第五章数列专题2等差数列中的计算 学案(含答案) 2024年高考数学复习 每日一题之一题多解

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第五章数列专题2等差数列中的计算 学案(含答案) 2024年高考数学复习 每日一题之一题多解

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专题2 等差数列中的计算
【数列(苏教课本试题)】在等差数列中,前项和满足,,求.
【方法名称】整体代换法
【思路分析】利用等差数列的求和公式和等差数列的性质进行合理转换.
【详解】法一:不妨设,,
∴,又,故.
【举一反三】
1.在数列中,已知,则该数列前2023项的和 .
2.已知等差数列的前项和为,若,则 .
【方法名称】等差数列性质法
【思路分析】根据等差数列性质得为等差数列,再根据一次函数性质求结果.
【详解】因为为等差数列,所以为等差数列,
即三点共线

故答案为:
【举一反三】
3.已知等差数列的首项为,前项和为,若,且,则的取值范围为 .
4.等差数列中,,前项和为,若,则 .
【方法名称】等差数列前n项和的函数特征
【思路分析】利用等差数列前n项和的函数特征去整体代换
【详解】设公差为d,∵
设①,则②
①-②得③

【举一反三】
5.已知是各项不全为零的等差数列,前n项和是,且,若,则正整数 .
6.在等差数列中,满足,且是数列前项的和, 若取得最大值,则
【方法名称】基本量法
【思路分析】设出基本量,均用基本量表示代换
【详解】设首项为,公差为 . ∵,,

∵,∴,∴,∴
【举一反三】
7.已知等差数列的前n项和为,,,,则实数m的值是 .
8.记等差数列的前项和为,若,则 .
9.已知等差数列的前项和为,且,,则取最小值时, .
10.设等差数列、的前项和分别为、,若对任意的,都有,则 .
11.已知是等差数列{}的前n项和,若仅当时取到最小值,且,则满足的n的最小值为 .
12.在数列中,若,前项和,则的最大值为 .
13.已知是等差数列的前项和,若则 .
14.在等差数列中,,其前项和为,若,则 .
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.2023
【分析】由题目条件分析可知数列为等差数列,然后利用等差数列的前项和公式、结合等差数列的性质求解.
【详解】由可知,数列为等差数列,
所以,
所以.
故答案为:2023.
2.
【分析】根据等差数列的前n项和公式,及等差数列的性质求解即可.
【详解】因为数列为等差数列,所以,
所以.
故答案为:
3.
【分析】根据等差数列通项和前项和的函数性可证得数列为等差数列,结合已知等式可求得,由可构造不等式组求得结果.
【详解】设等差数列的公差为,
,,
数列是以为首项,为公差的等差数列,
,解得:;
,,解得:,
即的取值范围为.
故答案为:.
【点睛】结论点睛:若数列为等差数列,公差为,为数列的前项和,则数列是以为首项,为公差的等差数列.
4.
【分析】由已知结合等差数列的性质可得为等差数列,再设公差为及通项公式即可求解.
【详解】设的公差为,由等差数列的性质可知,因为,故,故为常数,所以为等差数列,设公差为
,,


,则
故答案为:
5.
【分析】设出等差数列的首项和公差,将前n项和看成关于n的二次函数,利用二次函数的图象和性质即可求解.
【详解】设等差数列的首项和公差分别为,,则,
也即,可以把可看成关于n的二次函数,
由二次函数的对称性及,,
可得,解得.
故答案为:.
6.11
【分析】根据等式条件,可求得与的等量关系,结合等差数列前n项和公式及二次函数性质,即可求得取得最大值时的值.
【详解】等差数列中,满足,
由等差数列通项公式可知,即,
由等差数列前n项和公式可得

因为
所以当时,取得最大值,
故答案为:11.
【点睛】本题考查了等差数列通项公式的基本运算,等差数列前n项和公式的应用,二次函数性质求最值,属于中档题.
7.
【分析】利用求得正确答案.
【详解】依题意,
设等差数列的公差为,
则,,
两式相减得,则,

所以,解得.
故答案为:
8.
【分析】利用等差数列前n项和、等差中项可得,再应用通项公式求结果.
【详解】,则,
其中为公差,则,故.
故答案为:
9.13
【分析】根据,利用等差数列前n项和公式推得,结合判断,再结合等差数列性质可推出,即可求得答案.
【详解】由题意知,,设等差数列的公差为d,
则,即,
因为,故,即等差数列为首项是负值的递增数列,
又由可得,
即,故,
即等差数列前13项为负,从第14项开始为正,
故取最小值时,,
故答案为:13
10.
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】,
由于,
故答案为:
11.11
【分析】由前n项和有最小值可知,得出,所以,再由即可求出n的最小值.
【详解】因为,当时取到最小值,
所以,所以,
因为,所以,即,所以.
,则,因为,
所以,解之得:,因为,所以n的最小值为11.
故答案为:11.
12.66
【分析】根据得到,根据二次函数的性质计算最值即可.
【详解】=21,解得,故,属于二次函数,
对称轴为,故当或时取得最大值,
,,,
故的最大值为66.
故答案为:66.
13.4034
【分析】设等差数列前项和为,则可得是以为首项,为公差的等差数列,由此可得答案.
【详解】设等差数列前项和为,则成等差数列,是以为首项,为公差的等差数列,的值等于.
故答案为:.
14.100
【分析】由等差数列性质得数列为等差数列,设其公差为d,进而得,故,进而得,再计算即可.
【详解】∵数列为等差数列,
∴数列为等差数列,
设其公差为d,又,解得:,
又∵,
∴,即

故答案为:.
答案第1页,共2页
答案第1页,共2页

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