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图形规律探索专题
模块一 递增量不变 (一阶等差数列)
1.下列图案是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根小木棒，图案②需15 根小木棒，……，按此规律，第 n个图案需要的小木棒的根数是 .(用含n的式子表示)
【变式】搭一个正方形需要4根火柴棒，按照如图的方式搭n个正方形需要( ) 根火柴棒.
A. 4n B. 3n+1 C. 3n D. 3n-1
2. 我班数学兴趣小组几名同学用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案如图所示，那么第2021个图案中白色纸片的张数为( )
A. 2021 B. 6063 C. 6064 D. 8084
【变式1】下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有 14个，……，按此规律，则第 ( ) 个图形中面积为1的正方形的个数为2024个.
A. 402 B. 403 C. 404 D. 405
【变式2】下列图形都是由圆和几个黑色围棋子按一定规律组成，图①中有4个黑色棋子，图②中有7个黑色棋子， 图③中有10个黑色棋子，…，依次规律，图2022中黑色棋子的个数是( )
A. 6067 B. 6066 C. 6065 D. 6064
3. 小明用大小相等的五角星按一定规律摆出如图图案，则第 15 个图案五角星的颗数为( )
A. 46 B. 49 C. 52 D. 55
【变式1】某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，图②共用13个●，图③共用16个●，……按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是 ( )
A. 22 B. 25 C. 28 D. 32
【变式2】用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，第1个图形有6颗棋子，第2个图形有9颗棋子，第3个图形有 12颗棋子，第4个图形有 15 颗棋子……，以此类推，第( ) 个图形有 2022颗棋子.
A. 672 B. 673 C. 674 D. 675
【提升训练】
1.公园内有一段矩形走道，其地面使用灰色与白色两种全等的等腰直角三角形地砖铺列，如图所示，若其中灰色等腰直角三角形地砖排列总共有 80个，则步道上总共使用等腰直角三角形地砖( )
A. 40个 B. 80个 C. 84个 D. 164个
2.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按如图方式铺地板，则第 n个图形中需要黑色瓷砖 块(用含 n的代数式表示) .
3. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有 17个正方形，此规律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为( )
A. 30 B. 33 C. 37 D. 41
4. 将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是 ( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
5. 下列图形是有同样大小的圆按一定规律组成的，按此规律排列，则第⑦个图形中圆的个数为( )
A. 13个 B. 11个 C. 17个 D. 15 个
6. 如图图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑧个图形中实心圆点的个数为( )
A. 22 B. 23 C. 25 D. 26
7. 如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案中黑色棋子有( )
A. 13个 B. 16个 C. 19个 D. 22个
模块二 递增量变化(二阶等差数列)
例4. 如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”(包括两个顶点)有 个点，当 时，该图形总的点数是 ( )
A. 27 B. 30 C. 33 D. 36
【变式1】将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：
图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3 整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第10个数为 ，第55个数为 .
【变式2】如图，用若干个点摆成一组等边三角形点列，其中第 n(n≥2)个三角形的每一边上都有 n个点，该图形中点的总数记为 S ，我们把 S 称为“三角形数”，并规定当n=1时，“三角形数
(1)“三角形数”
(2)①某数学兴趣小组发现相邻两个“三角形数”的和有一定的规律：如( 请猜想：
②请用所学的知识说明①中猜想的正确性.
5. 如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则第5个图形需要围棋子的枚数为 .
【变式】用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是 ( )
A. 71 B. 70 C. 65 D. 59
6.如图图形都是由同样大小的“o”按一定的规律组成，其中第1个图形中一共有5个“○”，第2个图形中一共有 12个“○”，第3个图形中一共有21个“○”，…，则第7个图形中“o”的个数是 ( )
A. 60 B. 66 C. 77 D. 96
【变式】如图所示，将形状、大小完全相间的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为3，第2幅图形中“●”的个数为8，第3幅图形中“●”的个数为15..以此类推，则第10幅图形中“●”的个数为( )
A. 100 B. 120 C. 220 D. 240
7.用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆，则摆第n个“口”字需用棋子
提升训练
1. 观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有 19个点，……按此规律，则第5个图中共有点的个数是( )
A. 31 B. 46 C. 51 D. 66
2. 如图是用正立的“△”摆成的图形，第①个图形有2个正立的“△”，第②个图形有3个正立的“△”，第③个图形有5个正立的“△”，…，观察图形规律得出第⑧个图形有( ) 个正立的“△”.
A. 23 B. 28 C. 30 D. 38
3. 将一些完全相同的梅花按如图所示的规律摆放，第1个图形有5 朵梅花，第2个图形有8 朵梅花，第3个图形有13朵梅花，…按此规律，则第7个图形中共有梅花的朵数是( )
A. 39 B. 40 C. 53 D. 68
4.如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7 枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第n个图案需要 枚棋子.
5. 如图，相同小正方形按照某种规律进行摆放，则第9个图形中小正方形的个数是 ( )
A. 98 B. 100 C. 109 D. 110
6. 如图，相同圆点按照一定的规律拼出图形. 第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点个数是 ( )
A. 297 B. 301 C. 303 D. 400
7. 植物园内，月季花按正方形种植，在它的周围种植牵牛花，如图反映了月季花的列数(n) 和牵牛花的数量规律，那么当n=11时，牵牛花的数量为 .
8.如图所示，将形状、大小完全相同的“ ”和线段按照一定规律摆成下列图形. 第1幅图形中“ ”的个数为a ，第2幅图形中“ ”的个数为a ，第3幅图形中“ ”的个数为a , …, 以此类推,则 的值为( )

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