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专题18 三角形中关于角的最值问题
【2024杭州二中开学考14】如图，已知BC＝3，D，E为△ABC边BC上的两点，且满足∠BAD＝∠CAE，，则当∠ACB取最大值时，△ABC的面积等于______．
利用正弦定理多次解三角形，作商得，根据条件得出，再根据余弦定理结合基本不等式得∠ACB何时取最大值，利用三角形面积公式计算即可.
由，则，
则①
又，则②
则，则，
故，当且仅当时取等，则，
此时.
1．在中，角，角A的平分线AD与BC边相交于点D，则的最小值为 .
由正弦定理多次解三角形，作商得，根据条件得出，由三角形内角和及三角恒等变换得，利用导数研究其单调性得出，，再根据三角形面积公式计算即可.
由于，从而
，
，
令
∴时，，∴此时，，．
（2023·全国·模拟预测）
2．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为，，D为BC上一点且AD为的平分线，则AD的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023·山西临汾·校考模拟预测）
3．在中，点D在上，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
利用正弦定理多次解三角形，作商得，根据条件得出，利用阿氏圆定义得出A点轨迹，再根据直线与圆的位置关系确定何时∠ACB达到最大，计算三角形面积即可.
解：由已知，
，
又，∴，即
由得，，即，
以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系xBy，
则，设，则由得，
即，∴点A位于以点为圆心，2为半径的圆周M上
结合图形知，当直线CA与圆M相切时，∠ACB达到最大，此时，
．
（2024·全国·高三专题练习）
4．在中，已知D为边BC上一点，，．若的最大值为2，则常数的值为（ ）
A． B． C． D．
由正弦定理多次解三角形，作商得，根据条件得出，由三角形内角和及三角恒等变换得，根据辅助角公式判定何时∠ACB达到最大，计算三角形面积即可.
.
解：由已知，
，
又，∴，即
由得，，即，
，即，，
∴，
（∵，∴）．
∴，当且仅当，即时，等号成立．
因此，∠ACB的最大值为，此时，，．
（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）
5．剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一，如图，一圆形纸片沿直径AB对折，使圆上两点C、重合，D，E为直径AB上两点，且，对折后沿直线DC，EC级剪，展开得到四边形，若，则当四边形的面积最小时， ．

由正弦定理多次解三角形，作商得，根据条件得出，
根据三角函数有界性判定何时∠ACB达到最大，计算三角形面积即可.
由已知得，即．
由正弦定理得，，
∴，
∴，
又必为锐角，∴，
∠ACB的最大值为，此时，．
（2023上·山东德州·高三校考阶段练习）
6．已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）
8．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的有（ ）个.
①；②的取值范围为；
③的取值范围为；
④的最小值为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）
9．在中，角的对边分别为，，，满足，，则 ，的面积最大值为 ．
10．在△ABC中，角所对的边分别为．若，则△ABC的面积的最大值为 ．
（2024上·全国·高三统考竞赛）
11．已知凸四边形内接于圆，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习）
12．如图，在四边形中，，，，.

(1)若，求；
(2)求的最大值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．16
【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】依题意，，设，
依题意是角A的角平分线，，

由三角形的面积公式得，
整理得，则，
所以
.
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用三角形面积得到，从而得解.
2．B
【分析】首先根据已知利用正、余弦定理求出及a，然后利用正弦定理将AD表示出来
：，设，得，然后构造函数，利用导数并结合三角函数的图象与性质研究的单调性和最值，即可得解．
【详解】由得，则由余弦定理得，因为为三角形内角，
∴，由得．
由正弦定理得，，
则，则．
设，则，∵为锐角三角形，∴，
令，
则，则，
当时，∵，，
∴，同理得当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，，即，
∴，∴．
故选：B．
【点睛】关键点睛：本题的关键是引角，设，根据正弦定理得到函数表达式，再利用导数求出其值域即可.
3．B
【分析】根据给定条件，利用余弦定理把表示成的函数，再利用导数探讨函数的最值即可得解.
【详解】依题意，由，得，
设，由，得，
在中，，
在中，，
则，
令，则，
由，解得，由，解得，
因此在上单调递增，在上单调递减，
即当时，取得最大值，
因此当时，取得最大值为，
所以的最大值为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用余弦定理，将问题转化为求函数最值，由此得解.
4．D
【分析】令且，求得外接圆半径为，若，结合已知得点在圆被分割的优弧上运动，进而确定的最大，只需与圆相切，综合运用两点距离、圆的性质、正弦定理、三角恒等变换列方程求参数.
【详解】令且，即，则外接圆半径为，
若，的外接圆方程为，
所以，令圆心为，
即点在圆被分割的优弧上运动，如下图，
要使的最大，只需与圆相切，由上易知，
则，而，由圆的性质有，
中，，显然，
由，则，
所以，可得（负值舍），
故，而，
所以，
整理得，则.
故选：D
【点睛】关键点点睛：令且，得到点在圆被分割的优弧上运动为关键.
5．##
【分析】根据正弦定理，结合三角形面积公式，辅助角公式、二倍角的正弦公式进行求解即可.
【详解】设圆的半径为r，，∵，∴，
在中由正弦定理可得，∴，
在中由正弦定理可得，∴，
，当时四边形的面积取得最小值，此时，
∴.

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角形面积公式、正弦定理得到面积的表达式，利用辅助角公式进行求解.
6．B
【分析】根据题意，由正弦定理化简得到，求得，设，得到，再结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】因为，
由正弦定理得，可得，即，
所以，，则，
设，则，且，
在中，且，则，
在中，由，则，
由，即，
又由正弦定理知（为的外接圆半径），
所以，
则，即，
又因为，故当，即时，所以.
故选：B.

7．A
【分析】由面积公式和余弦定理，基本不等式对进行变形，得到关于的关系式，结合三角函数的有界性，列出关于t的不等式，求出最大值.
【详解】，，
则设
所以，即
，
故选：A.
【点睛】三角函数最值问题，要充分使用题干中的条件及一些工具，比如正余弦定理，面积公式，基本不等式等对不等式进行变形，这道题目的难点在于使用了三角函数的有界性，辅助角公式来求解最值.
8．B
【分析】
利用正弦定理与三角恒等变换求得，从而判断A；利用锐角三角形内角的范围判断B；利用正弦定理与倍角公式，结合余弦函数的性质判断C；利用三角恒等变换，结合基本不等式判断D.
【详解】在中，由正弦定理可将式子化为，
又，
代入上式得，即，
因为，则，故，
所以或，即或（舍去），
所以，故A错误；
选项B：因为为锐角三角形，，所以，
由解得，故B错误；
选项C：，
因为，所以，，
即的取值范围为，故C正确；
选项D：
，
当且仅当，即时取等号，
但因为，所以，，无法取到等号，故D错误.
故选：B.
【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
9． 12 3
【分析】变形得到，结合得到，由正弦定理和余弦定理得到，由余弦定理和同角三角函数平方关系得到，表达出三角形面积，利用基本不等式求出最值.
【详解】由可得，
由，则，，
因为，所以，故，
又，，
则，
因为，所以，
则，
即，
故，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
则，则；
因为，
则，
则，
当且仅当，即时取得等号．
故，面积最大值为．
故答案为：12，3
【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
10．
【分析】（1）可以把△ABC放入直角坐标系中，将已知条件转化为坐标之间的方程关系，数形结合，找到取得面积最大时的特殊位置；
（2）可以把已知条件中三个变元的关系结合基本不等式形成两个变元的关系，同时面积也转化成这两个变元的关系再求最值即可；
（3）可以把已知条件结合余弦定理及基本不等式，将面积转化为以角度为变量的三角函数表示，利用函数思想求三角函数最值.
【详解】方法1：在△ABC中，以线段所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，，设，
因为，所以.
得，
整理得，即是如图1所示的圆上的动点.
如图2，当点C在y轴上时，即时，△ABC面积最大，
故，当时，即时，△ABC面积取得最大值为.
方法2：如图3，CD是△ABC边AB上的高，设，，，由，得，即，又，得当且仅当时取等号)，所以，
又，
当且仅当时，等号成立，即，
将与代入中，得.
所以△ABC面积的最大值为.
方法3:由三角形面积公式，得，即，
由，得，由余弦定理，得，
所以(当且仅当时取等号)，
当时，即时，取得最大值，即，所以△ABC面积的最大值为.
(也可以用基本不等式求的最大值，
即，
当时，即时取等号，所以△ABC面积的最大值为.)
方法4：在△ABC中，由余弦定理，得，由，得，即，又，所以，即，故，又，所以，令，，得，令，得，
0
极大值
即当时，，，所以△ABC面积的最大值为.
【点睛】在处理与正余弦定理相关的面积最值问题时：
（1）如果出现边的一次式一般采用正弦定理，出现二次式一般要结合余弦定理，利用基本不等式找到变元间的不等关系，结合面积公式求得最值；
（2）三角形的面积可以转化为边的关系，也可以转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值；
（3）也可以数形结合，如果能从形中找到突破口，会大大降低难度和计算量.
11．D
【分析】
设，根据结合正弦定理可得，再利用三角恒等变换可得，进而利用正弦定理可得，即可得结果.
【详解】设，
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
因为，即，
且，可知，
则，即，
又因为，则，
可得，
则，
在中，由正弦定理可得，
在中，可知，
由正弦定理可得，
则，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点
（1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化．
（2）结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式．
12．(1)
(2)
【分析】（1）在中，求出，，,进而求出，在中由余弦定理可得解；
（2）过点作于点，设，求出，，得到，利用基本不等式可得解.
【详解】（1）由题意知，，，所以.
在中，，，
所以.
在中，由余弦定理得，
，
所以.
（2）过点作于点，由，，，，
可得，，

设，当时，点在点的右侧，如图①，，则.
当时，点在点的左侧，如图②，，则.
又，所以当，且时，
.
当时，点与点重合，，满足上式，
所以，其中.
令，则，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，此时取得最大值，
因为，所以为锐角，
所以当时，取得最大值.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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