资源简介

专题16 函数与不等式解图形最值问题
【2024届苏北六市一模第8题】某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品，要求将一个边长分别为和的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ）
A. B. C. D.
根据图形关系设出角度，用三角函数表示矩形框架各个边，结合三角函数变换公式以及三角函数图像求解最值.
如图
令，则，，则，，则
周长，选D
（2024上·重庆·高一统考期末）
1．如图，半径为1的扇形圆心角为，点P在弧上运动，连结PA，PB，得四边形OAPB．

(1)求四边形OAPB面积的最大值；
(2)求四边形OAPB周长的最大值．
（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）
2．如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记.
(1)将矩形的面积表示成关于的函数的形式；
(2)求的最大值，及此时的角.
根据题意设出一条边的长度，进而表示出周长，根据导数与函数的关系来求解最值.
令
在，在
，∴的最大值为
（2023下·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）
3．若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方盒的容积最大 B．方盒的容积没有最小值
C．方盒容积的最大值为 D．方盒容积的最大值为
（2022·高二课时练习）
4．如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2，宽为1的矩形，矩形两边、紧靠两条互相垂直的路上，现要过点修一条直线的路，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点和．则的面积的最小值为 ．

（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）
5．某城市有一块不规则的空地（如图），两条直边，曲边近似为抛物线的一部分，该抛物线的对称轴正好是直线.该城市规划部门计划利用该空地建一座市民活动中心，该中心的基础建面是一个矩形在边上，在边上，在曲边上，为使建面最大，则 ．

（2024上·上海·高二上海师大附中校考期末）
6．（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中是该圆锥的高，求该圆锥的体积；
（2）“老六”将周长为4的矩形绕旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形的面积.

（2023下·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习）
7．某物流公司购买了一块长米，宽米的矩形地块，规划建设占地如图中矩形的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点在地块对角线上，、分别在边、上，假设长度为米．若规划建设的仓库是高度与的长相同的长方体建筑，问长为多少时仓库的库容最大？并求出最大值．（墙体及楼板所占空间忽略不计）

设出各边长度，根据两个勾股定理得到两组等量关系，表示出矩形框架长度，结合柯西不等式求解最值即可.
设，则
由柯西不等式
同理，∴
“＝”成立当且仅当
（2020下·浙江温州·高三温州中学校考阶段练习）
8．如图，在中，为边上的高线.为三角形内一点，由向三角形三边作垂线，垂足分别为，，，已知，，，依次构成公差为1的等差数列.
（1）求的面积；
（2）求的最小值.
根据角的关系转化得到各个边的长度之比，利用双变量表示周长，结合基本不等式求最值即可.
如图所示，，
设，则.
由得
，.
，
矩形ABCD周长为.
又，
，当且仅当时，等号成立.
矩形框架周长的最大值为，选D
（2021下·广东佛山·高一统考竞赛）
9．在一个圆心角为，半径为1米的扇形铁板中按如图方式截出一块矩形，则该矩形的面积的最大值为 平方米.

（2024上·上海·高二上海市进才中学校考期末）
10．如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为的圆的一段劣弧.路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2.设为灯罩轴线与路面的交点，圆心在线段上.以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系.

(1)当点恰好为路面中点时，求此时圆的方程；
(2)记圆心在路面上的射影为，且在线段上，求的最大值.
（2023上·北京·高一北京市第二十二中学校考阶段练习）
11．围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示．已知旧墙长米，旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元．设利用的旧墙长度为，修建此矩形场地围墙的总费用为元．

(1)写出关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
(2)试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
（2023·江苏·金陵中学校联考三模）
12．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部封闭），已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.设可通过的最大极限长度为l米（不计硬管粗细）.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则m的值是（ ）

A．7.2 B． C． D．9
（2024上·北京大兴·高三统考期末）
13．如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为 ；若是圆上的动点，则的取值范围是 .

（2023·上海徐汇·统考一模）
14．某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道．若该设备水平截面矩形的宽为米，则该设备能水平通过直角型过道的长不超过 米．
（2023上·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）
15．如图所示，某小区有一半径为，圆心角为的扇形空地.现欲对该地块进行改造，从弧上一点向引垂线段，从点向引垂线段.在三角形三边修建步行道，则步行道长度的最大值是 .在三角形内修建花圃，则花圃面积的最大值是 .

（2023上·山东·高三山东省北镇中学校联考开学考试）
16．某学校有如图所示的一块荒地，其中，，，，，经规划以AB为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB为直径的半圆弧上取两点，现规划在区域安装健身器材，在区域设置乒乓球场，若，且使四边形的面积最大，则 ．

（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）
17．如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形所示），其中为生活区入口.已知有三条路，，，路上有一个观赏塘，其中，路上有一个风雨走廊的入口，其中.现要修建两条路，，修建，费用成本分别为，.设.
(1)当，时，求张角的正切值；
(2)当时，求当取多少时，修建，的总费用最少，并求出此的总费用.
（2023下·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）
18．如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为V．
(1)求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
(2)当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？
（2023·全国·高三专题练习）
19．无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年 建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱交的延长线于点，经测量，且
(1)写出三条正六棱台的结构特征.
(2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：）
(3)“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数，你看这多美妙!”
“小迷糊”：“.....”
亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下的最大值吧.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出四边形OAPB面积，由 ，结合三角函数性质求最值即可；
（2）根据题意列出四边形，结合三角函数性质求最值即可.
【详解】（1）设，过点P做，交OB于点C，有，
得 ，
，
从而四边形OAPB面积，
由 ，得 ，
所以当 时，即，四边形OAPB面积最大，最大值为

（2）过点O做，交于点D，所以，
过点O做 ，交 于点E，所以，
从而四边形OAPB周长
，
由 ，得 ，
当时，即时四边形OAPB周长最大，最大值为.

2．(1)（）
(2)时，取得最大值
【分析】
（1）借助三角函数定义及几何性质即可求解；
（2）借助三角函数性质即可求解.
【详解】（1）
在中，，，
，，
，
，
（）；
（2）
，
，
，
因为，
，
当，即时，
取得最大值.
3．ABC
【分析】将方盒容积表示为关于的函数的形式，利用导数可求得单调性、最值点和最值，由此可得结果.
【详解】由题意知：方盒的底面为边长为的正方形，高为，其中，
则方盒的容积为，
，
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，无最小值，ABC正确，D错误.
故选：ABC.
4．4
【分析】
设，然后由三角形相似可表示出，从而可表示出的面积，再利用导数可求出其最小值
【详解】
设，
因为∥，所以∽，
所以，得．
即，故，
则．
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值．
故答案为：4
5．
【分析】以为原点，为轴，建立直角坐标系，求得曲边的方程为，直线的方程为：，设，求得，利用导数求得函数的单调性，求得最大值点，进而得到的值.
【详解】以为原点，为轴，建立如图所示的直角坐标系，
因为，则，
设曲边的方程为，代入可得，
所以曲边的方程为，直线的方程为：，
设，则，
可得矩形为
则
令，解得或（舍去），
所以，
当，；当，，
可得函数在递增，在递减，所以当时，最大，
此时.
故答案为：.

6．（1）（2）
【分析】（1）由题意得母线长为正方形边长，圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长，由此即可求出圆锥的底面半径以及高，进而得解.
（2）由题意圆柱的高以及底面半径构成一个条件等式，将圆柱体积表示成关于半径的函数，求导得圆柱的体积最大时的半径，从而得解.
【详解】（1）如图所示：

由题意母线长为正方形边长，即，
圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长，
不妨设圆锥底面半径为，所以，解得，
所以圆锥的高，
所以圆锥的体积为.
（2）由题意不妨设，则，所以，
所以圆柱的体积可表示为，
求导得，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当圆柱的体积最大时，此时矩形的面积为.
7．的长度为20米时仓库的库容最大，最大值为立方米
【分析】由条件求得AD，进而得出仓库的库容的解析式，求导计算可得结论．
【详解】因为，且，，．
所以，得．
仓库的库容，
令，得或（舍去）．
当时，，V(x)单调递增；
当时，， V(x)单调递减．
所以当时，有最大值为．
即的长度为20米时仓库的库容最大，最大值为立方米．
8．（1）84；（2）.
【解析】由题意，可设出，，，，由等面积法可求出x，进而求得面积；
由等面积可知，再利用柯西不等式即可得到结果．
【详解】设，，，，
则，解得，
的面积为；
，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题巧妙地把等差数列，柯西不等式以及解三角形结合起来考查，还考查了等面积法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
9．
【分析】设，根据直角三角形的边角关系、余弦定理结合基本不等式即可得所求.
【详解】设，则，连接，

于是在中，由余弦定理，
从而，当且仅当，即时取等号.
所以该矩形面积的最大值为平方米.
故答案为：.
10．(1)
(2)
【分析】（1）以O为原点，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆心，根据圆心C到A，P的距离相等得到，再由圆心在直线PQ上联立求解.
（2）由（1）知，当时，灯罩轴线所在直线方程为，易得；当时，设灯罩轴线所在方程为：，令得到，然后由，利用基本不等式求解.
【详解】（1）则，
∴直线的方程为．
设，则，两式相减得：，
又，解得，
∴．
所以圆的方程为.
（2）由（1）知，
当时，灯罩轴线所在直线方程为，此时
当时，灯罩轴线所在方程为：，
令可得，即，
∵H在线段OQ上，∴，解得．
∴，
当且仅当即时取等号．
∴的最大值为．
11．(1)，定义域为
(2)当时，总费用最小，最小值为元
【分析】（1）根据矩形场地面积可求得利用新墙的长度，由此可表示出总费用，即得到函数解析式；根据实际意义可得定义域；
（2）利用基本不等式可求得总费用的最小值，并确定此时的取值.
【详解】（1）由题意知：，新墙的长度为，
，
即关于的函数解析式为，定义域为.
（2）（当且仅当，即时取等号），
，
当时，总费用最小，最小值为元.
12．D
【分析】先研究铁管不倾斜时，令，建立，，利用导数求出；再研究铁管倾斜后能通过的最大长度.
【详解】如图，铁管不倾斜时，令，

，，，，
.
令，解得：，令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
此时通过最大长度，∴，∴倾斜后能通过的最大长度，
∴.
故选：D.
13． 1
【分析】根据正六边形的性质即可求解空1，利用向量的坐标运算即可由三角函数的性质求解.
【详解】取中点为，
由于正六边形的边长为2，所以,
因此到线段的距离为,
建立如图所示的直角坐标系，则,
，
，
由于,
故，
故答案为：1；

14．
【分析】建立平面直角坐标系，利用直线的方程求得设备的长的表达式，再利用均值定理求得的最小值，进而得到该设备能水平通过直角型过道时不超过的值.
【详解】分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系如图，
则，令，
则直线的方程为，
则在直线的上方，且到直线的距离为1，
即， 则，
整理得，
设，则，
则可化为，
令，则，则
,
由，得，
又在上单调递增，
则，
则（当且仅当时等号成立）
则该设备能水平通过直角型过道的长不超过米
故答案为：
15．
【分析】设，利用锐角三角函数表示出，再利用辅助角公式求解即得；求出的面积函数式，利用导数求出最大值即得.
【详解】依题意，设，则，
因此的周长，
显然，于是当，即时，取等号，
所以步行道长度的最大值是；
由于，得，
因此的面积，
令，求导得，
而，则当时，，函数递增，当时，，函数递减，
于是当，即时，，
所以花圃面积的最大值.
故答案为：；
【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.
16．
【分析】设，先求得四边形面积的表达式，然后利用导数求得当时，四边形的面积最大.
【详解】设，根据题意易知，
∵，为等腰三角形，且，
又∵，∴，∴，
∴四边形为梯形，则四边形面积：
，，
则，，
令，则，
解得（舍）或，
设为φ为所对应的角，
∵在上单调递减，
∴时，，，S单调递增，
∴时，，，S单调递减．
∴当时，面积最大，即．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：
求解面积最大值或最小值有关问题，可先将面积的表达式求出，然后根据表达式选取合适的方法来求最值.可以考虑的方向有函数的单调性、二次函数的性质、基本不等式、三角函数值域、导数等知识.
17．(1)-3
(2)，
【分析】（1）设，求出，求出，根据三角函数诱导公式以及两角和的正切公式，即可求得答案；
（2）当时，，从而求出的表达式，即可求得总费用的表达式，利用三角换元，结合函数的单调性，即可求解得答案.
【详解】（1）设为锐角，则;
设，则，
故
；
（2）当时，，
故，
设修建，的总费用为y，则，
设，则，则，
故，
由于在上单调递增，故，时取得等号，
故的最小值为，
此时，即，
故当时，修建，的总费用最少，最少为.
18．(1)，定义域为；
(2)当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是
【分析】（1）利用勾股定理及圆的周长公式，结合圆柱的体积公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及导数法求函数的最值的步骤即可求解
【详解】（1）在中，
因为，所以，
设圆柱的底面半径为r，则，即，
所以，定义域为
（2）由（1）得，，
，
令，则，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是
19．(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】
（1）根据正六棱台性质即可;
（2）找出棱台的高，代入体积公式即可;
（3）法1.利用四元均值不等式，法2.利用琴生不等式法，法3.利用二元均值不等式推广，法4.利用柯西不等式.
【详解】（1）类似于上下底面平行，相似，都是正六边形，侧棱等长，侧棱延长交于一点，侧面都是等腰梯形，等等.
（2）在中，可求，
所以排练厅上底面为边长10的正六边形，下底面为边长9的正六边形，高为，
所以，
所以.
（3）法1.四元均值不等式
.
当且仅当，即时取等号.
所以最大值为.
法2.琴生不等式法
，
当且仅当，即取等号.
所以最大值为.
法3.二元均值不等式推广，
，
当且仅当时取等号.
所以最大值为.
法4.柯西不等式
，根据二次函数知识可知当取得最大值，
所以；
柯西不等式等号成立时与二次函数取到最值时相同，当且仅当.
所以最大值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑