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“铅垂高×水平宽”法在二次函数中求面积
一、什么是铅锤高法？
过△ABC的三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，垂足为M、E、N,MN的长度就叫做△ABC
的“水平宽"，中间的这条垂线AE在△ABC内部线段的长度AD就△ABC的“铅垂高(h)",三角形面积的另
一种计算方法：S△BC=)MNAD,即三角形ABC面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半，
A(xy)
B(x2y2)
D
C(x3,y3)
M
0
E
二、用等积法推导铅垂高法
证明：如图，AD把△ABC分成两部分△ABD、△ADC,
若以AD为底，则IE、NE分别为△ABD、△ADC的高
S△iBC=S△ABb+S△ADC
-IME-AD+EN-AD
2
=分INaD
即三角形ABC面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半
三、铅锤高法在二次函数求面积中的巧妙应用
注意：在二次函数中，应用铅锤高法，通常把“水平宽”映射在x轴上，少数情况也映射在y轴上。
例1、已知：如图，二次函数y=x+bx+c的图象与x轴交于
y
A、B两点，其中A点坐标为(-1,0)，点C(0,5),另抛物线
经过点(1,8)，M为它的顶点，
(1)求抛物线的解析式：
(2)求△MCB的面积SAMCa
(1)解：，A1,0),B(0,5),C(1,8)三点在抛物线
J=a2+b+c上
0=a-b+c
.5=c
8=a+b+c
[a=-1
解方程组得b=4
c=5
B
故抛物线的解析式为y=x2+4x+5
0
(2)
解：过点M作MN∥y轴交BC于点N,
则△NCB的面积=△MCN的面积+△NB的面积
=MNXOB
2
y=-x2+4x+5=-(x-5)x+1)=-k-2)249,
∴.M(2,9),B(5,0),
由B、C两点的坐标易求得直线BC的解析式为：
=-x+5,
当x=2时，=-2+5=3，则N(2,3),
则MN=9-3=
则SA=
MNX0B6x5÷2=15.
(铅垂高法)
如果用一般的割补法：S△ICB=S△IEB+S#奉McoE-SAMCB,那么
计算量会很大。
0
E
B
例2、如图，抛物线y=ax+c的顶点为1，且抛物线与直线
y2=kx+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的坐标
为2,3)，连结AM、BM。
(1)a=
=
k=
(直接写出结果)；
(2)当y<2时，则x的取值范围为
(直接写
出结果；
(3)在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P,使得△ABP
的面积最大？若存在，求出△ABP的最大面积及点P坐标。
解析：
1-11-1解：(1)将点B的坐标(2,3)代入2=kx+1得：
3=2k+1
解得：k=1
y=x+1
令y=0得：0=x+1
解得：x=1
.A(-1,0)
将A(-1,0)、B(2,3)代入y=ax+e得：
0=a+c
3=4a+c
解得：a=1,c=1
故答案为：1，-1,1：
(2),A(-1,0)、B(2,3)
∴结合图象可得：当y<2时，则x的取值范围为-1(3)在直线AB下方的抛物线上存在一点P,使得△ABP的
面积最大
如图，设平行于直线y=x+1的直线解析式为：y=x+b
由扔=21
得：x21=x+b
t =x+b
x2-x-1-b=0
令△=0得：1-4(-1-b)-0
解得：b
4

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