的线段之比转化为另外两边之比为常数，得到顶点的轨迹为阿波罗尼斯圆（除两点）．第二步，利用面积公式，结合圆得到高的取值范围，进而确定了面积的取值范围即可解决问题．
通过三角形面积公式及线段比值关系化简变形得，思路一、建立坐标系求的轨迹方程为圆；思路二、根据阿波罗尼斯圆的定义待定系数得的轨迹圆半径，再根据三角形面积公式计算即可.
，
，
又，．
，
即，，
点的轨迹为圆．
思路一：建立如图所示的平面直角坐标系，
以点的中点为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
由，得，设．
由，得，
整理得，
即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
故的边上的高的取值范围是，
故其面积的取值范围是．
所以A，B选项满足条件．
思路二：设（且），则的轨迹为圆，且此圆的圆心在所在直线上，设圆的半径为，则把代入可得，，
故的边上的高的取值范围是，
故其面积的取值范围是．
感悟反思：
此法第一步借助面积比把底边上线段比转化为两边之长为常数。第二步有两种思路：一是运用直接法求出轨迹方程后得到圆的半径，再结合图形得到面积的范围；二是利用了阿氏圆的半径公式求出圆的半径，再结合图形得到面积的范围．
1．阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹．已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
借助面积比把底边上线段比转化为两边之长为常数，思路一是利用构造直角三角形利用勾股定理利用判别式法得到高的范围，再结合图形得到面积的范围；思路二是利用正余弦定理，把面积表示为以边为变量的二次函数有关的函数式，利用二次函数求出面积的取值范围．
又
即
思路1：过作于，设，则．
由勾股定理可得，整理得，
由，得，解得，
，故选：AB．
思路2：设，则．
，
故选A，B．
总评
本题是一道三角函数题，主要考查了动态三角形的面积的范围的求法。对于此类问题，主要分两步完成，第一步确定顶点的轨迹，第二步结合轨迹特点选择几何法或是函数法求出范围。对于本题，关键是利用正弦定理或是面积关系把底边上线段比转化为两边之比为常数。接下来可以利用阿波罗尼斯圆得到圆的半径，再结合图形得到面积的范围；也可以利用构造直角三角形利用勾股定理建立方程后，用判断式法确定三角形高的取值范围，后再结合图形得到面积的范围；还可以把面积表示为以边为变量的函数关系式，再结合二次函数求出范围即可。这些处理方法各有特点，总体差别不太，使用时可以根据具体情况作选择。
（2023下·广东广州·高一广州市白云中学校考期中）
2．如图，在中，D，E在BC上，，，．
(1)求的值；
(2)求面积的取值范围．
（2023上·河北张家口·高三统考开学考试）
3．在中，，为边上的中线，，则该三角形面积最大值为 ．
（2023·广西桂林·校考模拟预测）
4．△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，c＝2b，若△ABC的面积为1，则BC的最小值是 ．
（2024·全国·模拟预测）
5．已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023下·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）
6．已知的面积等于1，若，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，
7．如图所示，在△ABC中，，AD是∠BAC的平分线，且.
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k为何值时，BC最短.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】求得，，然后以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出点的轨迹方程，可得出中边上的高的最大值，由此可求得面积的最大值.
【详解】由正弦定理可得，设的外接圆半径为，
则，
以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
则、，
设点，由，可得，
化简可得，
所以，的边上的高的最大值为，因此，.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：
（1）直接法：根据题设条件直接列出方程；
（2）定义法：根据圆的定义写出方程；
（3）几何法：利用圆的性质列方程；
（4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
2．(1)；
(2).
【分析】（1）根据三角形面积公式结合条件可得 ，，进而可得，然后利用正弦定理即得；
（2）设，根据余弦定理及三角形面积公式结合条件可表示三角形面积，然后利用二次函数的性质结合条件即得.
【详解】（1）因为，，，
所以，
，
故，即，
则在中，根据正弦定理可得，；
（2）设，则，由解得，
在中，，
则，
，
由，得，
则，
故面积的取值范围为．
3．8
【分析】法一：已知，以为定点，建立直角坐标系，由，得动点的轨迹，由此可得面积最大值；
法二：引入变量与角，由余弦定理得到的等量关系，又面积为，消，再求函数最值即可.
【详解】法一：如图建立直角坐标系，

设，由得：，
即：，
所以点A的轨迹为以为圆心，半径为的圆，，
所以当A到x轴距离最大时，即为半径时，面积最大.
故．
法二：设，则，在中，
由余弦定理可知，，，
而，，
由图可知，为半圆上的点与连线的斜率，其最小值为直线的斜率，

故面积的最大值为.
故答案为：8.
4．
【分析】由三角形面积公式得到，利用角A的三角函数表达出，利用数形结合及的几何意义求出最值.
【详解】因为△ABC的面积为1，所，可得，
由，可得
，
设，其中，
因为表示点与点（cosA，sinA）连线的斜率，
如图所示，当过点P的直线与半圆相切时，此时斜率最小，
在直角△OAP中，，可得，
所以斜率的最小值为，
所以m的最大值为，所以，所以，即BC的最小值为，
故答案为：．
【点睛】解三角形中最值问题，要结合基本不等式，导函数或者数形结合，利用代数式本身的几何意义求解.
5．C
【分析】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到，结合为锐角三角形，得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范围即可.
【详解】因为，得．
由余弦定理得，
所以，即．
由正弦定理得，
因为，则，
所以，即．
因为是锐角三角形，所以，，所以．
又在上单调递增，所以，则．
因为是锐角三角形，所以，，，
所以，
由正弦定理得
，
令，因为，所以．
在上单调递增，
当时，，当时，，
故
故选：C．
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
6．
【分析】设三条高分别为，根据面积计算出三条高，并将三条高的乘积的最大值问题，转化为最大来求解.
【详解】依题意可知，三条高分别为，根据三角形面积公式有，故，，而，即，所以.故当取得最大值时，三条高的乘积取得最大值.作平行于且与距离为的平行直线，作的垂直平分线，交直线于.过上一点作圆，使圆经过三个点，由于由于圆外角小于圆周角，故此时取得最大值，也即取得最大值.在三角形中，，由余弦定理得，.即三角形的三条高的乘积取最大值时.
【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.
7．（1）（2）
【解析】（1）（方法一）利用正弦定理在△ABC和△ACD中分别建立等式,通过整理便可得到k关于角的关系式；
（方法二）AD将△ABC一分为二,即以AD为界将△ABC分成两个三角形,通过面积相等建立等式；
（方法三）利用余弦定理在△ABC和△ACD中分别建立等式,通过整理便可得到k关于角的关系式；
（2）在,由余弦定理可得,根据三角形面积公式可得,则,记,则,可整理为,进而求得满足最值的条件即可
【详解】（1）方法一：由AD是∠BAC的平分线,可得,则,
在△ABC中,由正弦定理得①,
在△ACD中,由正弦定理得②,
由①②得,
又,,
所以,则,
因为,所以
方法二：由,
得,
又,,整理得,
因为,所以
方法三：在△ADC中,,
在△ABD中,,
又,则,
解得,
因为,所以
（2）由余弦定理得,
因为,所以,即,
故,
记,则,
（其中）,
故当时,y取得最小值3,此时,
又由（1）知,
而,
则,故,
即当时,BC最短
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,考查角平分线定理的应用,考查三角形中的最值问题
答案第1页，共2页
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