资源简介

共顶点模型
破解策略
1.等边三角形共顶点
已知等边△ABC与等边△DCE,B,C,E三点共线.
如图,连接BD,AE,交于点 F,BD与AC 交于点G,AE与DC 交于点 H,连接CF,GH,则:
(1)△BCD≌△ACE;
(2)AE=BD;
(3)∠AFB=∠DFE=60°;
(4)FC平分∠BFE;
(5)BF=AF+FC,EF=DF+FC;
(6)△CGH 为等边三角形.
证明 (1)由已知条件可得
则△ACE≌△BCD.
(2)由(1)可得AE=BD.
(3)由(1)可得∠GAF=∠GBC,而∠AGF=∠BGC,所以∠DFE=∠AFB=∠ACB=60°.
(4)方法一:如图,过点 C分别作BD,AE 的垂线,垂足为M,N.
由(1)知 即 所以CM=CN,故 FC平分∠BFE.
方法二:由∠CAF=∠CBF可得A,B,C,F四点共圆,所以∠BFC=∠BAC=60°.
同理可得∠CFE=∠CDE=60°.
所以 FC平分∠BFE.
(5)如图,在 BD 上取点I,使得∠FCI=60°,则△CFI为等边三角形.
易证△BCI≌△ACF,所以 BI=AF,IF=CI=CF.
从而 BF=BI+IF=AF+CF.
同理可得 EF=DF+CF.
(6)易证△ACH≌△BCG(ASA),所以CG=CH.
而∠GCH=60°,所以△CGH为等边三角形.
2.等腰直角三角形共顶点
已知在等腰 Rt△ACB 与等腰 Rt△DCE中,∠ACB=∠DCE=90°.
如图1,连接 BD,AE,交于点 F,连接 FC,AD,BE,则:
(1)△BCD≌△ACE;
(2)AE=BD;
(3)AE⊥BD;
(4)FC平分∠BFE;
(7)如图2,G,I分别是BE,AD 上的点,①若G 是 BE 的中点,则( (反之亦然);②若IC⊥BE.则 I是AD 的中点(反之亦然)；
证明 (1)(2)(3)(4)的证明可参阅本节“1. 等边三角形共顶点”;
(5)由(3)和勾股定理可得A. =
(6)如图,过点 C 作CK⊥FC,与 BD交于点K,则△CFK 为等腰直角三角形.
易证△BCK≌△ACF,所以BK=AF.
从而
同理可得
(7)①如图,延长AD,GC,交于点 H,延长CG 至点K,使得( ,连接 BK.
易证∠KBG=∠CEG,BK=EC=CD.
由题意可得∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°,
所以∠ACD=∠CBE+∠CEB=∠CBG+∠GBK=∠CBK.
从而△ACD≌△CBK(SAS),所以∠CAD=∠BCK.
所以∠ACH+∠CAH=∠ACH+∠BCK=90°,故 GC⊥AD.
②如图,延长 IC 交BE 于点J,分别过点 A,D 作直线CI 的垂线,垂足为 M,N.
由弦图模型可得△AMC≌△CJB,△DNC≌△CJE.
所以AM=CJ=DN,故有△AMI≌△DNI,
所以AI=DI,即得证.
(8)在(7)的证明过程中可得到S△ACD=S△BE;t也可以用下面的方法来证明.
如图,过点 D 作 DP⊥AC 于点 P,过点 E 作EQ⊥BC,与 BC的延长线交于点 Q.
易证△DPC≌△EQC(AAS),所以DP=EQ.
所以 即S△ACD=S△BCE.
3.等腰三角形共顶点
已知在等腰△ACB与等腰△DCE中,CA=CB,CD=CE,且∠ACB=∠DCE.
如图,连接BD,AE,交于点 F,则:
(1)△BCD≌△ACE;
(2)AE=BD;
(3)∠AFB=∠ACB;
(4)FC平分∠BFE.
4.相似三角形共顶点
已知在△ACB和△ECD中,
如图,连接BD,AE,交于点 F,则:
(1)△BCD∽△ACE;
(2)∠AFB=∠ACB.
证明 (1)由已知条件可得
所以△ACE∽△BCD.
(2)令 AC与BD 交于点G,则∠AGF=∠BGC.
由(1)可得∠CAF=∠CBF,所以∠AFB=∠ACB.
例题讲解
例1如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点 A,C,E在同一直线上,AD与BE，BC 分别交于点F，M，BE与CD 交于点 N，连接 MN.下列结论中正确的是 (写出所有正确结论的序号).
①AM=BN;
②△ABF≌△DNF;
③∠FMC+∠FNC=180°;
分析 本题为两个等边三角形共顶点，利用模型的结论即可解决问题.
解答
例2 (1)【问题】如图1,在 Rt△ABC中,AB=AC,D 是 BC 边上一点(不与点 B,C重合),将线段 AD绕点 A 按逆时针方向旋转 90°得到 AE，连接 EC，则线段 BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 ；
(2)【探索】如图2,在 Rt△ABC 与 Rt△ADE 中,. ,将△ADE 绕点A 旋转,使点 D 落在 BC 边上，试探索线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
(3)【应用】如图3,在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若 ,求 AD的长.
分析 (1)显然△ABD≌△ACE；(2)图2为等腰直角三角形共顶点模型，从而得三角形全等；(3)构造等腰直角三角形共顶点模型，从而解决问题.
解答
例3 如图1,点 G 在正方形ABCD 的对角线AC上,GE⊥BC于点E,GF⊥CD于点F.
(1)【推断】 的值为 ；
(2)【探究与证明】如图2，将正方形CEGF 绕点C 顺时针旋转( ,试探究线段 AG与BE 之间的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展与运用】如图3，正方形 CEGF 在旋转的过程中，当B，E，F 三点在一条直线上时，延长CG，与AD 交于点H.若 AG=6,GH=2 ,则 BC= .
分析 (1)平移 BE与AG 可构成等腰直角三角形；(2)连接CG，图中有相似三角形共顶点，进而得线段间的关系；(3)正方形共顶点的图形中既有等腰直角三角形共顶角顶点，又有等腰直角三角形共底角顶点，充分利用所得的结论即可.
解答
例4在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α. P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接AP,将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP.
(1)【观察猜想】如图1,当α=60°时, 的值是 ，直线 BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 .
(2)【类比探究】如图2,当α=90°时,请写出 的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由.
(3)【解决问题】当α=90°时,若 E,F 分别是CA,CB的中点,点 P 在直线 EF 上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时 的值.
分析 图1为两个等边三角形共顶点，图2 为两个等腰直角三角形共锐角顶点，即相似三角形共顶点，(1)(2)问均可直接利用模型的结论得解；(3)问中需要注意的是别漏解，先画出满足要求的图形，再利用模型的结论解决问题.
解答
例5 (1)【问题提出】如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在AB 上,过点D作DE∥BC,与AC交于点E.连接CD. F,G,H 分别是线段CD,DE,BC的中点,则线段 FG与FH 的数量关系是 ;
(2)【类比探究】将图1中的△ADE 绕点 A 旋转到图2中所示的位置，上述结论还成立吗 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)【拓展延伸】如图 3,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12,点 E 在 BC 上, ,过点 E作 ED⊥AB于点 D.将△BDE 绕点B 按顺时针方向旋转,连接AE,取AE 的中点F,连接 DF.当AE⊥AC时，线段 DF的长度为 .
分析 (1)利用等腰三角形的性质和中位线的性质即可；(2)图2为等腰三角形共顶点，得三角形全等，再根据中位线的性质来证明；(3)构造等腰三角形共顶点模型，即可解决问题.
解答
进阶训练
1.在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,P 是射线BD 上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE,点 E 的位置随点 P 的位置变化而变化.
(1)如图1,当点 E 在菱形ABCD 内部或边上时,连接CE,则 BP与CE 的数量关系是 ,CE与AD 的位置关系是 ；
(2)如图2，当点 E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立 若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，当点 P 在线段BD的延长线上时，连接BE.若 求四边形ADPE的面积.
2.如图1,菱形 AEGH 的顶点 E,H 在菱形ABCD 的边上,且
(1)请直接写出 HD: GC: EB的结果;
(2)将图1中的菱形AEGH 绕点A 旋转一定角度,如图2,求 HD:GC:EB;
(3)把图2中的菱形都换成矩形,如图3,且AD:AB=AH:AE=1:2,此时 HD:GC: EB的结果与第(2)小题的结果相比有变化吗 如果有变化，直接写出变化后的结果；若无变化，请说明理由.
3.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是直线BC上一动点(不与点 B,C重合),以AD为腰作等腰△DAF,使得. 连接CF.
(1)【观察猜想】如图1,当点 D 在线段 BC 上时,CF 与 BC 的位置关系为 ,CF,DC,BC 之间的数量关系为 ；
(2)【数学思考】如图2，当点 D 在线段CB 的延长线上时，(1)中的结论仍然成立吗 若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论再证明；
(3)【拓展延伸】如图3，当点 D 在线段BC 的延长线上时，将 沿线段 DF 翻折,使点 A 与点 E 重合，连接CE.若已知 请求出线段CE的长.

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