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【2016考纲解读】
考点内容
要求
考纲解读
参考系、质点
Ⅰ
　　1.直线运动的有关概念、规律是本章的重点，匀变速直线运动规律的应用及
v—t图象是本章的难点．
2．注意本章内容与生活实例的结合，通过对这些实例的分析、物理情境的构建、物理过程的认识，建立起物理模型，再运用相应的规律处理实际问题．
3．本章规律较多，同一试题往往可以从不同角度分析，得到正确答案，多练习一题多解，对熟练运用公式有很大帮助.
第1课时　运动的描述
【2016考纲解读】
考纲内容
能力要求
考向定位
1．参考系、质点
2．位移、速度和加速度
1．认识在哪些情况下可以把物体看成质点的，知道不引入参考系就无法确定质点的位置和运动．
2．理解位移、速度和加速度
1．在研究物理问题过程中构建物理模型，再现物理情景．
2．对参考系、质点只作Ⅰ级要求，对位移、速度和加速度则作Ⅱ级要求
【重点知识梳理】
一、机械运动
一个物体相对于另一个物体的位置的改变，叫做机械运动，简称运动，它包括平动、转动和振动等运动形式。
①运动是绝对的，静止是相对的。②宏观、微观物体都处于永恒的运动中。
二、参考系（参照物）
参考系：在描述一个物体运动时，选作标准的物体(假定为不动的物体)
1、描述一个物体是否运动,决定于它相对于所选的参考系的位置是否发生变化,由于所选的参考系并不是真正静止的,所以物体运动的描述只能是相对的。
2、描述同一运动时,若以不同的物体作为参考系,描述的结果可能不同。
3、参考系的选取原则上是任意的,但是有时选运动物体作为参考系,可能会给问题的分析、求解带来简便，一般情况下如无说明, 通常都是以地球作为参考系来研究物体的运动。
三、质点
研究一个物体的运动时，如果物体的形状和大小属于无关因素或次要因素，对问题的研究没有影响或影响可以忽略，为使问题简化，就用一个有质量的点来代替物体．用来代替物体的有质量的点做质点．
可视为质点有以下两种情况
①物体的形状和大小在所研究的问题中可以忽略，可以把物体当作质点。
②作平动的物体由于各点的运动情况相同，可以选物体任意一个点的运动来代表整个物体的运动，可以当作质点处理。
物理学对实际问题的简化，叫做科学的抽象。科学的抽象不是随心所欲的，必须从实际出发。
像这种突出主要因素,排除无关因素,忽略次要因素的研究问题的思想方法,即为理想化方法,质点即是一种理想化模型．
四、时刻和时间
时刻：是指某一瞬时，在时间轴上表示为某一点，如第3s末、3s时(即第3s末)、第4s初(即第3s末)均表示为时刻. 时刻与状态量相对应:如位置、速度、动量、动能等。
时间：两个时刻之间的间隔，在时间轴上表示为两点之间的线段长度，
如：4s内(即0至第4末) 第4s(是指1s的时间间隔) 第2s至第4s均指时间。
会时间间隔的换算：时间间隔=终止时刻－开始时刻。
时间与过程量相对应。如：位移、路程、冲量、功等
五、位置、位移、路程
位置：质点的位置可以用坐标系中的一个点来表示，
在一维、二维、三维坐标系中表示为s(x) 、s (x,y) 、s (x,y,z)
位移：①表示物体的位置变化，用从初位置指向末位置的有向线段来表示，线段的长短表示位移的大小，
箭头的方向表示位移的方向。
相对所选的参考点（必一定是出发点）及正方向
② 位移是矢量，既有大小，又有方向。
注意：位移的方向不一定是质点的运动方向。如：竖直上抛物体下落时，仍位于抛出点的上方；弹簧振子向平衡位置运动时。
③单位：m
④位移与路径无关，只由初末位置决定
路程：物体运动轨迹的实际长度，路程是标量，与路径有关。
说明：
①一般地路程大于位移的大小，只有物体做单向直线运动时，位移的大小才等于路程。
②时刻与质点的位置对应，时间与质点的位移相对应。
③位移和路程永远不可能相等（类别不同，不能比较）
物理量的表示：方向+数值+单位
六、速度、速率、瞬时速度、平均速度、平均速率
速度：表示质点的运动快慢和方向，是矢量。它的大小用位移和时间的比值定义，
方向就是物体的运动方向，也是位移的变化方向，但不一定与位移方向相同。
平均速度：定义：运动物体位移和所用时间的比值叫做平均速度。定义式：=s/t
平均速的方向：与位移方向相同。
说明：①矢量：有大小，有方向
②平均速度与一段时间(或位移)相对应
③平均速度与哪一段时间内计算有关
④平均速度计算要用定义式,不能乱套其它公式
⑤只有做匀变速直线运动的情况才有特殊(即是等于初末速度的一半)
此时平均速度的大小等于中时刻的瞬时速度,并且一定小于中位移速度。
瞬时速度: 概念的引入:由速度定义求出的速度实际上是平均速度,它表示运动物体在某段时间内的平均快慢程度,它只能粗略地描述物体的运动快慢,要精确地描述运动快慢,就要知道物体在某个时刻(或经过某个位置)时运动的快慢,因此而引入瞬时速度的概念.
瞬时速度的含义：运动物体在某一时刻(或经过某一位置)时的速度,叫做瞬时速度.
瞬时速度是矢量，大小等于运动物体从该时刻开始做匀速运动时速度的大小。
方向：物体经过某一位置时的速度方向，轨迹是曲线，则为该点的切线方向。
瞬时速率 就是瞬时速度的大小，是标量。
平均速率 表示运动快慢，是标量，指路程与所用时间的比值。
七、匀速直线运动
1．定义：在相等的时间里位移相等的直线运动叫做匀速直线运动．
2．特点：a＝0，v=恒量．
3．位移公式：S＝vt．
八、加速度
物理意义：描述速度变化快慢的物理量(包括大小和方向的变化),
大小定义：速度的变化与所用时间的比值。
定义式：a=（即单位时间内速度的变化）
加速度是矢量方向：现象上与速度变化方向相同，本质上与质点所受合外力方向一致。
质点作加速直线运动时，a与v方向相同； 作减速直线运动时，a与v方向相反。
匀变速直线运动概念：物体在一条直线上运动：如果在相等时间内速度变化相等，这种运动叫匀变速直线运动。(可以往返)如竖直上抛）
理解清楚：速度、速度变化、速度变化的快慢 V、△V、a无必然的大小决定关系。
加速度的符号表示方向。（其正负只表示与规定的正方向比较的结果）。
为正值，表示加速度的方向与规定的正方向相同。但并不表示加速运动。
为负值，表示加速度的方向与规定的正方向相反。但并不表示减速运动。
判断质点作加减速运动的方法：是加速度的方向与速度方向的比较，若同方向表示加速。
并不是由加速度的正负来判断。有加速度并不表示速度有增加，只表示速度有变化，
是加速还是减速由加速度的方向与速度方向是否相同去判断。
a的矢量性：a在v方向的分量，称为切向加速度，改变速度大小变化的快慢.
a在与v垂直方向的分量，称为法向加速度，改变速度方向变化的快慢.
所以a与v成锐角时加速，成钝角时减速
判断质点作直、曲线运动的方法：加速度的方向与速度方向是否在同一条直线上。
【高频考点突破】
考点一、机械运动、参考系、位置、位移和路程
1、机械运动：一个物体相对于另一个物体位置的改变．包括平动、转动和振动等形式．参考系：为了研究物体的运动而假设为不动的物体． 参考系的选取是任意的，对同一物体的运动，选取的参考系不同，对物体的运动描述结果不同．
2、位移描述物体位置的变化，是从物体运动的初位置指向末位置的矢量，即位移大小和方向由始、末位置决定，与物体运动路径无关；路程是物体运动轨迹的长度，是标量． 既有大小又有方向，运算遵循平行四边形定则的物理量，叫做矢量; 只有大小而没有方向的物理量，叫做标量．
【例1】关于位移和路程，以下说法正确的是（ ）
A．位移是矢量，路程是标量
B．物体的位移是直线，而路程是曲线
C．在直线运动中，位移与路程相同
D．只有在质点做单向直线运动时，位移的大小才等于路程
答案：AD．
【规律总结】①抓住运动轨迹有直线和曲线运动之分；②位移和路程是两个不同性质的物理量；③位移是初位置指向末位置的有向线段，而路程是轨迹的长度．
【变式探究】对参考系的理解，以下说法正确的是
A．不选参考系，就无法研究某一物体是怎样运动的
B．参考系一定要选取不动的物体
C．研究车轮边缘上一点的运动时，只能以轮轴为参考系
D．同一物体的运动，对不同的参考系有相同的观察结果
考点二 、速度、速率、平均速度与平均速率
速度：是描述物体运动快慢的物理量，是矢量．物体速度方向与运动方向相同． 物体在某段时间内的位移跟发生这段位移所用的时间的比值，叫做这段位移内（或这段时间内）的平均速度，即定义式为：，平均速度方向与方向相同，平均速度是矢量．瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，瞬时速度方向沿物体运动轨迹上相应点的切线指向前进方向一侧的方向．平均速率是质点在某段时间内通过的路程与的比值，是标量，不一定等于平均速度的大小．速率：速度的大小就是速率，只有大小，没有方向，是标量．
【例2】骑自行车的人沿直线以速度行驶了三分之二的路程，接着以的速度跑完其余三分之一的路程．若全程的平均速度为，则是多少？
【误区警示】不同时间段的平均速度可能不同，求解平均速度时要用位移和对应的时间来计算，另外平均速度是矢量要注意方向．
【变式探究】甲、乙两辆汽车沿平直公路从某地同时驶向同一目标，甲车在前一半时间内以速度V1做匀速直线运动，后一半时间内以速度V2做匀速直线运动；乙车在前一半路程中以速度V1做匀速直线运动，后一半路程中以速度V2做匀速直线运动，则:
A．甲先到达；B.乙先到达； C.甲、乙同时到达； D.不能确定．
考点三、加速度
加速度是描述速度变化快慢的物理量，它是速度改变量与对应时间的比值，即加速度是速度对时间的变化率，即定义式：，它的方向与速度改变量方向相同，它是矢量．
【例3】有下列①、②、③、④所述的四种情景，请根据所学知识从A、B、C、D四个选项中选择对情景的分析和判断的正确说法（ ）
①点火后即将升空的火箭
②高速公路上沿直线高速行驶的轿车为避免事故紧急刹车
③运行的磁悬浮列车在轨道上高速行驶
④太空的空间站在绕地球匀速转动
A．因火箭还没运动，所以加速度一定为零
B．轿车紧急刹车，速度变化很快，所以加速度很大
C．高速行驶的磁悬浮列车．因速度很大，所以加速度也一定很大
D．尽管空间站做匀速转动，但加速度也不为零
解析：加速度是描述速度变化快慢的物理量，它是速度改变量与对应时间的比值，即加速度是速度对时间的变化率，速度变化快，则加速度一定大，故B正确．一个物体速度大，但速度不发生变化，如匀速直线运动，它的加速度就等于零，所以C错．曲线运动的速度方向不断改变，即速度变化了，一定有加速度，D正确．速度为零，加速度不一定为零，加速度和速度的大小没有关系，所以A错误．
答案：BD．
【误区警示】（1）加速度是描述速度变化快慢的物理量，不是描述速度大小的物理量，所以与速度的大小没有必然联系；（2）加速度实质是由物体的受力和物体的质量决定的．从运动量的角度来看，加速度由速度的变化与变化所用时间的比值来度量，说明加速度不是仅仅由速度的变化决定的；（3）加速度的方向与速度的方向没有必然联系，但与速度变化的方向一致，其实质是与物体所受到的合外力方向一致．
【变式探究】下列说法中，正确的是
A.物体在一条直线上运动，如果在相等的时间里变化的位移相等，则物体的运动就是匀变速直线运动
B.加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动
C.匀变速直线运动是加速度不变的运动
D.加速度方向不变的运动一定是匀变速直线运动
解析：匀变速运动的特点是加速度不变，即加速度大小和方向均不变，故C正确．
答案：C．
【经典考题精析】
（2014·天津卷）质点做直线运动的速度—时间图象如图所示，该质点
A．在第1秒末速度方向发生了改变
B．在第2秒末加速度方向发生了改变
C．在前2秒内发生的位移为零
D．第3秒和第5秒末的位置相同
（2014·广东卷）如图所示是物体做直线运动的v-t图象，由图可知，该物体
A.第1s内和第3s内的运动方向相反
B.第3s内和第4s内的加速度相同
C.第1s内和第4s内的位移大小不相等
D.0-2s和0-4s内的平均速度大小相等
（2014·新课标全国卷Ⅱ）甲乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间内，它们的v-t图象如图所示。在这段时间内
A.汽车甲的平均速度比乙大 B.汽车乙的平均速度等于
C.甲乙两汽车的位移相同 D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
（2013·新课标Ⅰ卷）21.2012年11曰，“歼15”舰载机在“辽宁号”航空母舰上着舰成功。图（a）为利用阻拦系统让舰载机在飞行甲板上快速停止的原理示意图。飞机着舰并成功钩住阻拦索后，飞机的动力系统立即关闭，阻拦系统通过阻拦索对飞机施加—作用力，使飞机在甲板上短距离滑行后停止，某次降落，以飞机着舰为计时零点，飞机在t=0.4s时恰好钩住阻拦索中间位置，其着舰到停止的速度一时间图线如图(b)所示。假如无阻拦索，飞机从着舰到停止需要的滑行距离约为1000m。已知航母始终静止，重力加速度的大小为g。则
从着舰到停止，飞机在甲板上滑行的距离约为无阻拦索时的1/10
在0.4s-2.5s时间内，阻拦索的张力几乎不随时间变化
在滑行过程中，飞行员所承受的加速度大小会超过2.5 g
在0.4s-2.5s时间内，阻拦系统对飞机做功的功率几乎不变
（2013·新课标Ⅰ卷）14. 右图是伽利略1604年做斜面实验时的一页手稿照片，照片左上角的三列数据如下表。表中第二列是时间，第三列是物体沿斜面运动的距离，第一列是伽利略在分析实验数据时添加的。根据表中的数据.伽利略可以得出的结论是
A.物体具有惯性
B.斜面倾角一定时，加速度与质量无关
C.物体运动的距离与时间的平方成正比
D.物体运动的加速度与重力加速度成正比
（2013·四川卷）6．甲、乙两物体在t=0时刻经过同一位置沿x轴运动，其v-t图像如图所示，则
A．甲、乙在t=0到t=ls之间沿同一方向运动
B．乙在t=0到t=7s之间的位移为零
C．甲在t=0到t=4s之间做往复运动
D．甲、乙在t =6s时的加速度方向相同
4.（2012·海南）如图，表面处处同样粗糙的楔形木块abc固定在水平地面上，ab面和bc面与地面的夹角分别为α和β，且α>β.一初速度为v0的小物块沿斜面ab向上运动，经时间t0后到达顶点b时，速度刚好为零；然后让小物块立即从静止开始沿斜面bc下滑。在小物块从a运动到c的过程中，可能正确描述其速度大小v与时间t的关系的图像是
5．（2012·江苏）将一只皮球竖直向上抛出，皮球运动时受到空气阻力的大小与速度的大小成正比。下列描绘皮球在上升过程中加速度大小a与时间t关系的图象，可能正确的是
（2010·上海）如图为质量相等的两个质点A、B在同一直线上运动的v-t图象，由图可知
A．在t时刻两个质点在同一位置
B．在t时刻两个质点速度相等
C．在0~t时间内质点B比质点A位移大
D．在0~t时间内合外力对两个质点做功相等
、（2010·天津）质点做直线运动的v-t图象如图2所示，规定向右为正方向，则该质点在前8s内平均速度的大小和方向分别为
A．0.25 m/s 向右
B．0.25 m/s 向左
C．1 m/s 向右
D．1 m/s 向左


第2课时　匀变速直线运动的规律
【重点知识梳理】
1．匀变速直线运动
(1)定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动。
(2)分类：
①匀加速直线运动，a与v0方向相同。
②匀减速直线运动，a与v0方向相反。
2．匀变速直线运动的规律
(1)速度公式：v＝v0＋at。
(2)位移公式： x＝v0t＋at2。
(3)速度位移关系式：v2－v＝2ax。
3．匀变速直线运动的两个重要推论
(1)Δx＝aT2，即任意相邻相等时间内的位移之差相等。可以推广到xm－xn＝(m－n)aT2。
(2)v＝，某段时间的中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度。
v＝ ，某段位移的中间位置的瞬时速度不等于该段位移内的平均速度。
可以证明，无论匀加速还是匀减速，都有v＜v。
4．初速度为零的匀变速直线运动中的几个重要结论
(1)1T末，2T末，3T末……瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)1T内，2T内，3T内……位移之比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶22∶32∶…∶n2。
(3)第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第N个T内的位移之比为：
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
(4)通过连续相等的位移所用时间之比为：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
【难点突破】
一、匀变速直线运动公式的理解和应用
1.正、负号的规定
直线运动中可以用正、负号表示矢量的方向，一般情况下．我们规定初速度的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值，当v0＝0时，一般以a的方向为正方向．
2．解题的基本思路
→→→→
　例1、甲、乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变．在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半．求甲、乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比．
【特别提醒】利用匀变速直线运动规律的解题技巧
(1)利用运动的可逆性：末速度为零的匀减速直线运动可等效为初速度为零的反向匀加速直线运动．
(2)利用运动的对称性：物体做初、末态速度均为零的先加速后减速运动时，若两段加速度大小相等，则运动具有对称性．
(3)纸带处理中常用的两个公式：v＝＝＝(中间时刻速度等于这段时间内的平均速度)及xn－xm＝(n－m)aT2(相等时间内位移之差是一恒量)．
(4)巧用初速度为零的匀加速直线运动的推论简化解题
①t、2t、3t…内的位移比为：s1t∶s2t∶s3t∶…＝1∶4∶9∶…
②连续相等时间内的位移比为：s1∶s2∶s3∶s4∶…＝1∶3∶5∶7∶…
③连续相等位移所用时间比为：t1∶t2∶t3∶…＝1∶(－1)∶(－)∶…
【变式探究】一物体在与初速度方向相反的恒力作用下做匀减速直线运动，v0＝20 m/s，加速度大小为5 m/s2，求：
(1)物体经多少秒后回到出发点？
(2)由开始运动算起，求6 s末物体的速度．
二、竖直上抛运动的理解和应用
分析解答竖直上抛问题时，既可采用分段法，也可采用全程法．分段法物理过程清晰，但解题步骤较多；全程法是直接把已知量代入公式，但必须注意h、v0正负号的意义及其取舍．
例2、气球以10 m/s的速度匀速竖直上升，从气球上掉下一个物体，经17 s到达地面．求物体刚脱离气球时气球的高度．(g＝10 m/s2)
所以物体刚脱离气球时气球的高度为1 275 m.
(乙)
【变式探究】人民广场上喷泉的喷嘴与地面相平且竖直向上，某一喷嘴喷水流量Q＝5 L/s，水的出口速度v0＝20 m/s，不计空气阻力，g＝10 m/s2.则处于空中的水的体积是(　　)
A．5 L　　　　B．20 L　　　　C．10 L　　　　D．40 L
【解析】　设水在空中的运动时间为t，则t＝＝4 s，而V＝Qt＝20 L，故B正确．
【答案】　B
三、匀变速直线运动的实际应用
例3、有一质点在连续12 s内做匀加速直线运动，在第一个4 s内位移为24 m，在最后4 s内位移为56 m，求质点的加速度．
【解题思路】　(1)质点匀加速直线运动且给了两段时间和相应位移，可用运动学基本公式求解．
(2)由两段时间及位移，可求平均速度，再由平均速度求出中间时刻瞬时速度，进而可求加速度．
(3)题中信息，告诉了连续三个相等时间间隔，可考虑特殊推论解题．
【变式探究】
图1－2－2
从斜面上某一位置，每隔0.1 s释放一个小球，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下照片，如图1－2－2所示，测得sAB＝15 cm，sBC＝20 cm，求：
(1)小球的加速度；
(2)拍摄时B球的速度；
(3)拍摄时sCD的大小．
【解析】　(1)由a＝得小球的加速度
a＝＝5 m/s2.
四、用匀变速运动规律分析两类匀减速运动
1．刹车类问题：即匀减速直线运动到速度为零后即停止运动，加速度a突然消失，求解时要注意先确定其实际运动时间．
2．双向可逆类：如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变，故求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正、负号．
3．逆向思维法：对于末速度为零的匀减速运动，可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速运动．
例4、一辆汽车以72 km/h的速度行驶，现因故紧急刹车并最终停止运动．已知汽车刹车过程中加速度的大小为5 m/s2，则从开始刹车经过5 s，后汽车通过的距离是多少？
【变式探究】物体沿光滑斜面上滑，v0＝20 m/s，加速度大小为5 m/s2，求：
(1)物体多长时间后回到出发点；
(2)由开始运动算起，求6 s末物体的速度．
【高频考点突破】
考点一、考查匀变速过程规律
例1.
图1－2－4
在水平面上有一个小物块质量为m，从某点给它一个初速度沿水平面做匀减速直线运动，经过A、B、C三点到O点速度为零．A、B、C三点到O点距离分别为s1、s2、s3，由A、B、C到O点所用时间分别为t1、t2、t3，下列结论正确的是(　　)
A.＝＝ B.<<
C.＝＝ D.<<
考点二、匀变速运动规律实际应用
例2．甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为16 m/s.已知甲车紧急刹车时加速度a1＝3 m/s2，乙车紧急刹车时加速度a2＝4 m/s2，乙车司机的反应时间是0.5 s(即乙车司机看到甲车刹车后0.5 s才开始刹车)．为保证两车紧急刹车过程不相碰，甲、乙两车行驶过程至少应保持多大距离？
【经典考题精析】
．【2014·新课标Ⅱ卷】 甲乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的vt图像如图所示．在这段时间内(　　)
A．汽车甲的平均速度比乙的大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
【2014·江苏卷】 一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止．下列速度v和位移x的关系图像中，能描述该过程的是(　　)
【2014·天津卷】 质点做直线运动的速度—时间图像如图所示，该质点(　　)
A．在第1秒末速度方向发生了改变
B．在第2秒末加速度方向发生了改变
C．在前2秒内发生的位移为零
D．第3秒末和第5秒末的位置相同
【2014·全国卷】 现用频闪照相方法来研究物块的变速运动．在一小物块沿斜面向下运动的过程中，用频闪相机拍摄的不同时刻物块的位置如图所示．拍摄时频闪频率是10 Hz；通过斜面上固定的刻度尺读取的5个连续影像间的距离依次为x1、x2、x3、x4.已知斜面顶端的高度h和斜面的长度s.数据如下表所示．重力加速度大小g取9.80 m/s2.
　
x1
x2
x3
x4
h
s
10.76
15.05
19.34
23.65
48.00
80.00
根据表中数据，完成下列填空：
(1)物块的加速度a＝________m/s2(保留3位有效数字)．
(2)因为______________________，可知斜面是粗糙的．
（2013·广东卷）某航母跑道长200 m．飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s2，起飞需要的最低速度为50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为(　　)
A．5 m/s　　　　B. 10 m/s
C. 15 m/s D. 20 m/s
（2013·安徽卷）一物体放在水平地面上，如图1所示，已知物体所受水平拉力F随时间t的变化情况如图2所示，物体相应的速度v随时间t的变化关系如图3所示．求：
图1　　　　　　　图2　　　　　　　　　　图3
(1)0～8 s时间内拉力的冲量；
(2)0～6 s时间内物体的位移；
(3)0～10 s时间内，物体克服摩擦力所做的功．
（2013·四川卷）甲、乙两物体在t＝0时刻经过同一位置沿x轴运动，其v－t图像如图所示，则(　　)
A．甲、乙在t＝0到t＝1 s之间沿同一方向运动
B．乙在t＝0到t＝7 s之间的位移为零
C．甲在t＝0到t＝4 s之间做往复运动
D．甲、乙在t＝6 s时的加速度方向相同
（2013·新课标全国卷Ⅰ）如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置－时间(x－t)图线．由图可知(　　)
A．在时刻t1，a车追上b车
B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大
（2013·新课标全国卷Ⅰ）如图X1-2所示，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置－时间(x－t)图线．由图可知(　　)
图X1-2
A．在时刻t1，a车追上b车
B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大
（2012·安徽卷）质量为0.1 kg的弹性球从空中某高度由静止开始下落，该下落过程对应的v－t图象如图所示．球与水平地面相碰后离开地面时的速度大小为碰撞前的.设球受到的空气阻力大小恒为f，取g＝10 m/s2，求：
(1)弹性球受到的空气阻力f的大小；
(2)弹性球第一次碰撞后反弹的高度h.
图14
解得h＝ m.
（2012·山东卷）将地面上静止的货物竖直向上吊起，货物由地面运动至最高点的过程中，v－t图象如图所示．以下判断正确的是(　　)
A．前3 s内货物处于超重状态
B．最后2 s内货物只受重力作用
C．前3 s内与最后2 s内货物的平均速度相同
D．第3 s末至第5 s末的过程中，货物的机械能守恒
（2011·山东卷）如图1－3所示，将小球a从地面以初速度v0竖直上抛的同时，将另一相同质量的小球b从距地面h处由静止释放，两球恰在处相遇(不计空气阻力)．则(　　)
图1－3
A．两球同时落地
B．相遇时两球速度大小相等
C．从开始运动到相遇，球a动能的减少量等于球b动能的增加量
D．相遇后的任意时刻，重力对球a做功功率和对球b做功功率相等
【答案】 C　
【解析】两球经过相同的时间，在处相遇，则对b小球列方程可得，＝gt2，对a小球则有＝v0t－gt2，两式联立可得，v0＝gt，即相遇时，a小球的速度为va＝v0－gt＝0，b小球的速度为gt，B项错误．从相遇开始，a向下做初速度为零的匀加速直线运动，b小球以一定的速度向下做匀加速直线运动，且二者加速度相同，均为g，故b球先落地，A项错误．从开始运动到相遇，a的速度由gt变为0，b的速度由0变为gt，两球质量相同，所以a动能的减少量等于b动能的增加量，C项正确．相遇后的任意时刻，b的速度一直大于a的速度，两球质量相同，由P＝Fv可得，D项错误．
（2011·安徽卷）一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用的时间为t1，紧接着通过下一段位移Δx所用时间为t2.则物体运动的加速度为(　　)
A.  B.
C. D.
（2011·天津卷）质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝5t＋t2(各物理量均采用国际制单位)，则该质点(　　)
A．第1 s内的位移是5 m
B．前2 s内的平均速度是6 m/s
C. 任意相邻的1 s 内位移差都是1 m
D. 任意1 s内的速度增量都是2 m/s21世纪教育网

物体只受重力作用所做的初速度为零的匀加速直线运动．
特点：（l）只受重力；（2）初速度为零．
规律：（1）vt=gt；（2）s=?gt2；（3）vt2=2gs；（4）s=；（5）；
二、竖直上抛
1、将物体沿竖直方向抛出，物体的运动为竖直上抛运动．抛出后只在重力作用下的运动。
其规律为：（1）vt=v0－gt，（2）s=v0t －?gt2 （3）vt2－v02=－2gh
2．两种处理办法：两种思路解题：(速度和时间的对称)
（1）分段法：上升阶段看做初速度为零，加速度大小为g的匀减速直线运动，下降阶段为自由落体运动．
（2）整体法：从整体看来，运动的全过程加速度大小恒定且方向与初速度v0方向始终相反,因此可以把竖直上抛运动看作是一个统一的减速直线运动。这时取抛出点为坐标原点，初速度v0方向为正方向，则a= 一g。(用此解法特别注意方向)
3．上升阶段与下降阶段的特点：(速度和时间的对称)
（l）物体从某点出发上升到最高点的时间与从最高点回落到出发点的时间相等。即
t上=v0/g=t下 所以，从某点抛出后又回到同一点所用的时间为t=2v0/g
（2）上抛时的初速度v0与落回出发点的速度V等值反向，大小均为；即 V=V0=
注意：①以上特点适用于竖直上抛物体的运动过程中的任意一个点所时应的上升下降两阶段，因为从任意一点向上看，物体的运动都是竖直上抛运动，且下降阶段为上升阶段的逆过程．
②以上特点，对于一般的匀减速直线运动都能适用。若能灵活掌握以上特点，可使解题过程大为简化．尤其要注意竖直上抛物体运动的时称性和速度、位移的正负。
【高频考点突破】
考点一、考查自由落体运动
1．一个小石子从离地某一高度处由静止自由落下，某摄影爱好者恰好拍到了它下落的一段轨迹AB.该爱好者用直尺量出轨迹的长度，如图1－2－3所示．已知曝光时间为 s，则小石子出发点离A点约为(　　)
考点二、考查竖直上抛运动
2．某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s2.5 s内物体的(　　)
A．路程为65 m
B．位移大小为25 m，方向向上
C．速度改变量的大小为10 m/s
D．平均速度大小为13 m/s，方向向上
考点三、自由落体和竖直上抛的综合问题
3．如图1－2－5所示，A、B两棒长均为L＝1 m，A的下端和B的上端相距x＝20 m，若A、B同时运动，A做自由落体运动，B做竖直上抛运动，初速度v0＝40 m/s.求：
图1－2－5
(1)A、B两棒何时相遇；
(2)从相遇开始到分离所需的时间．
【经典考题精析】
（2013·全国卷）将甲、乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间相隔2 s，它们运动的v－t图像分别如直线甲、乙所示，则(　　)
A．t＝2 s时，两球高度相差一定为40 m
B．t＝4 s时，两球相对于各自抛出点的位移相等
C．两球从抛出至落到地面所用的时间间隔相等
D．甲球从抛出至达到最高点的时间间隔与乙球的相等
【答案】BD　
【解析】本题关键的条件是抛出点距地面高度不同．t＝2 s时，甲离抛出点为40 m，乙刚开始运动，若抛出点在同一高度，则甲、乙高度差为40 m，但是抛出点距地面高度不同，故A错误；t＝4 s时，甲正在下落，离抛出点为40 m，乙正在上升，离抛出点也为40 m，B正确；两球从抛出到落回各自的抛出点时间相同，但是因为抛出点距地面高度不同，因此C错误；两球从各自抛出点至达到最高点的时间都是3 s，D正确．
例2．(2012·山东高考)将地面上静止的货物竖直向上吊起，货物由地面运动至最高点的过程中，v－t图象如图1－3－7所示．以下判断正确的是(　　)
图1－3－7
A．前3 s内货物处于超重状态
B．最后2 s内货物只受重力作用
C．前3 s内与最后2 s内货物的平均速度相同
D．第3 s末至第5 s末的过程中，货物的机械能守恒
（2011·重庆卷） 某人估测一竖直枯井深度，从井口静止释放一石头并开始计时，经2 s听到石头落地声．由此可知井深约为(不计声音传播时间，重力加速度g取10 m/s2)(　　)
A．10 m　　　　　　　　B．20 m21世纪教育网
C．30 m D．40 m
【答案】B　
【解析】 由h＝gt2＝×10×22 m＝20 m，B正确．

【解题方法】
一、运动图象的分析与运用
运动学图象主要有x－t图象和v－t图象，运用运动学图象解题可总结为六看：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面积”，五看“截距”，六看“特殊点”．
1．一看“轴”：先要看清两轴所代表的物理量，即图象是描述哪两个物理量之间的关系．
2．二看“线”：图象表示研究对象的变化过程和规律．在v－t图象和x－t图象中倾斜的直线分别表示物体的速度和位移随时间变化的运动情况．
3．三看“斜率”：斜率表示纵、横坐标轴上两个物理量的比值，常用一个重要的物理量与之对应，用于定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢．x－t图象中斜率表示运动物体的速度的大小和方向．v－t图象中斜率表示运动物体的加速度的大小和方向．
4．四看“面积”：即图象和坐标轴所围的面积，也往往代表一个物理量，这要看两物理量的乘积有无意义．如v和t的乘积vt＝x，有意义，所以v－t图与横轴所围“面积”表示位移，x－t图象与横轴所围面积无意义．
5．五看“截距”：截距一般表示物理过程的初始情况，如t＝0时的位移或速度．
6．六看“特殊点”：如交点、拐点(转折点)等．如x－t图象的交点表示两质点相遇，但v－t图象的交点只表示速度相等．
【例1】图6是某质点运动的速度－时间图象，由图象得到的正确结果是(　　)
图6
A．0～1 s内的平均速度是2 m/s
B．0～2 s内的位移大小是3 m
C．0～1 s内的加速度大于2～4 s内的加速度
D．0～1 s内的运动方向与2～4 s内的运动方向相反
【点拨】　运动的v－t图象是高考的热点．
(1)v－t图象中，图线向上倾斜表示物体做加速运动，向下倾斜表示物体做减速运动．
(2)v－t图象中，图线与横轴所围成的“面积”在数值上等于物体的位移，在t轴下方的“面积”表示位移为负．
【变式探究】质点做直线运动的v－t图象如图7所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s内平均速度的大小和方向分别为(　　)
图7
A．0.25 m/s　向右 B．0.25 m/s　向左
C．1 m/s　向右 D．1 m/s　向左
答案　B
解析　在v－t图象 ，图线与横轴所围面积代表位移，0～3 s内，x1＝3 m，向右；3～8 s内，x2＝－5 m，负号表示向左，则0～8 s内质点运动的位移x＝x1＋x2＝－2 m，向左，＝＝－0.25 m/s，向左，选项B正确．
【例2】汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60 s内汽车的加速度随时间变化的图线如图8所示．
图8
(1)画出汽车在0～60 s内的v－t图线；
(2)求在这60 s内汽车行驶的路程．
【点拨】要掌握v－t图象的斜率表示a，这也是a－t图象与v－t图象的联系点．本题由a－t图象画v－t图象，由v－t图象求路程，设计新颖、环环相扣．
【例3】 某质点在东西方向上做直线运动，其位移－时间图象如图9所示(规定向东为正方向)．试根据图象：
图9
(1)描述质点运动情况；
(2)求出质点在0～4 s、0～8 s、2～4 s三段时间内的位移和路程．
(3)求出质点在0～4 s、4～8 s内的速度．
答案　(1)见解析　(2)见解析　(3)2 m/s，方向向东；4 m/s，方向向西
【点拨】x－t图象不同于v－t图象，x－t图象中，图线向上倾斜表示物体沿正方向运动，向下倾斜表示物体沿负方向运动，图线的斜率表示物体的速度．
【变式探究】一遥控玩具小车在平直路上运动的位移－时间图象如图10所示，则(　　)
图10
A．15 s末汽车的位移为300 m
B．20 s末汽车的速度为－1 m/s
C．前10 s内汽车的速度为3 m/s
D．前25 s内汽车做单方向直线运动
答案　BC
解析　由位移－时间图象可知：前10 s内汽车做匀速直线运动，速度为3 m/s，加速度为0，所以C正确；10 s～15 s汽车处于静止状态，汽车相对于出发点的位移为30 m，所以A错误；15 s～25 s汽车向反方向做匀速直线运动，速度为－1 m/s，所以D错误，B正确．
二、追及相遇问题
讨论追及、相遇问题的实质，就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．
1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
(1)一个临界条件——速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0xB，则不能追上．
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．
【例4】 汽车以25 m/s的速度匀速直线行驶，在它后面有一辆摩托车，当两车相距1 000 m时，摩托车从静止起动做匀加速运动追赶汽车，摩托车的最大速度可达30 m/s，若使摩托车在4 min时刚好追上汽车．求：
(1)摩托车做匀加速运动的加速度a.
(2)摩托车追上汽车前两车相距最大距离x.
【点拨】(1)要抓住追上的等量关系x2＝x1＋x0；(2)要抓住追上前的临界条件：速度相等．(3)解追及相遇问题除题中所述解析法外，还有图象法、数学极值法等．本题同学们可试着用图象法求解．
【变式探究】甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v－t图像如图11所示，图中△OPQ和△OQT面积分别是x1和x2(x1图11
A．若x0＝x1＋x2，两车不会相遇
B．若x0C．若x0＝x1，两车相遇1次
D．若x0＝x2，两车相遇1次
【经典考题精析】
．【2014·新课标Ⅱ卷】 甲乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的vt图像如图所示．在这段时间内(　　)
A．汽车甲的平均速度比乙的大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
． 【2014·全国卷】 一质点沿x轴做直线运动，其vt图像如图所示．质点在t＝0时位于x＝5 m处，开始沿x轴正向运动．当t＝8 s时，质点在x轴上的位置为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．x＝3 m B．x＝8 m
C．x＝9 m D．x＝14 m
【答案】B　
【解析】 本题考查vt图像. vt图像与x轴围成的面积表示位移，即位移为s1－s2＝3 m，由于初始坐标是5 m，所以t＝8 s时质点在x轴上的位置为x＝3 m＋5 m＝8 m，因此B正确．
．【2014·广东卷】 图6是物体做直线运动的vt图像，由图可知，该物体(　　)
A．第1 s内和第3 s内的运动方向相反
B．第3 s内和第4 s内的加速度相同
C．第1 s内和第4 s内的位移大小不相等
D．0～2 s和0～4 s内的平均速度大小相等
【答案】B　
【解析】 0～3 s内物体一直沿正方向运动，故选项A错误；vt图像的斜率表示加速度，第3 s内和第4 s内图像斜率相同，故加速度相同，选项B正确；vt图像图线与时间轴包围的面积表示位移的大小，第1 s内和第4 s内对应的两个三角形面积相等，故位移大小相等，选项C错误；第3 s内和第4 s内对应的两个三角形面积相等，故位移大小相等，方向相反，所以0～2 s和0～4 s内位移相同，但时间不同，故平均速度不相等，选项D错误．
．【2014·江苏卷】 一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止．下列速度v和位移x的关系图像中，能描述该过程的是(　　)
【2014·山东卷】 一质点在外力作用下做直线运动，其速度v随时间t变化的图像如图所示．在图中标出的时刻中，质点所受合外力的方向与速度方向相同的有(　　)
A．t1
B．t2
C．t3
D．t4
【答案】AC　
【解析】 本题考查的是速度图像．速度图像中某点的切线的斜率表示加速度．t1时刻速度为正，加速度也为正，合外力与速度同向；t2时刻速度为正，加速度为负，合外力与速度反向；t3时刻速度为负，加速度也为负，合外力与速度同向；t4时刻速度为负，加速度为正，合外力与速度反向．选项A、C正确．
【2014·天津卷】 质点做直线运动的速度—时间图像如图所示，该质点(　　)
A．在第1秒末速度方向发生了改变
B．在第2秒末加速度方向发生了改变
C．在前2秒内发生的位移为零
D．第3秒末和第5秒末的位
（2013·大纲卷）19．将甲乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间相隔2 s，它们运动的图像分别如直线甲乙所示。则（ ）
A．t＝2 s时，两球的高度相差一定为40 m
B．t＝4 s时，两球相对于各自的抛出点的位移相等
C．两球从抛出至落到地面所用的时间间隔相等
D．甲球从抛出至到达最高点的时间间隔与乙球相等
【答案】BD
【解析】由于甲乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，t＝2 s时，两球的高度相差不一定为40 m，两球从抛出至落到地面所用的时间间隔不相等，选项AC错误。根据速度图象与横轴所夹面积表示位移可知，t＝4 s时，两球相对于各自的抛出点的位移相等，选项B正确。由于甲乙两小球先后以同样的速度竖直向上抛出，甲球从抛出至到达最高点的时间间隔与乙球相等，选项D正确。
【考点定位】考查速度图象、竖直上抛及其相关知识。
（2013·四川卷）6．甲、乙两物体在t=0时刻经过同一位置沿x轴运动，其v-t图像如图所示，则
A．甲、乙在t=0到t=ls之间沿同一方向运动
B．乙在t=0到t=7s之间的位移为零
C．甲在t=0到t=4s之间做往复运动
D．甲、乙在t =6s时的加速度方向相同
（2013·上海卷）16．汽车以恒定功率沿公路做直线运动，途中通过一块沙地。汽车在公路及沙地上所受阻力均为恒力，且在沙地上受到的阻力大于在公路上受到的阻力。汽车在驶入沙地前己做匀速直线运动，它在驶入沙地到驶出沙地后的一段时间内，位移s随时间t的变化关系可能是
（2013·广东卷）13.某航母跑道长200m飞机在航母上滑行的最大加速度为6m/s2，起飞需要的最低速度为50m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为
A.5m/s B.10m/s C.15m/s D.20m/s
（2012?重庆）质量为m的人站在质量为2m的平板小车上，以共同的速度在水平地面上沿直线前行，车所受地面阻力的大小与车对地面压力的大小成正比．当车速为v0时，人从车上以相对于地面大小为v0的速度水平向后跳下．跳离瞬间地面阻力的冲量忽略不计，则能正确表示车运动的v－t图象为(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　D
【答案】B　
【解析】人跳车前，人和车以大于v0的初速度做匀减速直线运动，加速度大小为a＝＝μg；人跳车瞬间，人和车组成的系统动量守恒，规定初速度方向为正方向，则3mv0＝－mv0＋2mv，得v＝2v0，此后车做减速运动的加速度a′＝＝μg＝a，B项正确．
【考点定位】直线运动
（2012·山东）16．将地面上静止的货物竖直向上吊起，货物由地面运动至最高点的过程中，图像如图所示。以下判断正确的是　　　　　（ 　）
A．前3s内货物处于超重状态
B．最后2s内货物只受重力作用
C．前3s内与最后2s内货物的平均速度相同
D．第3s末至第5s末的过程中，货物的机械能守恒
（2012·江苏）4.将一只皮球竖直向上抛出,皮球运动时受到空气阻力的大小与速度的大小成正比. 下列描绘皮球在上升过程中加速度大小a 与时间t 关系的图象,可能正确的是
1.（2011·海南）一物体自t=0时开始做直线运动，其速度图线如图所示。下列选项正确的是
A.在0～6s内，物体离出发点最远为30m
B.在0～6s内，物体经过的路程为40m
C.在0～4s内，物体的平均速率为7.5m/s
D. 5～6s内，物体所受的合外力做负功
答案：BC
解析：在0～6s内，物体5s末离出发点最远， 此时物体的位移为0到5s这段时间内图象所围成的面积S0-5=，A选项错误；
在0～6s内，物体经过的路程为S0-5+ S6=35+=40（m），B选项正确；
在0～4s内，物体的平均速率=7.5m/s，C选项正确；
5～6s内，物体速度增大，动能变大，由动能定理得物体所受的合外力做正功，D选项错误。
答案　BC
解析　清楚地理解v－t图象中“面积”的物理意义是解本题的关键，A、D中的v－t图象中“面积”不等于20 m；B中v－t图象的“面积”可能等于20 m；C中v－t图象的“面积”正好等于20 m．B、C项正确，A、D项错误．
【2016考纲解读】
1．交变电流、交变电流的图象
2．正弦交变电流的函数表达式，峰值和有效值
【重点知识梳理】
一、交变电流的产生和变化规律
1． 正弦式交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)
规律
物理量
函数
图象
磁通量
Φ＝Φmcos ωt
＝BScos ωt
电动势
e＝Emsin ωt
　 ＝nBSωsin ωt
电压
u＝Umsin ωt
　 ＝sin ωt
电流
i＝Imsin ωt
　 ＝sin ωt
2. 两个特殊位置的特点
(1)线圈平面与中性面重合时，S⊥B，Φ最大，＝0，e＝0，i＝0，电流方向将发生改变．
(2)线圈平面与中性面垂直时，S∥B，Φ＝0，最大，e最大，i最大，电流方向不改变．
特别提醒　1.只要线圈平面在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，就产生正弦式交流电，其变化规律与线圈的形状、转动轴处于线圈平面内的位置无关．
2． Φ－t图象与对应的e－t图象是互余的．
【例1】如图5甲所示，一矩形线圈abcd放置在匀强磁场中，并绕过ab、cd中点的轴OO′以角速度ω逆时针匀速转动．若以线圈平面与磁场夹角θ＝45°时(如图乙)为计时起点，并规定当电流自a流向b时，电流方向为正．则下列四幅图中正确的是 (　　)
图5
审题指导　解答本题应注意以下三点：
(1)确定t＝0时刻感应电流的方向．
(2)利用t＝0时刻的速度确定感应电动势的大小．
(3)判定t＝0时刻后短时间内电流的变化趋势．
二、正弦交变电流的函数表达式、峰值和有效值
1． 周期和频率
(1)周期(T)：交变电流完成一次周期性变化(线圈转一周)所需的时间，单位是秒(s)，公式T＝.
(2)频率(f)：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数．单位是赫兹(Hz)．
(3)周期和频率的关系：T＝或f＝.
2． 正弦式交变电流的函数表达式(线圈在中性面位置开始计时)
(1)电动势e随时间变化的规律：e＝Emsin_ωt.
(2)负载两端的电压u随时间变化的规律：u＝Umsin_ωt.
(3)电流i随时间变化的规律：i＝Imsin_ωt.其中ω等于线圈转动的角速度，Em＝nBSω.
3． 交变电流的瞬时值、峰值、有效值
(1)瞬时值：交变电流某一时刻的值，是时间的函数．
(2)峰值：交变电流的电流或电压所能达到的最大值，也叫最大值．
(3)有效值：跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值叫做交变电流的有效值．对正弦交流电，其有效值和峰值的关系为：E＝，U＝，I＝.
(4)平均值：是交变电流图象中波形与横轴所围面积跟时间的比值．
【特别提醒】交流电有效值的求解
有效值是交流电中最重要的物理量，必须会求解，特别是正弦交流电的有效值，应记 住公式．求交变电流有效值的方法有：
(1)利用I＝，U＝，E＝计算，只适用于正(余)弦式交流电．
(2)非正弦式交流电有效值的求解根据电流的热效应进行计算，其中，交变电流的有效值是根据电流通过电阻时产生的热效应定义的，即让交变电流和直流电流通过相同的电阻，在相同的时间里若产生的热量相同，则交变电流(电压)的有效值就等于这个直流电流(电压)的值，即求解交变电流有效值问题必须在相同电阻、相同时间、相同热量的“三同”原则下求解．
【例2】如图8所示，图甲和图乙分别表示正弦脉冲波和方波的交变电流与时间的变化关系．若使这两种电流分别通过两个完全相同的电阻，则经过1 min的时间，两电阻消耗的电功之比W甲∶W乙为 (　　)
图8
A．1∶ B．1∶2 C．1∶3 D．1∶6
三、交变电流的“四值”的比较与理解
1． 交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值的比较
物理量
物理含义
重要关系
适用情况及说明
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝Emsin ωt
i＝Imsin ωt
计算线圈某时刻的受力情况
峰值
最大的瞬时值
Em＝nBSω
Im＝
讨论电容器的击穿电压
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值
E＝
U＝
I＝
适用于正(余)弦式交变电流
(1)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热等)
(2)电气设备“铭牌”上所标的一般是有效值
(3)保险丝的熔断电流为有效值
平均值
交变电流图象中图线与时间轴所夹的面积与时间的比值
＝Bl
＝n
＝
计算通过电路截面的电荷量
2. 交变电流瞬时值表达式的求法
(1)先求电动势的最大值Em＝nBSω；
(2)求出角速度ω，ω＝；
(3)明确从哪一位置开始计时，从而确定是正弦函数还是余弦函数；
(4)写出瞬时值的表达式．
【例3】如图10所示，线圈abcd的面积是0.05 m2，共100匝，线圈电阻为1 Ω，外接电阻R＝9 Ω，匀强磁场的磁感应强度B＝ T，当线圈以300 r/min的转速匀速旋转时．问：
(1)若从线圈处于中性面开始计时，写出线圈中感应电动势的瞬时值表达式；
(2)线圈转过 s时电动势的瞬时值多大？
(3)电路中，电压表和电流表的示数各是多少？
(4)从中性面开始计时，经 s通过电阻R的电荷量是多少？
【例4】一理想变压器原、副线圈匝数比n1∶n2＝11∶5，原线圈与正弦交变电源连接，输入电压u如图11所示．副线圈仅接入一个10 Ω的电阻．则 (　　)
图11
A．流过电阻的电流是20 A
B．与电阻并联的电压表的示数是100 V
C．经过1分钟电阻发出的热量是6×103 J
D．变压器的输入功率是1×103 W
解析　原线圈中电压的有效值是220 V．由变压比知副线圈中电压为100 V，流过电阻的电流是10 A；与电阻并联的电压表的示数是100 V；经过1 分钟电阻发出的热量是6×104 J；P入＝P出＝＝ V＝1×103 W．只有D项正确．
答案　D
【高频考点突破】
考点1 交变电流及其产生 描述交变电流的物理量
例1、单匝矩形线圈abcd放在匀强磁场中，如图所示，ab=de=l1，ad=bc=l2，从图示位置起以角速度绕不同转轴做匀速转动，则 （ ）
A．以OO′为转轴时，感应电动势
B．以O1O1′为转轴时，感应电动势
C．以OO′为转轴时，感应电动势
D．以OO′为转轴或以ab为转轴时，感应电动势
例2、交流发电机转子有n匝线圈，每匝线圈所围面积为S，匀强磁场的磁感应强度为B，匀速转动的角速度为ω，线圈内电阻为r，外电路电阻为R．当线圈由图13-1-1中实线位置第一次匀速转动90°到达虚线位置过程中，求：⑴通过R的电荷量q为多少？⑵R上产生电热QR为多少？⑶外力做的功W为多少？
考点2 交变电流的图象
例3、电阻为1Ω的矩形线圈绕垂直于磁场方向的轴，在匀强磁场中匀速转动，产生的交变电动势随时间变化的图象如图所示．现把交流电加在电阻为9Ω的电热丝上，下列判断正确的是（ ）
A．线圈转动的角速度ω＝100 rad/s
B．在t＝0.01s时刻，穿过线圈的磁通量最大
C．电热丝两端的电压
D．电热丝此时的发热功率P＝1800 W
【感悟提高】弄清图象与瞬时表达式的关系是处理图象问题的要点此外，由图象直接可以看出周期与峰值。要注意交变电动势、电流实际上还是由电磁感应产生的，取决于磁通量的变化率，因此，与磁通量、磁感应强度的图象是互余的关系。
考点3 交变电流的图象
例4、小型交流发电机中，矩形金属线圈在匀强磁场中匀速转动。产生的感应电动势与时间呈正弦函数关系，如图所示，此线圈与一个R＝10Ω的电阻构成闭合电路，不计电路的其他电阻，下列说法正确的是（ ）
A．交变电流的周期为0.125
B．交变电流的频率为8Hz
C．交变电流的有效值为A
D．交变电流的最大值为4A
【经典考题精析】
（2014·天津卷）如图1所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以不同的转速绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图像如图2中曲线a、b所示，则(　　)
　　　图1　　　　　　　图2
A．两次t＝0时刻线圈平面均与中性面重合
B．曲线a、b对应的线圈转速之比为2∶3
C．曲线a表示的交变电动势频率为25 Hz
曲线b表示的交变电动势有效值为10 V
（2013·江苏卷）如图所示，理想变压器原线圈接有交流电源，当副线圈上的滑片P处于图示位置时 ，灯泡L能发光．要使灯泡变亮，可以采取的方法有(　　)
A．向下滑动P
B．增大交流电源的电压
C．增大交流电源的频率
D．减小电容器C的电容
【答案】BC　
【解析】因为原、副线圈两端的电压与它们的匝数成正比，当向下滑动P时，相当于减少副线圈的匝数，导致副线圈两端的电压减小，流过灯泡L的电流也减小，灯泡变暗，选项A错误；增大交流电源的电压，则会使副线圈两端的电压也随之增大，灯泡变亮，选项B正确；电容器的电容越大，交流电源的频率越高，电容器对交变电流的阻碍作用就越小，灯泡就越亮，选项C正确，选项D错误．
(2012·北京理综·15)一个小型电热器若接在输出电压为10 V的直流电源上，消耗电功率为P；若把它接在某个正弦式交流电源上，其消耗的电功率为.如果电热器电阻不变，则此交流电源输出电压的最大值为 (　　)
A．5 V B．5 V C．10 V D．10 V
(2012·广东理综·19)某小型发电机产生的交变电动势为e＝50sin 100πt(V)．对此电动势，下列表述正确的有 (　　)
A．最大值是50 V B．频率是100 Hz
C．有效值是25 V D．周期是0.02 s
(2011·四川理综·20)如图13所示，在匀强磁场中匀速转动的矩形线圈的周期为T，转轴O1O2垂直于磁场方向，线圈电阻为2 Ω.从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈转过60°时的感应电流为1 A．那么(　　)
A．线圈消耗的电功率为4 W
B．线圈中感应电流的有效值为2 A
C．任意时刻线圈中的感应电动势为e＝4cos t
D．任意时刻穿过线圈的磁通量为Φ＝sin t
答案　AC
解析　从线圈平面平行于磁感线开始计时，交变电流的感应电动势的表达式为e＝
Emcos ωt，则感应电流i＝＝cos θ，由题给条件有：1＝×，解得Em＝4 V，则Im＝2 A，I有效＝ A，线圈消耗的电功率P＝IR＝4 W，所以A正确，B错误．e＝4cos ωt＝4cos t，故C正确．由Em＝BSω＝Φm得Φm＝，故任意时刻Φ＝sin t，故D错误．
【2016考纲解读】
1．了解变压器的构造，理解变压器的工作原理。
2．理解理想变压器原、副线圈中电压与匝数的关系，能应用它分析解决有关问题。
3．知道远距离输电过程，知道降低输电损耗的两个途径。了解电网供电的优点和意义。
．
【重点知识梳理】
一、理想变压器
1． 工作原理：互感现象．
2． 基本关系式
(1)功率关系：P入＝P出．
(2)电压关系：只有一个副线圈时，＝；有多个副线圈时，＝＝＝….
(3)电流关系：只有一个副线圈时，＝.
由P入＝P出及P＝UI推出有多个副线圈时，U1I1＝U2I2＋U3I3＋….
3． 几种常用的变压器
(1)自耦变压器——调压变压器．
(2)互感器
4． 理想变压器的理解
(1)没有能量损失；
(2)没有磁通量损失．
二、理想变压器原、副线圈基本关系的应用
1． 基本关系
(1)P入＝P出；
(2)＝，有多个副线圈时，仍然成立．
(3)＝，电流与匝数成反比，只对一个副线圈的变压器适用．有多个副线圈时，由输入功率和输出功率相等确定电流关系．
(4)原、副线圈的每一匝的磁通量都相同，磁通量变化率也相同，频率也就相同．
2． 制约关系
(1)电压：副线圈电压U2由原线圈电压U1和匝数比决定．
(2)功率：原线圈的输入功率P1由副线圈的输出功率P2决定．
(3)电流：原线圈电流I1由副线圈电流I2和匝数比决定．
例1、(2012·课标全国理综·17)自耦变压器铁芯上只绕有一个线圈，原、副线圈都只取该线圈的某部分．一升压式自耦调压变压器的电路如图4所示，其副线圈匝数可调．已知变压器线圈总匝数为1 900匝；原线圈为1 100匝，接在有效值为220 V的交流电源上．当变压器输出电压调至最大时，负载R上的功率为2.0 kW.设此时原线圈中电流的有效值为I1，负载两端电压的有效值为U2，且变压器是理想的，则U2和I1分别约为 (　　)
A．380 V和5.3 A B．380 V和9.1 A
C．240 V和5.3 A D．240 V和9.1 A
三、理想变压器的动态分析
分析理想变压器动态问题的思路程序可表示为：
.
例2、(2012·福建理综·14)如图6所示，理想变压器原线圈输入电压u＝Umsin ωt，副线圈电路中R0为定值电阻，R是滑动变阻器.和是理想交流电压表，示数分别用U1和U2表示；和是理想交流电流表，示数分别用I1和I2表示．下列说法正确的是 (　　)
A．I1和I2表示电流的瞬时值
B．U1和U2表示电压的最大值
C．滑片P向下滑动过程中，U2不变、I1变大
D．滑片P向下滑动过程中，U2变小、I1变小
例3、如图7所示的电路中，有一自耦变压器，左侧并联一只理想电压表V1后接在稳定的交流电源上；右侧串联灯泡L和滑动变阻器R，R上并联一只理想电压表V2.下列说法中正确的是(　　)
A．若F不动，滑片P向下滑动时，V1示数变大，V2示数变小
B．若F不动，滑片P向下滑动时，灯泡消耗的功率变小
C．若P不动，滑片F向下移动时，V1、V2的示数均变小
D．若P不动，滑片F向下移动时，灯泡消耗的功率变大
四、远距离输电
1． 输电过程(如图2所示)
图2
2．输送电流
(1)I＝；(2)I＝.
3．输电导线上的能量损失：主要是由输电线的电阻发热产生的，表达式为Q＝I2Rt.
4．电压损失
(1)ΔU＝U－U′；(2)ΔU＝IR.
5． 功率损失
(1)ΔP＝P－P′；(2)ΔP＝I2R＝()2R
6． 降低输电损耗的两个途径
(1)减小输电线的电阻，由电阻定律R＝ρ可知，在输电距离一定的情况下，为了减小电阻，应采用电阻率小的材料，也可以增加导线的横截面积．
(2)减小输电导线中的输电电流，由P＝UI可知，当输送功率一定时，提高输电电压，可以减小输电电流．
五、远距离输电问题
1． 远距离输电的处理思路
对高压输电问题，应按“发电机→升压变压器→远距离输电线→降压变压器→用电器”，或按从“用电器”倒推到“发电机”的顺序一步一步进行分析．
2． 远距离高压输电的几个基本关系(以图9为例)
图9
(1)功率关系：P1＝P2，P3＝P4，P2＝P损＋P3.
(2)电压、电流关系：＝＝，＝＝，U2＝ΔU＋U3，I2＝I3＝I线．
(3)输电电流：I线＝＝＝.
(4)输电线上损耗的电功率：P损＝I线ΔU＝IR线＝()2R线．
当输送功率一定时，输电电压增大到原来的n倍，输电线上损耗的功率就减小到原来的.
例4、(2012·天津理综·4)通过一理想变压器，经同一线路输送相同的电功率P，原线圈的电压U保持不变，输电线路的总电阻为R.当副线圈与原线圈的匝数比为k时，线路损耗的电功率为P1，若将副线圈与原线圈的匝数比提高到nk，线路损耗的电功率为P2，则P1和分别为 (　　)
A.， B．()2R，
C.， D．()2R，
【高频考点突破】
考点1 理想变压器
例1、如图所示，理想变压器的原线圈接在u＝220sin（100πt）（V）的交流电源上，副线圈接有R＝55Ω的负载电阻。原、副线圈匝数之比为2∶1。电流表、电压表均为理想电表。下列说法正确的是（ ）
A．原线圈中电流表的读数为1 A
B．原线圈中的输入功率为
C．副线圈中电压表的读数为110V
D．副线圈中输出交流电的周期为50s
考点2 动态变压电路分析
例2、调压变压器就是一种自耦变压器，它的构造如图所示．线圈AB绕在一个圆环形的铁芯上，CD之间加上输入电压，转动滑动触头P 就可以调节输出电压．图中A为交流电流表，V为交流电压表， R1、R2为定值电阻，R3为滑动变阻器，CD两端接恒压交流电源，变压器可视为理想变压器（ ）
A. 当动触头P逆时针转动时，电流表读数变大，电压表读数变大
B. 当动触头P逆时针转动时，电流表读数变小，电压表读数变大
C. 当滑动变阻器滑动触头向下滑动时, 电流表读数变小，电压表读数变大
D. 当滑动变阻器滑动触头向下滑动时, 电流表读数变大，电压表读数变小
考点3 远距离输电
远距离输电的经典模型如图13-2-5所示．
2．远距离输电的三组关系及两种损耗如下：
电压关系：，，
电流关系：，，
电功率关系：，，
两种损耗：功率损耗，输送电压损耗
例3、某小型水电站，水以 3 m / s 的速度流入水轮机，而以 l m / s 的速度流出。流出水位比流入水位低1. 6 m ，水流量为 2 m 3/s。如果水流能量的75％ 供给发电机。求：
⑴ 若发电机效率为 80％，则发电机的输出功率为多大?
⑵ 发电机的输出电压为240V，输电线路的电阻为19.2Ω ，许可损耗功率为 2％，用户所需电压为220V，则所用升压变压器和降压变压器的原、副线圈匝数的比各是多少?
【规律总结】由于远距离输电时，输电电流与升压器副线圈电流、降压器原线圈电流相等，因此，电流往往是解决输电问题的突破口．
考点4 交变电流的图象、变压器及其简单综合
例4、一理想变压器原、副线圈匝数比n1:n2=11:5。原线圈与正弦交变电源连接，输入电压u如图所示。副线圈仅接入一个10 的电阻。则( )
A．流过电阻的电流是20 A
B．与电阻并联的电压表的示数是100V
C．经过1分钟电阻发出的热量是6×103 J
D．变压器的输入功率是1×103W
【经典考题精析】
（014·浙江卷）如图所示为远距离交流输电的简化电路图．发电厂的输出电压是U，用等效总电阻是r的两条输电线输电，输电线路中的电流是I1，其末端间的电压为U1.在输电线与用户间连有一理想变压器，流入用户端的电流为I2.则(　　)
第15题图
A. 用户端的电压为
B. 输电线上的电压降为U
C. 理想变压器的输入功率为Ir
D. 输电线路上损失的电功率为I1U
（2014·四川卷）如图所示，甲是远距离输电线路的示意图，乙是发电机输出电压随时间变化的图像，则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
　
　甲　　　　　　　　　　　　　乙
A．用户用电器上交流电的频率是100 Hz
B．发电机输出交流电的电压有效值是500 V
C．输出线的电流只由降压变压器原副线圈的匝数比决定
D．当用户用电器的总电阻增大时，输电线上损失的功率减小
（2014·新课标Ⅱ卷）如图所示，一理想变压器原、副线圈的匝数分别为n1、n2.原线圈通过一理想电流表A接正弦交流电源，一个二极管和阻值为R的负载电阻串联后接到副线圈的两端．假设该二极管的正向电阻为零，反向电阻为无穷大．用交流电压表测得a、b端和c、d端的电压分别为Uab和Ucd，则(　　)
A．Uab∶Ucd＝n1∶n2
B．增大负载电阻的阻值R，电流表的读数变小
C．负载电阻的阻值越小，c、d间的电压Ucd越大
D．将二极管短路，电流表的读数加倍
（2014·广东卷）如图11所示的电路中，P为滑动变阻器的滑片，保持理想变压器的输入电压U1不变，闭合开关S，下列说法正确的是(　　)
A．P向下滑动时，灯L变亮
B．P向下滑动时，变压器的输出电压不变
C．P向上滑动时，变压器的输入电流变小
D．P向上滑动时，变压器的输出功率变大
（2014·福建卷Ⅰ）图为模拟远距离输电实验电路图，两理想变压器的匝数n1＝n42R，忽略灯丝电阻随温度的变化．当A、B端接入低压交流电源时(　　)
A．A1、A2两表的示数相同
B．L1、L2两灯泡的亮度相同
C．R1消耗的功率大于R3消耗的功率
R2两端的电压小于R4两端的电压
项错误；由于A1表的示数小于A2表的示数，由P＝I2R可知，R1消耗的功率小于R3消耗的功率，故C项错误；由于A1表的示数小于A2表的示数，由U＝IR可知，R2两端的电压小于R4两端的电压，故D项正确
（2013·广东卷）如图，理想变压器原、副线圈匝数比n1∶n2＝2∶1， V和A均为理想电表，灯泡电阻RL＝6 Ω，AB端电压u1＝12 sin100πt (V)．下列说法正确的是(　　)
A．电流频率为100 Hz
B．V的读数为24 V
C．A的读数为0.5 A
D．变压器输入功率为6 W
（2013·江苏卷）如图所示，理想变压器原线圈接有交流电源，当副线圈上的滑片P处于图示位置时 ，灯泡L能发光．要使灯泡变亮，可以采取的方法有(　　)
A．向下滑动P
B．增大交流电源的电压
C．增大交流电源的频率
D．减小电容器C的电容
（2013·四川卷）用220 V的正弦交流电通过理想变压器对一负载供电，变压器输出电压是110 V，通过负载的电流图像如图所示，则(　　)
A．变压器输入功率约为3.9 W
B．输出电压的最大值是110 V
C．变压器原、副线圈匝数比是1∶2
D．负载电流的函数表达式i＝0.05sin(100πt＋) A
(2012·海南单科·4)如图12所示，理想变压器原、副线圈匝数比为20∶1，两个标有“12 V，6 W”的小灯泡并联在副线圈的两端．当两灯泡都正常工作时，原线圈电路中电压表和电流表(可视为理想的)的示数分别是 (　　)
A．120 V,0.10 A B．240 V,0.025 A
C．120 V,0.05 A D．240 V,0.05 A
(2012·重庆理综·15)如图13所示，理想变压器的原线圈接入u＝11 000·sin 100πt(V)的交变电压，副线圈通过电阻r＝6 Ω的导线对“220 V　880 W”的电器RL供电，该电器正常工作．由此可知(　　)
A．原、副线圈的匝数比为50∶1
B．交变电压的频率为100 Hz
C．副线圈中电流的有效值为4 A
D．变压器的输入功率为880 W
答案　C
解析　由电器RL正常工作，可得通过副线圈的电流为I＝＝ A＝4 A，故C对；与副线圈连接的导线所分电压为Ur＝4×6 V＝24 V，副线圈两端电压U2＝220 V＋24 V＝244 V，21世纪教育网因此原、副线圈的匝数比＝＝＝，故A错；又变压器的输入功率等于其输出功率，即P1＝P2＝U2I2＝244×4 W＝976 W，故D错；交变电压的频率f＝＝50 Hz，故B错．
(2012·山东理综·18)图14甲是某燃气炉点火装置的原理图．转换器将直流电压转换为图乙所示的正弦交变电压，并加在一理想变压器的原线圈上，变压器原、副线圈的匝数分别为n1、n2，为交流电压表．当变压器副线圈电压的瞬时值大于5 000 V时，就会在钢针和金属板间引发电火花进而点燃气体．以下判断正确的是 (　　)

图14
A．电压表的示数等于5 V
B．电压表的示数等于 V
C．实现点火的条件是>1 000
D．实现点火的条件是<1 000
(2011·山东理综·20)为保证用户电压稳定在220 V，变电所需适时进行调压，图15甲为调压变压器示意图．保持输入电压u1不变，当滑动接头P上下移动时可改变输出电压．某次检测得到用户电压u2随时间t变化的曲线如图乙所示．以下正确的是 (　　)
　
　　 　甲　　　　　　　　　　乙
图15
A．u2＝190sin (50πt) V
B．u2＝190sin (100πt) V
C．为使用户电压稳定在220 V，应将P适当下移
D．为使用户电压稳定在220 V，应将P适当上移
专题 分子动理论 内能
【2016高考考纲】
1.掌握分子动理论的基本内容.
2.知道内能的概念.
3.会分析分子力、分子势能随分子间距离的变化．
【重点知识梳理】
一、微观量的估算
1． 微观量：分子体积V0、分子直径d、分子质量m0.
2． 宏观量：物体的体积V、摩尔体积Vm、物体的质量m、摩尔质量M、物体的密度ρ.
3． 关系
(1)分子的质量：m0＝＝.
(2)分子的体积：V0＝＝.
(3)物体所含的分子数：N＝·NA＝·NA或N＝·NA＝·NA.
4． 两种模型
(1)球体模型直径为d＝ .
(2)立方体模型边长为d＝.
特别提醒　1.固体和液体分子都可看成是紧密堆积在一起的．分子的体积V0＝，仅适用于固体和液体，对气体不适用．
2． 对于气体分子，d＝的值并非气体分子的大小，而是两个相邻的气体分子之间的平均距离．
二、布朗运动与分子热运动
布朗运动
热运动
活动主体
固体小颗粒
分子
区别
是固体小颗粒的运动，是比分子大得多的分子团的运动，较大的颗粒不做布朗运动，但它本身的以及周围的分子仍在做热运动
是指分子的运动，分子无论大小都做热运动，热运动不能通过光学显微镜直接观察到
共同点
都是永不停息的无规则运动，都随温度的升高而变得更加激烈，都是肉眼所不能看见的
联系
布朗运动是由于小颗粒受到周围分子做热运动的撞击力而引起的，它是分子做无规则运动的反映
【特别提醒】　
1.扩散现象直接反映了分子的无规则运动，并且可以发生在固体、液体、气体任何两种物质之间．
2．布朗运动不是分子的运动，是液体分子无规则运动的反映．
三、分子间作用力
分子间总是同时存在着相互作用的引力和斥力，“分子力”是引力与斥力的合力．分子间的引力和斥力都随分子间距离的增大而减小、随分子间距离的减小而增大，但总是斥力变化得较快．如图2所示．
(1)当r＝r0时，F引＝F斥，F＝0；
(2)当r(3)当r>r0时，F引和F斥都随距离的增大而减小，但F引>F斥，F表现为引力；
(4)当r>10r0(10－9 m)时，F引和F斥都已经十分微弱，可以认为分子间没有相互作用力(F＝0)．
【高频考点突破】
考点一　微观量的估算
例1、空调在制冷过程中，室内空气中的水蒸气接触蒸发器(铜管)液化成水，经排水管排走，空气中水分越来越少，人会感觉干燥．某空调工作一段时间后，排出液化水的体积V＝1.0×103 cm3.已知水的密度ρ＝1.0×103 kg/m3、摩尔质量M＝1.8×10－2 kg/mol，阿伏加德罗常数NA＝6.0×1023 mol－1.试求：(结果均保留一位有效数字)
(1)该液化水中含有水分子的总数N；
(2)一个水分子的直径d.
【变式探究】已知汞的摩尔质量为M＝200.5×10－3 kg/mol，密度为ρ＝13.6×103 kg/m3，阿伏加德罗常数为NA＝6.0×1023 mol－1.求：
(1)一个汞原子的质量(用相应的字母表示即可)；
(2)一个汞原子的体积(结果保留一位有效数字)；
(3)体积为1 cm3的汞中汞原子的个数(结果保留一位有效数字)．
考点二　布朗运动与分子热运动
例2、关于布朗运动，以下说法正确的是 (　　)
A．布朗运动就是液体分子的扩散现象
B．布朗运动就是固体小颗粒中分子的无规则运动，它说明分子永不停息地做无规则运动
C．布朗运动是悬浮在液体中的固体小颗粒的无规则运动，它是液体分子无规则运动的反映
D．扫地时，在阳光照射下，看到尘埃飞舞，这是尘埃在做布朗运动
【变式探究】在观察布朗运动时，从微粒在a点开始计时，间隔30 s记下微粒的一个位置得到b、c、d、e、f、g等点，然后用直线依次连接，如图1所示，则下列说法正确的是 (　　)
A．微粒在75 s末时的位置一定在cd的中点上
B．微粒在75 s末时的位置可能在cd的连线上，但不可能在cd中点上
C．微粒在前30 s内的路程一定等于ab的长度
D．微粒在前30 s内的位移大小一定等于ab的长度
考点三　分子间作用力
例3、关于分子间的相互作用力，以下说法中正确的是 (　　)
A．当分子间距离r＝r0时，分子力为零，说明此时分子间既不存在引力，也不存在斥力
B．分子力随分子间距离的变化而变化，当r>r0时，随着距离的增大，分子间的引力和斥力都增大，但引力比斥力增大得快，故分子力表现为引力
C．当分子间的距离rD．当分子间的距离r>10－9 m时，分子间的作用力可以忽略不计
【变式探究】两个分子相距r1时，分子间的相互作用力表现为引力，相距为r2时，表现为斥力，则下面说法正确的是 (　　)
A．相距为r1时，分子间没有斥力存在
B．相距为r2时，分子间的斥力大于相距为r1时的斥力
C．相距为r2时，分子间没有引力存在
D．相距为r1时，分子间的引力大于相距为r2时的引力
【经典考题精析】
【2014高考在线】
（2014·福建卷Ⅰ）(1)如图，横坐标v表示分子速率，纵坐标f(v)表示各等间隔速率区间的分子数占总分子数的百分比．图中曲线能正确表示某一温度下气体分子麦克斯韦速率分布规律的是________．(填选项前的字母)
A．曲线① B．曲线② C．曲线③ D．曲线④
（2014·北京卷）下列说法中正确的是(　　)
A．物体温度降低，其分子热运动的平均动能增大
B．物体温度升高，其分子热运动的平均动能增大
C．物体温度降低，其内能一定增大
物体温度不变，其内能一定不变
（2013·北京卷）下列说法正确的是(　　)
A．液体中悬浮微粒的无规则运动称为布朗运动
B．液体分子的无规则运动称为布朗运动
C．物体从外界吸收热量，其内能一定增加
D．物体对外界做功，其内能一定减少
（2013·福建卷） (1)下列四幅图中，能正确反映分子间作用力f和分子势能Ep随分子间距离 r 变化关系的图线是________．(填选图下方的字母)
（2013·新课标全国卷Ⅰ）(1)两个相距较远的分子仅在分子力作用下由静止开始运动，直至不再靠近．在此过程中，下列说法正确的是________．(填正确答案标号．选对1个得3分，选对2个得4分，选对3个得6分．每选错1个扣3分，最低得分为0分)
A．分子力先增大，后一直减小
B．分子力先做正功，后做负功
C．分子动能先增大，后减小
D．分子势能先增大，后减小
E．分子势能和动能之和不变
（2013·新课标全国卷Ⅰ）如图，两个侧壁绝热、顶部和底部都导热的相同气缸直立放置，气缸底部和顶部均有细管连通，顶部的细管带有阀门K.两气缸的容积均为V0，气缸中各有一个绝热活塞(质量不同，厚度可忽略)．开始时K关闭，两活塞下方和右活塞上方充有气体(可视为理想气体)，压强分别为p0和；左活塞在气缸正中间，其上方为真空；右活塞上方气体体积为.现使气缸底与一恒温热源接触，平衡后左活塞升至气缸顶部，且与顶部刚好没有接触；然后打开K，经过一段时间，重新达到平衡．已知外界温度为T0，不计活塞与气缸壁间的摩擦．求：
(ⅰ)恒温热源的温度T；
(ⅱ)重新达到平衡后左气缸中活塞上方气体的体积Vx.
气缸顶部与外界接触，底部与恒温热源接触，两部分气体各自经历等温过程，设左活塞上方气体压强为p，由玻意耳定律得
pVx＝·③
(p＋p0)(2V0－Vx)＝p0·V0④
联立③④式得　　6V－V0Vx－V＝0
其解为　　Vx＝V0⑤
另一解Vx＝－V0，不合题意，舍去。
(2012·大纲全国·14)下列关于布朗运动的说法，正确的是 (　　)
A．布朗运动是液体分子的无规则运动
B．液体温度越高，悬浮颗粒越小，布朗运动越剧烈
C．布朗运动是由于液体各部分的温度不同而引起的
D．布朗运动是由液体分子从各个方向对悬浮颗粒撞击作用的不平衡引起的
(2012·四川理综·14)物体由大量分子组成，下列说法正确的是 (　　)
A．分子热运动越剧烈，物体内每个分子的动能越大
B．分子间引力总是随着分子间距离的减小而减小
C．物体的内能跟物体的温度和体积有关
D．只有外界对物体做功才能增加物体的内能
(2011·广东理综·13)如图所示，两个接触面平滑的铅柱压紧后悬挂起来，下面的铅柱不脱落，主要原因是 (　　)
A．铅分子做无规则热运动
B．铅柱受到大气压力作用
C．铅柱间存在万有引力作用
D．铅柱间存在分子引力作用
(2010·全国Ⅰ·19)如图为两分子系统的势能Ep与两分子间距离r的关系曲线．下列说法正确的是 (　　)
A．当r大于r1时，分子间的作用力表现为引力
B．当r小于r1时，分子间的作用力表现为斥力
C．当r等于r2时，分子间的作用力为零
D．在r由r1变到r2的过程中，分子间的作用力做负功

【2016高考考纲】
1.知道晶体、非晶体的区别
2.理解表面张力，会解释有关现象.
3.掌握气体实验三定律，会用三定律分析气体状态变化问题．
【重点知识梳理】
1．晶体与非晶体
单晶体
多晶体
非晶体
外形
规则
不规则
不规则
熔点
确定
确定
不确定
物理性质
各向异性
各向同性
各向同性
典型物质
石英、云母、食盐、硫酸铜
玻璃、蜂蜡、松香
形成与转化
有的物质在不同条件下能够形成不同的形态．同一物质可能以晶体和非晶体两种不同的形态出现，有些非晶体在一定条件下可以转化为晶体
2. 液体的表面张力
(1)作用：液体的表面张力使液面具有收缩的趋势．
(2)方向：表面张力跟液面相切，跟这部分液面的分界线垂直．
3． 液晶的物理性质
(1)具有液体的流动性．
(2)具有晶体的光学各向异性．
(3)从某个方向上看其分子排列比较整齐，但从另一方向看，分子的排列是杂乱无章的．
4． 饱和汽　湿度
(1)饱和汽与未饱和汽
①饱和汽：与液体处于动态平衡的蒸汽．
②未饱和汽：没有达到饱和状态的蒸汽．
(2)饱和汽压
①定义：饱和汽所具有的压强．
②特点：液体的饱和汽压与温度有关，温度越高，饱和汽压越大，且饱和汽压与饱和汽的体积无关．
(3)湿度
①定义：空气的干湿程度．
②描述湿度的物理量
绝对湿度：空气中所含水蒸气的压强．
相对湿度：某温度时空气中水蒸气的压强与同一温度时饱和水汽压的百分比．即：B＝×100%
5． 气体实验定律
玻意耳定律
查理定律
盖—吕萨克定律
内容
一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，压强与体积成反比
一定质量的某种气体，在体积不变的情况下，压强与热力学温度成正比
一定质量的某种气体，在压强不变的情况下，其体积与热力学温度成正比
表
达
式
p1V1＝p2V2
＝或＝
＝或＝
图象
6. 理想气体的状态方程
(1)理想气体
①宏观上讲，理想气体是指在任何条件下始终遵守气体实验定律的气体，实际气体在压强不太大、温度不太低的条件下，可视为理想气体．
②微观上讲，理想气体的分子间除碰撞外无其他作用力，分子本身没有体积，即它所占据的空间认为都是可以被压缩的空间．
(2)理想气体的状态方程
一定质量的理想气体状态方程：＝或＝C.
气体实验定律可看做一定质量理想气体状态方程的特例．
【高频考点突破】
考点一　固体与液体的性质
例1、在甲、乙、丙三种固体薄片上涂上石蜡，用烧热的针接触其上一点，石蜡熔化的范围如图4(1)、(2)、(3)所示，而甲、乙、丙三种固体在熔化过程中温度随加热时间变化的关系如图所示．则由此可判断出甲为______，乙为______，丙为________(填“单晶体”、“多晶体”、“非晶体”)．
　
例2、关于液体表面现象的说法中正确的是 (　　)
把缝衣针小心地放在水面上，针可以把水面压弯而不沉没，是因为针受到重力小，又受到液体
浮力的缘故
B．在处于失重状态的宇宙飞船中，一大滴水银会成球状，是因为液体内分子间有相互吸引力
C．玻璃管道裂口放在火上烧熔，它的尖端就变圆，是因为熔化的玻璃在表面张力的作用下，表面
要收缩到最小的缘故
D．飘浮在热菜汤表面上的油滴，从上面观察是圆形的，是因为油滴液体呈各向同性的缘故
解析　A项的缝衣针不受浮力，受表面张力；B项水银会成球状是因为表面张力；D也是表面张力
的作用，只有C正确．
答案　C
考点二　气体压强的产生与计算
产生的原因：由于大量分子无规则地运动而碰撞器壁，形成对器壁各处均匀、持续的压力，作
用在器壁单位面积上的压力叫做气体的压强．
2． 决定因素
(1)宏观上：决定于气体的温度和体积．
(2)微观上：决定于分子的平均动能和分子的密集程度．
3． 平衡状态下气体压强的求法
(1)液片法：选取假想的液体薄片(自身重力不计)为研究对象，分析液片两侧受力情况，建立平衡方程，消去面积，得到液片两侧压强相等方程，求得气体的压强．
(2)力平衡法：选取与气体接触的液柱(或活塞)为研究对象进行受力分析，得到液柱(或活塞)的受力平衡方程，求得气体的压强．
(3)等压面法：在连通器中，同一种液体(中间不间断)同一深度处压强相等．
4． 加速运动系统中封闭气体压强的求法
选取与气体接触的液柱(或活塞)为研究对象，进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解．
例3、如图所示，一汽缸竖直倒放，汽缸内有一质量不可忽略的活塞，将一定质量的理想气体封在汽缸内，活塞与汽缸壁无摩擦，气体处于平衡状态，现保持温度不变把汽缸稍微倾斜一点，在达到平衡后，与原来相比，则 (　　)
A．气体的压强变大
B．气体的压强变小
C．气体的体积变小
D．气体的体积变大
【变式探究】如图所示，光滑水平面上放有一质量为M的汽缸，汽缸内放有一质量为m的可在汽缸内无摩擦滑动的活塞，活塞面积为S.现用水平恒力F向右推汽缸，最后汽缸和活塞达到相对静止状态，求此时缸内封闭气体的压强p.(已知外界大气压为p0)

答案　p0＋
考点三　气体实验定律与理想气体状态方程
例3、如图所示，汽缸放置在水平平台上，活塞质量10 kg，横截面积50 cm2，厚度1 cm，汽缸全长21 cm，汽缸质量20 kg，大气压强为1×105 Pa，当温度为7℃时，活塞封闭的气柱长10 cm，若将汽缸倒过来放置时，活塞下方的空气能通过平台上的缺口与大气相通．g取10 m/s2，求：
(1)汽缸倒置时，活塞封闭的气柱多长；
(2)当温度多高时，活塞刚好接触平台．
【变式探究】如图所示，粗细均匀的U形管竖直放置，左端封闭，右端开口，左端用水银封闭着长L＝10 cm的理想气体，当温度为27°C时，两管水银面的高度差Δh＝2 cm，设外界大气压为1.0×105 Pa(即75 cmHg)，为了使左、右两管中的水银面相平，
(1)若对封闭气体缓慢加热，温度需升高到多少？
(2)若温度保持27°C不变，需从右管的开口端再缓慢注入多少高度的水银柱？
考点四　理想气体实验定律的微观解释
1． 等温变化
一定质量的气体，温度保持不变时，分子的平均动能一定．在这种情况下，体积减小时，分子的密集程度增大，气体的压强增大．
2． 等容变化
一定质量的气体，体积保持不变时，分子的密集程度保持不变．在这种情况下，温度升高时，分子的平均动能增大，气体的压强增大．
3． 等压变化
一定质量的气体，温度升高时，分子的平均动能增大．只有气体的体积同时增大，使分子的密集程度减小，才能保持压强不变．
例5 、下列关于分子运动和热现象的说法正确的是________．
A．气体如果失去了容器的约束就会散开，这是因为气体分子之间存在势能的缘故
B．一定量100°C的水变成100°C的水蒸气，其分子之间的势能增加
C．对于一定量的气体，如果压强不变，体积增大，那么它一定从外界吸热
D．如果气体分子总数不变，而气体温度升高，气体分子的平均动能增大，因此压强必然增大
E．一定量气体的内能等于其所有分子热运动动能和分子之间势能的总和
F．如果气体温度升高，那么所有分子的速率都增大
的速率都增大，F错．
答案　BCE
【变式探究】有关气体的压强，下列说法正确的是 (　　)
A．气体分子的平均速率增大，则气体的压强一定增大
B．气体分子的密集程度增大，则气体的压强一定增大
C．气体分子的平均动能增大，则气体的压强一定增大
D．气体分子的平均动能增大，气体的压强有可能减小
【经典考题精析】
．（2014·新课标全国卷Ⅰ）(1)一定量的理想气体从状态a开始，经历三个过程ab、bc、ca回到原状态．其p－T图像如图所示．下列判断正确的是________．
A．过程ab中气体一定吸热
B．过程bc中气体既不吸热也不放热
C．过程ca中外界对气体所做的功等于气体所放的热
D．a、b和c三个状态中，状态a分子的平均动能最小
E．b和c两个状态中，容器壁单位面积单位时间内受到气体分子撞击的次数不同
（2014·广东卷）用密封性好、充满气体的塑料袋包裹易碎品，如图10所示，充气袋四周被挤压时，假设袋内气体与外界无热交换，则袋内气体(　　)
A．体积减小，内能增大
B．体积减小，压强减小
C．对外界做负功，内能增大
D．对外界做正功，压强减小
（2014·全国卷） 对于一定量的稀薄气体，下列说法正确的是(　　)
A．压强变大时，分子热运动必然变得剧烈
B．保持压强不变时，分子热运动可能变得剧烈
C．压强变大时，分子间的平均距离必然变小
压强变小时，分子间的平均距离可能变小
（2013·浙江卷）“物理3－3”模块(10分)
一定质量的理想气体，从初始状态A经状态B、C、D再回到状态A，其体积V与温度T的关系如图所示．图中TA、VA和TD为已知量．
(1)从状态A到B，气体经历的是________过程(填“等温”“等容”或“等压”)；
(2)从B到C的过程中，气体的内能________(填“增大”“减小”或“不变”)；
(3)从C到D的过程中，气体对外________(填“做正功”“做负功”或“不做功”)，同时________(填“吸热”或“放热”)；
(4)气体在状态D时的体积VD＝________．
【答案】(1)等容
(2)不变
(3)做负功　放热
(4)VA
(2011·海南·17)关于空气湿度，下列说法正确的是 (　　)
A．当人们感到潮湿时，空气的绝对湿度一定较大
B．当人们感到干燥时，空气的相对湿度一定较小
C．空气的绝对湿度用空气中所含水蒸汽的压强表示
D．空气的相对湿度定义为水的饱和汽压与相同温度时空气中所含水蒸汽的压强之比
(2012·重庆理综·16)图为伽利略设计的一种测温装置示意图，玻璃管的上端与导热良好的玻璃泡连通，下端插入水中，玻璃泡中封闭有一定量的空气．若玻璃管内水柱上升，则外界大气的变化可能是 (　　)
A．温度降低，压强增大
B．温度升高，压强不变
C．温度升高，压强减小
D．温度不变，压强减小
答案　A
(2012·江苏·12A)(1)下列现象中，能说明液体存在表面张力的有________．
A．水黾可以停在水面上
B．叶面上的露珠呈球形
C．滴入水中的红墨水很快散开
D．悬浮在水中的花粉做无规则运动
(2)封闭在钢瓶中的理想气体，温度升高时压强增大．从分子动理论的角度分析，这是由于分子热运
动的________增大了．该气体在温度T1、T2时的分子速率分布图象如图12所示，则T1________(选填“大于”或“小于”)T2.
图12
(2012·新课标全国·33(2))如图13，由U形管和细管连接的玻璃泡A、B和C浸泡在温度均为0°C的水槽中，B的容积是A的3倍．阀门S将A和B两部分隔开．A内为真空，B和C内都充有气体．U形管内左边水银柱比右边的低60 mm.打开阀门S，整个系统稳定后，U形管内左右水银柱高度相等．假设U形管和细管中的气体体积远小于玻璃泡的容积．
(1)求玻璃泡C中气体的压强(以mmHg为单位)；
(2)将右侧水槽的水从0°C加热到一定温度时，U形管内左右水银柱高度差又为60 mm，求加热后右
侧水槽的水温．

【2016高考考纲】
1.知道改变内能的两种方式，理解热力学第一定律.
2.知道与热现象有关的宏观物理过程的方向性，了解热力学第二定律.
3.掌握能量守恒定律及其应用．
【重点知识梳理】
1． 物体内能的改变
(1)做功是其他形式的能与内能的相互转化过程，内能的改变量可用做功的数值来量度．
(2)热传递是物体间内能的转移过程，内能的转移量用热量来量度．
2． 热力学第一定律
(1)内容：一个热力学系统的内能增量等于外界向它传递的热量与外界对它所做的功的和．
(2)表达式：ΔU＝Q＋W.
3． 能量守恒定律
(1)内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量不变，这就是能量守恒定律．
(2)任何违背能量守恒定律的过程都是不可能的，不消耗能量而对外做功的第一类永动机是不可能制成的．
4． 热力学第二定律
(1)两种表述
①第一种表述：热量不能自发地从低温物体传到高温物体(克劳修斯表述)．
②第二种表述：不可能从单一热库吸收热量，使之完全变成功，而不产生其他影响(开尔文表述)．
(2)第二类永动机是指设想只从单一热库吸收热量，使之完全变为有用的功而不产生其他影响的热机．这类永动机不可能制成的原因是违背了热力学第二定律．
【高频考点突破】
考点一　对热力学第一定律的理解及应用
1． 热力学第一定律不仅反映了做功和热传递这两种方式改变内能的过程是等效的，而且给出了内能的变化量和做功与热传递之间的定量关系．
2． 对公式ΔU＝Q＋W符号的规定
符号
W
Q
ΔU
＋
外界对物体做功
物体吸收热量
内能增加
－
物体对外界做功
物体放出热量
内能减少
3. 几种特殊情况
(1)若过程是绝热的，则Q＝0，W＝ΔU，外界对物体做的功等于物体内能的增加量．
(2)若过程中不做功，即W＝0，则Q＝ΔU，物体吸收的热量等于物体内能的增加量．
(3)若过程的始末状态物体的内能不变，即ΔU＝0，则W＋Q＝0或W＝－Q.外界对物体做的功等于物体放出的热量．
例1、一定质量的气体，在从状态1变化到状态2的过程中，吸收热量280 J，并对外做功120 J，试问：
(1)这些气体的内能发生了怎样的变化？
(2)如果这些气体又返回原来的状态，并放出了240 J热量，那么在返回的过程中是气体对外界做功，还是外界对气体做功？做功多少？
【变式探究】一定质量的理想气体(分子力不计)，体积由V膨胀到V′.如果通过压强不变的过程实现，对外做功大小为W1，传递热量的值为Q1，内能变化为ΔU1；如果通过温度不变的过程来实现，对外做功大小为W2，传递热量的值为Q2，内能变化为ΔU2，则(　　)
A．W1>W2，Q1ΔU2
B．W1>W2，Q1>Q2，ΔU1>ΔU2
C．W1ΔU2
D．W1＝W2，Q1>Q2，ΔU1>ΔU2
考点二　对热力学第二定律的理解
1． 在热力学第二定律的表述中，“自发地”、“不产生其他影响”的涵义．
(1)“自发地”指明了热传递等热力学宏观现象的方向性，不需要借助外界提供能量的帮助．
(2)“不产生其他影响”的涵义是发生的热力学宏观过程只在本系统内完成，对周围环境不产生热力学方面的影响．如吸热、放热、做功等．
2． 热力学第二定律的实质
热力学第二定律的每一种表述，都揭示了大量分子参与宏观过程的方向性，进而使人们认识到自然界中进行的涉及热现象的宏观过程都具有方向性．
特别提醒　热量不可能自发地从低温物体传到高温物体，但在有外界影响的条件下，热量可以从低温物体传到高温物体，如电冰箱；在引起其他变化的条件下内能可以全部转化为机械能，如气体的等温膨胀过程．
3． 两类永动机的比较
第一类永动机
第二类永动机
不需要任何动力或燃料，却能不断地对外做功的机器
从单一热源吸收热量，使之完全变成功，而不产生其他影响的机器
违背能量守恒定律，不可能制成
不违背能量守恒定律，但违背热力学第二定律，不可能制成
例2、根据你学过的热学中的有关知识，判断下列说法中正确的是 (　　)
A．机械能可以全部转化为内能，内能也可以全部用来做功转化成机械能
B．凡与热现象有关的宏观过程都具有方向性，在热传递中，热量只能从高温物体传递给低温物体，而不能从低温物体传递给高温物体
C．尽管技术不断进步，热机的效率仍不能达到100%，制冷机却可以使温度降到－293°C
D．第一类永动机违背能量守恒定律，第二类永动机不违背能量守恒定律，随着科技的进步和发展，第二类永动机可以制造出来
【变式探究】地球上有很多的海水，它的总质量约为1.4×1018吨，如果这些海水的温度降低0.1°C，将要放出5.8×1023焦耳的热量，有人曾设想利用海水放出的热量使它完全变成机械能来解决能源危机，但这种机器是不能制成的，其原因是 (　　)
A．内能不能转化成机械能
B．内能转化成机械能不满足热力学第一定律
C．只从单一热源吸收热量并完全转化成机械能的机器不满足热力学第二定律
D．上述三种原因都不正确
【经典考题精析】
．（2014·山东卷）(1)如图所示，内壁光滑、导热良好的气缸中用活塞封闭有一定质量的理想气体．当环境温度升高时，缸内气体________．(双选，填正确答案标号)
a．内能增加
b．对外做功
c．压强增大
d．分子间的引力和斥力都增大
（2014·广东卷）用密封性好、充满气体的塑料袋包裹易碎品，如图10所示，充气袋四周被挤压时，假设袋内气体与外界无热交换，则袋内气体(　　)
A．体积减小，内能增大
B．体积减小，压强减小
C．对外界做负功，内能增大
D．对外界做正功，压强减小
（2013·北京卷）下列说法正确的是(　　)
A．液体中悬浮微粒的无规则运动称为布朗运动
B．液体分子的无规则运动称为布朗运动
C．物体从外界吸收热量，其内能一定增加
D．物体对外界做功，其内能一定减少
（2013·全国卷）根据热力学定律，下列说法中正确的是(　　)
A．电冰箱的工作过程表明，热量可以从低温物体向高温物体传递
B．空调机在制冷过程中，从室内吸收的热量少于向室外放出的热量
C．科技的进步可以使内燃机成为单一热源的热机
D．对能源的过度消耗使自然界的能量不断减少，形成“能源危机”
（2013·广东卷）右图为某同学设计的喷水装置．内部装有2 L水，上部密封1 atm的空气0.5 L，保持阀门关闭，再充入1 atm的空气0.1 L．设在所有过程中空气可看作理想气体，且温度不变．下列说法正确的有(　　)
A．充气后，密封气体压强增加
B．充气后，密封气体的分子平均动能增加
C．打开阀门后，密封气体对外界做正功
D．打开阀门后，不再充气也能把水喷光
（2013·江苏卷）选做题本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题在相应的答题区域内作答做，则按A、B两小题评分．
A．选修3－3(12分)
如图所示，一定质量的理想气体从状态A依次经过状态B、C和D后再回到状态A.其中，A→B和C→D为等温过程，B→C和D→A为绝热过程(气体与外界无热量交换)．这就是著名的“卡诺循环”．
(1)该循环过程中，下列说法正确的是________．
A．A→B过程中，外界对气体做功
B．B→C过程中，气体分子的平均动能增大
C．C→D过程中，单位时间内碰撞单位面积器壁的分子数增多
D．D→A过程中，气体分子的速率分布曲线不发生变化
【答案】(1)C　
(2)该循环过程中，内能减小的过程是________(选填“A→B”、“B→C”、“C→D”或“D→A”)．若气体在A→B过程中吸收63 kJ的热量，在C→D过程中放出38 kJ的热量，则气体完成一次循环对外做的功为______kJ.
(3)若该循环过程中的气体为1 mol，气体在A状态时的体积为10 L，在B状态时压强为A状态时的.求气体在B状态时单位体积内的分子数．(已知阿伏加德罗常数NA＝6.0×1023 mol－1，计算结果保留一位有效数字)
（2013·新课标全国卷Ⅱ）
(1)(5分)关于一定量的气体，下列说法正确的是________A．气体的体积指的是该气体的分子所能到达的空间的体积，而不是该气体所有分子体积之和
B．只要能减弱气体分子热运动的剧烈程度，气体的温度就可以降低
C．在完全失重的情况下，气体对容器壁的压强为零
D．气体从外界吸收热量，其内能一定增加
E．气体在等压膨胀过程中温度一定升高
（2013·浙江卷） “物理3－3”模块(10分)
一定质量的理想气体，从初始状态A经状态B、C、D再回到状态A，其体积V与温度T的关系如图所示．图中TA、VA和TD为已知量．
(1)从状态A到B，气体经历的是________过程(填“等温”“等容”或“等压”)；
(2)从B到C的过程中，气体的内能________(填“增大”“减小”或“不变”)；
(3)从C到D的过程中，气体对外________(填“做正功”“做负功”或“不做功”)，同时________(填“吸热”或“放热”)；
(4)气体在状态D时的体积VD＝________．
(4)从D到A过程是等压变化，有＝，所以VD＝.
（2013·重庆卷）某未密闭房间内的空气温度与室外的相同，现对该室内空气缓慢加热，当室内空气温度高于室外空气温度时(　　)
A．室内空气的压强比室外的小
B．室内空气分子的平均动能比室外的大
C．室内空气的密度比室外的大
D．室内空气对室外空气做了负功
(2)(6分)汽车未装载货物时，某个轮胎内气体的体积为V0，压强为p0；装载货物后，该轮胎内气体的压强增加了Δp.若轮胎内气体视为理想气体，其质量、温度在装载货物前后均不变，求装载货物前后此轮胎内气体体积的变化量．
【解析】本题考查理想气体的状态方程．由于轮胎内气体是质量、温度均不变的理想气体，由玻意耳定律有：p0V0＝(p0＋Δp)(V0＋ΔV)，所以体积改变量：ΔV＝－.
(2012·新课标全国·33(1))关于热力学定律，下列说法正确的是 (　　)
A．为了增加物体的内能，必须对物体做功或向它传递热量
B．对某物体做功，必定会使物体的内能增加
C．可以从单一热源吸收热量，使之完全变为功
D．不可能使热量从低温物体传向高温物体
E．功转变为热的实际宏观过程是不可逆过程
答案　ACE
(2012·广东理综·14)景颇族的祖先发明的点火器如图4所示，用牛角做套筒，木制推杆前端粘着艾绒，猛推推杆，艾绒即可点燃．对筒内封闭的气体，在此压缩过程中 (　　)
A．气体温度升高，压强不变
B．气体温度升高，压强变大
C．气体对外界做正功，气体内能增加
D．外界对气体做正功，气体内能减少
(2011·广东理综·14)图5为某种椅子与其升降部分的结构示意图，M、N两筒间密闭了一定质量的气
体，M可沿N的内壁上下滑动，设筒内气体不与外界发生热交换，在M向下滑动的过程中 (　　)
A．外界对气体做功，气体内能增大
B．外界对气体做功，气体内能减小
C．气体对外界做功，气体内能增大
D．气体对外界做功，气体内能减小
答案　A
解析　M向下滑动的过程中，气体被压缩，外界对气体做功，又因为与外界没有热交换，所以气体
内能增大．
(2012·山东·36)(1)下列说法正确的是______．
a．水的饱和汽压随温度的升高而增大
b．扩散现象表明，分子在永不停息地运动
c．当分子间距离增大时，分子间引力增大，分子间斥力减小
d．一定质量的理想气体，在等压膨胀过程中，气体分子的平均动能减小
(2)如图所示，一粗细均匀、导热良好、装有适量水银的U型管竖直放置，右端与大气相通，左端封
闭气柱长l1＝20 cm(可视为理想气体)，两管中水银面等高．现将右端与一低压舱(未画出)接通，稳定后右管水银面高出左管水银面h＝10 cm.(环境温度不变，大气压强p0＝75 cmHg)
①求稳定后低压舱内的压强(用“cmHg”做单位)．
②此过程中左管内的气体对外界________(填“做正功”、“做负功”或“不做功”)，气体将________(填“吸热”或“放热”)．
【2016高考考纲解读】
1.知道简谐运动的概念，理解简谐运动的表达式和图象.
2.知道什么是单摆，知道在摆角较小的情况下单摆的运动是简谐运动，熟记单摆的周期公式.
3.理解受迫振动和共振的概念，掌握产生共振的条件．
【重点知识梳理】
一、机械振动
1、机械振动：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧做的往复运动．
振动的特点: ①存在某一中心位置; ②往复运动,这是判断物体运动是否是机械振动的条件.
产生振动的条件: ①振动物体受到回复力作用; ②阻尼足够小;
2、回复力：振动物体所受到的总是指向平衡位置的合外力．
①回复力时刻指向平衡位置;
②回复力是按效果命名的, 可由任意性质的力提供．可以是几个力的合力也可以是一个力的分力;
③合外力：指振动方向上的合外力，而不一定是物体受到的合外力．
④在平衡位置处：回复力为零，而物体所受合外力不一定为零．如单摆运动，当小球在最低点处，回复力为零，而物体所受的合外力不为零．
3、平衡位置：是振动物体受回复力等于零的位置；也是振动停止后，振动物体所在位置；平衡位置通常在振动轨迹的中点。“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。(如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态)
二、简谐振动及其描述物理量
1、振动描述的物理量
(1)位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段．
①是矢量,其最大值等于振幅；②始点是平衡位置,所以跟回复力方向永远相反；③位移随时间的变化图线就是振动图象．
(2)振幅：离开平衡位置的最大距离．①是标量； ②表示振动的强弱；
(3)周期和频率：完成一次全变化所用的时间为周期T，每秒钟完成全变化的次数为频率f．
①二者都表示振动的快慢；
②二者互为倒数；T=1/f；③当T和f由振动系统本身的性质决定时
(非受迫振动)，则叫固有频率与固有周期是定值,固有周期和固有频率与物体所处的状态无关．
2、简谐振动：物体所受的回复力跟位移大小成正比时，物体的振动是简偕振动．
①受力特征：回复力F=—KX。②运动特征：加速度a=一kx／m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置。
简谐运动是一种变加速运动，在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大。
说明：①判断一个振动是否为简谐运动的依据是看该振动中是否满足上述受力特征或运动特征。
②简谐运动中涉及的位移、速率、加速度的参考点，都是平衡位置.
三．弹簧振子：
1、一个可作为质点的小球与一根弹性很好且不计质量的弹簧相连组成一个弹簧振子．一般来讲，弹簧振子的回复力是弹力(水平的弹簧振子)或弹力和重力的合力(竖直的弹簧振子)提供的．弹簧振子与质点一样，是一个理想的物理模型．
2、弹簧振子振动周期：T=2，只由振子质量和弹簧的劲度决定，与振幅无关，也与弹簧振动情况无关。
(如水平方向振动或竖直方向振动或在光滑的斜面上振动或在地球上或在月球上或在绕地球运转的人造卫星上)
3、可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是。这个结论可以直接使用。
4、在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。
四、振动过程中各物理量的变化情况
振动体位置
位移X
回复力F
加速度a
速度v
势能
动能
方向
大小
方向
大小
方向
大小
方向
大小
平衡位置O
0
0
0
最大
最小
最大
最大位移处A
指向A
最大
指向O
最大
指向O
0→最大
0
最大
最小
平衡位置O→最大位移处A
指向A
0→最大
指向O
0→最大
指向O
最大
O→A
最大→0
最小→最大
最大→最小
最大位移处A→平衡位置O
指向A
最大→0
指向O
最大→0
指向O
最大→0
A→O
0→最大
最大→最小
最小→最大
说明:简谐运动的位移,回复力,加速度,速度都随时间做周期性变化(正弦或余弦函数)变化周期为T,振子的动能、势能也做周期性变化,周期为T/2
①凡离开平衡位置的过程，v、Ek均减小，x、F、a、EP均增大；凡向平衡位置移动时，v、Ek均增大, x、F、a、EP均减小.
②振子运动至平衡位置时，x、F、a为零，EP最小，v、Ek最大；当在最大位移时，x、F、a、EP最大，v、Ek最为零；
③在平衡位置两侧的对称点上,x、F、a、v、Ek、EP的大小均相同．
五、简谐运动图象
1.物理意义：表示振动物体（或质点）的位移随时间变化的规律．
2.坐标系：以横轴表示时间，纵轴表示位移，用平滑曲线连接各时刻对应的位移末端即得
3.特点：简谐运动的图象是正弦（或余弦）曲线．
4.应用：①可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的位移x；
②判定各时刻的回复力、速度、加速度方向；
③判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能、等物理量的变化情况
注意：①振动图象不是质点的运动轨迹．
②计时点一旦确定，形状不变，仅随时间向后延伸。
③简谐运动图像的具体形状跟计时起点及正方向的规定有关。
六、单摆
1、单摆：在细线的一端挂上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸缩和质量可以忽略，球的直径比线长短得多，这样的装置叫做单摆．
这是一种理想化的模型，一般情况下细线（杆）下接一个小球的装置都可作为单摆．
2、单摆振动可看做简谐运动的条件是：在同一竖直面内摆动,摆角θ＜100．
3、单摆振动的回复力：是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。
4、单摆的周期：当 l、g一定，则周期为定值 T=2π，与小球是否运动无关．与摆球质量m、振幅A都无关。其中摆长l指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值。要区分摆长和摆线长。
5、小球在光滑圆弧上的往复滚动和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。
6、秒摆：周期为2s的单摆．其摆长约为lm.
七、振动的能量
1、对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能和势能的总和．
2、振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统振幅越大，机械能就越大．若无能量损失，简谐运动过程中机械能守恒，做等幅振动．
3、阻尼振动与无阻尼振动
（1)振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动．
（2)振幅不变的振动为等幅振动，也叫做无阻尼振动．
注意：等幅振动、阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的，等幅振动不一定不受阻力作用．
4.受迫振动
（1)振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫做受迫振动．
（2)受迫振动稳定时，系统振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关．
5.共振
（1)当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，物体的振幅最大的现象叫做共振．
(2）条件：驱动力的频率等于振动系统的固有频率．
（3)共振曲线．如图所示．
八、受迫振动与共振
1．受迫振动
物体在驱动力（既周期性外力）作用下的振动叫受迫振动。
⑴物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。
⑵物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。
2．共振
当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。
要求会用共振解释现象，知道什么情况下要利用共振，什么情况下要防止共振。
（1）利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千……
（2）防止共振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢……
九、简谐运动的图象
1．简谐运动的图象：以横轴表示时间t，以纵轴表示位移x，建立坐标系，画出的简谐运动的位移——时间图象都是正弦或余弦曲线．
2．振动图象的含义：振动图象表示了振动物体的位移随时间变化的规律．
3．图象的用途：从图象中可以知道：
（1）任一个时刻质点的位移 （2）振幅A． （3）周期T
（4）速度方向：由图线随时间的延伸就可以直接看出
（5）加速度：加速度与位移的大小成正比，而方向总与位移方向相反．只要从振动图象中认清位移（大小和方向）随时间变化的规律，加速度随时间变化的情况就迎刃而解了
点评：关于振动图象的讨论
（1）简谐运动的图象不是振动质点的轨迹．做简谐运动质点的轨迹是质点往复运动的那一段线段（如弹簧振子）或那一段圆弧（如下一节的单摆）．这种往复运动的位移图象。就是以x轴上纵坐标的数值表示质点对平衡位置的位移。以t轴横坐标数值表示各个时刻，这样在x—t坐标系内，可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间分布的情况——振动图象．
（2）简谐运动的周期性，体现在振动图象上是曲线的重复性． 简谐运动是一种复杂的非匀变速运动．但运动的特点具有简单的周期性、重复性、对称性．所以用图象研究要比用方程要直观、简便．简谐运动的图象随时间的增加将逐渐延伸，过去时刻的图形将永远不变，任一时刻图线上过该点切线的斜率数值代表该时刻振子的速度大小。正负表示速度的方向，正时沿x正向，负时沿x负向．
【高频考点突破】
考点一　简谐运动的图象及运动规律
例1、如图所示为一弹簧振子的振动图象，试完成以下问题：
(1)写出该振子简谐运动的表达式．
(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、
动能和弹性势能各是怎样变化的？
(3)该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？
【变式探究】弹簧振子做简谐运动的图象如图所示，下列说法不正确的是(　　)
A．在第5秒末，振子的速度最大且沿＋x方向
B．在第5秒末，振子的位移最大且沿＋x方向
C．在第5秒末，振子的加速度最大且沿－x方向
D．在0到5秒内，振子通过的路程为10 cm
答案　A
考点二　单摆的回复力与周期
例2、如图所示为一单摆及其振动图象，由图回答：
(1)若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中的__________点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是________，势能增加且速度为正的时间范围是__________．
(2)单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是 (　　)
A．位移 B．速度
C．加速度 D．动能
E．摆线张力
(3)求单摆的摆长(g＝10 m/s2，π2≈10)．
s．
【变式探究】如图所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点的竖直线上的O′点钉一个钉子，使OO′＝L/2，将单摆拉至A处释放，小球将在A、B、C间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°，则此摆的周期是 (　　)
A．2π 
B．2π 
C．2π( ＋ )
D．π( ＋ )
考点三　受迫振动和共振
例3、一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动．匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动．把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期．若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图12甲所示．当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图线如图乙所示．若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则 (　　)
　
图12
A．由图线可知T0＝4 s
B．由图线可知T0＝8 s
C．当T在4 s附近时，Y显著增大；当T比4 s小得多或大得多时，Y很小
D．当T在8 s附近时，Y显著增大；当T比8 s小得多或大得多时，Y很小
【变式探究】某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f .若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是 (　　)
A．当fB．当f>f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大
C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0
D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f
D正确
【经典考题精析】
（2014·浙江卷）一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动．可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服登船的时间是(　　)
A．0.5 s B．0.75 s C．1.0 s D．1.5 s

（2014·四川卷）如图所示，甲为t＝1 s时某横波的波形图像，乙为该波传播方向上某一质点的振动图像，距该质点Δx＝0.5 m处质点的振动图像可能是(　　)
甲　　　　　　　　　　　　乙　　　
A　　　　　　　　　　　　B　
C　　　　　　　　　　　　D　
．(2013·江苏单科·12B(1))如图13所示的装置，弹簧振子的固有频率是4 Hz.现匀速转动把手，给弹簧振子
以周期性的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1 Hz，则把手转动的频率为 (　　)
图13
A．1 Hz B．3 Hz
C．4 Hz D．5 Hz
（2013·安徽卷）如图所示，质量为M、倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块．压缩弹簧使其长度为L时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态．重力加速度为g.
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
(3)求弹簧的最大伸长量；
(4)为使斜面体始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足什么条件(假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力)?
【解析】(1)设物块在斜面上平衡时，弹簧伸长量为ΔL，有
mgsinα－kΔL＝0，
解得ΔL＝，
此时弹簧的长度为L＋.
.(20 10．下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为
f固，则 (　　)
驱动力频率/Hz
30
40
50
60
70
80
受迫振动振幅/cm
10.2
16.8
27.2
28.1
16.5
8.3
A.f固＝60 Hz
B．60 Hz＜f固＜70 Hz
C．50 Hz＜f固＜60 Hz
D．以上三个都不对

11. 一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图9所示．
(1)求t＝0.25×10－2 s时的位移；
(2)在t＝1.5×10－2 s到2×10－2 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？
(3)在t＝0到8.5×10－2 s时间内，质点的路程、位移各多大？
专题12.2 机械波
【2016高考考纲解读】
1.知道机械波的特点和分类.
2.掌握波速、波长和频率的关系，会分析波的图象.
3.理解波的干涉、衍射现象和多普勒效应，掌握波的干涉和衍射的条件．
【重点知识梳理】
一、机械波
1、定义：机械振动在介质中传播就形成机械波．
2、产生条件:(1)有作机械振动的物体作为波源．(2)有能传播机械振动的介质．
3、分类:①横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直．凸起部分叫波峰，凹下部分叫波谷
②纵波：质点的振动方向与波的传播方向在一直线上.质点分布密的叫密部,疏的部分叫疏部,液体和气体不能传播横波。
4.机械波的传播过程
(1)机械波传播的是振动形式和能量.质点只在各自的平衡位置附近做振动,并不随波迁移.
后一质点的振动总是落后于带动它的前一质点的振动。
(2)介质中各质点的振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同．
(3)由波源向远处的各质点都依次重复波源的振动．
二、描述机械波的物理量
1．波长λ：两个相邻的在振动过程中相对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离叫波长．在横波中,两个相邻的波峰或相邻的波谷之间的距离．在纵波中两相邻的的密部(或疏部)中央间的距离，振动在一个周期内在介质中传播的距离等于波长
2．周期与频率．波的频率由振源决定，在任何介质中传播波的频率不变。波从一种介质进入另一种介质时，唯一不变的是频率(或周期)，波速与波长都发生变化．
3．波速：单位时间内波向外传播的距离。v=s/t=λ/T=λf，波速的大小由介质决定。
三、说明:①波的频率是介质中各质点的振动频率，质点的振动是一种受迫振动，驱动力来源于波源，所以波的频率由波源决定，是波源的频率.
波速是介质对波的传播速度．介质能传播波是因为介质中各质点间有弹力的作用，弹力越大，相互对运动的反应越灵教，则对波的传播速度越大．通常情况下，固体对机械波的传摇速度校大，气体对机械波的传播速度较小．对纵波和横波，质点间的相互作用的性质有区别，那么同一物质对纵波和对横波的传播速度不相同．所以，介质对波的传播速度由介质决定，与振动频率无关．
波长是质点完成一次全振动所传播的距离,所以波长的长度与波速v和周期T有关．即波长由波源和介质共同决定．
由以上分析知，波从一种介质进入另一种介质，频率不会发生变化，速度和波长将发生改变．
②振源的振动在介质中由近及远传播，离振源较远些的质点的振动要滞后一些，这样各质点的振动虽然频率相同，但步调不一致，离振源越远越滞后．沿波的传播方向上，离波源一个波长的质点的振动要滞后一个周期，相距一个波长的两质点振动步调是一致的．反之，相距1/2个波长的两质点的振动步调是相反的．所以与波源相距波长的整数倍的质点与波源的振动同步（同相振动）；与波源相距为1/2波长的奇数倍的质点与波源派的振动步调相反（反相振动．）
四、振动图象和波的图象
1．振动图象和波的图象
振动图象和波的图象从图形上看好象没有什么区别，但实际上它们有本质的区别。
（1）物理意义不同：振动图象表示同一质点在不同时刻的位移；波的图象表示介质中的各个质点在同一时刻的位移。
（2）图象的横坐标的单位不同：振动图象的横坐标表示时间；波的图象的横坐标表示距离。
（3）从振动图象上可以读出振幅和周期；从波的图象上可以读出振幅和波长。
简谐振动图象与简谐横波图象的列表比较：
简谐振动
简谐横波
图
象
坐
标
横坐标
时间
介质中各质点的平衡位置
纵坐标
质点的振动位移
各质点在同一时刻的振动位移
研究对象
一个质点
介质中的大量质点
物理意义
一个质点在不同时刻的振动位移
介质中各质点在同一时刻的振动位移
随时间的变化
原有图形不变，图线随时间而延伸
原有波形沿波的传播方向平移
运动情况
质点做简谐运动
波在介质中匀速传播；介质中各质点做简谐振动
2．描述波的物理量——波速、周期、波长：
（1）波速v：运动状态或波形在介质中传播的速率；同一种波的波速由介质决定。
注：在横波中，某一波峰（波谷）在单位时间内传播的距离等于波速。
（2）周期T：即质点的振动周期；由波源决定。
（3）波长λ：在波动中，振动位移总是相同的两个相邻质点间的距离。
注：在横波中，两个相邻波峰（波谷）之间的距离为一个波长。
结论：
（1）波在一个周期内传播的距离恰好为波长。
由此：①v=λ/T=λf；λ=vT. ②波长由波源和介质决定。
（2）质点振动nT（波传播nλ）时，波形不变。
（3）相隔波长整数倍的两质点，振动状态总相同；相隔半波长奇数倍的两质点，振动状态总相反。
3．波的图象的画法
波的图象中，波的图形、波的传播方向、某一介质质点的瞬时速度方向，这三者中已知任意两者，可以判定另一个。（口诀为“上坡下，下坡上” ；或者“右上右、左上左））
4．波的传播是匀速的
在一个周期内，波形匀速向前推进一个波长。n个周期波形向前推进n个波长（n可以是任意正数）。因此在计算中既可以使用v=λ(f，也可以使用v=s/t，后者往往更方便。
5．介质质点的运动是简谐运动（是一种变加速运动）
任何一个介质质点在一个周期内经过的路程都是4A，在半个周期内经过的路程都是2A，但在四分之一个周期内经过的路程就不一定是A了。
6．起振方向
介质中每个质点开始振动的方向都和振源开始振动的方向相同。
五、波的现象
1.波的反射:波遇到障碍物会返回来继续传播的现象．
(1)波面：沿波传播方向的波峰（或波谷）在同一时刻构成的面．
(2)波线：跟波面垂直的线，表示波的传播方向．
(3)入射波与反射波的方向关系．
①入射角：入射波的波线与平面法线的夹角．
② 反射角：反射波的波线与平面法线的夹角．
③在波的反射中，反射角等于入射角；反射波的波长、频率和波速都跟入射波的相同．
(4)特例：夏日轰鸣不绝的雷声；在空房子里说话会听到声音更响．
(5)人耳能区分相差0.1 s以上的两个声音．
2.波的折射: 波从一种介质射入另一种介质时，传播方向发生改变的现象．
(1)波的折射中，波的频率不变，波速和波长都发生了改变．
(2)折射角：折射波的波线与界面法线的夹角．
(3)入射角i与折射角r的关系
V1和v2是波在介质I和介质Ⅱ中的波速．i为I介质中的入射角,r为Ⅱ介质中的折射角．
3.波的衍射:波可以绕过障碍物继续传播的现象．
衍射是波的特性，一切波都能发生衍射．
产生明显衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小或与波长相差不多。
例如：声波的波长一般比院坡大，“隔堵有耳”就是声波衍射的例证．
说明：衍射是波特有的现象．
4.波的叠加与波的干涉
(1)波的叠加原理：在两列波相遇的区域里，每个质点都将参与两列波引起的振动，其位移是两列波分别引起位移的矢量和．相遇后仍保持原来的运动状态．波在相遇区域里，互不干扰，有独立性．
(2)波的干涉:
①条件：频率相同的两列同性质的波相遇．
②现象：某些地方的振动加强，某些地方的振动减弱，并且加强和减弱的区域间隔出现，加强的地方始终加强，减弱的地方始终减弱，形成的图样是稳定的干涉图样．
说明：①加强、减弱点的位移与振幅．
加强处和减弱处都是两列波引起的位移的矢量和，质点的位移都随时间变化，各质点仍围烧平衡位置振动，与振源振动周期相同．
加强处振幅大，等于两列波的振幅之和，即A=A1 +A2,质点的振动能量大，并且始终最大．
减弱处振幅小，等于两列波的振福之差，即A=∣A1－A2∣,质点振动能量小，并且始终最小，若A1=A2，则减弱处不振动．
加强点的位移变化范围： 一∣A1 +A2∣～∣A1 +A2∣
减弱点位移变化范围：一∣A1－A2∣～∣A1－A2∣
②干涉是波特有的现象．
③加强和减弱点的判断．
波峰与波峰（波谷与波谷）相遇处一定是加强的，并且用一条直线将以上加强点连接起来，这条直线上的点都是加强的；而波峰与波谷相遇处一定是减弱的，把以上减弱点用直线连接起来，直线上的点都是减弱的．加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点振幅之间．
当两相干波源振动步调相同时，到两波源的路程差Δs是波长整数倍处是加强区．而路程差是半波长奇数倍处是减弱区．
任何波相遇都能叠加，但两列频率不同的同性质波相遇不能产生干涉．
5.驻波:两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波叠加时，形成驻波．
(1)波节：始终静止不动的点．
(2)波腹：波节与波节之间振幅最大的点．
(3)驻波—特殊的干涉现象:波源特殊;波形特殊
说明：驻波与行波的区别．
①物理意义不同：驻波是两列波的特珠干涉现象，行波是一列波在介质中的传播．
②质点的振动情况不同：在行波中各个质点作振格相同的简谐运动，在驻波中各个质．点作振幅不同的简谐运动；处于波腹位置的质点振幅最大；处于波节位置的质点振幅等于零；其他一些质点的振幅也不相同，但都比波腹处质点的振幅小．
③波形不同：行波波形经过一段时间，波形向前“平移”，而驻波波形并不随时间发生平移，只是各质点的振动位移发生变化而已．
6．多普勒效应
(1)由于波源和观察者之间有相对运动，使观察者感到频率发生变化的现象．实质是：波源的频率没有变化，而是观察者接收到的频率发生了变化．
(2)多普勒效应的产生原因
观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数．当波以速度v通过接收者时，时间t内通过的完全波的个数为N=vt/λ，因而单位时间内通过接收者的完全波的个数，即接收频率f v/λ．
若波源不动，观察者朝向波源以速度V2运动，由于相对速度增大而使得单位时间内通过观察者的完全波的个数增多，即，可见接收频率增大了.同理可知，当观察者背离波源运动时，接收频率将减小．
若观察者不动，波源朝向观察者以速度v1运动，由于波长变短为λ/=λ－v1T，而使得单位时间内通过观察者的完全波的个数增多，即，可见接收频率亦增大，同理可知，当波源背离观察者运动时，接收频率将减小．
注：发生多普勒效应时，波源的真实率不发生任何变化，只是观察者接收到的频率发生了变化．
(3)相对运动与频率的关系
①波源与观察者相对静止：观察者接收到的频率等于波源的频率．
②波源与观察者相互接近：观察者接收到的频率增大．
③波源与观察者相互远离：观察者接收到的频率减小．
六.声波
(1)空气中的声波是纵波．能在空气、液体、固体中传播．在通常情况下在空气中为340m／s，随介质、温度改变而变．
(2)人耳听到声波的频率范围：20 Hz ---20000 Hz.
(3)能够把回声与原声区分开来的最小时间间隔为0.1s
(4)声波亦能发生反射、折射、干涉和衍射等现象．声波的共振现象称为声波的共鸣．
(5)次声波：频率低于20 Hz的声波．
(6)超声波：频率高于20000 Hz的声波．
应用：声呐、探伤、打碎、粉碎、诊断等．
(7)声音的分类①乐音：好听悦耳的声音．乐音的三要素：音调（基音的频率的高低）、响度（声源的振幅大小）、音品（泛音的多少，泛音的频率和振幅共同决定的）．声强：单位时间内通过垂直于声波传播方向单位面积的能量．②噪声：嘈杂刺耳的声音，是妨碍人的正常生活和工作的声音．噪声已列为国际公害．
【高频考点突破】
考点一　波动图象与波速公式的应用
例1、一列简谐横波在t＝0时的波形图如图10所示．介质中x＝2 m处的质点P沿y轴方向做简谐运动的表达式为y＝10sin (5πt) cm.关于这列简谐波，下列说法正确的是 (　　)
图10
A．周期为4.0 s
B．振幅为20 cm
C．传播方向沿x轴正向
D．传播速度为10 m/s
【变式探究】如图所示为一列在均匀介质中沿x轴正方向传播的简谐横波在某时刻的波形图，波速为4 m/s，则 (　　)
A．质点P此时刻的振动方向沿y轴正方向
B．P点振幅比Q点振幅小
C．经过Δt＝3 s，质点Q通过的路程是0.6 m
D．经过Δt＝3 s，质点P将向右移动12 m
考点二　振动图象与波动图象
例2、如图甲为一列简谐横波在t＝0.10 s时刻的波形图，P是平衡位置为x＝1 m处的质点，Q是平衡位置为x＝4 m处的质点，图乙为质点Q的振动图象，则 (　　)
A．t＝0.15 s时，质点Q的加速度达到正向最大
B．t＝0.15 s时，质点P的运动方向沿y轴负方向
C．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，该波沿x轴正方向传播了6 m
D．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，质点P通过的路程为30 cm
答案　AB
【变式探究】如图13所示，甲图为沿x轴传播的一列简谐横波在t＝0时刻的波动图象，乙图是x＝2 m处质点P的振动图象，下列判断正确的是 (　　)
　
图13
A．该波的传播速率为4 m/s
B．该波沿x轴正方向传播
C．经过0.5 s，质点P沿波的传播方向移动2 m
D．若遇到3 m的障碍物，该波能发生明显的衍射现象
考点三　波的干涉、衍射、多普勒效应
例3、如图14表示两个相干波源S1、S2产生的波在同一种均匀介质中相遇．图中实线表示波峰，虚线表示波谷，c和f分别为ae和bd的中点，则：
图14
(1)在a、b、c、d、e、f六点中，振动加强的点是__________．振动减弱的点是____________．
(2)若两振源S1和S2振幅相同，此时刻位移为零的点是________．
(3)画出此时刻ace连线上，以a为起点的一列完整波形，标出e点．
【变式探究】如图15甲所示，男同学站立不动吹口哨，一位女同学坐在秋千上来回摆动，下列关于女同学的感受的说法正确的是 (　　)
　
　　　　　　甲　　　　　　　　　乙
图15
A．女同学从A向B运动过程中，她感觉哨声音调变高
B．女同学从E向D运动过程中，她感觉哨声音调变高
C．女同学在C点向右运动时，她感觉哨声音调不变
D．女同学在C点向左运动时，她感觉哨声音调变低
答案　AD
【经典考题精析】
（2014·浙江卷）下列说法正确的是(　　)
A．机械波的振幅与波源无关
B．机械波的传播速度由介质本身的性质决定
C．物体受到的静摩擦力方向与其运动方向相反
D．动摩擦因数的数值跟相互接触的两个物体的材料无关
（2014·四川卷）如图所示，甲为t＝1 s时某横波的波形图像，乙为该波传播方向上某一质点的振动图像，距该质点Δx＝0.5 m处质点的振动图像可能是(　　)
甲　　　　　　　　　　　　乙　　　
A　　　　　　　　　　　　B　
C　　　　　　　　　　　　D　
【答案】A　【解析】从甲图可以得到波长为2 m，从乙图可以得到周期为2 s，即波速为1 m/s；由乙图的振动图像可以找到t＝1 s时，该质点位移为负，并且向下运动，距该质点Δx＝0.5 m处的质点与该质点的振动情况相差，即将乙图中的图像向左或右平移周期即可得到距该质点Δx＝0.5 m处质点的振动图像，故只有A正确．
（2014·全国卷）两列振动方向相同、振幅分别为A1和A2的相干简谐横波相遇．下列说法正确的是(　　)
A．波峰与波谷相遇处质点的振幅为|A1－A2|
B．波峰与波峰相遇处质点离开平衡位置的位移始终为A1＋A2
C．波峰与波谷相遇处质点的位移总是小于波峰与波峰相遇处质点的位移
D．波峰与波峰相遇处质点的振幅一定大于波峰与波谷相遇处质点的振幅
（2013·北京卷）一列沿x轴正方向传播的简谐机械横波，波速为4 m/s.某时刻波形如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．这列波的振幅为4 cm
B．这列波的周期为1 s
C．此时x＝4 m处质点沿y轴负方向运动
D．此时x＝4 m处质点的加速度为0
（2013·重庆卷）一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6 m，且这两质点之间的波峰只有一个，则该简谐波可能的波长为(　　)
A．4 m、6 m和8 m B．6 m、8 m和12 m
C．4 m、6 m和12 m D．4 m、8 m和12 m
【答案】C　
（2013·福建卷）如图，t＝0时刻，波源在坐标原点从平衡位置沿y轴正向开始振动，振动周期为0.4 s，在同一均匀介质中形成沿x轴正、负两方向传播的简谐横波．下图中能够正确表示t＝0.6 s时波形的图是(　　)
(2012·天津理综·7)沿x轴正方向传播的一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图19所示，M为介质中的一个质点，该波的传播速度为40 m/s，则t＝ s时 (　　)
A．质点M对平衡位置的位移一定为负值
B．质点M的速度方向与对平衡位置的位移方向相同
C．质点M的加速度方向与速度方向一定相同
D．质点M的加速度方向与对平衡位置的位移方向相反
答案　CD
(2012·安徽理综·15)一列简谐波沿x轴正方向传播，在t＝0时波形如图20所示，已知波速为10 m/s.
则t＝0.1 s时正确的波形应是下图中的 (　　)
图20
(2012·福建理综·13)一列简谐横波沿x轴传播，t＝0时刻的波形如图21甲所示，此时质点P正沿y
轴负方向运动，其振动图象如图乙所示，则该波的传播方向和波速分别是 (　　)
图21
A．沿x轴负方向，60 m/s B．沿x轴正方向，60 m/s
C．沿x轴负方向，30 m/s D．沿x轴正方向，30 m/s
(2012·四川理综·19)在xOy平面内有一列沿x轴正方向传播的简谐横波，波速为2 m/s，振幅为A.M、N是位于平衡位置且相距2 m的两个质点，如图22所示．在t＝0时，M通过其平衡位置沿y轴正方向运动，N位于其平衡位置上方最大位移处．已知该波的周期大于1 s．则 (　　)
A．该波的周期为 s
B．在t＝ s时，N的速度一定为2 m/s
C．从t＝0到t＝1 s，M向右移动了2 m
D．从t＝ s到t＝ s，M的动能逐渐增大
【2016高考考纲解读】
1.理解折射率的概念，掌握光的折射定律.
2.掌握全反射的条件，会进行有关简单的计算．
【重点知识梳理】
一、光的折射
1．折射现象：光从一种介质进入另一种介质，传播方向发生改变的现象．
2．折射定律：折射光线、入射光线跟法线在同一平面内，折射光线、入射光线分居法线两侧，入射角的正弦跟折射角的正弦成正比．
3．在折射现象中光路是可逆的．
二、折射率
1．定义：光从真空射入某种介质，入射角的正弦跟折射角的正弦之比，叫做介质的折射率． 注意：光从真空射入介质．
2．公式：n=sini/sinγ，折射率总大于1．即n＞1．
3.各种色光性质比较：红光的n最小，ν最小，在同种介质中（除真空外）v最大，λ最大，从同种介质射向真空时全反射的临界角C最大，以相同入射角在介质间发生折射时的偏折角最小（注意区分偏折角和折射角）。
4．两种介质相比较，折射率较大的叫光密介质，折射率较小的叫光疏介质．
三、全反射
1．全反射现象：光照射到两种介质界面上时，光线全部被反射回原介质的现象．
2．全反射条件：光线从光密介质射向光疏介质，且入射角大于或等于临界角．
3．临界角公式：光线从某种介质射向真空（或空气）时的临界角为C，则sinC=1/n=v/c
四、棱镜与光的色散
1.棱镜对光的偏折作用
一般所说的棱镜都是用光密介质制作的。入射光线经三棱镜两次折射后，射出方向与入射方向相比，向底边偏折。（若棱镜的折射率比棱镜外介质小则结论相反。）
作图时尽量利用对称性（把棱镜中的光线画成与底边平行）。
由于各种色光的折射率不同，因此一束白光经三棱镜折射后发生色散现象，在光屏上形成七色光带（称光谱）（红光偏折最小，紫光偏折最大。）在同一介质中，七色光与下面几个物理量的对应关系如表所示。
色光
红橙黄绿蓝靛紫
折射率
小大
偏向角
小大
频率
小小
速度
大小
2.全反射棱镜
横截面是等腰直角三角形的棱镜叫全反射棱镜。选择适当的入射点，可以使入射光线经过全反射棱镜的作用在射出后偏转90o（右图1）或180o（右图2）。要特别注意两种用法中光线在哪个表面发生全反射。
3.玻璃砖
所谓玻璃砖一般指横截面为矩形的棱柱。当光线从上表面入射，从下表面射出时，其特点是：⑴射出光线和入射光线平行；⑵各种色光在第一次入射后就发生色散；⑶射出光线的侧移和折射率、入射角、玻璃砖的厚度有关；⑷可利用玻璃砖测定玻璃的折射率。
4.光导纤维
全反射的一个重要应用就是用于光导纤维（简称光纤）。光纤有内、外两层材料，其中内层是光密介质，外层是光疏介质。光在光纤中传播时，每次射到内、外两层材料的界面，都要求入射角大于临界角，从而发生全反射。这样使从一个端面入射的光，经过多次全反射能够没有损失地全部从另一个端面射出。
五、各光学元件对光路的控制特征
（1）光束经平面镜反射后，其会聚（或发散）的程度将不发生改变。这正是反射定律中“反射角等于入射角”及平面镜的反射面是“平面”所共同决定的。
（2）光束射向三棱镜，经前、后表面两次折射后，其传播光路变化的特征是：向着底边偏折，若光束由复色光组成，由于不同色光偏折的程度不同，将发生所谓的色散现象。
（3）光束射向前、后表面平行的透明玻璃砖，经前、后表面两次折射后，其传播光路变化的特征是；传播方向不变，只产生一个侧移。
（4）光束射向透镜，经前、后表面两次折射后，其传播光路变化的特征是：凸透镜使光束会聚，凹透镜使光束发散。
六、各光学镜的成像特征
物点发出的发散光束照射到镜面上并经反射或折射后，如会聚于一点，则该点即为物点经镜面所成的实像点；如发散，则其反向延长后的会聚点即为物点经镜面所成的虚像点。因此，判断某光学镜是否能成实（虚）像，关键看发散光束经该光学镜的反射或折射后是否能变为会聚光束（可能仍为发散光束）。
（1）平面镜的反射不能改变物点发出的发散光束的发散程度，所以只能在异侧成等等大的、正立的虚像。
（2）凹透镜的折射只能使物点发出的发散光束的发散程度提高，所以只能在同侧成缩小的、正立的虚像。
（3）凸透镜的折射既能使物点发出的发散光束仍然发散，又能使物点发出的发散光束变为聚光束，所以它既能成虚像，又能成实像。
七、几何光学中的光路问题
几何光学是借用“几何”知识来研究光的传播问题的，而光的传播路线又是由光的基本传播规律来确定。所以，对于几何光学问题，只要能够画出光路图，剩下的就只是“几何问题”了。而几何光学中的光路通常有如下两类：
（1）“成像光路”——一般来说画光路应依据光的传播规律，但对成像光路来说，特别是对薄透镜的成像光路来说，则是依据三条特殊光线来完成的。这三条特殊光线通常是指：平行于主轴的光线经透镜后必过焦点；过焦点的光线经透镜后必平行于主轴；过光心的光线经透镜后传播方向不变。
（2）“视场光路”——即用光路来确定观察范围。这类光路一般要求画出所谓的“边缘光线”，而一般的“边缘光线”往往又要借助于物点与像点的一一对应关系来帮助确定。
【高频考点突破】
考点一　折射定律的理解与应用
例1、如图5所示，ABCD为一直角梯形棱镜的截面，∠C＝60°，P为垂直于直线BC的光屏，现用一宽度等于AB边的单色平行光束垂直射向AB面，经棱镜折射后在屏P上形成宽度等于AB的一条光带，求棱镜的折射率．
图5
由折射定律可得n＝，解得n＝
答案　
【变式探究】如图所示，在坐标系的第一象限内有一横截面为四分之一圆周的柱状玻璃体OPQ，OP＝OQ＝R，一束单色光垂直OP面射入玻璃体，在OP面上的入射点为A，OA＝，此单色光通过玻璃体后沿BD方向射出，且与x轴交于D点，OD＝R，求该玻璃的折射率．
考点二　全反射现象的理解与应用
例2、如图所示为用某种透明材料制成的一块柱形棱镜的截面图，圆弧CD为半径为R的四分之一的圆周，圆心为O，光线从AB面上的某点入射，入射角θ1＝45°，它进入棱镜后恰好以
临界角射在BC面上的O点．
(1)画出光线由AB面进入棱镜且从CD弧面射出的光路图；
(2)求该棱镜的折射率n；
(3)求光线在该棱镜中传播的速度大小v(已知光在空气中的传播速度c＝3.0×108 m/s)．
【变式探究】为测量一块等腰直角三棱镜ABD的折射率，用一束激光沿平行于BD边的方向射向直角边AB边，如图8所示．激光束进入棱镜后射到另一直角边AD边时，刚好能发生全反射．该棱镜的折射率为多少？
考点三　光路控制问题分析
1． 玻璃砖对光路的控制
两平面平行的玻璃砖，出射光线和入射光线平行，且光线发生了侧移，如图9所示．
图9
2． 三棱镜对光路的控制
(1)光密三棱镜：光线两次折射均向底面偏折，偏折角为δ，如图10所示．
(2)光疏三棱镜：光线两次折射均向顶角偏折． 图10
(3)全反射棱镜(等腰直角棱镜)，如图11所示．
　　　　　　图11
①当光线从一直角边垂直射入时，在斜边发生全反射，从另一直角边垂直射出(如图11甲)．
②当光线垂直于斜边射入时，在两直角边发生全反射后又垂直于斜边射出(如图11乙)，入射光线和出射光线互相平行．
特别提醒　不同颜色的光的频率不同，在同一种介质中的折射率、光速也不同，发生全反射现象的临界角也不同．
例3、如图所示，MNPQ是一块截面为正方形的玻璃砖，正方形的边长为30 cm，有一束很强的细光束AB射到玻璃砖的MQ面上，入射点为B，该光束从B点进入玻璃砖后再经QP面反射沿DC方向射出．其中B为MQ的中点，∠ABM＝30°，PD＝7.5 cm，∠CDN＝30°.试在原图上准确画出该光束在玻璃砖内的光路图，并求出该玻璃砖的折射率．
【变式探究】如图所示是透明圆柱介质的横截面，C、D为圆上两点．一束单色光沿BC方向入射，从D点射出．已知∠COD＝90°，∠BCO＝120°.
(1)求介质的折射率；
(2)改变∠BCO的大小，能否在介质的内表面发生全反射？
【经典考题精析】
（2014·浙江卷）关于下列光学现象，说法正确的是(　　)
A．水中蓝光的传播速度比红光快
B．光从空气射入玻璃时可能发生全反射
C．在岸边观察前方水中的一条鱼，鱼的实际深度比看到的要深
D．分别用蓝光和红光在同一装置上做双缝干涉实验，用红光时得到的条纹间距更宽
（2014·天津卷）一束由两种频率不同的单色光组成的复色光从空气射入玻璃三棱镜后，出射光分成a、b两束，如图所示，则a、b两束光(　　)
A．垂直穿过同一块平板玻璃，a光所用的时间比b光长
B．从同种介质射入真空发生全反射时，a光临界角比b光的小
C．分别通过同一双缝干涉装置，b光形成的相邻亮条纹间距小
D．若照射同一金属都能发生光电效应，b光照射时逸出的光电子最大初动能大
（2014·四川卷）如图所示，口径较大、充满水的薄壁圆柱形浅玻璃缸底有一发光小球，则(　　)
A．小球必须位于缸底中心才能从侧面看到小球
B．小球所发的光能从水面任何区域射出
C．小球所发的光从水中进入空气后频率变大
D．小球所发的光从水中进入空气后传播速度变大
（2014·福建卷）如图， 一束光由空气射向半圆柱体玻璃砖，O点为该玻璃砖截面的圆心，下图能正确描述其光路的是(　　)
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
（2013·北京卷）如图所示，一束可见光射向半圆形玻璃砖的圆心O，经折射后分为两束单色光a和b.下列判断正确的是(　　)
A．玻璃对a光的折射率小于对b光的折射率
B．a光的频率大于b光的频率
C．在真空中a光的波长大于b光的波长
D．a光光子能量小于b光光子能量
（2013·四川卷）光射到两种不同介质的分界面，分析其后的传播情形可知(　　)
A．折射现象的出现说明光是纵波
B．光总会分为反射光和折射光
C．折射光与入射光的传播方向总是不同的
D．发生折射是因为光在不同介质中的传播速度不同
(2012·天津理综·6)半圆形玻璃砖横截面如图16所示，AB为直径，O点为圆心．在该截面内有a、b两束单色可见光从空气垂直于AB射入玻璃砖，两入射点到O的距离相等．两束光在半圆边界上反射和折射的情况如图所示，则a、b两束光 (　　)
A．在同种均匀介质中传播，a光的传播速度较大
B．以相同的入射角从空气斜射入水中，b光的折射角大
C．若a光照射某金属表面能发生光电效应，则b光也一定能
D．分别通过同一双缝干涉装置，a光的相邻亮条纹间距大
(2011·福建理综·14)如图所示，半圆形玻璃砖置于光屏PQ的左下方．一束白光沿半径方向从A点射入玻璃砖，在O点发生反射和折射，折射光在光屏上呈现七色光带．若入射点由A向B缓慢移动，并保持白光沿半径方向入射到O点，观察到各色光在光屏上陆续消失．在光带未完全消失之前，反射光的强度变化以及光屏上最先消失的光分别是 (　　)
A．减弱，紫光 B．减弱，红光
C．增强，紫光 D．增强，红光
答案　C
解析　因n红C紫，因此当增大入射角时，紫光先发生全反射，紫光先消失，且当入射光的入射角逐渐增大时，折射光强度会逐渐减弱，反射光强度会逐渐增强，故应选C.
(2009·浙江理综·18)如图18所示，有一束平行于等边三棱镜截面ABC的单色光从空气射向E点，并偏折到F点．已知入射方向与边AB的夹角为θ＝30°， E、F 分别为边AB、BC 的中点，则 (　　)
A．该棱镜的折射率为
B．光在F点发生全反射
C．光从空气进入棱镜，波长变小
D．从F点出射的光束与入射到E点的光束平行
【2016高考考纲解读】
1.理解光的干涉现象，掌握双缝干涉中出现明暗条纹的条件.
2.理解光的衍射现象，知道发生明显衍射的条件.
3.知道光的偏振现象，了解偏振在日常生活中的应用．
【重点知识梳理】
一、光的干涉
1.产生相干光源的方法（必须保证r相同）。
⑴利用激光；⑵将一束光分为两束。
2．双缝干涉的定量分析
如图所示，缝屏间距L远大于双缝间距d，O点与双缝S1和S2等间距，则当双缝中发出光同时射到O点附近的P点时，两束光波的路程差为 δ=r2－r1.
由几何关系得 r12=L2+(x－)2， r22=L2+(x+)2.
考虑到 L》d 和 L》x，可得 δ=.
若光波长为λ，则当 δ=±kλ（k=0，1，2，…）时，两束光叠加干涉加强；
当 δ=±(2k－1) (k=1，2，3，…)时，两束光叠加干涉减弱，据此不难推算出
（1）明纹坐标 x=±kλ （k=0，1，2，…）
（2）暗纹坐标 x=±(2k－1) · （k=1，2，…）
（3）条纹间距 △x=λ.
上述条纹间距表达式提供了一种测量光波长的方法。
结论：由同一光源发出的光经两狭缝后形成两列光波叠加产生．当这两列光波到达某点的路程差为波长的整数倍时，即δ=kλ，该处的光互相加强，出现亮条纹；当到达某点的路程差为半波长奇数倍时，既δ=，该点光互相消弱，出现暗条纹；条纹间距离与单色光波长成正比．∝λ，所以用白光作双缝干涉实验时，屏的中央是白色亮纹，两边是彩色条纹，离中央白色亮纹最近的是紫色亮纹。
薄膜干涉应用
（1）透镜增透膜：透镜增透膜的厚度应是透射光在薄膜中波长的1／4倍。使薄膜前后两面的反射光的光程差为波长的一半，(ΔT=2d=?λ，得d=?λ)，故反射光叠加后减弱，从能量的角度分析E入=E反+E透+E吸。 在介质膜吸收能量不变的前提下，若E反=0，则E透最大。增强透射光的强度。
（2）“用干涉法检查平面”：如图所示，两板之间形成一层空气膜，用单色光从上向下照射，如果被检测平面是光滑的，得到的干涉图样必是等间距的。 如果某处凸起来，则对应明纹(或暗纹)提前出现，如图甲所示；如果某处凹下，则对应条纹延后出现，如图乙所示。 (注：“提前”与“延后”不是指在时间上，而是指由左向右的顺序位置上。 )
4．光的波长、波速和频率的关系V＝λf。光在不同介质中传播时，其频率f不变，其波长λ与光在介质中的波速V成正比．色光的颜色由频率决定，频率不变则色光的颜色也不变。
二、光的衍射
1、光的衍射现象是光离开直线路径而绕到障碍物阴影里的现象．
2．泊松亮斑：当光照到不透光的极小圆板上时，在圆板的阴影中心出现的亮斑。当形成泊松亮斑时，圆板阴影的边缘是模糊的，在阴影外还有不等间距的明暗相间的圆环。
3、各种不同形状的障碍物都能使光发生衍射。
4．产生明显衍射的条件：障碍物或孔的尺寸可以跟光的波长相比或比光的波长小．
小结：光的干涉条纹和衍射条纹都是光波叠加的结果，但存在明显的区别：
单色光的衍射条纹与干涉条纹都是明暗相间分布，但衍射条纹中间亮纹最宽，两侧条纹逐渐变窄变暗，干涉条纹则是等间距，明暗亮度相同。 白光的衍射条纹与干涉条纹都是彩色的。
三.光的偏振
（1）自然光。太阳、电灯等普通光源直接发出的光，包含垂直于传播方向上沿一切方向振动的光，而且沿各个方向振动的光波的强度都相同，这种光叫自然光。
（2）偏振光。自然光通过偏振片后，在垂直于传播方向的平面上，只沿一个特定的方向振动，叫偏振光。自然光射到两种介质的界面上，如果光的入射方向合适，使反射和折射光之间的夹角恰好是90°，这时，反射光和折射光就都是偏振光，且它们的偏振方向互相垂直。我们通常看到的绝大多数光都是偏振光。
（3）只有横波才有偏振现象。光的偏振也证明了光是一种波，而且是横波。各种电磁波中电场E的方向、磁场B的方向和电磁波的传播方向之间，两两互相垂直。
（4）光波的感光作用和生理作用主要是由电场强度E引起的，因此将E的振动称为光振动。
四、光的电磁说．
1、光的干涉与衍射充分地表明光是一种波，光的偏振现象又进一步表明光是横波。麦克斯韦对电磁理论的研究预言了电磁波的存在，并得到电磁波传播速度的理论值3.11×108m/s，这和当时测出的光速3.15×108m/s非常接近，在此基础上麦克斯韦提出了光在本质上是一种电磁波，这就是所谓的光的电磁说。赫兹用实验证实了电磁波的存在，并测出其波长与频率，进而得到电磁波的传播速度，用实验证实了光的电磁说。
2．电磁波按波长由大到小的顺序排列为：无线电波、红外线、可见光、紫外线、X射级、γ射线，除可见光外，相邻波段都有重叠。
3．无线电波是自由电子振荡产生的，红外线．可见光、紫外线是原子的外层电子受到激发后产生的，x射线是原子的内层电子受到激发后产生的，γ射线是原子核受到激发后产生的．
电磁波种类
无线电波
红外线
可见光
紫外线
伦琴射线
γ射线
频率（Hz）
104～
3×1012
1012～
3.9×1014
3.9×1014
～
7.5×1014
7.5×1014
～5×1016
3×1016
～
3×1020
3×1019
以上
真空中波长（m）
3×1014～
10—4
3×104～
7.7×10—7
7.7×10—7
～4×10—7
4×10—7
～6×10—9
10—8～
10—12
10—11以下
观察方法
无线电技术
利用热效应 激发荧光 利用贯穿本领
照相底片感光（化学效应）
核技术
产生方式
LC电路中自由电子的的振荡
原子的外层电子受到激发
原子的内层电子受到激发
原子核受到激发
用途
通讯，广播，导航
加热烘干、遥测遥感，医疗，导向等
照明，照相，加热
日光灯，黑光灯手术室杀菌消毒，治疗皮肤病等
检查探测，透视，治疗等
探测，治疗等

4.红外线、紫外线、X射线的性质及应用。
种 类
产 生
主要性质
应用举例
红外线
一切物体都能发出
热效应
遥感、遥控、加热
紫外线
一切高温物体能发出
化学效应
荧光、杀菌、合成VD2
X射线
阴极射线射到固体表面
穿透能力强
人体透视、金属探伤
物体辐射出的电磁波中辐射最强的波长λm和物体温度T之间满足关系：λm( T = b（常数）。
【高频考点突破】
考点一　光的双缝干涉现象的理解
例1、如图所示，在双缝干涉实验中，S1和S2为双缝，P是光屏上的一点，已知P点与S1、S2距离之差为2.1×10－6 m，分别用A、B两种单色光在空气中做双缝干涉实验，问P点是亮条纹还是暗条纹？
(1)已知A光在折射率为1.5的介质中波长为4×10－7 m；
(2)已知B光在某种介质中波长为3.15×10－7 m，当B光从这种介
质射向空气时，临界角为37°；
(3)若让A光照射S1，B光照射S2，试分析光屏上能观察到的现象．
【变式探究】如图所示，a、b为两束不同频率的单色光，以45°的入射角射到玻璃砖的上表面，直线OO′与玻璃砖垂直且与其上表面交于N点，入射点A、B到N点的距离相等，经玻璃砖上表面折射后两束光相交于图中的P点，则下列说法正确的是 (　　)
A．在真空中，a光的传播速度大于b光的传播速度
B．在玻璃中，a光的传播速度小于b光的传播速度
C．同时增大入射角(入射角始终小于90°)，则a光在下表面先发生全反射
D．对同一双缝干涉装置，a光的干涉条纹比b光的干涉条纹宽
考点二　薄膜干涉现象的理解
例2、在研究材料A的热膨胀特性时，可采用如图6所示的干涉实验法．A的上表面是一光滑平面，在A的上方放一个透明的平行板B，B与A上表面平行，在它们之间形成一厚度均匀的空气膜．现在用波长为λ的单色光垂直照射，同时对A缓慢加热，在B上方观察到B板的亮度发生周期性变化．当温度为t1时最亮，然后亮度逐渐减弱至最暗；当温度升高到t2时，亮度再一次回到最亮．

(1)在B板上方观察到的亮暗变化是由哪两个表面的反射光叠加形成的？
(2)温度由t1升高到t2时，A的高度升高多少？
【变式探究】劈尖干涉是一种薄膜干涉，其装置如图7甲所示．将一块平板玻璃放置在另一平板玻璃之上，在一端夹入两张纸片，从而在两玻璃表面之间形成一个劈形空气薄膜．当光垂直入射后，从上往下看到的干涉条纹如图乙所示，干涉条纹有如下两个特点：
图7
(1)任意一条明条纹或暗条纹所在位置下面的薄膜厚度相等；
(2)任意相邻明条纹或暗条纹所对应的薄膜厚度差恒定．
现若在图甲装置中抽去一张纸片，则当光垂直入射到新劈形空气薄膜后，从上往下观察到的干涉条纹将如何变化？
考点三　光的衍射现象的理解
例3、如图8所示的4种明暗相间的条纹，分别是红光、蓝光通过同一个双缝干涉仪形成的干涉图样和黄光、紫光通过同一个单缝形成的衍射图样(黑色部分代表亮纹)，那么1、2、3、4四个图中亮条纹的颜色依次是 (　　)
1　　　　 2　　　　3　　　　4
图8
A．红黄蓝紫 B．红紫蓝黄
C．蓝紫红黄 D．蓝黄红紫
解析　由于双缝干涉条纹是等间距的，而单缝衍射条纹除中央亮条纹最宽最亮之外，两侧条纹亮度、宽度【变式探究】在单缝衍射实验中，下列说法正确的是 (　　)
A．其他条件不变，将入射光由黄色换成绿色，衍射条纹间距变窄
B．其他条件不变，使单缝宽度变小，衍射条纹间距变窄
C．其他条件不变，换用波长较长的光照射，衍射条纹间距变宽
D．其他条件不变，增大单缝到屏的距离，衍射条纹间距变宽
考点四　光的偏振现象的理解
例4、如图所示，电灯S发出的光先后经过偏振片A和B，人眼在P处迎着入射光方向，看不到光亮，则 (　　)
A．图中a光为偏振光
B．图中b光为偏振光
C．以SP为轴将B转过180°后，在P处将看到光亮
D．以SP为轴将B转过90°后，在P处将看到光亮
解析　自然光沿各个方向发散是均匀分布的，通过偏振片后，透射光是只沿着某一特定方向振动的光．从电灯直接发出的光为自然光，则A错；21世纪教育网它通过A偏振片后，即变为偏振光，则B对；设通过A的光沿竖直方向振动，P点无光亮，则B偏振片只能通过沿水平方向振动的偏振光，将B转过180°后，P处仍无光亮，C错；若将B转过90°，则该偏振片将变为能通过竖直方向上振动的光的偏振片，则偏振光能通过B，即在P处有光亮，D对．
答案　BD
【变式探究】光的偏振现象说明光是横波．下列现象中不能反映光的偏振特性的是(　　)
A．一束自然光相继通过两个偏振片，以光束为轴旋转其中一个偏振片，透射光的强度发生变化
B．一束自然光入射到两种介质的分界面上，当反射光线与折射光线之间的夹角恰好是90°时，反射光是偏振光
C．日落时分，拍摄水面下的景物，在照相机镜头前装上偏振滤光片可以使景像更清晰
D．通过手指间的缝隙观察日光灯，可以看到彩色条纹
【经典考题精析】
（2014·天津卷）一束由两种频率不同的单色光组成的复色光从空气射入玻璃三棱镜后，出射光分成a、b两束，如图所示，则a、b两束光(　　)
A．垂直穿过同一块平板玻璃，a光所用的时间比b光长
B．从同种介质射入真空发生全反射时，a光临界角比b光的小
C．分别通过同一双缝干涉装置，b光形成的相邻亮条纹间距小
D．若照射同一金属都能发生光电效应，b光照射时逸出的光电子最大初动能大
（2014·浙江卷）关于下列光学现象，说法正确的是(　　)
A．水中蓝光的传播速度比红光快
B．光从空气射入玻璃时可能发生全反射
C．在岸边观察前方水中的一条鱼，鱼的实际深度比看到的要深
D．分别用蓝光和红光在同一装置上做双缝干涉实验，用红光时得到的条纹间距更宽
正确．
（2014·四川卷）电磁波已广泛运用于很多领域．下列关于电磁波的说法符合实际的是(　　)
A．电磁波不能产生衍射现象
B．常用的遥控器通过发出紫外线脉冲信号来遥控电视机
C．根据多普勒效应可以判断遥远天体相对于地球的运动速度
光在真空中运动的速度在不同惯性系中测得的数值可能不同
（2014·全国卷）在双缝干涉实验中，一钠灯发出的波长为589 nm的光，在距双缝1.00 m的屏上形成干涉图样．图样上相邻两明纹中心间距为0.350 cm，则双缝的间距为(　　)
A．2.06×10－7 m B．2.06×10－4 m
C．1.68×10－4 m D．1.68×10－3 m
【答案】C　【解析】本题考查双缝干涉条纹间距离公式．双缝干涉相邻条纹间距Δx＝λ，则d＝λ＝1.68×10－4 m，C正确．
(2013·大纲全国·14)下列现象中，属于光的衍射的是 (　　)
A．雨后天空出现彩虹
B．通过一个狭缝观察日光灯可看到彩色条纹
C．海市蜃楼现象
D．日光照射在肥皂膜上出现彩色条纹
. (2012·江苏·12B(1))如图10所示，白炽灯的右侧依次平行放置偏振片P和Q，A点位于P、Q之间，B点位于Q右侧．旋转偏振片P，A、B两点光的强度变化情况是________．
图10
A．A、B均不变 B．A、B均有变化
C．A不变，B有变化 D．A有变化，B不变
答案　C
解析　白炽灯光包含各方向的光，且各个方向的光强度相等，所以旋转偏振片P时各方向透射光强度相同，故A点光的强度不变；白炽灯光经偏振片P后变为偏振光，当Q旋转时，只有与P的偏振方向一致时才有光透过Q，因此B点的光强有变化，选项C正确．
. (2011·浙江·18)关于波动，下列说法正确的是 (　　)
A．各种波均会发生偏振现象
B．用白光做单缝衍射与双缝干涉实验，均可看到彩色条纹
C．声波传播过程中，介质中质点的运动速度等于声波的传播速度
D．已知地震波的纵波波速大于横波波速，此性质可用于横波的预警
(2011·北京·14)如图所示的双缝干涉实验，用绿光照射单缝S时，在光屏P上观察到干涉条纹．要得到相邻条纹间距更大的干涉图样，可以 (　　)
A．增大S1与S2的间距
B．减小双缝屏到光屏的距离
C．将绿光换为红光
D．将绿光换为紫光

【2016高考考纲解读】
1.掌握麦克斯韦电磁场理论，知道电磁波是横波.
2.了解电磁波的产生、传播、发射和接收，熟记电磁波谱.
3.了解狭义相对论的基本假设和几个重要结论．
【重点知识梳理】
一、电磁振荡
1．振荡电路：大小和方向都随时间做周期性变儿的电流叫做振荡电流，能够产生振荡电流的电路叫振荡电路，LC回路是一种简单的振荡电路。
2．LC回路的电磁振荡过程：可以用图象来形象分析电容器充、放电过程中各物理量的变化规律，如图所示
3．LC回路的振荡周期和频率


注意：（1）LC回路的T、f只与电路本身性质L、C有关
（2）电磁振荡的周期很小，频率很高，这是振荡电流与普通交变电流的区别。分析电磁振荡要掌握以下三个要点（突出能量守恒的观点）：
⑴理想的LC回路中电场能E电和磁场能E磁在转化过程中的总和不变。
⑵回路中电流越大时，L中的磁场能越大（磁通量越大）。
⑶极板上电荷量越大时，C中电场能越大（板间场强越大、两板间电压越高、磁通量变化率越大）。
LC回路中的电流图象和电荷图象总是互为余函数（见右图）。
【例1】 某时刻LC回路中电容器中的电场方向和线圈中的磁场方向如右图所示。则这时电容器正在_____（充电还是放电），电流大小正在______（增大还是减小）。
【例2】右边两图中电容器的电容都是C=4×10-6F，电感都是L=9×10－4H，左图中电键K先接a，充电结束后将K扳到b；右图中电键K先闭合，稳定后断开。两图中LC回路开始电磁振荡t=3.14×10－4s时刻，C1的上极板正在____电（充电还是放电）,带_____电（正电还是负电）；L2中的电流方向向____(左还是右)，磁场能正在_____（增大还是减小）。
二、电磁场
1．麦克斯韦的电磁场理论
要深刻理解和应用麦克斯韦电磁场理论的两大支柱：变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场。
（1）变化的磁场（电场）能够在周围空间产生电场（磁场）；
（2）均匀变化的磁场（电场）能够在周围空间产生稳定的电场（磁场）；
（3）振荡的磁场（电场）能够在周围空间产生同频率的振荡电场（磁场）；
可以证明：振荡电场产生同频率的振荡磁场；振荡磁场产生同频率的振荡电场。
变化的磁场在周围空间激发的电场为涡旋电场，涡旋电场与静电场一样，对电荷有力的作用，但涡旋电场又于静电场不同，它不是静电荷产生的，它的电场线是闭合的，在涡旋电场中移动电荷时，电场力做的功与路径有关，因此不能引用“电势”、“电势能”等概念。另外要用联系的观点认识规律，变化的磁场产生电场是电磁感应现象的本质。
【例3】右图中，内壁光滑、水平放置的玻璃圆环内，有一直径略小于环口径的带正电的小球，正以速率v0沿逆时针方向匀速转动。若在此空间突然加上竖直向上、磁感应强度B随时间成正比例增加的变化磁场，设小球运动过程中的电量不变，那么（）
A.小球对玻璃环的压力不断增大
B.小球受到的磁场力不断增大
C.小球先沿逆时针方向做减速运动，过一段时间后，沿顺时针方向做加速运动
D.磁场力一直对小球不做功
2．电磁场：按照麦克斯韦的电磁场理论，变化的电场和磁场总是相互联系的，形成一个不可分离的统一场，称为电磁场。电场和磁场只是这个统一的电磁场的两种具体表现。
理解电磁场是统一的整体：
根据麦克斯韦电磁场理论的两个要点：在变化的磁场的周围空间将产生涡漩电场，在变化的电场的周围空间将产生涡漩磁场．当变化的电场增强时，磁感线沿某一方向旋转，则在磁场减弱时，磁感线将沿相反方向旋转，如果电场不改变是静止的，则就不产生磁场．同理，减弱或增强的电场周围也将产生不同旋转方向的磁场．因此，变化的电场在其周围产生磁场，变化的磁场在其周围产生电场，一种场的突然减弱，导致另一种场的产生．这样，周期性变化的电场、磁场相互激发，形成的电磁场链一环套一环，如下图所示．需要注意的是，这里的电场和磁场必须是变化的，形成的电磁场链环不可能是静止的，这种电磁场是无源场（即：不是由电荷激发的电场，也不是由运动电荷-电流激发的磁场．），并非简单地将电场、磁场相加，而是相互联系、不可分割的统一整体．在电磁场示意图中，电场E矢量和磁场B矢量，在空间相互激发时，相互垂直，以光速c在空间传播．
3．电磁波
变化的电场和磁场从产生的区域由近及远地向周围空间传播开去，就形成了电磁波。
（1）有效地发射电磁波的条件是：①频率足够高（单位时间内辐射出的能量P∝f 4）；②形成开放电路（把电场和磁场分散到尽可能大的空间里去）。
（2）电磁波的特点：
①电磁波是横波。在电磁波传播方向上的任一点，场强E和磁感应强度B均与传播方向垂直且随时间变化，因此电磁波是横波。
②电磁波的传播不需要介质，在真空中也能传播。在真空中的波速为c=3.0×108m/s。
③波速和波长、频率的关系：c＝λf
注意：麦克斯韦根据他提出的电磁场理论预言了电磁波的存在以及在真空中波速等于光速c，后由赫兹用实验证实了电磁波的存在
（3）电磁波和机械波有本质的不同
4．无线电波的发射和接收
（1）无线电波：无线电技术中使用的电磁波
（2）无线电波的发射：如图所示。
①调制：使电磁波随各种信号而改变
②调幅和调频
（3）无线电波的接收
①电谐振：当接收电路的固有频率跟接收到的电磁波的频率相同时，接收电路中产生的振荡电流最强，这种现象叫做电谐振。
②调谐：使接收电路产生电谐振的过程。调谐电路如图所示。通过改变电容器电容来改变调谐电路的频率。
③检波：从接收到的高频振荡中“检”出所携带的信号。
4.电磁波的应用
广播、电视、雷达、无线通信等都是电磁波的具体应用。
雷达：无线电定位的仪器，波位越短的电磁波，传播的直线性越好，反射性能强，多数的雷达工作于微波波段。缺点，沿地面传播探测距离短。中、长波雷达沿地面的探测距离较远，但发射设备复杂。
【例4】 一台收音机，把它的调谐电路中的可变电容器的动片从完全旋入到完全旋出，仍然收不到某一较高频率的电台信号。要想收到该电台信号，应该______（增大还是减小）电感线圈的匝数。
【高频考点突破】
考点一 电磁场理论
例1关于麦克斯韦电磁场理论，以下说法正确的是（ ）
A．在赫兹发现电磁波的实验基础上，麦克斯韦提出了完整的电磁场理论；
B．变化的磁场在周围的空间一定产生变化的电场；
C．变化的电场可以在周围的空间产生磁场；
D．麦克斯韦第一个预言了电磁波的存在，赫兹第一个用试验证明了电磁波的存在．
考点二 电磁振荡与电磁波
例2、 如图所示是LC振荡电路及其中产生的振荡电流随时间变化的图象，电流的正方向规定为顺时针方向，则在t1到t2时间内，电容器C的极板上所带电量及其变化情况是
A．上极板带正电，且电量逐渐增加
B．上极板带正电，且电量逐渐减小
C．下极板带正电，且电量逐渐增加
D．下极板带正电，且电量逐渐减小如图
解析： t1到t2时间内，电流为负且增大，即逆时针增大，说明负电荷正由下极板向上极板移动，由此可知上极板带正电，且其所带正电荷量逐渐减小。
【答案】B
【变式探究】关于电磁场和电磁波，下列说法中正确的是（ ）
A．均匀变化的电场在它的周围产生均匀变化的磁场
B．电磁波中每一处的电场强度和磁感应强度总是互相垂直，且与波的传播方向垂直
C．电磁波和机械波一样依赖于媒质传播
D．只要空间中某个区域有振荡的电场或磁场，就能产生电磁波
答案 B D
考点三 电磁波谱
例3、 2008年9月27日，我国神舟七号航天员翟志刚首次实现了中国航天员在太空的舱外活动（如图所示），神舟七号载人航天飞行取得了圆满成功，这是我国航天发展史上的又一里程碑。舱外的航天员与舱内的航天员近在咫尺，但要进行对话，一般需要利用 （ ）
A．紫外线
B．无线电波
C．γ射线
D． X射线
解析：根据电磁波谱理论可知，无线电波的波长最大，最容易发生衍射，因此，其信号更容易在对话中被捕捉，从而有利于保证通话的质量。
【答案】B
考点4 电磁波、电磁波谱
例5、目前雷达发射的电磁波频率多在200MHz至1000MHz的范围内．下列关于雷达和电磁波说法正确的是（　　）
A．真空中上述雷达发射的电磁波的波长范围在0.3 m至1.5 m之间
B．电磁波是由恒定不变的电场或磁场产生的
C．测出从发射电磁波到接收反射波的时间间隔可以确定雷达和目标的距离
D．波长越短的电磁波，反射性能越强
【经典考题精析】
．（2014·天津卷）下列说法正确的是(　　)
A．玻尔对氢原子光谱的研究导致原子的核式结构模型的建立
B．可利用某些物质在紫外线照射下发出荧光来设计防伪措施
C．天然放射现象中产生的射线都能在电场或磁场中发生偏转
D．观察者与波源互相远离时接收到波的频率与波源频率不同
（2014·四川卷）电磁波已广泛运用于很多领域．下列关于电磁波的说法符合实际的是(　　)
A．电磁波不能产生衍射现象
B．常用的遥控器通过发出紫外线脉冲信号来遥控电视机
C．根据多普勒效应可以判断遥远天体相对于地球的运动速度
光在真空中运动的速度在不同惯性系中测得的数值可能不同
（2014·四川卷）电磁波已广泛运用于很多领域．下列关于电磁波的说法符合实际的是(　　)
A．电磁波不能产生衍射现象
B．常用的遥控器通过发出紫外线脉冲信号来遥控电视机
C．根据多普勒效应可以判断遥远天体相对于地球的运动速度
光在真空中运动的速度在不同惯性系中测得的数值可能不同
【答案】C　【解析】衍射现象是波的特有现象，A错误；常用的遥控器通过发出红外线脉冲信号来遥控电视机，B错误；遥远天体和地球的距离发生变化时，遥远天体的电磁波由于相对距离发生变化而出现多普勒效应，所以能测出遥远天体相对地球的运动速度，C正确；光在真空中运动的速度在不同惯性系中测得的数值是相同的，即光速不变原理，D错误．
（2013·四川卷） 如图所示，竖直平面(纸面)内有直角坐标系xOy，x轴沿水平方向．在x≤0的区域内存在方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B1的匀强磁场．在第二象限紧贴y轴固定放置长为l、表面粗糙的不带电绝缘平板，平板平行于x轴且与x轴相距h.在第一象限内的某区域存在方向相互垂直的匀强磁场(磁感应强度大小为B2、方向垂直于纸面向外)和匀强电场(图中未画出)．一质量为m、不带电的小球Q从平板下侧A点沿x轴正向抛出；另一质量也为m、带电量为q的小球P 从A点紧贴平板沿x轴正向运动，变为匀速运动后从y轴上的D点进入电磁场区域做匀速圆周运动，经圆周离开电磁场区域，沿y轴负方向运动，然后从x轴上的K点进入第四象限．小球P、Q相遇在第四象限的某一点，且竖直方向速度相同．设运动过程中小球P 电量不变，小球P和Q始终在纸面内运动且均看作质点，重力加速度为g.求：
(1)匀强电场的场强大小，并判断P球所带电荷的正负；
(2)小球Q的抛出速度v0的取值范围；
(3)B1是B2的多少倍？
联立相关方程，解得
B1＝B2
B1是B2的0.5倍．
（2013·四川卷）下列关于电磁波的说法，正确的是(　　)
A．电磁波只能在真空中传播
B．电场随时间变化时一定产生电磁波
C．做变速运动的电荷会在空间产生电磁波
D．麦克斯韦第一次用实验证实了电磁波的存在
(2011·江苏·12B(1))如图2所示，沿平直铁路线有间距相等的三座铁塔A、B和C.假想有一列车沿AC方向以接近光速行驶，当铁塔B发出一个闪光，列车上的观测者测得A、C两铁塔被照亮的顺序是 (　　)
图2
A．同时被照亮 B．A先被照亮
C．C先被照亮 D．无法判断
【2016考纲解读】
1.理解动量的的概念，知道冲量的意义；
2.理解动量，会计算一维动量变化；
3.理解动量变化和力之间的关系，会用来计算相关问题；
4.知道弹性碰撞和非弹性碰撞
5.理解动量守恒定律的确切含义，知道其适用范围
6.掌握动量守恒定律解题的一般步骤
7.会应用动量守恒定律解决一维运动有关问题
【重点知识梳理】
一、动量
1、动量：运动物体的质量和速度的乘积叫做动量．是矢量，方向与速度方向相同；动量的合成与分解，按平行四边形法则、三角形法则．是状态量；通常说物体的动量是指运动物体某一时刻的动量，计算物体此时的动量应取这一时刻的瞬时速度。是相对量；物体的动量亦与参照物的选取有关，常情况下，指相对地面的动量。单位是kg·m/s；
2、动量和动能的区别和联系
①动量的大小与速度大小成正比，动能的大小与速度的大小平方成正比。即动量相同而质量不同的物体，其动能不同；动能相同而质量不同的物体其动量不同。
②动量是矢量，而动能是标量。因此，物体的动量变化时，其动能不一定变化；而物体的动能变化时，其动量一定变化。
③因动量是矢量，故引起动量变化的原因也是矢量，即物体受到外力的冲量；动能是标量，引起动能变化的原因亦是标量，即外力对物体做功。
④动量和动能都与物体的质量和速度有关，两者从不同的角度描述了运动物体的特性，且二者大小间存在关系式：P2＝2mEk
3、动量的变化及其计算方法
动量的变化是指物体末态的动量减去初态的动量，是矢量，对应于某一过程（或某一段时间），是一个非常重要的物理量，其计算方法：
（1）ΔP=Pt一P0，主要计算P0、Pt在一条直线上的情况。
（2）利用动量定理 ΔP=F·t，通常用来解决P0、Pt；不在一条直线上或F为恒力的情况。
二、动量定理
1、动量定理：物体受到合外力的冲量等于物体动量的变化．Ft=mv/一mv或 Ft＝p/－p；该定理由牛顿第二定律推导出来：（质点m在短时间Δt内受合力为F合，合力的冲量是F合Δt；质点的初、未动量是 mv0、mvt，动量的变化量是ΔP=Δ（mv）=mvt－mv0．根据动量定理得：F合=Δ（mv）/Δt）
2．单位：牛·秒与千克米／秒统一：l千克米／秒=1千克米／秒2·秒=牛·秒；
3．理解：（1）上式中F为研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力。
（2）动量定理中的冲量和动量都是矢量。定理的表达式为一矢量式，等号的两边不但大小相同，而且方向相同，在高中阶段，动量定理的应用只限于一维的情况。这时可规定一个正方向，注意力和速度的正负，这样就把大量运算转化为代数运算。
（3）动量定理的研究对象一般是单个质点。求变力的冲量时，可借助动量定理求，不可直接用冲量定义式．
4．应用动量定理的思路：
（1）明确研究对象和受力的时间（明确质量m和时间t）；
（2）分析对象受力和对象初、末速度（明确冲量I合，和初、未动量P0，Pt）；
（3）规定正方向，目的是将矢量运算转化为代数运算；
（4）根据动量定理列方程
（5）解方程。
三、动量定理应用的注意事项
1．动量定理的研究对象是单个物体或可看作单个物体的系统，当研究对象为物体系时，物体系的总动量的增量等于相应时间内物体系所受外力的合力的冲量，所谓物体系总动量的增量是指系统内各个的体动量变化量的矢量和。而物体系所受的合外力的冲量是把系统内各个物体所受的一切外力的冲量的矢量和。
2．动量定理公式中的F是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力。它可以是恒力，也可以是变力。当合外力为变力时F则是合外力对作用时间的平均值。
3．动量定理公式中的Δ（mv）是研究对象的动量的增量，是过程终态的动量减去过程始态的动量（要考虑方向），切不能颠倒始、终态的顺序。
4．动量定理公式中的等号表明合外力的冲量与研究对象的动量增量的数值相等，方向一致，单位相同。但考生不能认为合外力的冲量就是动量的增量，合外力的冲量是导致研究对象运动改变的外因，而动量的增量却是研究对象受外部冲量作用后的必然结果。
5．用动量定理解题，只能选取地球或相对地球做匀速直线运动的物体做参照物。忽视冲量和动量的方向性，造成I与P正负取值的混乱，或忽视动量的相对性，选取相对地球做变速运动的物体做参照物，是解题错误的常见情况。
四、动量守恒定律
1、内容：相互作用的物体，如果不受外力或所受外力的合力为零，它们的总动量保持不变，即作用前的总动量与作用后的总动量相等．
动量守恒定律适用的条件
①系统不受外力或所受合外力为零．
②当内力远大于外力时．
③某一方向不受外力或所受合外力为零，或该方向上内力远大于外力时，该方向的动量守恒．
3、常见的表达式
①p/=p，其中p/、p分别表示系统的末动量和初动量，表示系统作用前的总动量等于作用后的总动量。
②Δp=0 ，表示系统总动量的增量等于零。
③Δp1=－Δp2，其中Δp1、Δp2分别表示系统内两个物体初、末动量的变化量，表示两个物体组成的系统，各自动量的增量大小相等、方向相反。
其中①的形式最常见，具体来说有以下几种形式
A、m1vl＋m2v2＝m1v/l＋m2v/2，各个动量必须相对同一个参照物，适用于作用前后都运动的两个物体组成的系统。
B、0= m1vl＋m2v2，适用于原来静止的两个物体组成的系统。
C、m1vl＋m2v2=（m1＋m2）v，适用于两物体作用后结合在一起或具有共同的速度。
【例1】由动量定理和牛顿第三定律推出动量守恒定律（以两个物体为例）
五、对动量守恒定律的理解
（1）动量守恒定律是说系统内部物体间的相互作用只能改变每个物体的动量，而不能改变系统的总动量，在系统运动变化过程中的任一时刻，单个物体的动量可以不同，但系统的总动量相同。
（2）应用此定律时我们应该选择地面或相对地面静止或匀速直线运动的物体做参照物，不能选择相对地面作加速运动的物体为参照物。
（3）动量是矢量，系统的总动量不变是说系统内各个物体的动量的矢量和不变。等号的含义是说等号的两边不但大小相同，而且方向相同。
【例2】放在光滑水平面上的A、B两小车中间夹了一压缩的轻质弹簧，用两手分别控制小车处于静止状态，下面说法中正确的是
A．两手同时放开后，两车的总动量为零
B．先放开右手，后放开左手，而车的总动量向右
C．先放开左手，后放开右手，两车的总动量向右
D．两手同时放开，同车的总动量守恒；两手放开有先后，两车总动量不守恒
答案：ABD
【例3】在质量为M的小车中挂有一单摆，摆球的质量为m0，小车和单摆以恒定的速度v沿光滑水平地面运动，与位于正对面的质量为m的静止木块发生碰撞，碰撞的时间极短，在此碰撞过程中，下列哪些情况说法是可能发生的（ ）
A．小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为 vl、v2、v3，满足
（M＋m0）v=Mvl十mv2十m0v3
B．摆球的速度不变，小车和木块的速度变化为vl和v2，满足Mv=Mvl十mv2。
C．摆球的速度不变，小车和木块的速度都变为vl，满足Mv＝（M＋m）vl
D．小车和摆球的速度都变为vl，木块的速度变为v2，满足
（M十m0）v=（M十m0）vl十mv2
【例4】如图所示，在光滑水平面上有A、B两小球沿同一条直线向右运动，并发生对心碰撞．设向右为正方向，碰前A、B两球动量分别是pA＝10kgm/s，pB=15 kgm/s，碰后动量变化可能是（ ）
A．ΔpA＝5 kg·m／s ΔpB＝5 kg·m／s
B．ΔpA =－5 kg·m／s ΔpB ＝ 5 kg·m／s
C．ΔpA =5 kg·m／s ΔpB=－5 kg·in／s·
D．ΔpA ＝－20kg·m／s ΔpB＝20 kg·m／s
解析：A．此结果动量不守恒；B．可能；C．B的动量不可能减少，因为是A碰B；D．要出现ΔpA ＝－20kg·m／s只有B不动或向左运动才有可能出现这个结果．
答案：B
【高频考点突破】
考点一 动量的概念
【例1】如图6-1-1一个质量是0．2kg的钢球，以2m/s的速度射到坚硬的大理石板上，立即反弹，速度大小仍为2m/s，求出钢球动量变化的大小和方向？?
【规律总结】动量是一个矢量，动量的方向和速度方向相同，所以只要物体的速度大小或方向发生变化，动量就一定发生变化．例如做匀速直线运动的物体其动量是恒量，而做匀速圆周运动的物体，由于速度方向不断在改变，即使其动量大小不变，但因其方向不断改变，所以其动量是一变量．
考点二 动量定理
【例2】 一粒钢珠从静止状态开始自由下落，然后陷人泥潭中．若把在空中下落的过程称为过程Ⅰ，进人泥潭直到停止的过程称为过程Ⅱ， 则( )
A、过程I中钢珠的动量的改变量等于重力的冲量
B、过程Ⅱ中阻力的冲量的大小等于过程I中重力的冲量的大小
C、I、Ⅱ两个过程中合外力的总冲量等于零
D、过程Ⅱ中钢珠的动量的改变量等于零
【解析】根据动量定理可知，在过程I中，钢珠从静止状态自由下落．不计空气阻力，小球所受的合外力即为重力，因此钢珠的动量的改变量等于重力的 冲量，选项A正确；过程I中阻力的冲量的大小等于过考点三 简解多过程问题
【例3】一个质量为m=2kg的物体，在F1=8N的水平推力作用下，从静止开始沿水平面运动了t1=5s，然后推力减小为F2=5N，方向不变，物体又运动了t2=4s后撤去外力，物体再经 过t3=6s停下来．试求物体在水平面上所受的摩擦力．
【规律总结】由例4可知，合理选取研究过程，能简化解题步骤，提高解题速度．本题也可以用牛顿运动定律求解．同学们可比较这两种求解方法的简繁情况．
考点四 求解平均力问题
【例4】质量是60kg的建筑工人，不慎从高空跌下，由于弹性安全带的保护作用，最后使人悬挂在空中．已知弹性安全带缓冲时间为1．2s，安全带伸直后长5m，求安全带所受的平均作用力．（ g= 10m／s2）
【注意】 动量定理既适用于恒力作用下的问题，也适用于变力作用下的问题．如果是在变力作用下的问题，由动量定理求出的力是在t时间内的平均值．
考点五 求解恒力作用下的曲线运动问题
【例5】如图6-1-3所示，以vo ＝10m／s2的初速度与水平方向成300角抛出一个质量m＝2kg的小球．忽略空气阻力的作用，g取10m／s2．求抛出后第2s末小球速度的大小．
【注意】在求解曲线运动问题中，一般以动量定理的分量形式建立方程，即：Fxt=mvx-mvx0；Fyt=mvy-mvy0．
考点六 求解流体问题
【例6】某种气体分子束由质量m=5．4X10-26kg速度V＝460m/s的分子组成，各分子都向同一方向运动，垂直地打在某平面上后又以原速率反向弹回，如分子束中每立方米的体积内有n0＝1．5X1020个分子，求被分子束撞击的平面所受到的压强．
【注意】处理有关流体(如水、空气、高压燃气等)撞击物体表面产生冲力（或压强）的问题，可以说非动量定理莫属．解决这类问题的关键是选好研究对象，一般情况下选在极短时间△t内射到物体表面上的流体为研究对象
考点七 对系统应用动量定理
【例7】如图6-1-4所示， 质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直公路上以加速度a匀加速前进，当速度为V0时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现．若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？
【解析】以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力始终为，该过程经历时间为V0/μg，末状态拖车的动量为零．全过程对系统用动量定理可得：
【注意】这种方法只能用在拖车停下之前．因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，因此合外力大小不再是．
考点八 碰撞
【例8】甲乙两球在水平光滑轨道上向同方向运动，已知它们的动量分别是P1=5kg．m/s，P2=7kg．m/s，甲从后面追上乙并发生碰撞，碰后乙球的动量变为10 kg．m/s，则二球质量m1与m2间的关系可能是下面的哪几种？（ ）
A、m1=m2 B、2m1=m2 C、4m1=m2 D、6m1=m2．
【例9】如图6-2-1所示，半径和动能都相等的两个小球相向而行．甲球质量m甲大于乙球质量m乙，水平面是光滑的，两球做对心碰撞以后的运动情况可能是下述哪些情况？（ ）
A．甲球速度为零，乙球速度不为零
B．两球速度都不为零
C．乙球速度为零，甲球速度不为零
D．两球都以各自原来的速率反向运动
【解析】首先根据两球动能相等，得出两球碰前动量大小之比为：，因m甲>m乙，则P甲>P乙，则系统的总动量方向向右．根据动量守恒定律可以判断，碰后两球运动情况可能是A、B所述情况，而C、D情况是违背动量守恒的，故C、D情况是不可能的．
考点十 动量守恒定律
【例10】如图6-2-2所示的装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短．现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象（系统），则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中：（ ）
A、动量守恒、机械能守恒
B、动量不守恒、机械能不守恒
C、动量守恒、机械能不守恒
D、动量不守恒、机械能守恒
【例11】质量为M的小车中挂有一个单摆，摆球的质量为M0，小车和单摆以恒定的速度V0沿水平地面运动，与位于正对面的质量为M1的静止木块发生碰撞，碰撞时间极短，在此过程中，下列哪些说法是可能发生的（ ）
A．小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别为V1、V2和V3，且满足：
（M+M0）V0=MV1+M1V2+M0V3；
B．摆球的速度不变，小车和木块的速度为V1、V2，且满足：MV0=MV1+M1V2；
C．摆球的速度不变，小车和木块的速度都为V，且满足：MV0=（M+M1）V；
D．小车和摆球的速度都变为V1，木块的速度变为V2，且满足：
（M+M0）V0=（M+M0）V1+M1V2
【例12】如图6-2-3所示．质量为m的铅球以大小为v0仰角为θ的初速度抛入一个装着砂子的总质量为M的静止的砂车中，砂车与地面的摩擦不计，球与砂车的共同速度是多少?
考点十一 动量守恒定律应用
【例13】质量为M、长为L的船静止在静水中，船头及船尾各站着质量分别为m1及m2的人，当两人互换位置后，船的位移有多大？
【例14】如图6-2-4所示，AB为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M的小圆环，环上系一长为L质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为m的小球，现将绳拉直，且与AB平行，由静止释放小球，则当线绳与A B成θ角时，圆环移动的距离是多少？
【解析】虽然小球、细绳及圆环在运动过程中合外力不为零（杆的支持力与两圆环及小球的重力之和不相等）系统动量不守恒，但是系统在水平方向不受外力，因而水平动量守恒．设细绳与AB成θ角时小球的水平速度为v，圆环的水平速度为V，则由水平动量守恒有：MV=mv，且在任意时刻或位置V与v均满足这一关系，加之时间相同，公式中的V和v可分别用其水平位移替代，则上式可写为：Md=m［（L-Lcosθ）-d］，解得圆环移动的距离：d=mL（1-cosθ）/（M+m）。
【规律总结】“人船模型”的特点：两个物体均处于静止，当两个物体存在相互作用而不受外力作用时，系统动量守恒，所以本质上也是反冲模型．这类问题的特点：两物体同时运动，同时停止．载人气球，例7等均属于“人船模型”．
【例15】甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速度均为6m/s．甲车上有质量为m=1kg的小球若干个，甲和他的车及所带小球的总质量为M1=50kg，乙和他的车总质量为M2=30kg．现为避免相撞，甲不断地将小球以相对地面16．5m/s的水平速度抛向乙，且被乙接住．假设某一次甲将小球抛出且被乙接住后刚好可保证两车不致相撞，试求此时：
（1）两车的速度各为多少？
（2）甲总共抛出了多少个小球？
【例16】A、B两滑块在一水平长直气垫导轨上相碰，用闪光照相机在t0 = 0，t1= △t，t2 = 2·△t，t3=3·△t各时刻闪光四次，摄得如图6-2-5所示照片，其中B像有重叠，mB=mA，由此可判断（ ）
A.碰前B静止，碰撞发生在60 cm处，t = 2.5△t；
B.碰前B静止，碰撞发生在60 cm处，t = 0.5△t；
C.碰后B静止，碰撞发生在60 cm处，t = 0.5△t；
D.碰后B静止，碰撞发生在60 cm处，t = 2.5△t．
【例17】如图6-2-6所示，质量为M的木板静止在光滑水平面上．一个质量为的小滑块以初速度V0从木板的左端向右滑上木板．滑块和木板的水平速度随时间变化的图象如图17所示.某同学根据图象作出如下一些判断：
A．滑块与木板间始终存在相对运动；
B．滑块始终未离开木板；
C．滑块的质量大于木板的质量；
D．在时刻滑块从木板上滑出．
【经典考题精析】
（2014·重庆卷）一弹丸在飞行到距离地面5 m高时仅有水平速度v＝2 m/s，爆炸成为甲、乙两块水平飞出，甲、乙的质量比为3∶1，不计质量损失，重力加速度g取10 m/s2，则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是
（2014·天津卷）如图所示，水平地面上静止放置一辆小车A，质量mA＝4 kg，上表面光滑，小车与地面间的摩擦力极小，可以忽略不计．可视为质点的物块 B置于A的最右端，B的质量mB＝2 kg.现对A施加一个水平向右的恒力F＝10 N，A运动一段时间后，小车左端固定的挡板与B发生碰撞，碰撞时间极短，碰后A、B粘合在一起，共同在F的作用下继续运动，碰撞后经时间t＝0.6 s，二者的速度达到vt＝2 m/s.求：
(1)A开始运动时加速度a的大小；
(2)A、B碰撞后瞬间的共同速度v的大小；
(3)A的上表面长度l.
（2014·全国卷） 一中子与一质量数为A (A>1)的原子核发生弹性正碰．若碰前原子核静止，则碰撞前与碰撞后中子的速率之比为(　　)
A. B.
C. D.
（2014·全国卷）冰球运动员甲的质量为80.0 kg.当他以5.0 m/s的速度向前运动时，与另一质量为100 kg、速度为3.0 m/s的迎面而来的运动员乙相撞．碰后甲恰好静止．假设碰撞时间极短，求：
(1 )碰后乙的速度的大小；
(2)碰撞中总机械能的损失．
（2013·天津卷）2、我国女子短道速滑队在今年世锦赛上实现女子3000m接力三连冠。观察发现，“接棒”的运动员甲提前站在“交棒”的运动员乙前面，并且开始向前滑行，待乙追上甲时，乙猛推甲一把，使甲获得更大的速度向前冲出。在乙推甲的过程中，忽略运动员与冰面间在水平方向上的相互作用，则（　　）
A.甲对乙的冲量一定等于乙对甲的冲量
B.甲、乙的动量变化一定大小相等方向相反
C.甲的动能增加量一定等于乙的动能减少量
D.甲对乙做多少负功，乙对甲就一定做多少正功
（2013·上海卷）22A．质量为M的物块静止在光滑水平桌面上，质量为m的子弹以水平速度v0射入物块后，以水平速度2v0/3射出。则物块的速度为＿＿＿＿，此过程中损失的机械能为＿＿＿＿。
（2013·江苏卷）C. [选修3-5](12 分)
(1)如果一个电子的德布罗意波长和一个中子的相等，则它们的(((((((也相等.
(A)速度
(B)动能
(C)动量
(D)总能量
(2)根据玻尔原子结构理论，氦离子(He+ )的能级图如题12C-1 图所示. 电子处在n =3 轨道上比处在n =5 轨道上离氦核的距离((((((((选填“近”或“远”). 当大量He+处在n =4 的激发态时，由于跃迁所发射的谱线有(((((((条.
(3)如题12C-2 图所示，进行太空行走的宇航员A和B的质量分别为80kg和100 kg，他们携手远离空间站，相对空间站的速度为0.1 m/ s. A 将B向空间站方向轻推后，A 的速度变为0.2 m/ s，求此时B 的速度大小和方向.
(题12C-2 图)
运动方向是：离开空间站方向。
（2013·江苏卷）5. 水平面上，一白球与一静止的灰球碰撞，两球质量相等. 碰撞过程的频闪照片如图所示，据此可推断，碰撞过程中系统损失的动能约占碰撞前动能的
(A)30%
(B)50%
(C)70%
(D)90%
（2013·海南卷）17． （2）（8分）如图，光滑水平面上有三个物块A、B和C，它们具有相同的质量，且位于同一直线上。开始时，三个物块均静止，先让A以一定速度与B碰撞，碰后它们粘在一起，然后又一起与C碰撞并粘在一起，求前后两次碰撞中损失的动能之比。
【答案】3
【解析】
（2013·广东卷）35．（18分）如图18，两块相同平板P1、P2置于光滑水平面上，质量均为m。P2的右端固定一轻质弹簧，左端A与弹簧的自由端B相距L。物体P置于P1的最右端，质量为2m且可以看作质点。P1与P以共同速度v0向右运动，与静止的P2发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后P1与P2粘连在一起，P压缩弹簧后被弹回并停在A点（弹簧始终在弹性限度内）。P与P2之间的动摩擦因数为μ，求
(1) P1、P2刚碰完时的共同速度v1和P的最终速度v2；
(2) 此过程中弹簧最大压缩量x和相应的弹性势能Ep

（2013·山东卷）38. （8分）（物理选修3-5）
（1）恒星向外辐射的能量来自于其内部发生的各种热核反应，当温度达到108K时，可以发生“氦燃烧”。
完成“氦燃烧”的核反应方程：。
是一种不稳定的粒子，其半衰期为2.6×10-16s。一定质量的，经7.8×10-16s后所剩下的占开始时的 。
（2）如图所示，光滑水平轨道上放置长木板A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为、、。开始时C静止，A、B一起以的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小。
（2013·天津卷）10、（16分）质量为m=4kg的小物块静止于水平地面上的A点，现用F=10N的水平恒力拉动物块一段时间后撤去，物块继续滑动一段位移停在B点，A、B两点相距x=20m，物块与地面间的动摩擦因数=0.2，g取10m/s2，求：
（1）物块在力F作用过程发生位移的大小；
（2）撤去力F后物块继续滑动的时间t。
（2013·新课标II卷）35.[物理—选修3-5](15分)
(1) (5分)关于原子核的结合能，下列说法正确的是　　　　　　　(填正确答案标号。选
对I个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分；每选错1个扣3分，最低得分为0分)。
Ａ.原子核的结合能等于使其完全分解成自由核子所需的最小能量
B.一重原子核衰变成α粒子和另一原子核，衰变产物的结合能之和一定大于原来重核的结合能
C．铯原子核()的结合能小于铅原子核()的结合能
D.比结合能越大，原子核越不稳定
Ｅ.自由核子组成原子核时，其质量亏损所对应的能量大于该原子核的结合能
少得多，因此其结合能小，C项正确；比结合能越大，要将原子核分解成核子平均需要的能量越大，因此原子核越稳定，D错；自由核子组成原子核时，其质量亏损所对应的能最等于该原子核的结合能，E错。中等难度。
(2) (10分)如图，光滑水平直轨道上有三个质童均为m的物块Ａ、B、C。 B的左侧固定一轻弹簧（弹簧左侧的挡板质最不计).设A以速度ｖ０朝B运动，压缩弹簧；当A、 B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞过程时间极短。求从Ａ开始压缩弹簧直至与弹黄分离的过程中，
(ⅰ)整个系统损失的机械能；
(ⅱ)弹簧被压缩到最短时的弹性势能。
(ⅱ)由②式可知，A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，设此速度为，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为。由动量守恒和能量守恒定律得
⑤
⑥
联立④⑤⑥式得
⑦
（2013·新课标Ⅰ卷）35. 物理—选修3-5] (15分)
(1)(6分)一质子束入射到静止靶核上，产生如下核反应：P+→X+n
式中P代表质子，n代表中子，x代表核反应产生的新核.由反应式可知，新核X的质子数为 ，中子数为 。
(2)(9分) 在粗糙的水平桌面上有两个静止的木块A和B，两者相距为d。现给A一初速度，使A与B发生弹性正碰，碰撞时间极短：当两木块都停止运动后，相距仍然为d.已知两木块与桌面之间的动摩擦因数均为μ. B的质量为A的2倍，重力加速度大小为g。求A的初速度的大小。
对A物体有：碰前 ⑦，碰后：A物体反向匀减速运动： ⑧
对B物体有 ⑨由题意知 ⑩
②③⑤⑦⑧⑨联立解得 (11)
将上式带入⑥解得 (12)
（2013·重庆）9．（18分）在一种新的“子母球”表演中，让同一竖直线上的小球A和小球B，从距水平地面高度为ph（p＞1）和h的地方同时由静止释放，如题9图所示。球A的质量为m，球B的质量为3m。设所有碰撞都是弹性碰撞，重力加速度大小为g，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间。
（1）求球B第一次落地时球A的速度大小；
（2）若球B在第一次上升过程中就能与球A相碰，求p的取值范围；
（3）在（2）情形下，要使球A第一次碰后能到达比其释放点更高的位置，求p应满足的条件。
【解析】解：(18分)
联立③④⑤后将代入解得

即p应满足的条件是

【2012高考真题】
（2012·大纲版全国卷）21.如图，大小相同的摆球a和b的质量分别为m和3m，摆长相同，并排悬挂，平衡时两球刚好接触，现将摆球a向左边拉开一小角度后释放，若两球的碰撞是弹性的，下列判断正确的是
A.第一次碰撞后的瞬间，两球的速度大小相等
B.第一次碰撞后的瞬间，两球的动量大小相等
C.第一次碰撞后，两球的最大摆角不相同
D.发生第二次碰撞时，两球在各自的平衡位置
（2012·浙江）23、（16分）为了研究鱼所受水的阻力与其形状的关系，小明同学用石蜡做成两条质量均为m、形状不同的“A鱼”和“B鱼”，如图所示。在高出水面H 处分别静止释放“A鱼”和“B鱼”， “A鱼”竖直下滑hA后速度减为零，“B鱼” 竖直下滑hB后速度减为零。“鱼”在水中运动时，除受重力外还受浮力和水的阻力，已知“鱼”在水中所受浮力是其重力的10/9倍，重力加速度为g，“鱼”运动的位移远大于“鱼”的长度。假设“鱼”运动时所受水的阻力恒定，空气阻力不计。求：
（1）“A鱼”入水瞬间的速度VA1；
（2）“A鱼”在水中运动时所受阻力fA；
（3）“A鱼”与“B鱼” 在水中运动时所受阻力之比fA：fB
（2012·天津）10．（16分）如图所示，水平地面上固定有高为h的平台，台面上有固定的光滑坡道，坡道顶端距台面高度也为h，坡道底端与台面相切。小球A从坡道顶端由静止开始滑下，到达水平光滑的台面与静止在台面上的小球B发生碰撞，并粘连在一起，共同沿台面滑行并从台面边缘飞出，落地点与飞出点的水平距离恰好为台高的一半，两球均可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。求
（1）小球A刚滑至水平台面的速度vA；
（2）A、B两球的质量之比mA：mB。
（2012·四川）24．（19分）
如图所示，ABCD为固定在竖直平面内的轨道，AB段光滑水平，BC段为光滑圆弧，对应的圆心角θ = 370，半径r = 2.5m，CD段平直倾斜且粗糙，各段轨道均平滑连接，倾斜轨道所在区域有场强大小为E = 2×105N/C、方向垂直于斜轨向下的匀强电场。质量m = 5×10-2kg、电荷量q =+1×10-6C的小物体（视为质点）被弹簧枪发射后，沿水平轨道向左滑行，在C点以速度v0=3m/s冲上斜轨。以小物体通过C点时为计时起点，0.1s以后，场强大小不变，方向反向。已知斜轨与小物体间的动摩擦因数μ=0.25。设小物体的电荷量保持不变，取g=10m/s2，sin370=0.6，cos370=0.8。
（1）求弹簧枪对小物体所做的功；
（2）在斜轨上小物体能到达的最高点为P，求CP的长度。
（2012·江苏）14. (16 分)某缓冲装置的理想模型如图所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为f. 轻杆向右移动不超过l 时，装置可安全工作. 一质量为m 的小车若以速度v0 撞击弹簧，将导致轻杆向右移动l4. 轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦.
若弹簧的劲度系数为k，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x;
(2)求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度vm;
(3)讨论在装置安全工作时，该小车弹回速度v’和撞击速度v 的关系.
22．（2012·山东）
（15分）如图所示，一工件置于水平地面上，其AB段为一半径的光滑圆弧轨道，BC段为一长度的粗糙水平轨道，二者相切与B点，整个轨道位于同一竖直平面内，P点为圆弧轨道上的一个确定点。一可视为质点的物块，其质量，与BC间的动摩擦因数。工件质，与地面间的动摩擦因数。（取
①求F的大小
②当速度时，使工件立刻停止运动（即不考虑减速的时间和位移），物块飞离圆弧轨道落至BC段，求物块的落点与B点间的距离。

专题13.2 光电效应 波粒二象性
【2016考纲解读】
1.知道什么是光电效应，理解光电效应的实验规律.
2.会利用光电效应方程计算逸出功、极限频率、最大初动能等物理量.
3.知道光的波粒二象性，知道物质波的概念．
【重点知识梳理】
一、黑体辐射与能量子
1． 黑体与黑体辐射
(1)黑体：是指能够完全吸收入射的各种波长的电磁波而不发生反射的物体．
(2)黑体辐射的实验规律
①一般材料的物体，辐射的电磁波除与温度有关外，还与材料的种类及表面状况有关．
②黑体辐射电磁波的强度按波长的分布只与黑体的温度有关．
a．随着温度的升高，各种波长的辐射强度都增加．
b．随着温度的升高，辐射强度的极大值向波长较短的方向移动．
2． 能量子
(1)定义：普朗克认为，带电微粒辐射或者吸收能量时，只能辐射或吸收某个最小能量值的整数倍．即能量的辐射或者吸收只能是一份一份的．这个不可再分的最小能量值ε叫做能量子．
(2)能量子的大小：ε＝hν，其中ν是电磁波的频率，h称为普朗克常量．h＝6.63×10－34 J·s.
二、光电效应
1． 光电效应现象
光电效应：在光的照射下金属中的电子从金属表面逸出的现象，叫做光电效应，发射出来的电子叫做光电子．
2． 光电效应规律
(1)每种金属都有一个极限频率．
(2)光子的最大初动能与入射光的强度无关，只随入射光的频率增大而增大．
(3)光照射到金属表面时，光电子的发射几乎是瞬时的．
(4)光电流的强度与入射光的强度成正比．
3． 爱因斯坦光电效应方程
(1)光子说：空间传播的光的能量是不连续的，是一份一份的，每一份叫做一个光子．光子的能量为ε＝hν，其中h是普朗克常量，其值为6.63×10－34 J·s.
(2)光电效应方程：Ek＝hν－W0.
其中hν为入射光的能量，Ek为光电子的最大初动能，W0是金属的逸出功．
4． 遏止电压与截止频率
(1)遏止电压：使光电流减小到零的反向电压Uc.
(2)截止频率：能使某种金属发生光电效应的最小频率叫做该种金属的截止频率(又叫极限频率)．不同的金属对应着不同的极限频率．
(3)逸出功：电子从金属中逸出所需做功的最小值，叫做该金属的逸出功．
三、光的波粒二象性与物质波
1． 光的波粒二象性
(1)光的干涉、衍射、偏振现象证明光具有波动性．
(2)光电效应说明光具有粒子性．
(3)光既具有波动性，又具有粒子性，称为光的波粒二象性．
2． 物质波
(1)概率波
光的干涉现象是大量光子的运动遵守波动规律的表现，亮条纹是光子到达概率大的地方，暗条纹是光子到达概率小的地方，因此光波又叫概率波．
(2)物质波
任何一个运动着的物体，小到微观粒子大到宏观物体都有一种波与它对应，其波长λ＝，p为运动物体的动量，h为普朗克常量.
【高频考点突破】
考点一　对光电效应规律的理解
例1、1905年是爱因斯坦的“奇迹”之年，这一年他先后发表了三篇具有划时代意义的论文，其中关于光量子的理论成功的解释了光电效应现象．关于光电效应，下列说法正确的是 (　　)
A．当入射光的频率低于极限频率时，不能发生光电效应
B．光电子的最大初动能与入射光的频率成正比
C．光电子的最大初动能与入射光的强度成正比
D．某单色光照射一金属时不发生光电效应，改用波长较短的光照射该金属可能发生光电效应
【变式探究】入射光照射到某金属表面上发生光电效应，若入射光的强度减弱，而频率保持不变，则 (　　)
A．从光照至金属表面上到发射出光电子之间的时间间隔将明显增加
B．逸出的光电子的最大初动能将减小
C．单位时间内从金属表面逸出的光电子数目将减小
D．有可能不发生光电效应
考点二　对光电效应方程的应用和Ek－ν图象的考查
1． 爱因斯坦光电效应方程
Ek＝hν－W0
hν：光电子的能量
W0：逸出功，即从金属表面直接飞出的光电子克服正电荷引力所做的功．
Ek：光电子的最大初动能．
2． 由Ek－ν图象(如图1)可以得到的信息
(1)极限频率：图线与ν轴交点的横坐标νc.
(2)逸出功：图线与Ek轴交点的纵坐标的值E＝W0.
(3)普朗克常量：图线的斜率k＝h. 图1
例2、如图2所示是用光照射某种金属时逸出的光电子的最大初动能随入射光频率的变化图线 (直线与横轴的交点坐标为4.27，与纵轴交点坐标为0.5)．由图可知 (　　)
图2
A．该金属的截止频率为4.27×1014 Hz
B．该金属的截止频率为5.5×1014 Hz
C．该图线的斜率表示普朗克常量
D．该金属的逸出功为0.5 eV
解析　图线在横轴上的截距为截止频率，A正确，B错误；由光电效应方程Ek＝hν－W0可知图线的斜率为普朗克常量，C正确；金属的逸出功为W0＝hνc＝ eV＝1.77 eV，D错误．
答案　AC
【变式探究】已知锌的逸出功为3.34 eV，用某单色紫外线照射锌板时，逸出光电子的最大速度为106 m/s，求该紫外线的波长λ(电子质量me＝9.11×10－31 kg，普朗克常量h＝6.63×10－34 J·s,1 eV＝1.60×10－19 J)．
考点三　对光的波粒二象性、物质波的考查
光既有波动性，又有粒子性，两者不是孤立的，而是有机的统一体，其表现规律为：
(1)个别光子的作用效果往往表现为粒子性；大量光子的作用效果往往表现为波动性．
(2)频率越低波动性越显著，越容易看到光的干涉和衍射现象；频率越高粒子性越显著，越不容易看到光的干涉和衍射现象，贯穿本领越强．
(3)光在传播过程中往往表现出波动性；在与物质发生作用时，往往表现为粒子性．
例3、关于物质的波粒二象性，下列说法中不正确的是 (　　)
A．不仅光子具有波粒二象性，一切运动的微粒都具有波粒二象性
B．运动的微观粒子与光子一样，当它们通过一个小孔时，都没有特定的运动轨道
C．波动性和粒子性，在宏观现象中是矛盾的、对立的，但在微观高速运动的现象中是统一的
D．实物的运动有特定的轨道，所以实物不具有波粒二象性
【变式探究】关于光的本性，下列说法正确的是 (　　)
A．光既具有波动性，又具有粒子性，这是互相矛盾和对立的
B．光的波动性类似于机械波，光的粒子性类似于质点
C．大量光子才具有波动性，个别光子只具有粒子性
D．由于光既具有波动性，又具有粒子性，无法只用其中一种去说明光的一切行为，只能认为光具有波粒二象性
【经典考题精析】
．（2014·天津卷）一束由两种频率不同的单色光组成的复色光从空气射入玻璃三棱镜后，出射光分成a、b两束，如图所示，则a、b两束光(　　)
A．垂直穿过同一块平板玻璃，a光所用的时间比b光长
B．从同种介质射入真空发生全反射时，a光临界角比b光的小
C．分别通过同一双缝干涉装置，b光形成的相邻亮条纹间距小
D．若照射同一金属都能发生光电效应，b光照射时逸出的光电子最大初动能大
（2014·广东卷）在光电效应实验中，用频率为ν的光照射光电管阴极，发生了光电效应，下列说法正确的是(　　)
A．增大入射光的强度，光电流增大
B．减小入射光的强度，光电效应现象消失
C．改用频率小于ν的光照射，一定不发生光电效应
D．改用频率大于ν的光照射，光电子的最大初动能变大
（2013·北京卷）以往我们认识的光电效应是单光子光电效应，即一个电子在极短时间内只能吸收到一个光子而从金属表面逸出．强激光的出现丰富了人们对于光电效应的认识，用强激光照射金属，由于其光子密度极大，一个电子在极短时间内吸收多个光子成为可能，从而形成多光子光电效应，这已被实验证实．光电效应实验装置示意如图．用频率为ν的普通光源照射阴极K，没有发生光电效应．换用同样频率ν的强激光照射阴极K，则发生了光电效应；此时，若加上反向电压U，即将阴极K接电源正极，阳极A接电源负极，在KA之间就形成了使光电子减速的电场．逐渐增大U，光电流会逐渐减小；当光电流恰好减小到零时，所加反向电压U可能是下列的(其中W为逸出功，h为普朗克常量，e为电子电量)(　　)
A．U＝－ B．U＝－
C．U＝2hν－W D．U＝－
（2013·浙江卷）“物理3－5”模块(10分)
小明用金属铷为阴极的光电管，观测光电效应现象，实验装置示意如图甲所示．已知普朗克常量h＝6.63×10－34J·s.
甲　　　　　　　　　　乙
(1)图甲中电极A为光电管的________(填“阴极”或“阳极”)；
(2)实验中测得铷的遏止电压UC与入射光频率ν之间的关系如图乙所示，则铷的截止频率νC＝________Hz，逸出功W0＝________J；
(3)如果实验中入射光的频率ν＝7.00×1014 Hz，则产生的光电子的最大初动能Ek＝________J.
(2012·四川理综·18)a、b两种单色光组成的光束从介质进入空气时，其折射光束如图5所示．用a、b两束光 (　　)
A．先后照射双缝干涉实验装置，在缝后屏上都能出现干涉条纹，由此确定光是横波
B．先后照射某金属，a光照射时恰能逸出光电子，则b光照射时也能逸出光电子
C．从同一介质以相同方向射向空气，其界面为平面，若b光不能进入空气，则a光也不能进入空气
D．从同一介质以相同方向射向空气，其界面为平面，a光的反射角比b光的反射角大
答案　C
解析　光的干涉说明光是一种波，光的偏振说明光是横波，选项A错误．由题图可知，光束a的折射角ra大于光束b的折射角rb.根据n＝，知两束光的折射率na>nb，频率νa>νb，因此a光照射金属时恰能逸出光电子，b光照射时则不能逸出光电子，选项B错误．根据临界角公式sin C＝知两束光的临界角Ca(2011·江苏单科·12C(1))下列描绘两种温度下黑体辐射强度与波长关系的图中，符合黑体辐射实验规律的是 (　　)
3． (2010·天津理综·8)用同一光电管研究a、b两种单色光产生的光电效应，得到光电流I与光电管两极间所加电压U的关系如图所示．则这两种光 (　　)
A．照射该光电管时a光使其逸出的光电子最大初动能大
B．从同种玻璃射入空气发生全反射时，a光的临界角大
C．通过同一装置发生双缝干涉，a光的相邻条纹间距大
D．通过同一玻璃三棱镜时，a光的偏折程度大
答案　BC
解析　由题图知，EkmaCb，故选项B正确；由Δx＝λ及λ＝知，频率越小，波长越长，间距越大，即Δxa>Δxb，故选项C正确；因νa<νb，所以通过三棱镜时，b的偏折程度大，故选项D错误．
4． (2010·浙江理综·16)在光电效应实验中，飞飞同学用同一光电管在不同实验条件下得到了三条光电流与电压之间的关系曲线(甲光、乙光、丙光)，如图7所示．则可判断出(　　)
图7
A．甲光的频率大于乙光的频率
B．乙光的波长大于丙光的波长
C．乙光对应的截止频率大于丙光的截止频率
D．甲光对应的光电子最大初动能大于丙光的光电子最大初动能
【2016考纲解读】
1.知道两种原子结构模型，会用玻尔理论解释氢原子光谱.
2.掌握氢原子的能级公式并能结合能级图求解原子的跃迁问题.
【重点知识梳理】
一、原子的核式结构
1. α粒子散射实验的结果
绝大多数α粒子穿过金箔后，基本上仍沿原来的方向前进，但少数α粒子发生了大角度偏转，极少
数α粒子的偏转超过了90°，有的甚至被撞了回来，如图所示．

2． 卢瑟福的原子核式结构模型
在原子的中心有一个很小的核，叫原子核，原子的所有正电荷和几乎所有质量都集中在原子核里，
带负电的电子在核外绕核旋转．
3． 原子核的尺度：原子核直径的数量级为10－15 m，原子直径的数量级约为10－10 m.
二、玻尔理论
1． 定态：原子只能处于一系列不连续的能量状态中，在这些能量状态中原子是稳定的，电子虽然
绕核运动，但并不向外辐射能量．
2． 跃迁：原子从一种定态跃迁到另一种定态时，它辐射或吸收一定频率的光子，光子的能量由这
两个定态的能量差决定，即hν＝Em－En.(h是普朗克常量，h＝6.63×10－34 J·s)
3． 轨道：原子的不同能量状态跟电子在不同的圆周轨道绕核运动相对应．原子的定态是不连续的，
因此电子的可能轨道也是不连续的．
4． 氢原子的能级、能级公式
(1)氢原子的能级图(如图2所示)
图2
(2)氢原子的能级和轨道半径
①氢原子的能级公式：En＝E1(n＝1,2,3，…)，其中E1为基态能量，其数值为E1＝－13.6 eV.
②氢原子的半径公式：rn＝n2r1(n＝1,2,3，…)，其中r1为基态半径，又称玻尔半径，其数值为r1＝
0.53×10－10 m.
【高频考点突破】
考点一、原子的核式结构模型
例1. 如图所示为卢瑟福做α粒子散射实验装置的示意图，荧光屏和显微镜一起分别放在图中的A、B、C、D四个位置时，下述对观察到的现象的说法中正确的是 (　　)
A．放在A位置时，相同时间内观察到屏上的闪光次数最多
B．放在B位置时，相同时间内观察到屏上的闪光次数只比A位置时稍少些
C．放在C、D位置时，屏上观察不到闪光
D．放在D位置时，屏上仍能观察到一些闪光，但次数极少
答案　AD
解析　α粒子散射实验的结果是，绝大多数α粒子穿过金箔后基本上仍沿原来的方向前进，少数α
粒子发生了较大偏转，极少数α粒子被反弹回来．因此，21世纪教育网荧光屏和显微镜一起分别放在图中的A、B、C、D四个位置时，在相同时间内观察到屏上的闪光次数分别为绝大多数、少数、少数、极少数，故A、D正确．
【变式探究】 卢瑟福通过α粒子散射实验，判断出原子中心有一个很小的核，并由此提出了原子的核式结构模型．如图2所示的平面示意图中①、③两条线表示α粒子运动的轨迹，则沿②所示方向射向原子核的α粒子可能的运动轨迹是 (　　)
A．轨迹a B．轨迹b C．轨迹c D．轨迹d
考点二　氢原子能级及能级跃迁
对原子跃迁条件的理解
(1)原子从低能级向高能级跃迁，吸收一定能量的光子．只有当一个光子的能量满足hν＝E末－E初时，才能被某一个原子吸收，使原子从低能级E初向高能级E末跃迁，而当光子能量hν大于或小于E末－E初时都不能被原子吸收．
(2)原子从高能级向低能级跃迁，以光子的形式向外辐射能量，所辐射的光子能量恰等于发生跃迁时的两能级间的能量差．
【特别提醒】原子的总能量En＝Ekn＋Epn，由＝m得Ekn＝，因此，Ekn随r的增大而减小，又En随n的增大而增大，故Epn随n的增大而增大，电势能的变化也可以从电场力做功的角度进行判断，当r减小时，电场力做正功，电势能减小，反之，电势能增大．
例2、如图3所示为氢原子能级示意图，现有大量的氢原子处于n＝4的激发态，当向低能级跃迁时辐射出若干不同频率的光，下列说法正确的是 (　　)
A．这些氢原子总共可辐射出3种不同频率的光
B．由n＝2能级跃迁到n＝1能级产生的光频率最小
C．由n＝4能级跃迁到n＝1能级产生的光最容易表现出衍射现象
D．用n＝2能级跃迁到n＝1能级辐射出的光照射逸出功为6.34 eV的金属铂能发生光电效应
【变式探究】氢原子部分能级的示意图如图4所示．不同色光的光子能量如下表所示.
色光
红
橙
黄
绿
蓝-靛
紫
光子能量
范围(eV)
1.61～
2．00
2.00～
2．07
2.07～
2．14
2.14～
2．53
2.53～
2．76
2.76～
3．10
图4
处于某激发态的氢原子，发射的光的谱线在可见光范围内仅有2条，其颜色分别为(　　)
A．红、蓝－靛 B．黄、绿
C．红、紫 D．蓝－靛、紫
【经典考题精析】
【2014高考在线】
1．（2014·天津卷）下列说法正确的是(　　)
A．玻尔对氢原子光谱的研究导致原子的核式结构模型的建立
B．可利用某些物质在紫外线照射下发出荧光来设计防伪措施
C．天然放射现象中产生的射线都能在电场或磁场中发生偏转
D．观察者与波源互相远离时接收到波的频率与波源频率不同
（2013·天津卷）1、下列说法正确的是（　　）
A.原子核发生衰变时要遵守电荷守恒和质量守恒的规律
B.射线、射线、射线都是高速运动的带电粒子流
C.氢原子从激发态向基态跃迁只能辐射特定频率的光子
D.发生光电效应时光电子的动能只与入射光的强度有关
（2013·大纲卷）16．放射性元素氡（）经α衰变成为钋，半衰期为3.8天；但勘测表明，经过漫长的地质年代后，目前地壳中仍存在天然的含有放射性元素的矿石，其原因是（ ）
A．目前地壳中的主要来自于其它放射元素的衰变
B．在地球形成的初期，地壳中元素的含量足够高
C．当衰变产物积累到一定量以后，的增加会减慢的衰变进程
D．主要存在于地球深处的矿石中，温度和压力改变了它的半衰期
（2013·重庆）2．铀是常用的一种核燃料，若它的原子核发生了如下的裂变反应：
则a+b可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由核电荷数和质量数守恒可知D项正确。
（2013·上海卷）7．在一个原子核衰变为一个原子核的过程中，发生β衰变的次数为
(A)6次 (B)10次 (C)22次 (D)32次
（2013·广东卷）17.铀核裂变是核电站核能的重要来源，其一种裂变反应是，下列说法正确的有
A.上述裂变反应中伴随着中子放出 B.铀块体积对链式反应的发生无影响
C.铀核的链式反应可人工控制 D.铀核的半衰期会受到环境温度的影响
（2013·上海卷）21．放射性元素衰变为，此衰变过程的核反应方程是＿＿＿＿；用此衰变过程中发出的射线轰击，可得到质量数为22的氖(Ne)元素和另一种粒子，此核反应过程的方程是＿＿＿＿。
（2013·北京卷）20.以往我们认识的光电效应是单光子光电效应，即一个电子极短时间内能吸收到一个光子而从金属表面逸出。强激光的出现丰富了人们对于光电效应的认识，用强激光照射金属，由于其光子密度极大，一个电子在短时间内吸收多个光子成为可能，从而形成多光子电效应，这已被实验证实。光电效应实验装置示意如图。用频率为v的普通光源照射阴极k，没有发生光电效应，换同样频率为v的强激光照射阴极k，则发生了光电效应；此时，若加上反向电压U，即将阴极k接电源正极，阳极A接电源负极，在kA之间就形成了使光电子减速的电场，逐渐增大U，光电流会逐渐减小；当光电流恰好减小到零时，所加反向电压U可能是下列的（其中W为逸出功，h为普朗克常量，e为电子电量）
A.U=- B U=- C.U=2hv-W D. U=-
（2013·山东卷）38. （8分）（物理选修3-5）
（1）恒星向外辐射的能量来自于其内部发生的各种热核反应，当温度达到108K时，可以发生“氦燃烧”。
完成“氦燃烧”的核反应方程：。
是一种不稳定的粒子，其半衰期为2.6×10-16s。一定质量的，经7.8×10-16s后所剩下的占开始时的 。
（2）如图所示，光滑水平轨道上放置长木板A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为、、。开始时C静止，A、B一起以的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小。
【答案】 （1）①（或） ②（或12.5%）（2）2m/s
【解析】 （1）①由题意结合核反应方程满足质量数和电荷数守恒可得答案。
专题13.4 原子核 核反应与核能

【2016考纲解读】
1.掌握原子核的衰变、半衰期等知识.
2.会书写核反应方程，并能根据质能方程求解核能问题．
【重点知识梳理】
一、天然放射现象、原子核的组成
1． 天然放射现象
(1)天然放射现象
元素自发地放出射线的现象，首先由贝克勒尔发现．天然放射现象的发现，说明原子核还具有复杂
的结构．
(2)放射性和放射性元素
物质发射某种看不见的射线的性质叫放射性．
具有放射性的元素叫放射性元素．
2． 原子核
(1)原子核的组成
①原子核由中子和质子组成，质子和中子统称为核子．
②原子核的核电荷数＝质子数，原子核的质量数＝中子数＋质子数．
③X元素原子核的符号为X，其中A表示质量数，Z表示核电荷数．
(2)同位素：具有相同质子数、不同中子数的原子，因为在元素周期表中的位置相同，同位素具有相
同的化学性质．
3． 三种射线的比较
种类
α射线
β射线
γ射线
组成
高速氦核流
高速电子流
光子流(高频电磁波)
带电荷量
2e
－e
0
质量
4mp
(mp＝1.67×
10－27 kg)

静止质量为零
符号
He
e
γ
速度
0.1c
0.99c
c
在电磁场中
偏转
与α射线反向偏转
不偏转
贯穿本领
最弱，用
纸能挡住
较强，穿透几
毫米的铝板
最强，穿透几
厘米的铅板
对空气的
电离作用
很强
较弱
很弱
二、原子核的衰变和半衰期
1． 原子核的衰变
(1)原子核放出α粒子或β粒子，变成另一种原子核的变化称为原子核的衰变．
(2)分类
α衰变：X→Y＋He
β衰变：X→Y＋e
2． 半衰期：放射性元素的原子核有半数发生衰变所需的时间．半衰期由核内部本身的因素决定，
跟原子所处的物理或化学状态无关．
【高频考点突破】
考点一　原子核和原子核的衰变
1． 衰变规律及实质
(1)两种衰变的比较
衰变类型
α衰变
β衰变
衰变方程
X→Y＋He
X→ AZ＋1Y＋e
衰变实质
2个质子和2个中子结合成一个整体射出
中子转化为质子和电子
2H＋2n→He
n→H＋e
衰变规律
电荷数守恒、质量数守恒
(2)γ射线：γ射线经常是伴随着α衰变或β衰变同时产生的．其实质是放射性原子核在发生α衰变或β衰变的过程中，产生的新核由于具有过多的能量(核处于激发态)而辐射出光子．
2． 原子核的人工转变
用高能粒子轰击靶核，产生另一种新核的反应过程．
典型核反应：
(1)卢瑟福发现质子的核反应方程为：7N＋He→8O＋H.
(2)查德威克发现中子的核反应方程为：
Be＋He→6C＋n.
(3)居里夫妇发现放射性同位素和正电子的核反应方程为：
Al＋He→P＋n.
P→Si＋e.
3． 确定衰变次数的方法
(1)设放射性元素X经过n次α衰变和m次β衰变后，变成稳定的新元素Y，则表示该核反应的方程为
X→Y＋nHe＋me
根据电荷数守恒和质量数守恒可列方程
A＝A′＋4n，Z＝Z′＋2n－m
(2)确定衰变次数，因为β衰变对质量数无影响，先由质量数的改变确定α衰变的次数，然后再根据衰变规律确定β衰变的次数．
4．半衰期
(1)公式：N余＝N原()t/τ，m余＝m原()t/τ
式中N原、m原表示衰变前的放射性元素的原子数和质量，N余、m余表示衰变后尚未发生衰变的放射性元素的原子数和质量，t表示衰变时间，τ表示半衰期．
(2)影响因素：放射性元素衰变的快慢是由原子核内部因素决定的，跟原子所处的物理状态(如温度、压强)或化学状态(如单质、化合物)无关．
例1、2011年3月11日，日本发生九级大地震，造成福岛核电站严重的核泄漏事故．在泄漏的污染物中含有131I和137Cs两种放射性核素，它们通过一系列衰变产生对人体有危害的辐射．在下列四个式子中，有两个能分别反映131I和137Cs的衰变过程，它们分别是________和________(填入正确选项前的字母).131I和137Cs原子核中的中子数分别是________和________．
A．X1―→56Ba＋n B．X2―→54Xe＋e
C．X3―→56Ba＋e D．X4―→54Xe＋p
答案B C 78
【变式探究】　(1)关于放射性元素的半衰期，下列说法正确的有 (　　)
A．是原子核质量减少一半所需的时间
B．是原子核有半数发生衰变所需的时间
C．把放射性元素放在密封的容器中，可以减小放射性元素的半衰期
D．可以用来测定地质年代、生物年代等
(2)某考古队发现一古生物骸骨．考古专家根据骸骨中C的含量推断出了该生物死亡的年代．已知此骸骨中C的含量为活着的生物体中C的1/4，C的半衰期为5 730年．该生物死亡时距今约________年．
【变式探究】由于放射性元素Np的半衰期很短，所以在自然界一直未被发现，只是在使用人工的方法制造后才被发现．已知Np经过一系列α衰变和β衰变后变成Bi，下列判断中正确的是(　　)
A.Bi的原子核比Np的原子核少28个中子
B.Bi的原子核比Np的原子核少18个中子
C．衰变过程中共发生了7次α衰变和4次β衰变
D．衰变过程中共发生了4次α衰变和7次β衰变
考点二　核反应类型及核反应方程的书写
类型
可控性
核反应方程典例
衰变
α衰变
自发
92U→90Th＋He
β衰变
自发
90Th→91Pa＋e
人工转变
人工控制
7N＋He→8O＋H
(卢瑟福发现质子)
He＋Be→6C＋n
(查德威克发现中子)
Al＋He→P＋n
约里奥·居里夫妇发现放射性同位素，同时发现正电子
P→Si＋e
重核裂变
比较容易进行人工控制
92U＋n→56Ba＋Kr＋3n
92U＋n→54Xe＋Sr＋10n
轻核聚变
除氢弹外无法控制
H＋H→He＋n
例2、　(1)现有三个核反应方程：
①Na→Mg＋　0－1e；
②92U＋n→56Ba＋Kr＋3n；
③H＋H→He＋n.
下列说法正确的是 (　　)
A．①是裂变，②是β衰变，③是聚变
B．①是聚变，②是裂变，③是β衰变
C．①是β衰变，②是裂变，③是聚变
D．①是β衰变，②是聚变，③是裂变
(2)现有四个核反应：
A.H＋H→He＋n
B.U＋n→X＋Kr＋3n
C.Na→Mg＋e
D.He＋Be→C＋n
①________是发现中子的核反应方程，________是研究原子弹的基本核反应方程，________是研究氢弹的基本核反应方程．
②求B中X的质量数和中子数．
【变式探究】三个原子核X、Y、Z，X核放出一个正电子后变为Y核，Y核与质子发生核反应后生成Z核并放出一个氦核(He)，则下面说法正确的是 (　　)
A．X核比Z核多一个质子
B．X核比Z核少一个中子
C．X核的质量数比Z核的质量数大3
D．X核与Z核的总电荷数是Y核电荷数的2倍
答案　CD
解析　设原子核X的符号为X，则原子核Y为Y，X→e＋Y，H＋Y→He＋Z，故原子核Z为Z.
考点三　关于核能的计算
1.应用质能方程解题的流程图
（1）根据ΔE＝Δmc2计算，计算时Δm的单位是“kg”，c的单位是“m/s”，ΔE的单位是“J”．
（2）根据ΔE＝Δm×931.5 MeV计算．因1原子质量单位(u)相当于931.5 MeV的能量，所以计算时Δm的单位是“u”，ΔE的单位是“MeV”．
2. 利用质能方程计算核能时，不能用质量数代替质量进行计算．
例3、裂变反应是目前核能利用中常用的反应，以原子核92U为燃料的反应堆中，当92U俘获一个慢中子后发生的裂变反应可以有多种方式，其中一种可表示为：
　92U ＋ 　　n→　　　54Xe ＋　　　Sr＋　　3n
235．043 9 1.008 7 138.917 8 93.915 4
反应方程下方的数字是中子及有关原子核的静止质量(以原子质量单位u为单位)．已知
1 u的质量对应的能量为9.3×102 MeV，此裂变反应释放出的能量是______ MeV.
【变式探究】已知氦原子的质量为MHe u，电子的质量为me u，质子的质量为mp u，中子的质量为mn u，u为原子质量单位，且由爱因斯坦质能方程E＝mc2可知：1 u对应于931.5 MeV的能量，若取光速c＝3×108 m/s，则两个质子和两个中子聚变成一个氦核，释放的能量为 (　　)
A．[2(mp＋mn)－MHe]×931.5 MeV
B．[2(mp＋mn＋me)－MHe]×931.5 MeV
C．[2(mp＋mn＋me)－MHe]·c2 J
D．[2(mp＋mn)－MHe]·c2 J
【经典考题精析】
（2014·北京卷）质子、中子和氘核的质量分别为m1、m2和m3.当一个质子和一个中子结合成氘核时，释放的能量是(c表示真空中的光速)(　　)
A．(m1＋m2－m3)c B．(m1－m2－m3)c
C．(m1＋m2－m3)c2 D．(m1－m2－m3)c2
（2014·重庆卷）碘131的半衰期约为8天，若某药物含有质量为m的碘131，经过32天后，该药物中碘131的含量大约还有(　　)
A. B. C. D.
（2014·新课标全国卷Ⅰ）关于天然放射性，下列说法正确的是________．
A．所有元素都可能发生衰变
B．放射性元素的半衰期与外界的温度无关
C．放射性元素与别的元素形成化合物时仍具有放射性
D．α、β和γ三种射线中，γ射线的穿透能力最强
E．一个原子核在一次衰变中可同时放出α、β和γ三种射线
4. （2014·上海13校联考）下列核反应方程及其表述中错误的是(　　)
A.He＋H→He＋H是原子核的α衰变
B. He＋Al→P＋n 是原子核的人工转变
C. Na →Mg＋e 是原子核的β衰变
D. 235 92U＋n →Kr＋Ba＋3n 是重核的裂变反应
（2014·福建卷Ⅰ）如图所示，放射性元素镭衰变过程中释放出α、β、γ三种射线，分别进入匀强电场和匀强磁场中，下列说法正确的是________．(填选项前的字母)
A．①表示γ射线，③表示α射线
B．②表示β射线，③表示α射线
C．④表示α射线，⑤表示γ射线
D．⑤表示β射线，⑥表示α射线
（2013·天津卷）1、下列说法正确的是（　　）
A.原子核发生衰变时要遵守电荷守恒和质量守恒的规律
B.射线、射线、射线都是高速运动的带电粒子流
C.氢原子从激发态向基态跃迁只能辐射特定频率的光子
D.发生光电效应时光电子的动能只与入射光的强度有关
（2013·大纲卷）16．放射性元素氡（）经α衰变成为钋，半衰期为3.8天；但勘测表明，经过漫长的地质年代后，目前地壳中仍存在天然的含有放射性元素的矿石，其原因是（ ）
A．目前地壳中的主要来自于其它放射元素的衰变
B．在地球形成的初期，地壳中元素的含量足够高
C．当衰变产物积累到一定量以后，的增加会减慢的衰变进程
D．主要存在于地球深处的矿石中，温度和压力改变了它的半衰期
（2013·重庆）2．铀是常用的一种核燃料，若它的原子核发生了如下的裂变反应：
则a+b可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由核电荷数和质量数守恒可知D项正确。
（2013·上海卷）7．在一个原子核衰变为一个原子核的过程中，发生β衰变的次数为
(A)6次 (B)10次 (C)22次 (D)32次
（2013·广东卷）17.铀核裂变是核电站核能的重要来源，其一种裂变反应是，下列说法正确的有
A.上述裂变反应中伴随着中子放出 B.铀块体积对链式反应的发生无影响
C.铀核的链式反应可人工控制 D.铀核的半衰期会受到环境温度的影响
（2013·上海卷）21．放射性元素衰变为，此衰变过程的核反应方程是＿＿＿＿；用此衰变过程中发出的射线轰击，可得到质量数为22的氖(Ne)元素和另一种粒子，此核反应过程的方程是＿＿＿＿。
（2013·北京卷）20.以往我们认识的光电效应是单光子光电效应，即一个电子极短时间内能吸收到一个光子而从金属表面逸出。强激光的出现丰富了人们对于光电效应的认识，用强激光照射金属，由于其光子密度极大，一个电子在短时间内吸收多个光子成为可能，从而形成多光子电效应，这已被实验证实。光电效应实验装置示意如图。用频率为v的普通光源照射阴极k，没有发生光电效应，换同样频率为v的强激光照射阴极k，则发生了光电效应；此时，若加上反向电压U，即将阴极k接电源正极，阳极A接电源负极，在kA之间就形成了使光电子减速的电场，逐渐增大U，光电流会逐渐减小；当光电流恰好减小到零时，所加反向电压U可能是下列的（其中W为逸出功，h为普朗克常量，e为电子电量）
A.U=- B U=- C.U=2hv-W D. U=-
（2013·山东卷）38. （8分）（物理选修3-5）
（1）恒星向外辐射的能量来自于其内部发生的各种热核反应，当温度达到108K时，可以发生“氦燃烧”。
完成“氦燃烧”的核反应方程：。
是一种不稳定的粒子，其半衰期为2.6×10-16s。一定质量的，经7.8×10-16s后所剩下的占开始时的 。
（2）如图所示，光滑水平轨道上放置长木板A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为、、。开始时C静止，A、B一起以的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小。
【答案】 （1）①（或） ②（或12.5%）（2）2m/s
【解析】 （1）①由题意结合核反应方程满足质量数和电荷数守恒可得答案。
【当堂巩固】
1．下列说法正确的是(　　)
A．核反应堆产生的能量是来自于轻核聚变
B．太阳能来源于轻核聚变
C．γ射线是带负电的粒子流
D．γ射线比α射线更容易穿透物体
解析：选BD.核反应堆产生的能量来自于重核裂变，A错误；γ射线是不带电的光子流，C错误．
2．关于放射性元素的半衰期，下列说法正确的有(　　)
A．是原子核质量减少一半所需的时间
B．是原子核有半数发生衰变所需的时间
C．把放射性元素放在密封的容器中，可以减慢放射性元素的半衰期
D．可以用来测定地质年代、生物年代等
3．居室装修中经常用到的花岗岩都不同程度地含有放射性元素(含铀、钍等)，会释放出α、β、γ射线，这些射线会导致细胞发生癌变及呼吸道疾病．根据有关放射性知识判断下列说法中正确的是(　　)
A．α射线是发生α衰变时产生的，生成核与原来的原子核相比，中子数减少了4个
B．β射线是发生β衰变时产生的，生成核与原来的原子核相比，质量数减少了1个
C．γ射线是发生γ衰变时产生的，生成核与原来的原子核相比，中子数减少了1个
D．在α、β、γ三种射线中，γ射线的穿透能力最强、电离能力最弱
解析：选D.α射线是发生α衰变时产生的，生成核与原来的原子核相比，中子数减少了2个；β射线是发生β衰变时产生的，生成核与原来的原子核相比，质量数不变，中子数减少了1个；γ射线是发生γ衰变时产生的，生成核与原来的原子核相比，中子数不变，故ABC错误，D正确．
4．原子核U经放射性衰变①变为原子核Th，继而经放射性衰变　②变为原子核Pa，再经放射性衰变　③变为原子核U.放射性衰变①、②和③依次为(　　)
A．α衰变、β衰变和β衰变
B．β衰变、α衰变和β衰变
C．β衰变、β衰变和α衰变
D．α衰变、β衰变和α衰变
5．下列说法正确的是(　　)
A.N＋H→C＋He是α衰变方程
B.H＋H→He＋γ是核聚变反应方程
C.U→Th＋He是核裂变反应方程
D.He＋Al→P＋n是原子核的人工转变方程
6．原子核X与氘核H反应生成一个α粒子和一个质子．由此可知(　　)
A．A＝2，Z＝1　　　　　　　 B．A＝2，Z＝2
C．A＝3，Z＝3 D．A＝3，Z＝2
解析：选D.该核反应的方程式为：X＋H→He＋H，由质量数和电荷数守恒得：A＝4＋1－2＝3，Z＝2＋1－1＝2，故正确答案为D.
7．在现代兵器体系中，潜艇和航母几乎算得上是一对天生的冤家对头，整个二战期间，潜艇共击沉航母17艘，占全部沉没航母数量的40.5%.中国有亚洲最大的潜艇部队，拥有自行开发的宋级柴电动力潜艇和汉级核动力潜艇，核动力潜艇中核反应堆释放的核能被转化成动能和电能．核反应堆的工作原理是利用中子轰击重核发生裂变反应，释放出大量的核能．核反应方程U＋n→Ba＋Kr＋aX是反应堆中发生的众多核反应中的一种，n为中子，X为待求粒子，a为X的个数，则(　　)
A．X为质子　a＝3 B．X为质子　a＝2
C．X为中子　a＝2 D．X为中子　a＝3
解析：选D.由重核裂变方程以及核反应方程中电荷数守恒可得出X电荷数0，即X应为中子，又由质量数守恒可得a＝3，D正确．
8.U经过一系列α衰变和β衰变，最后变成Pb，衰变方程可写为：U→Pb＋nα＋kβ，则(　　)
A．n＝7，k＝4 B．n＝5，k＝0
C．n＝6，k＝4 D．n＝4，k＝7
答案：A
9．核电站核泄漏的污染物中含有碘131和铯137.碘131的半衰期约为8天，会释放β射线；铯137是铯133的同位素，半衰期约为30年，发生衰变时会辐射γ射线．下列说法正确的是(　　)
A．碘131释放的β射线由氦核组成
B．铯137衰变时辐射出的γ光子能量小于可见光光子能量
C．与铯137相比，碘131衰变更慢
D．铯133和铯137含有相同的质子数
10．质量亏损、原子核的结合能是核能研究中的重要概念，若已知碳原子的质量为m1，碳原子核的质量为m2，氢原子的质量为m3，氢原子核的质量为m4，中子的质量为m5，光在真空中传播的速度为c，则以下判断中错误的是(　　)
A．核子结合成碳原子核时释放的能量为(6m4＋6m5－m2)c2
B．核子结合成碳原子核时释放的能量为(6m3＋6m5－m1)c2
C．碳原子核被分解成核子时吸收的能量至少为(6m4＋6m5－m2)c2
D．碳原子核被分解成核子时吸收的能量至少为(m1－m2)c2
答案：D
11．(1)碘131核不稳定，会发生β衰变，其半衰期为8天．
①碘131核的衰变方程：I→________(衰变后的元素用X表示)．
②经过________天有75%的碘131核发生了衰变．
(2)(2011·高考江苏卷)有些核反应过程是吸收能量的．例如，在X＋N→O＋H中，核反应吸收的能量Q＝[(mO＋mH)－(mX＋mN)]c2.在该核反应方程中，X表示什么粒子？
X粒子以动能Ek轰击静止的N核，若Ek＝Q，则该核反应能否发生？请简要说明理由．
12．氮核N俘获一个速度为2.3×107m/s的中子，发生核反应后若只产生了两个新粒子，其中一个粒子为氦核(He)，它的速度大小是8.0×106m/s，方向与反应前的中子速度方向相同．
(1)写出此核反应的方程，求反应后产生的另一个粒子的速度大小及方向；
(2)此反应过程中是否发生了质量亏损，说明依据．

【2016考纲解读】
1．了解弹性、弹性形变、和弹性限度.
2．会应用胡克定律解决弹簧模型.
【重点知识梳理】
一、力
1、定义：力是物体对物体的作用
说明：定义中的物体是指施力物体和受力物体，定义中的作用是指作用力与反作用力。
2、力的性质
①力的物质性：力不能离开物体单独存在。一谈到力,必然涉及两个物体,受力物体和施力物体,力不能离开物体而存在,找不到施力物体和受力物体的力是不存在的.一提到力一定要知道其施力物体和受力物体，学好物理的功底。
说明:分析力,①首先要明确施力物体和受力物体(作用对象)
②对某一物体而言,可能有一个或多个施力物体.
③受力物体和施力物体总是同时成对出现.
②力的相互性：力的作用是相互的。施力物体给予受力物体作用的同时必受受力物体的反作用.即力是成对出现的.施力物体同时也是受力物体.受力物体同时也是施力物体,我们把物体之间的作用称为作用力与反作用力.
③力的矢量性：力是矢量，既有大小也有方向。
④力的独立性：一个力作用于物体上产生的效果与这个物体是否同时受其它力作用无关。
⑤力的测量工具：测力计，可以用弹簧称测量
⑥单位:牛顿 简称牛.符号N (SI制中：kgm/s2)
意义：使质量为1千克的物体产生1米／秒2加速度力的大小为 1牛顿．
⑦力的表示方法：三要素表示、力的图示和示意图
力的三要素是：大小、方向、作用点．
力的图示：用一根带箭头的线段表示出力的三要素，称为力的图示.要选择合适的比例(标度),要求严格。说明：改变任一方面作用效果都改变。
力的示意图：若只要求正确地表示出物体的受力个数和受力的方向,按大致比例画出力的大小,称为力的示意图.
示意图着重于受力个数和各力的方向画法,不要求作出标度.
⑧力的作用效果 ①静力效果:使物体的形状发生改变(形变),拉伸 压缩 弯曲 扭转等
②动力效果:使物体的运动状态发生改变(改变物体的速度)即是产生加速度
3、力的分类
①按性质分类：重力、弹力、摩擦力、分子力、电磁力、核力等 （受力分析时一定要分析的力）一定有施、受力物体。
②按效果分类：拉力、压力、支持力、动力、阻力、向心力、回复力、下滑力、分力、合力、斥力、吸力、浮力等
③按研究对象分类：内力和外力。
④按作用方式分类：重力、电场力、磁场力等为场力，即非接触力，弹力、摩擦力为接触力。
说明：性质不同的力可能有相同的效果，效果不同的力也可能是性质相同的。
二、重力
1、产生原因：由于地球对物体的吸引而使物体受到的力叫重力．
说明：①重力是由于地球的吸引而产生的力，但它并不就等于地球时物体的引力．重力是地球对物体的万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球旋转所需的向心力。由于物体随地球自转所需向心力很小，所以计算时一般可近似地认为物体重力的大小等于地球对物体的引力。其一个分力使得物体随地球自转所需的向心力,(赤道处较大)；另一个力为重力。（在南北两极较大）地球附近的物体都受重力作用，重力的施力物体是地球。
②重力的大小与纬度和距地面的高度有关。
重力在不同纬度的地方不同，南北两极较大，赤道处较小。离地面不同高度的地方不同,离地越高的地方越小，但是在处理物理问题时，在地球表面和地球表面附近某一高度的地方，一般认为物体受的重力不变。一个物体受的重力不受运动状态的影响，与是否还受其它力作用也无关。在超重、矢重和卫星上也还受重力作用，
2、大小：G＝mg （可以认为牛顿第二定律）
（说明：物体的重力的大小与物体的运动状态及所处的状态都无关）此公式可认为牛顿第二定律。
g=9.8 N/kg 可以用弹簧测力计测量
3、方向：竖直向下（说明：不可理解为跟支承面垂直）．
不等同于指向地心，只有赤道和两极处重力的方向才指向地心。
4、重心：物体各部分都受重力作用,效果上认为集中到一个点上,这个点就叫重心，即是说重力的作用点。即：重心是物体各部分所受重力合力的作用点．
说明：（l）重心可以不在物体上．物体的重心与物体的形状和质量分布都有关系。重心是一个等效的概念。重心是一个等效替代点,不要认力只有重心处受重力,物体的其它部分不受重力。
（2）有规则几何形状、质量均匀的物体重心在它的几何中心．质量分布不均匀的物体，其重心随物体的形状和质量分布的不同而不同。
（3）薄物体的重心可用悬挂法求得．
三、弹力
弹力产生原因：发生形变的物体想要恢复原状而对迫使它发生形变的物体产生的力。
1、定义：直接接触的物体间由于发生弹性形变(即是相互挤压)而产生的力．
2、产生条件：直接接触，有弹性形变。
3、方向：弹力的方向与施力物体的形变方向相反（与形变恢复方向相同），作用在迫使物体发生形变的物体上。弹力是法向力，力垂直于两物体的接触面。具体说来：(弹力方向的判断方法)
(1)弹簧两端的弹力方向,与弹簧中心轴线重合,指向弹簧恢复原状的方向。其弹力可为拉力,可为压力；对弹簧秤只为拉力。
(2)轻绳对物体的弹力方向，沿绳指向绳收缩的方向，即只为拉力。
(3)点与面接触时弹力的方向，过接触点垂直于接触面（或接触面的切线方向）而指向受力物体。
(4)面与面接触时弹力的方向，垂直于接触面而指向受力物体。
(5)球与面接触时弹力的方向，在接触点与球心的连线上而指向受力物体。
(6)球与球相接触的弹力方向，沿半径方向，垂直于过接触点的公切面而指向受力物体。
(7)轻杆的弹力方向可能沿杆也可能不沿杆，杆可提供拉力也可提供压力,这一点跟绳是不同的。
(8)根据物体的运动情况。利用平行条件或动力学规律判断．
说明：①压力、支持力的方向总是垂直于接触面（若是曲面则垂直过接触点的切面）指向被压或被支持的物体。
②绳的拉力方向总是沿绳指向绳收缩的方向。
③杆既可产生拉力，也可产生压力,而且能产生不同方向的力。这是杆的受力特点。
杆一端受的弹力方向不一定沿杆的方向。
4、弹力的大小：
①弹簧、橡皮条类：它们的形变可视为弹性形变。
(在弹性限度内)弹力的大小跟形变关系符合胡克定律遵从胡克定律力F=kX。
上式中k叫弹簧劲度系数,单位：N/m，跟弹簧的材料、粗细,直径及原长都有关系；
X是弹簧的形变量（拉伸或压缩量）切不可认为是弹簧的原长。
②一根张紧的轻绳上的张力大小处处相等。
③非弹簧类的弹力是形变量越大,弹力越大,一般应根据物体所处的运动状态,利用平衡条件或动力学规律(牛顿定律)来计算。
【特别提醒】
1、弹力有无判断
弹力的方向总跟形变方向相反，但很多情况接触处的形变不明显，这给判断弹力是否存在带来困难。可用以下方法解决。
（1）拆除法
即解除所研究处的接触，看物体的运动状态是否改变。若不变，则说明无弹力；若改变，则说明有弹力。
（2）分析主动力和运动状态是判断弹力有无的金钥匙。
分析主动力就是分析沿弹力所在直线上，除弹力以外其它力的合力。看该合力是否满足给定的运动状态，若不满足，则存在弹力，若满足则不存在弹力。
2、弹力方向判定
（1）对于点与面、面与面接触的情形，弹力的方向总跟接触面垂直。对于接触面是曲面的情况，要先画出通过接触点的切面，弹力就跟切面垂直。
（2）对于杆的弹力方向问题，要特别注意不一定沿杆，沿杆只是一种特殊情况，当杆与物体接触处情况不易确定时，应根据物体的运动状态，利用平衡条件或动力学规律来判断。
3、弹力的计算
弹力是被动力，其大小与物体所受的其它力的作用以及物体的运动状态有关，所以可根据物体的运动状态和受力情况，利用平衡条件或牛顿运动定律求解。非弹簧类弹力的大小计算，只能根据物体的运动状态，利用F合 = 0或F合 = ma求解。
【高频考点突破】
考点一 形变和弹力
弹力产生的条件是“接触且有弹性形变”.若物体间虽然有接触但无拉伸或挤压，则无弹力产生.在许多情况下由于物体的形变很小，难于观察到，因而判断弹力的产生要用“反证法 ”，即由已知运动状态及有关条件，利用平衡条件或牛顿运动定律进行逆向分析推理.
另外，A、B两个物体之间有作用力，B物体所受弹力的直接原因是A物体发生形变，A物体受到弹力的直接原因是B物体发生形变.
【例1】如图所示,一匀质木棒,搁置于台阶上保持静止,下图关于木棒所受的弹力的示意图中正确的是（ ）
考点二 轻绳、轻杆、轻弹簧的弹力
要区分轻绳、轻杆、轻弹簧三个模型弹力的特点：
轻绳：绳对物体的拉力是沿绳收缩的方向.同一根绳上各点受拉力大小都相等.
轻杆：杆对物体的弹力不一定沿杆方向，如果轻直杆只有两端受力而处于平衡状态，则轻杆两端对物体的弹力方向一定沿杆方向.
轻弹簧：弹簧对物体的力可能为支持力，也可能为拉力，但一定沿弹簧轴线方向.
【例2】.如图所示，为一轻质弹簧的长度和弹力大小的关系．根据图象判断，正确的结论是 ( )
A．弹簧的劲度系数为1 N／m
B．弹簧的劲度系数为100 N／m
C. 弹簧的原长为6 cm
D．弹簧伸长0．2 m时，弹力的大小为4 N
考点三 弹力大小的计算
例3、如图所示，质量为m的物体悬挂在轻质的支架上，斜梁OB与竖直方向的夹角为θ.设水平横梁OA和斜梁OB作用于O点的弹力分别为F1和F2.以下结果正确的是（ ）
A．　　　　　
　 B．
C．　　　　　　
D．
【解析】以O点为研究对象，受力如图所示：
由平衡条件可得
【答案】D
例4、探究弹力和弹簧伸长的关系时，在弹性限度内，悬挂15N重物时，弹簧长度为0.16m；悬挂20N重物时，弹簧长度为0.18m，则弹簧的原长L原和劲度系统k分别为（ ）
A．L原＝0.02m　k＝500N／m
B．L原＝0.10m　k＝500N／m
C．L原＝0.02m　k＝250N／m
D．L原＝0.10m　k＝250N／m
【变式探究】1、甲、乙双方同学在水平地面上进行拔河比赛，正僵持不下，如图所示．如果地面对甲方所有队员的总的摩擦力为6 000N，同学甲1和乙1对绳子的水平拉力均为500 N．绳上的A、B两点分别位于甲1和乙1、乙1和乙2之间．不考虑绳子的质量．下面说法正确的是（ ）
A．地面对乙方队员的总的摩擦力是6 000 N
B．A处绳上的张力为零
C．B处绳上的张力为500 N
D．B处绳上的张力为5500N
【变式探究】2、如图所示，滑轮本身的质量可忽略不计，滑轮轴O安在一根轻木杆B上，一根轻绳AC绕过滑轮，A端固定在墙上，且绳保持水平，C端下面挂一个重物，BO与竖直方向夹角，系统保持平衡，若保持滑轮的位置不变，改变的大小，则滑轮受到木杆的弹力大小变化情况是( )
A．只有角变小，弹力才变小
B．只有角变大，弹力才变大
C．不论角变大或变小，弹力都变大
D．不论角变大或变小，弹力都不变
考点五 摩擦力的大小及方向的判断
例5、用轻弹簧竖直悬挂的质量为m物体，静止时弹簧伸长量为L0现用该弹簧沿斜面方向拉住质量为2m的物体，系统静止时弹簧伸长量也为L0，斜面倾角为30，如图2-1-7所示.则物体所受摩擦力（ ）
A．等于零
B．大小为,方向沿斜面向下
C．大于为，方向沿斜面向上
D．大小为mg,方向沿斜面向上
【点评】斜面上物体受力分析是高考的必考内容，本题综合考察了考生对三种性质的力的分析与理解，本题若不注意前题条件，有可能得出B选项
例6、如图2-1-8, 一固定斜面上两个质量相同的小物块A和B紧挨着匀速下滑, A与B的接触面光滑. 已知A与斜面之间的动摩擦因数是B与斜面之间动摩擦因数的2倍, 斜面倾角为α. ，则B与斜面之间的动摩擦因数是（ ）
A．
B．
C．　　　　　　
D．
【解析】设B与斜面之间的动摩擦因数为，则对A、B两物体有，解得
【答案】B
【变式探究】1、如图所示，两个等大的水平力F分别作用在B和C上．A、B、C都处于静止状态．各接触面与水平地面平行．A、C间的摩擦力大小为f1，B、C间的摩擦力大小为f2，C与地面间的摩擦力大小为f3，则（ ）
A．f1=0，f2=0，f3=0
B．f1=0，f2=F，f3=0
C．f1=F，f2=0，f3=0
D．f1=0，f2=F，f3=F
【变式探究】2、如图所示，小木块以初速度沿三角形木块a的粗糙斜面向上滑动，至速度为零后又沿斜面加速返回斜面底端，三角形木块a始终相对水平面保持静止，则水平面对三角形木块a的摩擦力方向是( )
A．始终向左　　　 　
B．始终向右
C．先向左后向右　　　
D．先向右后向左
【经典考题精析】
1．【2014·广东卷】 如图7所示，水平地面上堆放着原木，关于原木P在支撑点M、N处受力的方向，下列说法正确的是(　　)
A．M处受到的支持力竖直向上
B．N处受到的支持力竖直向上
C．M处受到的静摩擦力沿MN方向
D．N处受到的静摩擦力沿水平方向
2.【2014·浙江卷】 在“探究弹力和弹簧伸长的关系”时，某同学把两根弹簧如图1连接起来进行探究．
第21题图1
钩码数
1
2
3
4
LA/cm
15.71
19.71
23.66
27.76
LB/cm
29.96
35.76
41.51
47.36
第21题表1
(1)某次测量如图2所示，指针示数为________ cm.
(2)在弹性限度内，将50 g的钩码逐个挂在弹簧下端，得到指针A、B的示数LA和LB如表1.用表1数据计算弹簧Ⅰ的劲度系数为____ N/m(重力加速度g取10 m/s2)．由表Ⅰ数据________(选填“能”或“不能”)计算出弹簧Ⅱ的劲度系数．
第21题图2
3.【2014·新课标Ⅱ卷】 某实验小组探究弹簧的劲度系数k与其长度(圈数)的关系．实验装置如图(a)所示：一均匀长弹簧竖直悬挂，7个指针P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6分别固定在弹簧上距悬点0、10、20、30、40、50、60圈处；通过旁边竖直放置的刻度尺，可以读出指针的位置，P0指向0刻度．设弹簧下端未挂重物时，各指针的位置记为x0；挂有质量为0.100 kg的砝码时，各指针的位置记为x.测量结果及部分计算结果如下表所示(n为弹簧的圈数，重力加速度取9.80 m/s2)．已知实验所用弹簧总圈数为60，整个弹簧的自由长度为11.88 cm.
(1)将表中数据补充完整：①________；②________．
P1
P2
P3
P4
P5
P6
x0(cm)
2.04
4.06
6.06
8.05
10.03
12.01
x(cm)
2.64
5.26
7.81
10.30
12.93
15.41
n
10
20
30
40
50
60
k(N/m)
163
①
56.0
43.6
33.8
28.8
(m/N)
0.0061
②
0.0179
0.0229
0.0296
0.0347
(2)以n为横坐标，为纵坐标，在图(b)给出的坐标纸上画出 -n图像．
图(b)
(3)图(b)中画出的直线可近似认为通过原点．若从实验中所用的弹簧截取圈数为n的一段弹簧，该弹簧的劲度系数k与其圈数n的关系的表达式为k＝____③__N/m；该弹簧的劲度系数k与其自由长度l0(单位为m)的关系的表达式为k＝____④__N/m.
（2013·天津卷）如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是(　　)
A．FN保持不变，FT不断增大
B．FN不断增大，FT不断减小
C．FN保持不变，FT先增大后减小
D．FN不断增大，FT先减小后增大
（2013·山东卷）如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为(　　)
A.∶4　　B．4∶　　C．1∶2　　D．2∶1
（2013·广东卷）如图所示，物体P静止于固定的斜面上，P的上表面水平．现把物体Q轻轻地叠放在P上，则(　　)
A．P向下滑动
B．P静止不动
C．P所受的合外力增大
D．P与斜面间的静摩擦力增大
（2013·福建卷）质量为M、长为L的杆水平放置，杆两端A、B系着长为3L的不可伸长且光滑的柔软轻绳，绳上套着一质量为m的小铁环．已知重力加速度为g，不计空气影响．
(1)现让杆和环均静止悬挂在空中，如图甲，求绳中拉力的大小；
(2)若杆与环保持相对静止，在空中沿AB方向水平向右做匀加速直线运动，此时环恰好悬于A端的正下方，如图乙所示．
①求此状态下杆的加速度大小a；
②为保持这种状态需在杆上施加一个多大的外力，方向如何？
【解析】(1)如图1，设平衡时，绳中拉力为T，有2Tcos θ－mg＝0①
由图知cos θ＝②
由①②式解得T＝mg③

图3
(2012·山东基本能力·85)力是物体间的相互作用，下列有关力的图示及表述正确的是(　　)
(2010·课标全国·15)一根轻质弹簧一端固定，用大小为F1的力压弹簧的另一端，平衡时长度为l1；改用大小为F2的力拉弹簧，平衡时长度为l2.弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数为 (　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　设弹簧原长为l，由题意知，F1＝k(l－l1)，F2＝k(l2－l)，两式联立，得k＝，选项C正确．
【2016考纲解读】
1．掌握滑动摩擦力的产生条件及方向判断，会计算其大小.
2．掌握静摩擦力的产生条件及方向判断，理解其大小的判断方法.
【重点知识梳理】
一、摩擦力
1、定义：当一个物体在另一个物体的表面上相对运动(或有相对运动的趋势)时，受到的阻碍相对运动(或阻碍相对运动趋势)的力，叫摩擦力，可分为静摩擦力和滑动摩擦力。
2、产生条件：①接触面粗糙；②相互接触的物体间有弹力；③接触面间有相对运动(或相对运动趋势)。
说明：三个条件缺一不可，特别要注意“相对”的理解。
3、摩擦力的方向：
①静摩擦力的方向总跟接触面相切，并与相对运动趋势方向相反。
②滑动摩擦力的方向总跟接触面相切，并与相对运动方向相反。
说明：（1）“与相对运动方向相反”不能等同于“与运动方向相反”。
滑动摩擦力方向可能与运动方向相同，可能与运动方向相反，可能与运动方向成一夹角。
（2）滑动摩擦力可能起动力作用，也可能起阻力作用。
4、摩擦力的大小：
（1）静摩擦力的大小：
①与相对运动趋势的强弱有关，趋势越强，静摩擦力越大，但不能超过最大静摩擦力，即0≤f≤fm 但跟接触面相互挤压力FN无直接关系。具体大小可由物体的运动状态结合动力学规律求解。
②最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，在中学阶段讨论问题时，如无特殊说明，可认为它们数值相等。
③效果：阻碍物体的相对运动趋势,但不一定阻碍物体的运动,可以是动力,也可以是阻力。
（2）滑动摩擦力的大小：
滑动摩擦力跟压力成正比，也就是跟一个物体对另一个物体表面的垂直作用力成正比。
公式：F=μFN （F表示滑动摩擦力大小，FN表示正压力的大小，μ叫动摩擦因数）。
说明：①FN表示两物体表面间的压力，性质上属于弹力，不是重力，更多的情况需结合运动情况与平衡条件加以确定。
②μ与接触面的材料、接触面的情况有关，无单位。
③滑动摩擦力大小，与相对运动的速度大小无关。
5、效果：总是阻碍物体间的相对运动(或相对运动趋势),但并不总是阻碍物体的运动,可能是动力,也可能是阻力。
说明：滑动摩擦力的大小与接触面的大小、物体运动的速度和加速度无关，只由动摩擦因数和正压力两个因素决定，而动摩擦因数由两接触面材料的性质和粗糙程度有关．
二、静摩擦力
静摩擦力定义： 发生在两个相对静止的物体之间,由于存在有相对的运动趋势而产生的阻碍相对运动趋势的力叫做静摩擦力。
(1)产生条件：①相互接触的物体间存在弹力：②两物体间有相对运动的趋势；③接触面粗糙。
(2)方向：跟接触面相切，并且跟相对运动趋势方向相反
静摩擦力的方向可能与运动方向相同，也可能与运动方向相反，或与运动方和成一夹角。
(3)作用效果：总是阻碍物体间的相对运动趋势，但不一定阻碍物体的运动，可以是动力，也可以是阻力。
(4)大小：没有确定的取也值无确定的运算公式，只能在零到最大值之间取值。
静摩擦力的大小与相对运动趋势的强弱有关，趋势越强，静摩擦力越大，但不能超过最大静摩擦力，即0≤f≤fm ，具体大小可由物体的运动状态结合动力学规律求解。
(5)静摩擦力是被动力,其作用效果是阻碍物体的相对运动趋势,并不是阻碍运动。与发生趋势的力大小相等、方向相反，相互平衡。
说明：
①摩擦力总是起阻碍相对运动的作用,并不是阻碍物体的运动.因为有此时候摩擦力的方向与物体运动方向相同.
②绝对不能说:静止的物体受到的摩擦力是静摩擦力,运动物体受到的摩擦力是滑动摩擦力。
静摩擦力是相对静止的物体之间的摩擦力，受静摩擦力作用的物体不一定静止。
滑动摩擦力是具有相对运动的物体之间的摩擦力，受滑动摩擦力作用的物体不一定都滑动。
一个物体滑动另一个物体静止是常见的现象。
③摩擦力和弹力都是接触力，有摩擦力时必定有弹力，有弹力不一定有摩擦力。
④分析摩擦力时“参考系”的选择：条件是相互接触物体之间产生相对运动或相对运动的趋势。
【高频考点突破】
考点一　静摩擦力方向的判断
例1、如图所示，A、B两物块叠放在一起，在粗糙的水平面上保持相对静止地向右做匀减速直线运动，运动过程中B受到的摩擦力 (　　)
A．方向向左，大小不变
B．方向向左，逐渐减小
C．方向向右，大小不变
D．方向向右，逐渐减小
【特别提醒】
假设法：静摩擦力的方向一定与物体相对运动趋势方向相反，利用“假设法”可以判断出物体
相对运动趋势的方向．
2．状态法：根据二力平衡条件、牛顿第二定律，可以判断静摩擦力的方向．
3．利用牛顿第三定律(即作用力与反作用力的关系)来判断，此法关键是抓住“力是成对出现的”，
先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的方向，再根据“反向”确定另一物体受到的静摩擦力的方向．
考点二　摩擦力大小的计算
例2、如图所示，人重600 N，木块A重400 N，人与木块、木块与水平面间的动摩擦因数均为0.2.现人用水平力拉绳，使他与木块一起向右做匀速直线运动，滑轮摩擦不计，求：
(1)人对绳的拉力大小；
(2)人脚对A的摩擦力的大小和方向．
(2)取人为研究对象，对其进行受力分析，如图乙所示．
由于人处于平衡状态，故
FT＝Ff人＝100 N
由于人与木块A处于相对静止状态，故人与木块A之间的摩擦力为静摩擦力．
由牛顿第三定律可知人脚对木块A的摩擦力方向水平向右，大小为100 N.
答案　(1)100 N　(2)100 N　方向水平向右
【特别提醒】
计算摩擦力时首先要分清是静摩擦力还是滑动摩擦力．
(1)滑动摩擦力由公式F＝μFN计算，应用此公式时要注意以下两点：
①μ为动摩擦因数，其大小与接触面的材料、表面的粗糙程度有关；FN为两接触面间的正压力，其大小不一定等于物体的重力．
②滑动摩擦力的大小与物体的运动速度无关，与接触面积的大小无关．
(2)静摩擦力的计算
①它的大小和方向都跟产生相对运动趋势的力密切相关，跟接触面相互挤压力FN无直接关系，因此它具有大小、方向的可变性，变化性强是它的特点．对具体问题，要具体分析研究对象的运动状态，根据物体所处的状态(平衡、加速等)，由力的平衡条件或牛顿运动定律求解．
②最大静摩擦力Fmax：是物体将要发生相对运动这一临界状态时的摩擦力．它的数值与FN成正比，在FN不变的情况下，Fmax比滑动摩擦力稍大些，通常认为二者相等，而静摩擦力可在0～Fmax间变化．
考点三　摩擦力的突变问题
例3、长直木板的上表面的一端放有一个木块，如图8所示，木板由水平位置缓慢向上转动(即木板与地面的夹角α变大)，另一端不动，则木块受到的摩擦力Ff随角度α的变化图象是下列图中的 (　　)
分析如图：
【特别提醒】
该类问题常涉及摩擦力的突变问题，在分析中很容易发生失误．在解决此类问题时应注意以下两点：
(1)如题干中无特殊说明，一般认为最大静摩擦力略大于滑动摩擦力．
(2)由于此类问题涉及的过程较为复杂，采用特殊位置法解题往往比采用过程分析法解题更为简单．
考点四 滑动摩擦力
滑动摩擦力的方向不是与物体的运动方向相反，而是与物体的相对运动的方向相反，滑动摩擦力的公式中的N是指物体对接触面的正压力，而物体对接触面的正压力和接触面对物体的支持力的大小是相等的，故N的大小可理解为物体所受的支持力.
【例4】如图所示，有黑白两条毛巾交替折叠地放在地面上，白毛巾的中部用细线与墙连接着，黑毛巾的中部用细线拉住.设细线均水平，欲使黑白毛巾分离开来，若每条毛巾的质量均为m、毛巾之间及其与地面之间的动摩擦因数均为，则将黑毛巾匀速拉出需施加的水平拉力F值为 ( )
A. B. C. D.
考点五 静摩擦力
正压力是静摩擦力产生的条件之一，但静摩擦力的大小与正压力无关（最大静摩擦力除外），当物体处于平衡状态时，静摩擦力的大小由平衡条件来求；而物体处于非平衡态的某些静摩擦力的大小应由牛顿第二定律求解.
【例5】木块A、B分别重50 N和60 N，它们与水平地面之间的动磨擦因数均为0.25；夹在A、B之间轻弹簧被压缩了2cm，弹簧的劲度系数为400N/m.系统置于水平地面上静止不动.现用F=1 N的水平拉力作用在木块B上.如图所示.力F作用后（ ）
A.木块A所受摩擦力大小是12.5 N
B.木块A所受摩擦力大小是11.5 NC.木块B所受摩擦力大小是9 ND.木块B所受摩擦力大小是7 N
【经典考题精析】
（201 1．【2014·广东卷】 如图7所示，水平地面上堆放着原木，关于原木P在支撑点M、N处受力的方向，下列说法正确的是(　　)
A．M处受到的支持力竖直向上
B．N处受到的支持力竖直向上
C．M处受到的静摩擦力沿MN方向
D．N处受到的静摩擦力沿水平方向
2.【2014·浙江卷】 下列说法正确的是(　　)
A．机械波的振幅与波源无关
B．机械波的传播速度由介质本身的性质决定
C．物体受到的静摩擦力方向与其运动方向相反
D．动摩擦因数的数值跟相互接触的两个物体的材料无关
3·浙江卷）如图所示，水平木板上有质量m＝1.0 kg的物块，受到随时间t变化的水平拉力F作用，用力传感器测出相应时刻物块所受摩擦力Ff的大小．取重力加速度g＝10 m/s2，下列判断正确的是(　　)
A．5 s内拉力对物块做功为零
B．4 s末物块所受合力大小为4.0 N
C．物块与木板之间的动摩擦因数为0.4
D．6 s～9 s内物块的加速度大小为2.0 m/s2
（2013·北京卷）倾角为α、质量为M的斜面体静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在斜面体上．下列结论正确的是(　　)
A．木块受到的摩擦力大小是mgcosα
B．木块对斜面体的压力大小是mgsinα
C．桌面对斜面体的摩擦力大小是mgsinαcosα
D．桌面对斜面体的支持力大小是(M＋m)g
之和(M＋m)g，C项错误，D项正确．
(2012·海南单科·8)下列关于摩擦力的说法，正确的是 (　　)
A．作用在物体上的滑动摩擦力只能使物体减速，不可能使物体加速
B．作用在物体上的静摩擦力只能使物体加速，不可能使物体减速
C．作用在物体上的滑动摩擦力既可能使物体减速，也可能使物体加速
D．作用在物体上的静摩擦力既可能使物体加速，也可能使物体减速
(2011·安徽·14)一质量为m的物块恰好静止在倾角为θ的斜面上．现对物块施加一个竖直向下的恒力F，如图所示．则物块 (　　)
A．仍处于静止状态
B．沿斜面加速下滑
C．受到的摩擦力不变
D．受到的合外力增大

(2011·海南·5)如图所示，粗糙的水平地面上有一斜劈，斜劈上一物块正在沿斜面以速度v0匀速下滑，斜劈保持静止，则地面对斜劈的摩擦力 (　　)
A．等于零
B．不为零，方向向右
C．不为零，方向向左
D．不为零，v0较大时方向向左，v0较小时方向向右
(2010·课标全国·18)如图所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动．若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为 (　　)
A.－1 B．2－ C.－ D．1
【2016考纲解读】
1.能对物体进行正确的受力分析；
2.知道共点力的平衡条件；
3.掌握共点力作用下物体的平衡问题的处理方法.
【重点知识梳理】
一．共点力
物体同时受几个力的作用，如果这几个力都作用于物体的同一点或者它们的作用线交于同一点，这几个力叫共点力．能简化成质点的物体受到的力可视为共点力。
二、平衡状态
物体保持静止或匀速运动状态（或有固定转轴的物体匀速转动）．
注意：这里的静止需要二个条件，一是物体受到的合外力为零，二是物体的速度为零，仅速度为零时物体不一定处于静止状态，如物体做竖直上抛运动达到最高点时刻，物体速度为零，但物体不是处于静止状态，因为物体受到的合外力不为零．
共点力的平衡：如果物体受到共点力的作用，且处于平衡状态，就叫做共点力的平衡。
共点力的平衡条件：为使物体保持平衡状态，作用在物体上的力必须满足的条件，叫做两种平衡状态：静态平衡v=0;a=0 动态平衡v≠0;a=0
①瞬时速度为0时,不一定处于平衡状态. 如:竖直上抛最高点.只有能保持静止状态而加速度也为零才能认为平衡状态.
②.物理学中的“缓慢移动”一般可理解为动态平衡。
三、共点力作用下物体的平衡条件
（1）物体受到的合外力为零．即F合=0 其正交分解式为F合x=0 ；F合y=0
（2）某力与余下其它力的合力平衡（即等值、反向）。
二力平衡：这两个力大小相等，方向相反，作用在同一直线上，并作用于同一物体
(要注意与一对作用力与反作用力的区别)。
三力平衡：三个力的作用线(或者反向延长线)必交于一个点,且三个力共面.称为汇交共面性。其力大小符合组成三解形规律。
三个力平移后构成一个首尾相接、封闭的矢量形；任意两个力的合力与第三个力等大、反向(即是相互平衡)
推论：①非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。
②几个共点力作用于物体而平衡，其中任意几个力的合力与剩余几个力（一个力）的合力一定等值反向
三力汇交原理：当物体受到三个非平行的共点力作用而平衡时，这三个力必交于一点；
说明：
①物体受到N个共点力作用而处于平衡状态时,取出其中的一个力,则这个力必与剩下的（N-1）个力的合力等大反向。
②若采用正交分解法求平衡问题，则其平衡条件为：FX合=0，FY合=0；
求解平衡问题的一般步骤：选对象，画受力图，建坐标，列方程。
四、平衡的临界问题
由某种物理现象变化为另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态，临界状态可以理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态。平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要发生变化的状态。往往利用“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
五、平衡的极值问题
极值是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出遭到的最大值或最小值。可分为简单极值问题和条件极值问题。
题型一 整体法和隔离法的应用
例1、如图2－3－3所示，质量为m的正方体和质量为M的正方体放在两竖直墙和水平面间，处于静止状态．m与M相接触的边与竖直方向的夹角为α，若不计一切摩擦，求：
(1)水平面对正方体M的弹力大小；
(2)墙面对正方体m的弹力大小．
题型二 平衡中的临界和极值问题
例2、物体A的质量为2 kg，两根轻细绳b和c的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体A上，在物体A上另施加一个方向与水平线成θ角的拉力F，相关几何关系如图2－3－6所示，θ＝60°.若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围．(g取10 m/s2)
【高频考点突破】
考点1、物体的受力分析
物体的受力分析是解决力学问题的基础，同时也是关键所在，一般对物体进行受力分析的步骤如下：
1．明确研究对象.
在进行受力分析时，研究对象可以是某一个物体，也可以是保持相对静止的若干个物体.在解决比较复杂的问题时，灵活地选取研究对象可以使问题简化.研究对象确定以后，只分析研究对象以外的物体施予研究对象的力（既研究对象所受的外力），而不分析研究对象施予外界的力.
2．按顺序找力.
必须是先场力（重力、电场力、磁场力），后接触力；接触力中必须先弹力，后摩擦力（只有在有弹力的接触面之间才可能有摩擦力）.
3．画出受力示意图，标明各力的符号
4．需要合成或分解时，必须画出相应的平行四边形
【例1】如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作用下，A、B保持静止.物体B的受力个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【规律总结】进行受力分析时必须首先确定研究对象，再分析外界对研究对象的作用，本题还可以分析A的受力。
考点2、共点力作用下的物体的平衡
【例2】如图所示，猎人非法猎猴，用两根轻绳将猴子悬于空中，猴子处于静止状态.以下相关说法正确的是（ ）
A．猴子受到三个力的作用
B．绳拉猴子的力和猴子拉绳的力相互平衡
C．地球对猴子的引力与猴子对地球的引力是一对作用力和反作用力
D．人将绳子拉得越紧，猴子受到的合力越大
考点3、 共点力平衡的处理方法
1．三力平衡的基本解题方法
（1）力的合成、分解法： 即分析物体的受力，把某两个力进行合成，将三力转化为二力，构成一对平衡力，二是把重力按实际效果进行分解，将三力转化为四力，构成两对平衡力.
（2）相似三角形法: 利用矢量三角形与几何三角形相似的关系，建立方程求解力的方法．应用这种方法，往往能收到简捷的效果．
2.多力平衡的基本解题方法：正交分解法
利用正交分解方法解体的一般步骤：（1）明确研究对象；（2）进行受力分析；（3）建立直角坐标系，建立坐标系的原则是让尽可能多的力落在坐标轴上，将不在坐标轴上的力正交分解；（4）x方向，y方向分别列平衡方程求解.
【例3】如图所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮，如图所示.今缓慢拉绳使小球从A点滑向半球顶点（未到顶点），则此过程中，小球对半球的压力大小N及细绳的拉力T大小的变化情况是 （ ）
A.N变大，T变大 B.N变小，T变大
C.N不变，T变小 D.N变大，T变小
【解析】对A进行受力分析，如图所示，力三角形AF′N与几何三角形OBA相似，由相似三角形对应边成比例，解得N不变，T变小.
【答案】C
【规律总结】相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力的矢量三角形和结构三角形相似.
【例4】倾角为θ的斜面上有质量为m 的木块，它们之间的动摩擦因数为μ.现用水平力F推动木块，如图所示，使木块恰好沿斜面向上做匀速运动.若斜面始终保持静止，求水平推力F的大小.
【规律总结】多力平衡问题宜采用正交分解法，采用正交分解法时，建立坐标系的原则是让尽可能多的力落在坐标轴上.
考点4 、动态平衡
【例5】如图所示，在固定的、倾角为α斜面上，有一块可以转动的夹板（β不定），夹板和斜面夹着一个质量为m的光滑均质球体，试求：β取何值时，夹板对球的弹力最小.
【解析】解法一：图解法
对球体进行受力分析，然后对平行四边形中的矢量G和N1进行平移，使它们构成一个三角形，如图的左图和中图所示.
【规律总结】求解三个力的动态平衡问题，一般是采用图解法，即先做出两个变力的合力（应该与不变的那个力等大反向）然后过合力的末端画方向不变的那个力的平行线，另外一个变力的末端必落在该平行线上，这样就能很直观的判断两个变力是如何变化的了，如果涉及到最小直的问题，还可以采用解析法，即采用数学求极值的方法求解.
考点5、连接体的平衡问题
【例6】有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙， OB竖直向下，表面光滑.AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示.现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是 （ ）
A．FN不变，f变大 B．FN不变，f变小
C．FN变大，f变大 D．FN变大，f变小
【经典考题精析】
【 高考在线】
1．【2014·山东卷】 如图所示，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千．某次维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变．木板静止时，F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木板拉力的大小，则维修后(　　)
A．F1不变，F2变大
B．F1不变，F2变小
C．F1变大，F2变大
D．F1变小，F2变小
　　　
2.【2014·重庆卷】 (2)为了研究人们用绳索跨越山谷过程中绳索拉力的变化规律，同学们设计了如题6图3所示的实验装置，他们将不可伸长的轻绳的两端通过测力计(不计质量及长度)固定在相距为D的两根立柱上，固定点分别为P和Q，P低于Q，绳长为L(L＞PQ)．
题6图3
他们首先在绳上距离P点10 cm处(标记为C点)系上质量为m的重物(不滑动)，由测力计读出绳PC、QC的拉力大小TP和TQ.随后，改变重物悬挂点C的位置，每次将P点到C点的距离增加10 cm，并读出测力计的示数，最后得到TP、TQ与绳长PC的关系曲线如题6图4所示．由实验可知：
题6图4
①曲线Ⅱ中拉力最大时，C点与P点的距离为________cm，该曲线为________(选填“TP”或“TQ”)的曲线．
②在重物从P移到Q的整个过程中，受到最大拉力的是________(选填“P”或“Q”)点所在的立柱．
③在曲线Ⅰ、Ⅱ相交处，可读出绳的拉力T0＝________ N，它与L、D、m和重力加速度g的关系为T0＝________．
3．【2014·江苏卷】 小明通过实验验证力的平行四边形定则．
(1)实验记录纸如题11-1图所示，O点为橡皮筋被拉伸后伸长到的位置，两弹簧测力计共同作用时，拉力F1和F2的方向分别过P1和P2点；一个弹簧测力计拉橡皮筋时，拉力F3的方向过P3点．三个力的大小分别为：F1＝3.30 N、F2＝3.85 N和F3＝4.25 N．请根据图中给出的标度作图求出F1和F2的合力．
(题11-1图)
(2)仔细分析实验，小明怀疑实验中的橡皮筋被多次拉伸后弹性发生了变化，影响实验结果．他用弹簧测力计先后两次将橡皮筋拉伸到相同长度，发现读数不相同，于是进一步探究了拉伸过程对橡皮筋弹性的影响．
实验装置如题11-2图所示，将一张白纸固定在竖直放置的木板上，橡皮筋的上端固定于O点，下端N挂一重物．用与白纸平行的水平力缓慢地移动N，在白纸上记录下N的轨迹．重复上述过程，再次记录下N的轨迹．
(题11-2图)　　　　　　(题11-3图)
两次实验记录的轨迹如题11-3图所示．过O点作一条直线与轨迹交于a、b两点，则实验中橡皮筋分别被拉伸到a和b时所受拉力Fa、Fb的大小关系为______．
(3)根据(2)中的实验，可以得出的实验结果有________(填写选项前的字母)．
A．橡皮筋的长度与受到的拉力成正比
B．两次受到的拉力相同时，橡皮筋第2次的长度较长
C．两次被拉伸到相同长度时，橡皮筋第2次受到的拉力较大
D．两次受到的拉力相同时，拉力越大，橡皮筋两次的长度之差越大
(4)根据小明的上述实验探究，请对验证力的平行四边形定则实验提出两点注意事项．
（2013·重庆卷）如图所示，某人静躺在椅子上，椅子的靠背与水平面之间有固定倾斜角θ.若此人所受重力为G，则椅子各部分对他的作用力的合力大小为(　　)
A．G　　　　　　　　B．Gsinθ
C．Gcosθ D．Gtanθ
（2013·天津卷）如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是(　　)
A．FN保持不变，FT不断增大
B．FN不断增大，FT不断减小
C．FN保持不变，FT先增大后减小
D．FN不断增大，FT先减小后增大
（2013·四川卷）在如图所示的竖直平面内，物体A和带正电的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，分别静止于倾角θ＝37°的光滑斜面上的M点和粗糙绝缘水平面上，轻绳与对应平面平行．劲度系数 k＝5 N/m的轻弹簧一端固定在O点，一端用另一轻绳穿过固定的光滑小环D与A相连，弹簧处于原长，轻绳恰好拉直，DM垂直于斜面．水平面处于场强E＝5×104 N/C、方向水平向右的匀强电场中．已知A、B的质量分别为mA＝0.1 kg和mB＝0.2 kg，B所带电荷量q＝＋4×10－6C.设两物体均视为质点，不计滑轮质量和摩擦，绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，B电量不变．取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.
(1)求B所受静摩擦力的大小；
(2)现对A施加沿斜面向下的拉力F，使A以加速度a＝0.6 m/s2开始做匀加速直线运动．A从M到N的过程中，B的电势能增加了ΔEp＝0.06 J．已知DN沿竖直方向，B与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4.求A到达N点时拉力F的瞬时功率．
（2013·山东卷）如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为(　　)
A.∶4　　B．4∶　　C．1∶2　　D．2∶1
（2013·广东卷）如图所示，物体P静止于固定的斜面上，P的上表面水平．现把物体Q轻轻地叠放在P上，则(　　)
A．P向下滑动
B．P静止不动
C．P所受的合外力增大
D．P与斜面间的静摩擦力增大
（2013·福建卷）质量为M、长为L的杆水平放置，杆两端A、B系着长为3L的不可伸长且光滑的柔软轻绳，绳上套着一质量为m的小铁环．已知重力加速度为g，不计空气影响．
(1)现让杆和环均静止悬挂在空中，如图甲，求绳中拉力的大小；
(2)若杆与环保持相对静止，在空中沿AB方向水平向右做匀加速直线运动，此时环恰好悬于A端的正下方，如图乙所示．
①求此状态下杆的加速度大小a；
②为保持这种状态需在杆上施加一个多大的外力，方向如何？
【解析】(1)如图1，设平衡时，绳中拉力为T，有2Tcos θ－mg＝0①
由图知cos θ＝②
由①②式解得T＝mg③
图1
（2013·北京卷）倾角为α、质量为M的斜面体静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在斜面体上．下列结论正确的是(　　)
A．木块受到的摩擦力大小是mgcosα
B．木块对斜面体的压力大小是mgsinα
C．桌面对斜面体的摩擦力大小是mgsinαcosα
D．桌面对斜面体的支持力大小是(M＋m)g
（2013·安徽卷）如图所示，质量为M、倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块．压缩弹簧使其长度为L时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态．重力加速度为g.[来源:21世纪教育网]
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
(3)求弹簧的最大伸长量；
(4)为使斜面体始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足什么条件(假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力)?

(2)当物块的位移为x时，弹簧伸长量为x＋ΔL，物块所受合力为F合＝mgsinα－k(x＋ΔL)，
联立以上各式可得F合＝－kx，
可知物块做简谐运动；

【重点知识梳理】
一、受力分析
1．受力分析的常用方法
方法
整体法
隔离法
假设法
概念
将加速度相同的几个相互关联的物体作为一个整体进行分析的方法
将所研究的对象从周围的物体中分离出来进行分析的方法
在受力分析时，若不能确定某力是否存在，可先对其作出存在或不存在的假设的方法
选用
原则
研究系统外的物体对系统整体的作用力或系统整体的加速度
研究系统内部各物体之间的相互作用力
根据力存在与否对物体运动状态影响的不同来判断力是否存在
注意
问题
受力分析时不考虑系统内各物体之间的相互作用力
一般情况下隔离受力较少的物体
一般在分析弹力或静摩擦力时应用
2．受力分析的基本步骤
基本步骤
具体操作
明确研究对象
即确定分析受力的物体，研究对象可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统
隔离物体分析
将研究对象从周围的物体中隔离出来，进而分析周围物体有哪些对它施加了力的作用
画受力示意图
边分析边将力一一画在受力示意图上，准确标出力的方向，标明各力的符号
例1.用一轻绳将小球P系于光滑墙壁上的O点，在墙壁和球P之间夹有一矩形物块Q，如图2－3－1所示。P、Q均处于静止状态，则下列相关说法正确的是(　　)
图2－3－1
A．P物体受4个力
B．Q受到3个力
C．若绳子变长，绳子的拉力将变小
D．若绳子变短，Q受到的静摩擦力将增大
二、共点力的平衡
1．平衡的两种状态
(1)静止状态。(2)匀速直线运动状态。
2．共点力的平衡条件
(1)F合＝0；(2)Fx＝0且Fy＝0。
3．平衡条件的拓展
(1)二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反。
(2)三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余两个力的合力大小相等，方向相反；并且这三个力的矢量可以形成一个封闭的矢量三角形。
(3)多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小相等，方向相反。
4．处理平衡问题常用的方法
方　法
内　容
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反。
分解法
物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件。
正交分
解法
物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件。
力的三
角形法
对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力。
5．处理动态平衡、临界与极值问题的两种方法及步骤
(1)解析法步骤：
①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式；
②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。
(2)图解法步骤：
①根据已知量的变化情况，画出平行四边形的边角变化；
②确定未知量大小、方向的变化。
例2.如图2－3－2所示，一光滑斜面固定在地面上，重力为G的物体在一水平推力F的作用下处于静止状态。若斜面的倾角为θ，则(　　)
图2－3－2
A．F＝Gcos θ
B．F＝Gsin θ
C．物体对斜面的压力FN＝Gcos θ
D．物体对斜面的压力FN＝
解析：选D　
物体所受三力如图所示，根据平衡条件，F、FN′的合力与重力等大反向，有F＝Gtan θ，FN＝FN′＝，故只有D选项正确。
【方法技巧】
一、物体的受力分析
受力分析是解决力学问题的重要环节，属于高考中的重要考点，凡涉及到力的题目(包括选择题和计算题)，都会考查到受力分析这一过程。
例1、一倾角为30°的斜劈放在水平地面上，一物体沿斜劈匀速下滑。现给物体施加如图2－3－3所示的力F，F与竖直方向夹角为30°，斜劈仍静止，则此时地面对斜劈的摩擦力(　　)
图2－3－3
A．大小为零　　　　　　 B．方向水平向右
C．方向水平向左 D．无法判断大小和方向
【变式探究】
1.如图2－3－4所示，竖直放置的轻弹簧一端固定在地面上，另一端与斜面体P连接，P的斜面与固定挡板MN接触且处于静止状态，则斜面体P此刻所受的外力个数有可能为(　　)
图2－3－4
A．2个　　　　　　　　　 B．3个
C．4个 D．5个
二、共点力的平衡问题
平衡问题是历年高考必考的考点，考查的方式有选择和计算等；既可单独命题，也可与其他知识(如电场、磁场等)综合命题。
例2、如图2－3－5所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动，在O点悬挂一重物M，将两相同木块m紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止。Ff表示木块与挡板间摩擦力的大小，FN表示木块与挡板间正压力的大小。若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O1、O2始终等高，则(　　)
图2－3－5
A．Ff变小 B．Ff不变
C．FN变小 D．FN变大
【解题方法】
第一步：抓信息关键点
关键点
信息获取
(1)OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动
两硬杆OO1、OO2产生的弹力一定沿杆的方向
(2)将两相同木块m紧压在竖直挡板上
两木块与挡板间的摩擦力和正压力的大小分别相等
(3)若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止
挡板与木块间的正压力改变时，静摩擦力不一定变化
第二步：找解题突破口
(1)根据O点受力平衡，求出两杆OO1、OO2的弹力，并进一步求出杆对木块的作用力的水平分力和竖直分力。
(2)根据共点力的平衡特点，并利用正交分解法求出FN和Ff。
第三步：条理作答
【点拨】
1.共点力平衡问题的解题步骤
?1?选取研究对象：根据题目要求，选取一个平衡体?单个物体或系统，也可以是结点?作为研究对象。
?2?画受力示意图：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
?3?正交分解：选取合适的方向建立直角坐标系，将所受各力正交分解。,?4?列方程求解：根据平衡条件列出平衡方程，解平衡方程，对结果进行讨论。
2.应注意的问题,?1?物体受三个力平衡时，利用力的分解法或合成法比较简单。
?2?解平衡问题建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合，需要分解的力尽可能少。物体受四个以上的力作用时一般要采用正交分解法。
【变式探究】
2．半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板MN。在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态。如图2－3－6所示是这个装置的纵截面图。若用外力使MN保持竖直、缓慢地向右移动，在Q落到地面以前，发现P始终保持静止。在此过程中，下列说法中正确的是(　　)
图2－3－6
A．MN对Q的弹力逐渐减小
B．地面对P的摩擦力逐渐增大
C．P、Q间的弹力先减小后增大
D．Q所受的合力逐渐增大
【突破平衡的临界极值问题】
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述。
2．极值问题
平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3．解决极值问题和临界问题的方法
(1)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
(2)数学方法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论或说明。
例1.物体A的质量为2 kg，两根轻细绳b和c的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体A上，在物体A上另施加一个方向与水平线成θ角的拉力F，相关几何关系如图2－3－7所示，θ＝60°。若要使两绳都能伸直，求拉力F的取值范围(g取10 m/s2)。
图2－3－7
【点拨】
(1)求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点。
(2)临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是把某个物理量推向极端，即极大和极小，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。
【经典考题例析】
1．(2013·高考新课标全国Ⅱ卷)(单选)如图，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上．若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2(F2＞0)．由此可求出(　　)
A．物块的质量
B．斜面的倾角
C．物块与斜面间的最大静摩擦力
D．物块对斜面的正压力
2．(2013·高考天津卷)(单选)如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是(　　)
A．FN保持不变，FT不断增大
B．FN不断增大，FT不断减小
C．FN保持不变，FT先增大后减小
D．FN不断增大，FT先减小后增大
解析：选D.用水平力F缓慢推动斜面体时，小球受重力、绳的拉力FT和垂直于斜面的支持力FN，在斜面体缓慢移动过程中FN方向不变，由三力平衡知其动态变化如图所示，FT先减小后增大，FN逐渐增大．
3．(2013·重庆卷，1)如图2－4－1所示，某人静躺在椅子上，椅子的靠背与水平面之间有固定倾斜
角θ．若此人所受重力为G，则椅子各部分对他的作用力的合力大小为 (　　)．
图2－4－1
A．G B．Gsin θ
C．Gcos θ D．Gtan θ
解析　运用力的平衡条件，可求得椅子对人的作用力．选人为研究对象，人受到重力和椅子各部分对他的作用力的合力，根据力的平衡条件可知，椅子对他的作用力的合力与重力等大、反向，故选项A正确．
答案　A
4．(2012·上海卷，8)如图所示，光滑斜面固定于水平面，滑块A、B叠放后一起冲上斜面，且始终保持
相对静止，A上表面水平，则在斜面上运动时，B受力的示意图为 (　　)．

5．(2012·山东卷，17)如图所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2
转动，在O点悬挂一重物M，将两相同木块m分别紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止．Ff表示木块与挡板间摩擦力的大小，FN表示木块与挡板间正压力的大小．若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O1、O2始终等高，则 (　　)．
A．Ff变小 B．Ff不变
C．FN变小 D．FN变大
解析　选重物M及两个木块m组成的系统为研究对象，系统受力情况如图甲所示，根据平衡条件有2Ff
＝(M＋2m)g，即Ff＝，与两挡板间距离无关，故挡板间距离稍许增大后，Ff不变，所以选项A错
甲
答案　BD
6．(2011·江苏卷，1)如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g．若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为 (　　)
A．  B．
C．mgtan α D．mgcot α


【2016考纲解读】
1．区别作用力和反作用力与平衡力，最直观的方法是看作用的物体，一对平衡力作用在同一个物体上，作用力和反作用力作用在两个物体上．
2．大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，作用在两个物体上的力，不一定是一对作用力和反作用力．
【重点知识梳理】
一、牛顿第一定律
1．牛顿第一定律演绎了力的概念
力是改变物体运动状态的原因(运动状态指物体的速度)，又根据加速度定义：a＝ ，有速度变化就一定有加速度，所以可以说：力是使物体产生加速度的原因．
2．牛顿第一定律导出了惯性的概念
一切物体都有保持原有运动状态的性质，这就是惯性．惯性反映了物体运动状态改变的难易程度(惯性大的物体运动状态不容易改变)．质量是物体惯性大小的唯一量度．
3．牛顿第一定律描述的是理想化状态
牛顿第一定律描述的是物体在不受任何外力时的状态．而不受外力的物体是不存在的．物体不受外力和物体所受合外力为零是有区别的，所以不能把牛顿第一定律当成牛顿第二定律在F＝0时的特例．
4．惯性定律与惯性的不同
(1)惯性是物体保持原有运动状态不变的一种性质，与物体的受力情况、运动快慢无关. 惯性的大小反映了物体保持原来运动状态本领的大小，只与质量有关．
(2)惯性定律(牛顿第一定律)则反映物体在一定条件下的运动规律．
二、第三牛顿定律
1．作用力和反作用力的关系
(1)两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上．
(2)作用力与反作用力总是成对出现，同时产生，同时变化，同时消失．
(3)作用力和反作用力作用在两个不同的物体上，各自产生其效果，永远不会抵消．
(4)作用力和反作用力是同一性质的力．
(5)物体间的相互作用力既可以是接触力，也可以是“场” 力．定律内容可归纳为：作用力与反作用力“三同三不同”． “三同”是：大小相同；性质相同；出现、存在、消失的时间相同． “三不同”是：方向不同；作用的对象不同；作用的效果不同．
2．相互作用力与平衡力的比较
比较内容
作用力和反作用力
二力平衡
不同点
受力 物体
作用在两个相互作用的物体上
作用在同一物体上
依赖关系
相互依存，不可单独存在，同时产生，同时变化，同时消失
无依赖关系，撤除一个，另一个可依然存在
叠加性
两力作用效果不可叠加，不可求合力
两力作用效果可相互抵消，可叠加，可求合力且合力为零
力的性质
一定是同性质的力
可以是同性质的力也可以是不同性质的力
相同点
大小
方向
大小相等、方向相反、作用在一条直线上
【特别提醒】
1．区别作用力和反作用力与平衡力，最直观的方法是看作用的物体，一对平衡力作用在同一个物体上，作用力和反作用力作用在两个物体上．
2．大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，作用在两个物体上的力，不一定是一对作用力和反作用力．
【高频考点突破】
考点一、惯性的理解和应用
例1、下列是四位同学根据驾驶员和乘客的身体姿势，分别对向前运动的汽车运动情况作出的判断，则(　　)
A．汽车一定做匀加速直线运动
B．汽车一定做匀速直线运动
C．汽车可能突然减速
D．汽车可能突然加速
【变式探究】下列现象中利用惯性或因惯性引起的是(　　)
A．水往低处流
B．投出的铅球向前飞的过程
C．体操运动员结束动作时往往立身不稳
D．树欲静而风不止
解析：惯性是物体的固有属性，惯性与速度大小及物体所处的状态均无关；抛出后物体上升是惯性的表现．
答案：BC
考点二 第一牛顿定律的应用
例2、下面是摘自上个世纪美国报纸上的一篇文章：阿波罗登月火箭在脱离地球飞向月球的过程中，飞船内宇航员通过无线电与家中上小学的儿子汤姆通话．宇航员：“汤姆，我们现在已关闭火箭上所有的推动机，正向月球飞去．”汤姆：“你们关闭了所有的推动机，那么靠什么力量推动火箭向前运动？”宇航员犹豫了半天，说：“我想大概是伽利略在推动火箭向前运动吧．”若不计星球对火箭的作用力，由上述材料可知下列说法错误的是(　　)
A．汤姆问话所体现的物理思想是“力是维持物体运动的原因”
B．宇航员答话体现的物理思想是“力是维持物体运动的原因”
C．宇航员答话体现的物理思想是“物体运动不需要力来维持”
D．宇航员答话的真实意思是火箭正在依靠惯性飞行
【变式探究】如图所示，木块放在表面光滑的小车如图所示，木块放在表面光滑小车上并随小车一起沿桌面向左做匀速直线运动．当小车遇障碍物而突然停止运动时，车上的木块将(　　)
A．立即停下来
B．立即向前倒下
C．立即向后倒下
D．仍继续向左作匀速直线运动
考点三 牛顿第三定律的应用
例3、以卵击石，鸡蛋破碎，下列说法中正确的是(　　)
A．鸡蛋对石头的力小于石头对鸡蛋的力，所以鸡蛋破碎
B．鸡蛋对石头的力大于石头对鸡蛋的力，由于鸡蛋用力过猛导致鸡蛋破碎
C．鸡蛋对石头的力与石头对鸡蛋的力是一对作用力与反作用力
D．鸡蛋对石头的力与石头对鸡蛋的力性质相同
解析：鸡蛋对石头的力与石头对鸡蛋的力是一对作用力与反作用力，性质相同，遵循牛顿第三定律．CD选项正确．
答案：CD
【变式探究】课间休息时，一位男生跟一位女生在课桌面上扳手腕比力气，结果男生把女孩的手腕压到桌面上，如图所示．这个过程中作用于双方的力的关系，正确的说法是(　　)
A．男生扳女生手腕的力一定比女生扳男生手腕的力大
B．男生扳女生手腕的力与女生扳男生手腕的力一样大
C．男生扳女生手腕的力一定大于女生臂膀提供给自己手腕的力
D．男生扳女生手腕的力与女生臂膀提供给自己手腕的力一样大
解析：男生扳女生手腕的力与女生扳男生手腕的力是一对作用力和反作用力，女生臂膀提供给自己手腕的力一定小于男生扳女生手腕的力，BC选项正确．
答案：BC
【经典考题精析】
（2014·四川卷）石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物资交换．
(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1的同步轨道站，求轨道站内质量为m1的货物相对地心运动的动能．设地球自转角速度为ω，地球半径为R.
(2)当电梯仓停在距地面高度h2＝4R的站点时，求仓内质量m2＝50 kg的人对水平地板的压力大小．取地面附近重力加速度g取10 m/s2，地球自转角速度ω＝7.3×10－5 rad/s，地球半径R＝6.4×103 km.

（2013·新课标全国卷Ⅱ）
(1)如图，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的．物块在光滑水平面上左右振动，振幅为A0，周期为T0.当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T，则A________A0(填“>”“<”或“＝”)，T________T0(填“>”“<”或“＝”)．
　　
(2)如图，三棱镜的横截面为直角三角形ABC，∠A＝30°，∠B＝60°.一束平行于AC边的光线自AB边的P点射入三棱镜，在AC边发生反射后从BC边的M点射出．若光线在P点的入射角和在M点的折射角相等，
(ⅰ)求三棱镜的折射率；
(ⅱ)在三棱镜的AC边是否有光线透出？写出分析过程．(不考虑多次反射)
sini＝nsinr　②
nsinr′＝sini　③
由②③式得
r＝r′　④
OO′为过M点的法线，∠C为直角，OO′∥AC.由几何关系有
∠MNC＝r′　⑤
（2013·新课标全国卷Ⅰ）下图是伽利略1604年做斜面实验时的一页手稿照片，照片左上角的三列数据如下表．表中第二列是时间，第三列是物体沿斜面运动的距离，第一列是伽利略在分析实验数据时添加的．根据表中的数据，伽利略可以得出的结论是(　　)
　　　　　
1
1
32
4
2
130
9
3
298
16
4
526
25
5
824
36
6
1192
49
7
1600
64
8
2104
A．物体具有惯性
B．斜面倾角一定时，加速度与质量无关
C．物体运动的距离与时间的平方成正比
D．物体运动的加速度与重力加速度成正比
（2013·新课标全国卷Ⅱ）一物块静止在粗糙的水平桌面上．从某时刻开始，物块受到一方向不变的水平拉力作用．假设物块与桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．以a表示物块的加速度大小，F表示水平拉力的大小．能正确描述F与a之间关系的图像是(　　)
（2013·重庆卷）图X3-2为伽利略研究自由落体运动实验的示意图，让小球由倾角为θ的光滑斜面滑下，然后在不同的θ角条件下进行多次实验，最后推理出自由落体运动是一种匀加速直线运动．分析该实验可知，小球对斜面的压力、小球运动的加速度和重力加速度与各自最大值的比值y随θ变化的图像分别对应图X3-3中的(　　)
A．①、②和③
B．③、②和①
C．②、③和①
D．③、①和②
　　　
　　　　　图X3-2　　　　　　　　　　　图X3-3
（2012·课标全国卷）伽利略根据小球在斜面上运动的实验和理想实验，提出了惯性的概念，从而奠定了牛顿力学的基础．早期物理学家关于惯性有下列说法，其中正确的是(　　)
A．物体抵抗运动状态变化的性质是惯性
B．没有力的作用，物体只能处于静止状态
C．行星在圆周轨道上保持匀速率运动的性质是惯性
D．运动物体如果没有受到力的作用，将继续以同一速度沿同一直线运动

【2016考纲解读】
1.知道牛顿第二定律的内容；理解牛顿第二定律的矢量性、瞬时性、独立性.
2.能用正交分解方法解决受力比较复杂的动力学问题.
3.能用整体法和隔离法求解有关连接体问题.
【 【重点知识梳理】
一、牛顿第二定律
1.内容：物体的加速度跟物体所受合外力成正比，跟物体的质量成反比；a的方向与F合的方向总是相同。
2.表达式：F=ma 或 用动量表述：
揭示了：① 力与a的因果关系，力是产生a的原因和改变物体运动状态的原因；
② 力与a的定量关系
3、对牛顿第二定律理解：
（1）F=ma中的F为物体所受到的合外力．
（2）F＝ma中的m，当对哪个物体受力分析，就是哪个物体的质量，当对一个系统（几个物体组成一个系统）做受力分析时，如果F是系统受到的合外力，则m是系统的合质量．
（3）F＝ma中的 F与a有瞬时对应关系， F变a则变，F大小变，a则大小变，F方向变a也方向变．
（4）F＝ma中的 F与a有矢量对应关系， a的方向一定与F的方向相同。
（5）F＝ma中，可根据力的独立性原理求某个力产生的加速度，也可以求某一个方向合外力的加速度．
（6）F＝ma中，F的单位是牛顿，m的单位是kg，a的单位是米／秒2．
（7）F＝ma的适用范围：宏观、低速
4．牛顿第二定律的几个性质
(1)因果统一性：引起物体运动状态变化的外因是物体受到的合外力，这里强调三个字：“受、合、外”，即物体受力是合力并且是外力；物体的加速度是合外力对物体所产生的效果，即加速度是结果，合外力是原因；物体的质量是决定其加速度的内因，质量越大，惯性越大，运动状态的改变越困难．
(2)瞬时性：牛顿第二定律对运动物体在运动过程中的任何一个时刻都成立．当合外力的大小和方向发生变化时，物体的加速度的大小和方向也同时发生相应的变化．若合外力为零，加速度也立即为零；
合外力为恒力，物体就做匀变速运动．加速度时刻随着合外力的变化而变化，加速度的改变不需要时间的积累．
(3)矢量性：牛顿第二定律是矢量表达式，加速度是矢量，其方向始终与物体受到的合外力的方向一致，与速度的方向没有直接关系，加速度的方向与速度变化的方向相同，但由合外力的方向决定．
(4)独立性：如果几个力同时作用于一个物体，则物体所产生的加速度等于每个力单独作用时产生的加速度的矢量和；如果将一个力分解成几个不同方向的分力，则每个分力使物体产生的加速度等于实际加速度在各个分力方向上的加速度分量．
例如，常常把在斜面上做变速运动的物体所受的合外力分解为平行斜面方向与垂直于斜面方向上，再在这两个方向上分别应用牛顿第二定律列方程，其效果与求一加速度时相当，且求解更为简便．
5．对F＝ma的说明
(1)牛顿第二定律公式可写成F＝ma．注意列式时等号右边只列ma，不要夹杂着某个作用力在加或减．
(2)由F＝ma可知，只要作用在物体上的合外力不为零，物体就产生加速度，速度就要变化，但物体产生的加速度与原来的速度无关．
(3)当a＝0时，F＝0.故力的平衡问题是牛顿第二定律的特例，并不是牛顿第一定律的特例．
二、力学单位制
1．国际单位制
(1)从根本上说，所有的物理量都是由基本物理量构成的．在力学范畴内，所有的力学量都是由长度、质量和时间这三个基本物理量组成的，因此基本物理量的单位选定也就决定了其他导出物理量的单位．
国际单位制：1960年第11届国际计量大会制订了一种国际通用的、包括一切计量领域的单位制，叫做国际单位制，其法文简称为SI.
(2)以下是国际单位制中的七个基本物理量和相应的国际单位制中的基本单位.
物理量名称
物理量符号
单位名称
单位符号
长度
l
米
m
质量
m
千克(公斤)
kg
时间
t
秒
s
电流
I
安(安培)
A
热力学温度
T
开(开尔文)
K
发光强度
lπ(lv)
坎(坎德拉)
cd
物质的量
n(V)
摩(摩尔)
mol
(3)物理公式不仅决定了物理量之间的关系，也决定了物理量单位间的关系，推导物理量的单位要借助物理公式，依据单位是否正确可以判断物理公式是否正确．
2．力的国际单位
力的国际单位是牛顿(简称牛，符号N)．牛顿(N)为导出单位，“1 N”的物理意义是：使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的作用力为1 N，即1 N＝1 kg·m/s2.
三、牛顿运动定律的应用
1．应用牛顿运动定律解题的一般步骤：
选取研究对象
(2) 分析所选对象在某状态(或某过程中)的受力情况、运动情况
(3) 建立直角坐标：其中之一坐标轴沿的方向 然后各力沿两轴方向正交分解
(4) 列出运动学方程或第二定律方程 F合=a合；Fx合=ax合 ； Fy合=ay合
用a这个物理量把运动特点和受力特点联系起来
(5) 在求解的过程中,注意解题过程和最后结果的检验,必要时对结果进行讨论.
2．物理解题的一般步骤：
(1) 审题：解题的关键，明确己知和侍求，特别是语言文字中隐着的条件(如：光滑、匀速、恰好追上、距离最大、共同速度等)，看懂文句、及题述的物理现象、状态、过程。
(2) 选取研究对象：可以是单个物体，也可以是几个物体组成的系统。(用整体法或隔离法)；寻找所研究物理状态和过程。
(3) 分析所选对象在某状态(或某过程中)的受力情况、运动情况、做功情况及能量的转化情况，画出受力或运动草图。
(4) 依对象所处状态或过程中的运动、受力、做功等特点；选择适当的物理规律。（牛二、及运动学公式；动量定理及动量守恒定律；动能定理及机械能守恒定律）在运用规律前：设出题中没有的物理量，建立坐标系，规定正方向等。
(5) 确定所选规律运动用何种形式建立方程(有时要运用到几何关系式)
(6) 确定不同状态、过程下所选的规律，及它们之间的联系，统一写出方程，并给予序号标明。
(7) 统一单位制，求解方程（组）代入数据求解结果。
(8) 检验结果，必要时要进行分析讨论，最后结果是矢量的还要说明其方向。
【高频考点突破】
考点一 牛顿第二定律
【例1】如图所示，小车上固定着三角硬杆，杆的端点固定着一个质量为m的小球．当小车水平向右的加速度逐渐增大时，杆对小球的作用力的变化（用F1至F4变化表示）可能是下图中的（OO＇沿杆方向）　
考点二 力、加速度和速度的关系
例2、如图3-12-1所示，自由下落的小球下落一段时间后，与弹簧接触，从它接触弹簧开始，到弹簧压缩到最短的过程中，小球的速度、加速度的变化情况如何？
解析：小球接触弹簧后受两个力，向下的重力mg和向上的弹力.（如图3－12－2（a）所示刚开始时，当【方法技巧】要分析物体的运动情况一定要从受力分析着手，再结合牛顿第二定律进行讨论、分析.对于弹簧类问题的求解，最好是画出弹簧的原长，现在的长度，这样弹簧的形变长度就一目了然，使得求解变得非常的简单明了.
考点三 瞬时问题
例3、如图5所示，质量为m的小球被水平绳AO和与竖直方向成θ角的轻弹簧系着处于静止状态，现用火将绳AO烧断，在绳AO烧断的瞬间，下列说法正确的是（ ）
A.弹簧的拉力
B.弹簧的拉力
C.小球的加速度为零
D.小球的加速度
【方法技巧】对于牛顿第二定律的瞬时问题，首先必须分析清楚是弹簧模型还是轻绳模型，然后分析状态变化之前的受力和变化后的瞬时受力.根据牛顿第二定律分析求解.同学们还可以讨论把OB换成轻绳，也可以剪断轻弹簧，从而讨论小球的瞬时加速度.
考点四 整体法和隔离法的应用
【例4】如图，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A，B质量分别为mA=6kg，mB=2kg，A，B之间的动摩擦因数μ=0.2，开始时F=10N，此后逐渐增加，在增大到45N的过程中，则( )
A．当拉力F＜12N时，两物体均保持静止状态
B．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12N时，开始相对滑动
C．两物体间从受力开始就有相对运动
D．两物体间始终没有相对运动
【方法技巧】当系统具有相同的加速度时，往往用整体法求加速度，要求系统之间的相互作用力，往往用隔离法.特别要注意A对B的静摩擦力提供了B的加速度.
考点五 整体利用牛顿第二定律
例5、 一根质量为M的木棒，上端用细绳系在天花板上，棒上有一只质量为m的猴子，如图6所示，如果将细绳剪断，猴子沿木棒向上爬，但仍保持与地面间的高度不变。求这时木棒下落的加速度？
【方法技巧】 对于由一个静止，一个加速运动的物体所组成的系统，往往优先考虑整体利用牛顿第二定律求解，这样会使求解变得非常简单. 类似以上的不少问题，若用隔离法求解，分析过程很繁琐，若用整体法来分析，思路却很敏捷.大家如果能深刻领会整体法的有关解题规律，在学习过程中一定会取得事半功倍的效果.
考点六、已知受力情况求运动情况
根据牛顿第二定律，已知物体的受力情况，可以求出物体运动的加速度；再根据物体的初始条件(初位置和初速度)，应用运动学公式，求出物体的运动情况，即求出物体在任意时刻的速度、位置，也就是求出了物体的运动情况．
例6、风洞实验室中可产生水平向左、大小可调节的风力．现将一套有一小球的细直杆放入风洞实验室．小球孔径略大于细杆直径，小球与杆间的滑动摩擦因数μ＝0.5，如下图所示．保持小球所受风力F＝0.5mg不变，使杆与水平方向间夹角为37°并固定，则小球从静止开始在细杆上滑下距离2.4m所需时间为多少？(g取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
解上述三式得：a＝7.5 m/s2 又由运动学公式s＝at2，
由以上各式解得小球从静止出发在细杆上滑下距离s所需时间为t＝0.8 s
答案：0.8 s
【变式探究】如图所示，质量m＝4.0 kg的物体与地面间的动摩擦因数为μ＝0.50.物体在与地面成θ＝37°的恒力F＝54.5 N作用下，由静止开始运动，t1＝0.20 s撤去F，则再经过多长时间物体停下来？(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
撤去F后物体的受力如右图所示，设物体此时加速度为a2，物体停下来经过时间为t2，根据牛顿运动定律有：
f＝ma2④
N－mg＝0⑤
又因为f＝μN⑥
④⑤⑥联立解得：
a2＝5.0 m/s2
由0＝v－at，得t2＝ ＝0.4 s.
答案：0.4 s
考点七、已知运动情况求受力情况
根据物体的运动情况，应用运动学公式求出加速度，再根据牛顿第二定律求出物体所受的合外力，从而求出未知的力，或与力相关的某些物理量．如：动摩擦因数、劲度系数等．
例7、如图所示，电梯与水平面夹角为30°，电梯从初速度为零开始加速启动，当速度达到1 m/s时，一个质量为50 kg的人踏上第一级(不计这一级的宽度)，然后跟电梯一起加速向上运动，到达电梯终点时已经过4 s，电梯的终点离地面高度为10 m．求这个过程中人对梯面压力和人与梯面间的静摩擦力．(g＝10 m/s2)
根据牛顿第二定律有
X方向：Fμ＝max＝macos 30°①
Y方向：FN－mg＝may＝masin 30°②
由①式解得：Fμ＝87 N 由②式解得：FN＝550 N
根据牛顿第三定律可知，人对梯面压力等于550 N，方向竖直向下．
而人与梯面间的静摩擦力等于87 N，方向水平向右．
答案：人对梯面压力等于550 N，方向竖直向下；人与梯面间的静摩擦力等于87 N，方向水平向右．
【变式探究】2．用一根绳子提一只质量为50.0 kg的桶．假定当绳子的张力等于或小于525 N时，这根绳子不会断裂．已知开始时这只桶是静止的，被提至3.0 m时它的运动速度是3.0 m/s.如果加速度固定不变，那么这根绳子是否有断裂的危险？
根据牛顿第三定律可知桶作用于绳子上的力也等于570 N，因此超过了绳子所能承受的最大张力，所以这根绳子有断裂的危险．
答案：这根绳子有断裂的危险．
考点八 、牛顿运动定律在传送带问题中的应用
传送带在自动输送各种粮食起很大作用，如图所示．而该模型可分为以下三类：
(1)水平传送带
当传送带水平运动时，应特别注意摩擦力的突变和物体运动状态的变化．摩擦力的突变，常常导致物体的受力情况和运动性质的突变．静摩擦力到达最大值，是物体恰好保持相对静止的临界状态；滑动摩擦力存在于发生相对运动的物体之间，因此两物体的速度达到相同时，滑动摩擦力要发生突变(摩擦力为零或为静摩擦力)．
(2)倾斜传送带
当传送带倾斜运动时，除了要注意摩擦力的突变和物体运动状态的变化外，还要注意物体与传送带之间的动摩擦因数μ和传送带倾斜角度θ的关系，从而正确判断物体的速度和传送带速度相等时物体运动的性质．
(3)组合传送带
组合传送带是水平传送带和倾斜传送带连接在一起传送物体．
例8、如图所示，传送带与地面的倾角θ＝37°，从A到B的长度为16 m，传送带以v0＝10 m/s的速度逆时针转动．在传送带上端无初速的放一个质量为m＝0.5 kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5，求物体从A运动到B所需的时间是多少？(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2)
开始阶段由牛顿第二定律得：
mgsin θ＋μmgcos θ＝ma1
所以：a1＝gsin θ＋μgcos θ＝10 m/s2
【经典考题精析】
高考在线】
1．（2014·重庆卷）以不同的初速度将两个物体同时竖直向上抛出并开始计时，一个物体所受空气阻力可忽略，另一个物体所受空气阻力大小与物体的速率成正比，下列分别用虚线和实线描述两物体运动的v－t图像可能正确的是(　　)
2．（2014·天津卷）如图所示，水平地面上静止放置一辆小车A，质量mA＝4 kg，上表面光滑，小车与地面间的摩擦力极小，可以忽略不计．可视为质点的物块 B置于A的最右端，B的质量mB＝2 kg.现对A施加一个水平向右的恒力F＝10 N，A运动一段时间后，小车左端固定的挡板与B发生碰撞，碰撞时间极短，碰后A、B粘合在一起，共同在F的作用下继续运动，碰撞后经时间t＝0.6 s，二者的速度达到vt＝2 m/s.求：
(1)A开始运动时加速度a的大小；
(2)A、B碰撞后瞬间的共同速度v的大小；
(3)A的上表面长度l.
3．（2014·天津卷）如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L＝0.4 m．导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁场感应度大小均为B＝0.5 T．在区域Ⅰ中，将质量m1＝0.1 kg，电阻R1＝0.1 Ω的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中将质量m2＝0.4 kg，电阻R2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑．cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g＝10 m/s2，问
(1)cd下滑的过程中，ab中的电流方向；
(2)ab刚要向上滑动时，cd的速度v多大；
(3)从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x＝3.8 m，此过程中ab上产生的热量Q是多少？
4．（2014·四川卷）如图所示，水平放置的不带电的平行金属板p和b相距h，与图示电路相连，金属板厚度不计，忽略边缘效应．p板上表面光滑，涂有绝缘层，其上O点右侧相距h处有小孔K；b板上有小孔T，且O、T在同一条竖直线上，图示平面为竖直平面．质量为m、电荷量为－q(q>0)的静止粒子被发射装置(图中未画出)从O点发射，沿p板上表面运动时间t后到达K孔，不与板碰撞地进入两板之间．粒子视为质点，在图示平面内运动，电荷量保持不变，不计空气阻力，重力加速度大小为g.
(1)求发射装置对粒子做的功；
(2)电路中的直流电源内阻为r，开关S接“1”位置时，进入板间的粒子落在b板上的A点，A点与过K孔竖直线的距离为l.此后将开关S接“2”位置，求阻值为R的电阻中的电流强度；
(3)若选用恰当直流电源，电路中开关S接“1”位置，使进入板间的粒子受力平衡，此时在板间某区域加上方向垂直于图面的、磁感应强度大小合适的匀强磁场(磁感应强度B只能在0～Bm＝范围内选取)，使粒子恰好从b板的T孔飞出，求粒子飞出时速度方向与b板板面的夹角的所有可能值(可用反三角函数表示)．
S接“2”位置，则在电阻R上流过的电流I满足
I＝⑨
联立①④～⑨得
I＝⑩
5．（2014·山东卷）研究表明，一般人的刹车反应时间(即图甲中“反应过程”所用时间)t0＝0.4 s，但饮酒会导致反应时间延长．在某次试验中，志愿者少量饮酒后驾车以v0＝72 km/h的速度在试验场的水平路面上匀速行驶，从发现情况到汽车停止，行驶距离L＝39 m，减速过程中汽车位移s与速度v的关系曲线如图乙所示，此过程可视为匀变速直线运动．取重力加速度的大小g取10 m/s2.求：
图甲
图乙
(1)减速过程汽车加速度的大小及所用时间；
(2)饮酒使志愿者的反应时间比一般人增加了多少；
(3)减速过程汽车对志愿者作用力的大小与志愿者重力大小的比值．
6．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图所示，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系统处于平衡状态．现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定地偏离竖直方向某一角度(橡皮筋在弹性限度内)．与稳定在竖直位置时相比，小球的高度(　　)
A．一定升高
B．一定降低
C．保持不变
升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定
（2013·浙江卷）山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤，其示意图如下．图中A、B、C、D均为石头的边缘点，O为青藤的固定点，h1＝1.8 m，h2＝4.0 m，x1＝4.8 m，x2＝8.0 m．开始时，质量分别为M＝10 kg和m＝2 kg的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头的A点水平跳至中间石头．大猴抱起小猴跑到C点，抓住青藤下端，荡到右边石头上的D点，此时速度恰好为零．运动过程中猴子均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)大猴从A点水平跳离时速度的最小值；
(2)猴子抓住青藤荡起时的速度大小；
(3)猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小．
【解析】(1)设猴子从A点水平跳离时速度的最小值为vmin，根据平抛运动规律，有
h1＝gt2①
x1＝vmint②
联立①②式，得vmin＝8 m/s③
(2)猴子抓住青藤后的运动过程中机械能守恒，设荡起时的速度为vC，有
(M＋m)gh2＝(M＋m)v④
vC＝＝ m/s≈9 m/s⑤
（2013·福建卷）在国际单位制(简称SI)中，力学和电学的基本单位有：m(米)、kg(千克)、s(秒)、A(安培)．导出单位V(伏特)用上述基本单位可表示为(　　)
A．m2·kg·s－4·A－1　　　B．m2·kg·s－3·A－1
C．m2·kg·s－2·A－1 D．m2·kg·s－1·A－1
（2013·安徽卷）如图所示，细线的一端系一质量为m的小球，另一端固定在倾角为θ的光滑斜面体顶端，细线与斜面平行．在斜面体以加速度a水平向右做匀加速直线运动的过程中，小球始终静止在斜面上，小球受到细线的拉力T和斜面的支持力FN分别为(重力加速度为g)(　　)
A．T＝m(gsinθ＋acosθ)　FN＝m(gcosθ－asinθ)
B．T＝m(gcosθ＋asinθ)　FN＝m(gsinθ－acosθ)
C．T＝m(acosθ－gsinθ)　FN＝m(gcosθ＋asinθ)
D．T＝m(asinθ－gcosθ)　FN＝m(gsinθ＋acosθ)
【答案】A　
【解析】本题考查受力分析、应用牛顿第二定律分析解决问题的能力．对物体进行受力分析，应用牛顿第二定律，在水平方向有Tcosθ－FNsinθ＝ma，在竖直方向有Tsinθ＋FNcosθ＝mg，解得：T＝macosθ＋mgsinθ，FN＝mgcosθ－masinθ，选项A正确．
（2013·山东卷）伽利略开创了实验研究和逻辑推理相结合探索自然规律的科学方法，利用这种方法伽利略发现的规律有(　　)
A．力不是维持物体运动的原因
B．物体之间普遍存在相互吸引力
C．忽略空气阻力，重物与轻物下落得同样快
D．物体间的相互作用力总是大小相等、方向相反
（2013·浙江卷）如图所示，水平木板上有质量m＝1.0 kg的物块，受到随时间t变化的水平拉力F作用，用力传感器测出相应时刻物块所受摩擦力Ff的大小．取重力加速度g＝10 m/s2，下列判断正确的是(　　)
A．5 s内拉力对物块做功为零
B．4 s末物块所受合力大小为4.0 N
C．物块与木板之间的动摩擦因数为0.4
D．6 s～9 s内物块的加速度大小为2.0 m/s2
【答案】D　
【解析】从图可知，物块与木板之间的静摩擦力最大值为4 N，滑动摩擦力大小为3 N．结合拉力和摩擦力的大小可判断物块的运动规律：在0～4 s物块静止，4～5 s物块做加速度逐渐增大的变加速直线运动，5 s以后物块做匀加速直线运动.0～4 s物块静止，拉力对物体不做功，但是4～5 s物块运动，拉力对物体做正功，故A错误.4 s末，物块所受的合力由0突变为1 N，故B错误．物块与木板之间的动摩擦因数μ＝＝＝0.3，故C错误.6～9 s内，物块的加速度a＝＝ m/s2＝2.0 m/s2，故D正确．
（2013·四川卷）在如图所示的竖直平面内，物体A和带正电的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，分别静止于倾角θ＝37°的光滑斜面上的M点和粗糙绝缘水平面上，轻绳与对应平面平行．劲度系数 k＝5 N/m的轻弹簧一端固定在O点，一端用另一轻绳穿过固定的光滑小环D与A相连，弹簧处于原长，轻绳恰好拉直，DM垂直于斜面．水平面处于场强E＝5×104 N/C、方向水平向右的匀强电场中．已知A、B的质量分别为mA＝0.1 kg和mB＝0.2 kg，B所带电荷量q＝＋4×10－6C.设两物体均视为质点，不计滑轮质量和摩擦，绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，B电量不变．取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.
(1)求B所受静摩擦力的大小；
(2)现对A施加沿斜面向下的拉力F，使A以加速度a＝0.6 m/s2开始做匀加速直线运动．A从M到N的过程中，B的电势能增加了ΔEp＝0.06 J．已知DN沿竖直方向，B与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4.求A到达N点时拉力F的瞬时功率．
Δx＝
设拉力F的瞬时功率为P，有P＝Fv
联立，代入数据解得
P＝0.528 W
（2012·福建卷）如图，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边．已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为f，经过A点时的速度大小为v0，小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间为t1， A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略不计．求：
(1)小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功Wf；
(2)小船经过B点时的速度大小v1；
(3)小船经过B点时的加速度大小a.
（2012·安徽卷）如图4所示，放在固定斜面上的物块以加速度a沿斜面匀加速下滑，若在物块上再施加一个竖直向下的恒力F， 则(　　)
A．物块可能匀速下滑
B．物块仍以加速度a匀加速下滑
C．物块将以大于a的加速度匀加速下滑
D．物块将以小于a的加速度匀加速下滑

【2016考纲解读】
1．知道什么是抛体运动，了解运动特点
2．知道物体做曲线运动的条件及特点，会用牛顿定律对曲线运动条件做出分析。
3．了解合运动、分运动及其关系，特点。
4．知道运动的合成和分解，理解合成和分解遵循平行四边形法则。会用作图法和三角形法求解有关位移、速度的合成和分解问题
【重点知识梳理】
一、运动的合成
1．由已知的分运动求其合运动叫运动的合成．这既可能是一个实际问题，即确有一个物体同时参与几个分运动而存在合运动；又可能是一种思维方法，即可以把一个较为复杂的实际运动看成是几个基本的运动合成的，通过对简单分运动的处理，来得到对于复杂运动所需的结果．
合运动与分运动的关系：独立性：一个物体同时参与几个分运动，任何一个分运动的存在，对其它
分运动的规律没有干扰和影响。
等时性：合运动和分运动在同一时间进行，即历时相等。
等效性：合运动跟几个分运动共同叠加的效果相同。
2．描述运动的物理量如位移、速度、加速度都是矢量，运动的合成应遵循矢量运算的法则：
（1）如果分运动都在同一条直线上，需选取正方向，与正方向相同的量取正，相反的量取负，矢量运算简化为代数运算．
（2）如果分运动互成角度，运动合成要遵循平行四边形定则．
3．合运动的性质和轨迹取决于分运动的情况:
① 两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动
② 一个匀速运动和一个匀变速运动的合运动是匀变速运动。
讨论：二者共线时，为匀变速直线运动，二者不共线时，为匀变速曲线运动。
③ 两个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动，
当V0合与a0合 共线时为匀变速直线运动，当V0合与a0合(恒定) 不共线时为匀变速曲线运动。
二、运动的分解
1．已知合运动求分运动叫运动的分解．
2．运动分解也遵循矢量运算的平行四边形定则．
3．将速度正交分解为 vx＝vcosα和vy=vsinα是常用的处理方法．
4．速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解，常用的思想方法有两种：
一种思想方法是先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的办法；
另一种思想方法是先确定合运动的速度方向（物体的实际运动方向就是合速度的方向），
然后分析由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向．
三、合运动与分运动的特征：
(1) 等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等．
(2) 独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响．
(3) 等效性:合运动和分运动是等效替代关系，不能并存；
(4) 矢量性:加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。
四、物体做曲线运动的条件
1．曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线；
曲线运动的速度方向：曲线在该点的切线方向；
曲线运动的性质：速度方向不断变化，故曲线运动一定是变速运动．即曲线运动物体一定有加速度。
2．物体做一般曲线运动的条件：
力学条件和运动学条件：运动物体所受的合外力（或加速度）的方向跟它的速度方向不在同一直线上（即合外力或加速度与速度的方向成一个不等于零或π的夹角）．
说明：当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动速率将增大，当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小。
3.做曲线运动物体所受的合外力（加速度）方向指向曲线内侧。
4.重点掌握的两种情况：一是加速度大小、方向都不变的曲线运动，叫匀变曲线运动，如平抛运动；
另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动．
运动的合成与分解典型实例：渡河问题；船的靠岸，平抛 各种初速不为零的匀变速运动。
【规律方法】
1、运动的合成与分解的应用
合运动与分运动的关系：满足等时性与独立性．即各个分运动是独立进行的，不受其他运动的影响，合运动和各个分运动经历的时间相等，讨论某一运动过程的时间，往往可直接分析某一分运动得出．
2、曲线运动条件的应用
做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指的一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出合外力的大致方向．若合外力为变力，则为变加速运动；若合外力为恒力，则为匀变速运动；
五、小船过河问题
1.船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
2．三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速)、v(船的实际速度)．
3．三种情景
(1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝ (d为河宽)．
(2)过河路径最短(v2＜v1时)：合速度垂直于河岸，航程最短，x短＝d.
(3)过河路径最短(v2＞v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图4－1－4所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2 矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向的航程最短．
由图可知：sinθ＝ ，最短航程：x短＝
【高频考点突破】
考点一 物体做曲线运动的条件、速度方向
例1、 质点在一平面内沿曲线由P运动到Q，如果v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力，下列图象可能正确的是（ ）
考点二 运动的合成与分解
例2、在抗洪抢险中，战士驾驶冲锋舟救人，假设江岸是平直的，洪水沿江而下，水的流速为5m/s，舟在静水中的航速为l0m/s，战士救人的地点A离岸边最近点0的距离为50m如图，问：
(1)战士要想通过最短的时间将人送上岸，求最短时间为多长?
(2)战士要想通过最短的航程将人送上岸，冲锋舟的驾驶员应将舟头与河岸成多少度角开?
(3)如果水的流速是10m/s，而舟的航速(静水中)为5m/s，战士想通过最短的距离将人送上岸，求这个最短的距离．
考点三、合力方向与速度、轨迹的关系
例1、一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1＋ΔF，则质点以后 (　　)
A．一定做匀变速曲线运动
B．在相等时间内速度的变化一定相等
C．可能做匀速直线运动
D．可能做变加速曲线运动
解析：F1、F2为恒力，物体从静止开始做匀加速直线运动，F1突变后仍为恒力，合力仍为恒力，但合力的方向与速度方向不再同线，所以物体将做匀变速曲线运动，故A对． 由加速度的定义a＝ 知，在相等时间Δt内Δv＝aΔt必相等，故B对．做匀速直线运动的条件是F合＝0，所以物体不可能做匀速直线运动，故C错． 由于F1突变后，F1＋ΔF和F2的合力仍为恒力，故加速度不可能变化，故D错．
答案：AB
考点四、小船过河问题
例4、河宽l＝300 m，水速u＝1 m/s，船在静水中的速度v＝3 m/s，欲分别按下列要求过河时，船头应与河岸成多大角度？过河时间是多少？
(1)以最短时间过河；
(2)以最小位移过河；
(3)到达正对岸上游100 m处．
解析：(1)以最短时间渡河时，船头应垂直于河岸航行，即与河岸成90°角．最短时间为
t＝ s＝100 s．? (3分)
(2)以最小位移过河，船的实际航向应垂直河岸，即船头应指向上游河岸．设船头与上游河岸夹角为θ，有
vcosθ＝u，?(2分)
θ＝arccos ＝arccos .? (2分)
渡河时间为t＝ s≈106.1 s．
(3)设船头与上游河岸夹角为α，则有
(vcosα－u)t＝x? (3分)
vtsinα＝l? (3分)
两式联立得：α＝53°，t＝125 s．
【经典考题精析】
【 高考在线】
1．（2014·四川卷）有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A. B. C. D.
2．（2014·四川卷） (1)小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹．图中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)．实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向________(选填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动．
方向不在同一条直线上。
（2013·江苏卷）如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则(　　)
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
（2012·福建）20、如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R=0.5 m,离水平地面的高度H=0.8m,物块平抛落地过程水平位移的大小s=0.4m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s2 求：
（1）物块做平抛运动的初速度大小V0；
（2）物块与转台间的动摩擦因数。
（2011广东）如图6所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上。已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是
A、球的速度v等于
B、球从击出到落地的时间为
C、球从击出点到落地点的位移等于L
D、球从击出点到落地点的位移与球的质量有关
（2011江苏）如图所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置。将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M=km的小物块相连，小物块悬挂于管口。现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变。（重力加速度为g）
（1）求小物块下落过程中的加速度大小；
（2）求小球从管口抛出时的速度大小；
（3）试证明小球平抛运动的水平位移总小于
（2011上海）以初速为，射程为的平抛运动轨迹制成一光滑轨道。一物体由静止开始从轨道顶端滑下，当其到达轨道底部时，物体的速率为 ，其水平方向的速度大小为 。
【答案】，
【解析】一定要清楚沿抛物线轨道运动绝不是平抛运动，因为平抛运动只受重力，而沿抛物线轨道运动还会受到轨道的支持力。建立如图所示的坐标系，轨迹是抛物线，所以，，消去参数t，得到抛物线的轨迹方程.一物体由静止开始从轨道顶端滑下，当其到达轨道底部时，，竖直位移①，根据机械能守恒，②，①②联立，；

根据平抛运动速度方向与位移方向角度的关系，③，把①代入③得，
（2010·全国卷1）18．一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为
A． B．
C． D．
（2010·上海物理）12. 降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞
（A）下落的时间越短 （B）下落的时间越长
（C）落地时速度越小 （D）落地时速度越大
（2010·江苏卷）1、如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度
A.大小和方向均不变
B.大小不变，方向改变
C.大小改变，方向不变
D.大小和方向均改变
答案：A
解析：橡皮在水平方向匀速运动，在竖直方向匀速运动，合运动是匀速运动
（2010·浙江卷）22. （16分）在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为滑的道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中。设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节（取;g=10m/s2）。求：
（1）运动员到达B点的速度与高度h的关系；
（2）运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？对应的最大水平距离SBH为多少？
（3若图中H＝4m，L＝5m，动摩擦因数＝0.2，则水平运动距离要达到7m，h值应为多少？
解析：
（1）设斜面长度为L1，斜面倾角为α，根据动能定理得
①
即 ②
③
（2010·四川卷）25.（20分）如图所示，空间有场强的竖直向下的匀强电场，长的不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量的不带电小球，拉起小球至绳水平后，无初速释放。另一电荷量、质量与相同的小球，以速度水平抛出，经时间与小球与点下方一足够大的平板相遇。不计空气阻力，小球均可视为质点，取。
（1）求碰撞前瞬间小球的速度。
（2）若小球经过路到达平板，此时速度恰好为0，求所加的恒力。
（3）若施加恒力后，保持平板垂直于纸面且与水平面的夹角不变，在点下方面任意改变平板位置，小球均能与平板正碰，求出所有满足条件的恒力。
【解析】（1）P做抛物线运动，竖直方向的加速度为
在D点的竖直速度为
P碰前的速度为
设恒力F与竖直方向的夹角为α，如图，根据牛顿第二定律


给以上二式带入数据得


解得 α=30°

【2016考纲解读】
1．理解竖直方向上的抛体运动的特点和规律。会将竖直上抛分解成向上的匀减速和自由落体运动的合运动
2．了解斜抛运动及其特点
3．理解平抛运动的特点和处规律，熟练掌握分析平抛运动的方法
【重点知识梳理】
一、平抛物体的运动
1、平抛运动：将物体沿水平方向抛出，其运动为平抛运动．
（1）运动特点：a、只受重力；b、初速度与重力垂直．尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动。在任意相等时间内速度变化相等。
（2）平抛运动的处理方法：平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性．
（3）平抛运动的规律：以物体的出发点为原点，沿水平和竖直方向建成立坐标。
ax=0……① ay=0……④
水平方向 vx=v0 ……② 竖直方向 vy=gt……⑤
x=v0t……③ y=?gt2……⑥
做平抛运动的物体，任意时刻速度的反向延长线一定经过此时沿抛出方向水平总位移的中点。
证：平抛运动示意如图
设初速度为V0，某时刻运动到A点，位置坐标为(x,y ),所用时间为t.
此时速度与水平方向的夹角为,速度的反向延长线与水平轴的交点为,
位移与水平方向夹角为.
依平抛规律有: 速度： Vx= V0
Vy=gt
①
位移: Sx= Vot


②
由①②得： 即 ③
所以: ④
④式说明：做平抛运动的物体，任意时刻速度的反向延长线一定经过此时沿抛出方向水总位移的中点。
①平抛物体在时间t内的位移S可由③⑤两式推得s==，
②位移的方向与水平方向的夹角α由下式决定tgα=y/x=?gt2/v0t=gt/2v0
③平抛物体经时间t时的瞬时速度vt可由②⑤两式推得vt=，
④速度vt的方向与水平方向的夹角β可由下式决定tgβ=vy/vx=gt/v0
⑤平抛物体的轨迹方程可由③⑥两式通过消去时间t而推得：y=·x2，
可见平抛物体运动的轨迹是一条抛物线．
⑥运动时间由高度决定，与v0无关，所以t=，水平距离x＝v0t＝v0
⑦Δt时间内速度改变量相等，即△v＝gΔt，ΔV方向是竖直向下的．说明平抛运动是匀变速曲线运动．
处理平抛物体的运动时应注意：
（1）水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的，其中每个分运动都不会因另一个分运动的存在而受到影响——即垂直不相干关系；
（2）水平方向和竖直方向的两个分运动具有等时性，运动时间由高度决定，与v0无关；
（3）末速度和水平方向的夹角不等于位移和水平方向的夹角，由上证明可知tgβ=2tgα
【小结】若此题中传送带顺时针转动，物块相对传送带的运动情况就应讨论了。
（1）当v0=vB物块滑到底的速度等于传送带速度，没有摩擦力作用，物块做匀速运动，离开传送带做平抛的初速度比传送带不动时的大，水平位移也大，所以落在Q点的右边。
（2）当v0＞vB物块滑到底速度小于传送带的速度，有两种情况，一是物块始终做匀加速运动，二是物块先做加速运动，当物块速度等于传送带的速度时，物体做匀速运动。这两种情况落点都在Q点右边。
（3）v0＜vB当物块滑上传送带的速度大于传送带的速度，有两种情况，一是物块一直减速，二是先减速后匀速。第一种落在Q点，第二种落在Q点的右边。
【规律方法】
1、平抛运动的分析方法
用运动合成和分解方法研究平抛运动，要根据运动的独立性理解平抛运动的两分运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．其运动规律有两部分：一部分是速度规律，一部分是位移规律．对具体的平抛运动，关键是分析出问题中是与位移规律有关还是与速度规律有关
结论：在斜面上平抛物体落在斜面上的速度方向与斜面的夹角，和平抛的初速度无关，只与斜面的倾角有关
2、平抛运动的速度变化和重要推论
①水平方向分速度保持vx=v0.竖直方向，加速度恒为g,速度vy =gt,从抛出点起，每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示．这一矢量关系有两个特点：(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0; (2)任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv=Δvy=gΔt.
②平抛物体任意时刻瞬时刻速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
证明：设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的水平分量vx=v0=s/t，而竖直分量vy=2h/t， ， 所以有
3、平抛运动的拓展（类平抛运动）
带电粒子垂电匀强电场方向进入作类平抛运动。是类平抛运动的典型。
关键要搞清楚受力特征，受力情况决定了运动性质。
二、类平抛运动
1.类平抛运动的受力特点
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2．类平抛运动的运动特点
在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝ .
3．常见问题
(1)斜面上的平抛运动．
(2)带电粒子在电场中的偏转．
4．类平抛运动的求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为 vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
【特别提醒】
(1)类平抛运动是对平抛运动研究方法的迁移，是高考命题的热点问题．
(2)高考考查该类问题常综合机械能守恒、动能定理等知识，以电场或复合场为背景考查学生运用所学知识处理综合问题的能力．
【高频考点突破】
考点一 竖直方向的抛体运动、斜抛运动
例1、 一跳水运动员从离水面10m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45m达到最高点。落水时身体竖直，手先入水（在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计），从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是多少？（计算时，可以把运动员看成质点，取g =10m/s2，结果保留两位有效数字）
考点二 平抛运动及其规律
例2、如图所示，在倾角为θ的斜面顶端A处以速度v0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求：
（1）小球从A运动到B处所需的时间、落到B点的速度及A、B间的距离．
（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？这个最大距离是多少？
A、B间的距离为：
考点三 抛体运动
例3、抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度水平发出，落在球台的P1点(如图实线所示)，求P1点距O点的距离x1．
(2)若球在O点正上方以速度水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2(如图虚线所示)，求的大小．
(3)若球在O正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3，求发球点距O点的高度h3．
考点四 平抛运动与其它知识的综合
例4、如图所示，在同一竖直面上，质量为2m的小球A静止在光滑斜面的底部，斜面高度为H＝2L．小球受到弹簧的弹性力作用后，沿斜面向上运动．离开斜面后，达到最高点时与静止悬挂在此处的小球B发生弹性碰撞，碰撞后球B刚好能摆到与悬点O同一高度，球A沿水平方向抛射落在水平面C上的P点，O点的投影O/与P的距离为L/2．已知球B质量为m，悬绳长L，视两球为质点，重力加速度为g，不计空气阻力，求：
⑴球B在两球碰撞后一瞬间的速度大小；
⑵球A在两球碰撞前一瞬间的速度大小；
⑶弹簧的弹性力对球A所做的功．
考点五 类平抛运动
例5、质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，
同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)．今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h，如图4－2－5所示，求：

(1)飞机受到的升力大小；
(2)从起飞到上升至h高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能．
【特别提醒】
(1)类平抛运动规律与平抛运动规律相同，处理方法也相同．平抛运动的两个重要推论也适用于类平抛运动．
(2)解答类平抛运动问题时，不一定按水平方向和竖直方向进行分解，可以按初速度方向和合外力方向来分解．
【经典考题精析】
1．（2014·重庆卷）一弹丸在飞行到距离地面5 m高时仅有水平速度v＝2 m/s，爆炸成为甲、乙两块水平飞出，甲、乙的质量比为3∶1，不计质量损失，重力加速度g取10 m/s2，则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是
2．（2014·浙江卷）如图所示，装甲车在水平地面上以速度v0＝20 m/s沿直线前进，车上机枪的枪管水平，距地面高为h＝1.8 m．在车正前方竖直立一块高为两米的长方形靶，其底边与地面接触．枪口与靶距离为L时，机枪手正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为v＝800 m/s.在子弹射出的同时，装甲车开始匀减速运动，行进s＝90 m后停下．装甲车停下后，机枪手以相同方式射出第二发子弹．(不计空气阻力，子弹看成质点，重力加速度g取10 m/s2)
第23题图
(1)求装甲车匀减速运动时的加速度大小；
(2)当L＝410 m时，求第一发子弹的弹孔离地的高度，并计算靶上两个弹孔之间的距离；
(3)若靶上只有一个弹孔，求L的范围．
3．（2014·四川卷）如图所示，水平放置的不带电的平行金属板p和b相距h，与图示电路相连，金属板厚度不计，忽略边缘效应．p板上表面光滑，涂有绝缘层，其上O点右侧相距h处有小孔K；b板上有小孔T，且O、T在同一条竖直线上，图示平面为竖直平面．质量为m、电荷量为－q(q>0)的静止粒子被发射装置(图中未画出)从O点发射，沿p板上表面运动时间t后到达K孔，不与板碰撞地进入两板之间．粒子视为质点，在图示平面内运动，电荷量保持不变，不计空气阻力，重力加速度大小为g.
(1)求发射装置对粒子做的功；
(2)电路中的直流电源内阻为r，开关S接“1”位置时，进入板间的粒子落在b板上的A点，A点与过K孔竖直线的距离为l.此后将开关S接“2”位置，求阻值为R的电阻中的电流强度；
(3)若选用恰当直流电源，电路中开关S接“1”位置，使进入板间的粒子受力平衡，此时在板间某区域加上方向垂直于图面的、磁感应强度大小合适的匀强磁场(磁感应强度B只能在0～Bm＝范围内选取)，使粒子恰好从b板的T孔飞出，求粒子飞出时速度方向与b板板面的夹角的所有可能值(可用反三角函数表示)．

4．（2014·福建卷Ⅰ）图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切．点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心O恰在水面．一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力．
(1)若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面上的D点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功Wf；
(2)若游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h.(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F向＝m)
（2013·安徽卷）由消防水龙带的喷嘴喷出水的流量是0.28 m3/min，水离开喷口时的速度大小为16  m/s，方向与水平面夹角为60°，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是(重力加速度g取10 m/s2)(　　)
A．28.8 m　1.12×10－2 m3
B．28.8 m　0.672 m3
C．38.4 m　1.29×10－2 m3
D．38.4 m　0.776 m3
（2013·北京卷）在实验操作前应该对实验进行适当的分析．研究平抛运动的实验装置示意如图．小球每次都从斜槽的同一位置无初速释放，并从斜槽末端水平飞出．改变水平板的高度，就改变了小球在板上落点的位置，从而可描绘出小球的运动轨迹．某同学设想小球先后三次做平抛，将水平板依次放在如图1、2、3的位置，且1与2的间距等于2与3的间距．若三次实验中，小球从抛出点到落点的水平位移依次为x1、x2、x3，机械能的变化量依次为ΔE1、ΔE2、ΔE3，忽略空气阻力的影响，下面分析正确的是(　　)
A．x2－x1＝x3－x2，ΔE1＝ΔE2＝ΔE3
B．x2－x1>x3－x2，ΔE1＝ΔE2＝ΔE3
C．x2－x1>x3－x2，ΔE1<ΔE2<ΔE3
D．x2－x1【答案】B　
【解析】物体做平抛运动，机械能守恒，即机械能的变化量为零，C、D错误．因竖直方向上为自由落体运动，下落相同高度时，所用的时间会越来越短，水平方向运动的位移也会越来越小，故x3－x2＜x2－x1，A错误，B正确．
（2013·福建卷）如图，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0 kg的小球．现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点．地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L＝1.0 m，B点离地高度H＝1.0 m，A、B两点的高度差h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气影响，求：
(1)地面上DC两点间的距离s；
(2)轻绳所受的最大拉力大小．
（2013·江苏卷）如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则(　　)
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
（2013·浙江卷） (16分)山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤，其示意图如下．图中A、B、C、D均为石头的边缘点，O为青藤的固定点，h1＝1.8 m，h2＝4.0 m，x1＝4.8 m，x2＝8.0 m．开始时，质量分别为M＝10 kg和m＝2 kg的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头的A点水平跳至中间石头．大猴抱起小猴跑到C点，抓住青藤下端，荡到右边石头上的D点，此时速度恰好为零．运动过程中猴子均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)大猴从A点水平跳离时速度的最小值；
(2)猴子抓住青藤荡起时的速度大小；
(3)猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小．
【解析】 (1)设猴子从A点水平跳离时速度的最小值为vmin，根据平抛运动规律，有
h1＝gt2①
x1＝vmint②
联立①②式，得vmin＝8 m/s③
（2013·福建卷）如图，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0 kg的小球．现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点．地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L＝1.0 m，B点离地高度H＝1.0 m，A、B两点的高度差h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气影响，求：
(1)地面上DC两点间的距离s；
(2)轻绳所受的最大拉力大小．

(2)小球下摆到达B点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有
F－mg＝m⑤
由①⑤式解得F＝20 N
根据牛顿第三定律F′＝－F
轻绳所受的最大拉力为20 N.
（2012·福建）20、如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R=0.5 m,离水平地面的高度H=0.8m,物块平抛落地过程水平位移的大小s=0.4m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s2 求：
（1）物块做平抛运动的初速度大小V0；
（2）物块与转台间的动摩擦因数。
（2012·上海）12．如图，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点。若小球初速变为v，其落点位于c，则 （ ）
（A）v0< v <2v0 （B）v=2v0
（C）2v0< v <3v0 （D）v>3v0
【答案】A
（2012·安徽）16.如图所示，在竖直平面内有一半径为的圆弧轨道，半径水平、竖直，一个质量为的小球自的正上方点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点时恰好对轨道没有压力。已知=2,重力加速度为，则小球从到的运动过程中 （ ）
A. 重力做功 B. 机械能减少
C. 合外力做功 D. 克服摩擦力做功
（2012·江苏）6. 如图所示,相距l 的两小球A、B 位于同一高度h(l,h 均为定值). 将A 向B 水平抛出的同时, B 自由下落. A、B 与地面碰撞前后,水平分速度不变,竖直分速度大小不变、方向相反. 不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间,则
(A) A、B 在第一次落地前能否相碰,取决于A 的初速度
(B) A、B 在第一次落地前若不碰,此后就不会相碰
(C) A、B 不可能运动到最高处相碰
(D) A、B 一定能相碰
（2012·浙江）18、由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内。一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上。下列说法正确的是
A. 小球落到地面相对于A点的水平位移值为
B. 小球落到地面相对于A点的水平位移值为
C. 小球能从细管A端水平抛出的条件是H>2R
D. 小球能从细管A端水平抛出的最小高度
【答案】BC【解析】由机械能守恒定律知：,平抛运动时间
,，故B正确；21世纪教育网由于是管子模型，允许小球在A点时速度为零，所以只需满足H>2R即可，C正确。
【考点定位】机械能守恒、动能定律、平抛运动
（2012·全国新课标卷）15.如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则
A.a的飞行时间比b的长
B.b和c的飞行时间相同
C.a的水平速度比b的小
D.b的初速度比c的大
（2012·北京）22．（16分）
如图所示，质量为m的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离l后以速度v飞离桌面，最终落在水平地面上。已知l =1.4m，v =3.0m/s，m = 0.10kg，物块与桌面间的动摩擦因数u =0.25，桌面高h =0.45m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求
（1）小物块落地点距飞出点的水平距离s
（2）小物块落地时的动能Ek
（3）小物块的初速度大小v0
【答案】（1）0.90m （2）0.90J （3）4.0m/s
（2012·四川）22．（1）某物理兴趣小组采用如图所示装置深入研究平抛运动。质量分别为mA和mB的A、B小球处于同一高度，M为A球中心初始时在水平地面上的垂直投影。用小锤打击弹性金属片，使A球沿水平方向飞出，同时松开B球，B球自由下落。A球落到地面N点处，B球落到地面P点处。测得mA = 0.04kg，mB = 0.05kg，B球距地面的高度是1.225m，M、N间距离为1.500m，则B落到了P点的时间是 s，A球落地时的动能是 J（忽略空气阻力，g取9.8m/s2）
【答案】0.5； 0.66【解析】B做自由落体运动，由h = g得t = = s = 0.5s。A球水平初速
度为v0 = = m/s = 3.0m/s，由机械能守恒定律得，A球落地时的动能Ek = m+mgh =×0.04×+0.04×9.8×1.225J = 0.66J
【考点定位】本题考查自由落体运动，平抛运动，机械能守恒定律。
（2012·天津）10．（16分）如图所示，水平地面上固定有高为h的平台，台面上有固定的光滑坡道，坡道顶端距台面高度也为h，坡道底端与台面相切。小球A从坡道顶端由静止开始滑下，到达水平光滑的台面与静止在台面上的小球B发生碰撞，并粘连在一起，共同沿台面滑行并从台面边缘飞出，落地点与飞出点的水平距离恰好为台高的一半，两球均可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。求
（1）小球A刚滑至水平台面的速度vA；
（2）A、B两球的质量之比mA：mB。
（2012·大纲版全国卷）26.（20分）（注意：在试题卷上作答无效）
一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=x2，探险队员的质量为m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。
求此人落到坡面时的动能；
此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？
当=即v0= 时，他落在坡面时的动能最小。
动能的最小值为Ek min= mgh。
【考点定位】考查平抛运动规律、动能定理及其相关知识。
【2016考纲解读】
1．了解线速度、角速度、周期、频率、转速等概念。理解向心力及向心加速度。
2．能结合生活中的圆周运动实例熟练应用向心力和向心加速度处理问题。
3．能正确处理竖直平面内的圆周运动。
4．知道什么是离心现象，了解其应用及危害。会分析相关现象的受力特点。
【重点知识梳理】
一、描述圆周运动的物理量
1．线速度：做匀速圆周运动的物体所通过的弧长与所用的时间的比值。
（1）物理意义：描述质点沿切线方向运动的快慢．
（2）方向：某点线速度方向沿圆弧该点切线方向．
（3）大小：V=S/t
说明:线速度是物体做圆周运动的即时速度，其方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变速运动。
2．角速度：做匀速圆周运动的物体，连接物体与圆心的半径转过的圆心角与所用的时间的比值。
（l）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢．
（2）大小：ω＝φ/t 单位：（rad／s）
3．周期T，频率f：做圆周运动物体一周所用的时间叫周期．周期的广范含义：
做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速
4．转速：单位时间内绕圆心转过的圈数。r/min
5．V、ω、T、f的关系
T＝1/f，ω＝2π/T= v /r=2πf，v＝2πr/T＝2πrf=ωr．
T、f、ω三个量中任一个确定，其余两个也就确定了．但v还和半径r有关．
6．向心加速度
（1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢的物理量。
（2）大小：a=v2/r=ω2r=4π2fr=4π2r/T2=ωv，
（3）方向：总是指向圆心，方向时刻在变化．不论a的大小是否变化，a都是个变加速度．
（4）注意：a与r是成正比还是反比，要看前提条件，
若ω相同，a与r成正比；若v相同，a与r成反比；若是r相同，a与ω2成正比，与v2也成正比．
7．向心力
（1）作用：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小．因此，向心力对做圆周运动的物体不做功．
（2）大小： F＝ma＝mv2/r＝mω2 r=m4π2fr=m4π2r/T2=mωv
（3）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化．即向心力是个变力．
说明: 向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，因此，向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，要根据物体受力的实际情况判定．
F心= ma心= m2 R= mm4n2 R= mωv
二、匀速圆周运动
1．特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的．
2．性质：是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动．
3．加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力．
4．质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
三、变速圆周运动（非匀速圆周运动）典型是：竖直平面的圆周运动。
变速圆周运动的物体，不仅线速度大小、方向时刻在改变，而且加速度的大小、方向也时刻在改变，是变加速曲线运动（注：匀速圆周运动也是变加速运动）．
变速圆周运动的合力一般不指向圆心，变速圆周运动所受的合外力产生两个效果．
1．半径方向的分力：产生向心加速度而改变速度方向．法向加速度。
2．切线方向的分力：产生切线方向加速度而改变速度大小．切向加速度
法向分力：产生向心加速度，改变方向快慢的物理量。
故利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值．
四、圆周运动解题思路
1．灵活、正确地运用公式
ΣFn＝man=mv2/r＝mω2r＝m4π2r/T2＝m4π2fr ；
2．正确地分析物体的受力情况，找出向心力．
五、有辐条的圆周转动产生的顺转反现象：如何解释？
每1/30秒更一帧，车上有8根对称辐条，若在1/30秒内，每根辐条恰好转过角度为
（45、360、365、355）观众觉得车轮是怎样转的。（45度时不动；360时不动、355度倒转）。
【规律方法】
1.线速度、角速度、向心加速度大小的比较
在分析传动装置的各物理量时．要抓住不等量和相等量的关系．同轴的各点角速度ω和n相等，而线速度v＝ωr与半径r成正比．在不考虑皮带打滑的情况下．传动皮带与皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω＝v/r与半径r成反比．
2．向心力的认识和来源
（1）向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种类型的力，是根据力的效果命名的．在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力、万有引力）以外再添加一个向心力．
(2)由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变的运动，故只存在向心加速度，物体受的外力的合力就是向心力。显然物体做匀速圆周运动的条件是：物体的合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
（3）分析向心力来源的步骤是:首先确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，然后分析圆周运动物体所受的力,作出受力图,最后找出这些力指向圆心方向的合外力就是向心力．例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O/点，不在球心O，也不在弹力N所指的PO线上．这种分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
(4）变速圆周运动向心力的来源：分析向心力来源的步骤同分析匀速圆周运动向心力来源的步骤相向．但要注意，
①一般情况下，变速圆周运动的向心力是合外为沿半径方向的分力提供．
②分析竖直面上变速圆周运动的向心力的来源时，通常有细绳和杆两种模型．
(5)当物体所受的合外力小于所需要提供的向心力时，即F向＜时，物体做离心运动；当物体所受的合外力大于所需要的向心力，即F向＞时，物体做向心运动。
3、圆周运动与其它运动的结合
圆周运动和其他运动相结合，要注意寻找这两种运动的结合点：如位移关系、速度关系、时间关系等．还要注意圆周运动的特点：如具有一定的周期性等．
【高频考点突破】
考点一 描述圆周运动的物理量
例１、图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，A是它边缘上的一点.左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r.B点在小轮上，它到小轮中心的距离为r.C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上.若在传动过程中，皮带不打滑.则（ ）
A．A点与B点的线速度大小相等
B．A点与B点的角速度大小相等
C．A点与C点的线速度大小相等
D．A点与D点的向心加速度大小相等
考点二 匀速圆周运动
例2、 如图3所示，水平的木板B托着木块A一起在竖直平面内做匀速圆周运动，从水平位置a沿逆时针方向运动到最高点b的过程中（ ）
A．B对A的支持力越来越大
B．B对A的支持力越来越小
C．B对A的摩擦力越来越大
D．B对A的摩擦力越来越小
【变式探究】 如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力，作用下做匀速圆周运动，若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是 ( )
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹pa做离心运动
C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹pb做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹pc做离心运动
【解析】开始时小球做圆周运动，说明此时的拉力恰好能提供向心力。若此时拉力消失，则向心力消失，小球将沿切线方向做匀速直线运动。若拉力突然变小，则向心力不足，小球将沿轨迹pb做离心运动；若拉力突然变大，则小球将沿轨迹pc做向心运动。
【答案】A
考点三 竖直平面内的圆周运动
竖直平面内的圆周运动的模型主要有两种，即轻绳（单圆轨道）类与轻杆（双圆轨道）类．它们的主要特点是：（1）轻绳（单圆轨道）（如图6）在最高点只能提供竖直向下的作用力．因此，通过最高点的临界条件是，绳的拉力（单圆轨道对物体的作用力）为0，重力充当向心力， ，解得：，即时物体才能通过最高点，所以：．（2）轻杆（双圆轨道）（如图7）则由于杆既可以提供拉力，也可以提供支持力或不提供作用力，因此，杆作用物体到最高点时，其速度可以为0，此时杆提供的支持力与物体的重力平衡，所以v临界=0．
例3、如图，一光滑水平桌面AB与一半径为R的光滑半圆形轨道相切于C点，且两者固定不动．一长L为0.8m的细绳，一端固定于O点，另一端系一个质量m1为0.2kg的球．当球在竖直方向静止时，球对水平桌面的作用力刚好为零．现将球提起使细绳处于水平位置时无初速释放．当球m1摆至最低点时，恰与放在桌面上的质量m2为0.8kg的小铁球正碰，碰后m1小球以2m/s的速度弹回，m2将沿半圆形轨道运动，恰好能通过最高点D．g=10m/s2,求：
（1）m2在圆形轨道最低点C的速度为多大？
（2）光滑圆形轨道半径R应为多大？
考点四 　圆周运动中的临界与最值问题
例4、如图所示，一个质量为m的小球由两根细绳拴在竖直转轴上的A、B两处，AB间距为L，A处绳长为L，B处绳长为L，两根绳能承受的最大拉力均为2mg，转轴带动小球转动。则：
（1）当B处绳子刚好被拉直时，小球的线速度v多大？
（2）为不拉断细绳，转轴转动的最大角速度多大？
（3）若先剪断B处绳子，让转轴带动小球转动，使绳子与转轴的夹角从45°开始，直至小球能在最高位置作匀速圆周运动，则在这一过程中，小球机械能的变化为多大？
解析：（1）B处绳被拉直时，绳与杆夹角＝45°，，，
解得
（2）此时，B绳拉力为TB＝2mg，A绳拉力不变，， 解得
（3）小球在最高位置运动时，，，＝60°，
，
得： 则
考点五 匀速圆周运动
例5、有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图14所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ,不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.
考点六、竖直平面内的圆周运动
例6、某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体（可视为质点）以va=5m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出。小物体与地面ab段间的动摩擦因数u=0.3，不计其它机械能损失。已知ab段长L＝1. 5m，数字“0”的半径R＝0.2m，小物体质量m=0.01kg，g=10m/s2。求：
（1）小物体从p点抛出后的水平射程。
（2）小物体经过数这“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。
【经典考题精析】
1．（2014·新课标全国卷Ⅰ）如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度．下列说法正确的是(　　)
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
2．（2014·新课标Ⅱ卷）
如图，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为(　　)
A．Mg－5mg B．Mg＋mg
C．Mg＋5mg D．Mg＋10mg
3．（2014·四川卷）如图所示，水平放置的不带电的平行金属板p和b相距h，与图示电路相连，金属板厚度不计，忽略边缘效应．p板上表面光滑，涂有绝缘层，其上O点右侧相距h处有小孔K；b板上有小孔T，且O、T在同一条竖直线上，图示平面为竖直平面．质量为m、电荷量为－q(q>0)的静止粒子被发射装置(图中未画出)从O点发射，沿p板上表面运动时间t后到达K孔，不与板碰撞地进入两板之间．粒子视为质点，在图示平面内运动，电荷量保持不变，不计空气阻力，重力加速度大小为g.
(1)求发射装置对粒子做的功；
(2)电路中的直流电源内阻为r，开关S接“1”位置时，进入板间的粒子落在b板上的A点，A点与过K孔竖直线的距离为l.此后将开关S接“2”位置，求阻值为R的电阻中的电流强度；
(3)若选用恰当直流电源，电路中开关S接“1”位置，使进入板间的粒子受力平衡，此时在板间某区域加上方向垂直于图面的、磁感应强度大小合适的匀强磁场(磁感应强度B只能在0～Bm＝范围内选取)，使粒子恰好从b板的T孔飞出，求粒子飞出时速度方向与b板板面的夹角的所有可能值(可用反三角函数表示)．
【答案】(1)　(2)　(3)0<θ≤arcsin 
【解析】(1)设粒子在p板上做匀速直线运动的速度为v0，有
h＝v0t①
设发射装置对粒子做的功为W，由动能定理得
W＝mv②
联立①②可得　　　　　　W＝③
当B逐渐减小，粒子做匀速圆周运动的半径为R也随之变大，D点向b板靠近，DT与b板上表面的夹角θ也越变越小，当D点无限接近于b板上表面时，粒子离开磁场后在板间几乎沿着b板上表面运动而从T孔飞出板间区域，此时Bm>B>0满足题目要求，夹角θ趋近θ0，即
θ0＝0
则题目所求为　　0<θ≤arcsin
4．(2014·福建卷Ⅰ)图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切．点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心O恰在水面．一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力．
(1)若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面上的D点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功Wf；
(2)若游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h.(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F向＝m)

(2)设OP与OB间夹角为θ，游客在P点时的速度为vP，受到的支持力为N，从B到P由机械能守恒定律，有
mg(R－Rcos θ)＝mv－0⑥
过P点时，根据向心力公式，有mgcos θ－N＝m⑦
N＝0⑧
cos θ＝⑨
由⑥⑦⑧⑨式解得h＝R.⑩
（2013·北京卷）某原子电离后其核外只有一个电子，若该电子在核的静电力作用下绕核做匀速圆周运动，那么电子运动(　　)
A．半径越大，加速度越大
B．半径越小，周期越大
C．半径越大，角速度越小
D．半径越小，线速度越小
【答案】C　
【解析】由题可知，电子在库仑力的作用下做圆周运动，则有＝＝mω2r＝mr＝ma，由公式可以看出，半径越大，则加速度、线速度、角速度越小，周期越大，A、B、D错误，C正确．
（2013·福建卷）
如图，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0 kg的小球．现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点．地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L＝1.0 m，B点离地高度H＝1.0 m，A、B两点的高度差h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气影响，求：
(1)地面上DC两点间的距离s；
(2)轻绳所受的最大拉力大小．
（2013·广东卷） 如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
（2013·江苏卷）如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　)
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等21世纪教育网
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
【答案】D　
【解析】由于座椅A、B悬挂在同一个旋转圆盘上且绕同一个竖直的中心轴匀速转动，因此属于同轴问题，即座椅A、B都做匀速圆周运动，旋转的角速度相等．此时座椅的受力情况如图所示，它们做圆周运动（2013·新课标全国卷Ⅱ）公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处，(　　)
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
（2013·浙江卷） (20分)“电子能量分析器”主要由处于真空中的电子偏转器和探测板组成．偏转器是由两个相互绝缘、半径分别为RA和RB的同心金属半球面A和B构成，A、B为电势值不等的等势面，其过球心的截面如图所示．一束电荷量为e、质量为m的电子以不同的动能从偏转器左端M板正中间小孔垂直入射，进入偏转电场区域，最后到达偏转器右端的探测板N，其中动能为Ek0的电子沿等势面C做匀速圆周运动到达N板的正中间．忽略电场的边缘效应．
(1)判断半球面A、B的电势高低，并说明理由；
(2)求等势面C所在处电场强度E的大小；[21世纪教育网
(3)若半球面A、B和等势面C的电势分别为φA、φB和φC，则到达N板左、右边缘处的电子，经过偏转电场前、后的动能改变量ΔEk左和ΔEk右分别为多少？
(4)比较|ΔEk左|与|ΔEk右|的大小，并说明理由．
（2012?重庆）冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的(　　)
A．轨道半径约为卡戎的 B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的7倍 D．向心力大小约为卡戎的7倍
（2012·广东）21.如图6所示，飞船从轨道1变轨至轨道2。若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的　( )
A.动能大　　　
B.向心加速度大　　　　　
C.运行周期长　　　　　
D.角速度小
（2012·山东）15．2012年11月3日，“神州八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神州九号”交会对接。变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为、。则等于（ 　 ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 万有引力提供向心力有，得，所以，选项B正确。
【考点定位】万有引力和天体运动
（2012·安徽）14.我国发身的“天宫一号”和“神州八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350km, “神州八号”的运行轨道高度为343km.它们的运行轨道均视为圆周，则 （ ）
A．“天宫一号”比“神州八号”速度大 B．“天宫一号”比“神州八号”周期长
C．“天宫一号”比“神州八号”角速度大 D．“天宫一号”比“神州八号”加速度大
【答案】B
【解析】根据卫星运行模型知越高则周期越大，线速度越小，，加速度与万有引力加速度相同，也越小。
【考点定位】万有引力和天体运动
11. （2012·海南）地球同步卫星到地心的距离r可用地球质量M、地球自转周期T与引力常量G表示为r= 。
（2012·福建）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为，已知引力常量为G,则这颗行星的质量为
A． B.
C． D.
【答案】B【解析】设星球半径为R，星球质量为M，卫星质量为m1,卫星做圆周运动向心力由万有引力提供
即 ,而星球表面物体所受的重力等于万有引力即：;结合两式可解的星球质量为所以选B.
【考点定位】万有引力、星球表面重力和万有引力的关系；卫星的向心力和万有引力的关系等，偏难。
（2012·江苏）8. 2012 年8 月,“嫦娥二号冶成功进入了环绕“日地拉格朗日点冶的轨道,我国成为世界上第三个造访该点的国家. 如图所示,该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上,一飞行器处于该点,在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动,则此飞行器的
(A) 线速度大于地球的线速度
(B) 向心加速度大于地球的向心加速度
(C) 向心力仅由太阳的引力提供
(D) 向心力仅由地球的引力提供
（2012·浙江）15、如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是
A.太阳对小行星的引力相同
B.各小行星绕太阳运动的周期小于一年
C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于小行星带外侧小行星的向心加速度值
D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于 地球公转的线速度值
【答案】C【解析】小行星质量不确定，所以太阳对小行星引力无法确定，A错误；由万有引力定律得到：，,轨道半径r越大，周期越大，加速度越小、线速度越小，所以小行星绕太阳的周期大于1年，B错误；C正确；D错误。
（2012·天津）3． 一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的
A．向心加速度大小之比为4：1
B．角速度大小之比为2：1
C．周期之比为1：8
D．轨道半径之比为1：2
（2012·四川）15．今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×m，它与另一颗同质量的同步轨道卫星（轨道半径为4.2×m）相比
A．向心力较小 B．动能较大
C．发射速度都是第一宇宙速度 D．角速度较小
【答案】B【解析】根据万有引力定律F 可知，半径越小万有引力越大，A错误。卫星绕地球做圆周
运动，则，可得卫星的线速度v，半径越小线速度越大，则动能越大，B正确。第一宇宙速度是最小发射速度，以第一宇宙速度发射的卫星轨道半径为地球半径6.4×km，中圆轨道卫星和同步卫星发射速度都大于第一宇宙速度，C错误。由，可得卫星的角速度，半径越小角速度越大，D错误。
（2012·北京）18．关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是
A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期
B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率
C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同
D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合
（2012·全国新课标卷）21.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为
A. B. C. D.
综上所述、联立①②③④可得g2/ g1=，答案为A。
【考点定位】本考点主要考查万有引力定律及其计算以及题目信息的提取与理解。
（2012·全国新课标卷）14.伽利略根据小球在斜面上运动的实验和理想实验，提出了惯性的概念，从而奠定了牛顿力学的基础。早期物理学家关于惯性有下列说法，其中正确的是
A.物体抵抗运动状态变化的性质是惯性
B.没有力作用，物体只能处于静止状态
C.行星在圆周轨道上保持匀速率运动的性质是惯性
D.运动物体如果没有受到力的作用，将继续以同一速度沿同一直线运动
1.（2011安徽）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向已速度υ0抛出，如图（b）所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是
A． B．
C． D．
答案：C
解析：物体在其轨迹最高点P处只有水平速度，其水平速度大小为v0cosα，根据牛顿第二定律得，所以在其轨迹最高点P处的曲率半径是，C正确。
2.（2011广东）如图6所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上。已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是
A、球的速度v等于
B、球从击出到落地的时间为
C、球从击出点到落地点的位移等于L
D、球从击出点到落地点的位移与球的质量有关
3．（2011江苏）（16分）如图所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置。将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M=km的小物块相连，小物块悬挂于管口。现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变。（重力加速度为g）
（1）求小物块下落过程中的加速度大小；
（2）求小球从管口抛出时的速度大小；
（3）试证明小球平抛运动的水平位移总小于
4．（2011上海）以初速为，射程为的平抛运动轨迹制成一光滑轨道。一物体由静止开始从轨道顶端滑下，当其到达轨道底部时，物体的速率为 ，其水平方向的速度大小为 。
【答案】，
【解析】一定要清楚沿抛物线轨道运动绝不是平抛运动，因为平抛运动只受重力，而沿抛物线轨道运动还会受到轨道的支持力。建立如图所示的坐标系，轨迹是抛物线，所以，，消去参数t，得到抛物线的轨迹方程.一物体由静止开始从轨道顶端滑下，当其到达轨道底部时，，竖直位移①，根据机械能守恒，②，①②联立，；

根据平抛运动速度方向与位移方向角度的关系，③，把①代入③得，
5.（2011重庆）（18分）如题24图所示，静置于水平地面的三辆手推车沿一直线排列，质量均为m，人在极短的时间内给第一辆车一水平冲量使其运动，当车运动了距离L时与第二辆车相碰，两车以共同速度继续运动了距离L时与第三车相碰，三车以共同速度又运动了距离L时停止。车运动时受到的摩擦阻力恒为车所受重力的k倍，重力加速度为g,若车与车之间仅在碰撞时发生相互作用，碰撞时间很短，忽略空气阻力，求：
⑴整个过程中摩擦阻力 所做的总功；
⑵人给第一辆车水平冲量的大小；
⑶第一次与第二次碰撞系统动能损失之比。
【解析】⑴整个过程中摩擦阻力所做的总功
⑴
⑵设第一车的初速度为，第一次碰前速度为，碰后共同速度为，第二次碰前速度为，碰后共同速度为.
……………①
……………②
……………③
6．（2011天津）（16分）如图所示，圆管构成的半圆形竖直轨道固定在水平地面上，轨道半径为R，MN为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球A以某一初速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点M时与静止于该处的质量与A相同的小球B发生碰撞，碰后两球粘在一起飞出轨道，落地点距N为2R。重力加速度为g，忽略圆管内径，空气阻力及各处摩擦均不计，求：
（1）粘合后的两球从飞出轨道到落地的时间t；
（2）小球A冲进轨道时速度v的大小。
7.（2011海南）如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆。ab为沿水平方向的直径。若在a点以初速度沿ab方向抛出一小球， 小球会击中坑壁上的c点。已知c点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径。
答案：
解析：在a点以初速度沿ab方向抛出一小球，小球做平抛运动，做如图所示辅助线：
在竖直方向上，下落高度hcd=
在水平方向上，运动位移xad=R+xod=
解得圆的半径
（2011·北京高考·T15）由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的
A. 质量可以不同 B. 轨道半径可以不同
C. 轨道平面可以不同 D. 速率可以不同
【2016考纲解读】
1．了解线速度、角速度、周期、频率、转速等概念。理解向心力及向心加速度。
2．能结合生活中的圆周运动实例熟练应用向心力和向心加速度处理问题。
3．能正确处理竖直平面内的圆周运动。
4．知道什么是离心现象，了解其应用及危害。会分析相关现象的受力特点。
【重点知识梳理】
一、圆周运动的临界问题
1.圆周运动中的临界问题的分析方法
首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值．
2.特例（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：
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注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力
①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv2/R→v临界=（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）
注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度V临≠
②能过最高点的条件：v≥，当V＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．
③不能过最高点的条件：V＜V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）
（2）如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：
注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．
①当v＝0时，N＝mg（N为支持力）
②当 0＜v＜时， N随v增大而减小，且mg＞N＞0，N为支持力．
③当v=时，N＝0
当v＞时，N为拉力，N随v的增大而增大（此时N为拉力，方向指向圆心）
注意：管壁支撑情况与杆子一样
若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动．因为轨道对小球不能产生拉力．
注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度 。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的。
二、水流星模型(竖直平面内的圆周运动)
竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。(圆周运动实例)①火车转弯 ②汽车过拱桥、凹桥3③飞机做俯冲运动时，飞行员对座位的压力。
④物体在水平面内的圆周运动（汽车在水平公路转弯，水平转盘上的物体，绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转）和物体在竖直平面内的圆周运动（翻滚过山车、水流星、杂技节目中的飞车走壁等）。
⑤万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、重力与弹力的合力——锥摆、（关健要搞清楚向心力怎样提供的）
（1）火车转弯：设火车弯道处内外轨高度差为h，内外轨间距L，转弯半径R。由于外轨略高于内轨，使得火车所受重力和支持力的合力F合提供向心力。

①当火车行驶速率V等于V0时，F合=F向，内外轨道对轮缘都没有侧压力
②当火车行驶V大于V0时，F合③当火车行驶速率V小于V0时，F合>F向，内轨道对轮缘有侧压力，F合-N'=mv2/R
即当火车转弯时行驶速率不等于V0时，其向心力的变化可由内外轨道对轮缘侧压力自行调节，但调节程度不宜过大，以免损坏轨道。
（2）无支承的小球，在竖直平面内作圆周运动过最高点情况：
临界条件：由mg+T=mv2/L知，小球速度越小，绳拉力或环压力T越小，但T的最小值只能为零，此时小球以重力为向心力，恰能通过最高点。即mg=mv临2/R
结论：绳子和轨道对小球没有力的作用（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度），只有重力作向心力，临界速度V临=
②能过最高点条件：V≥V临（当V≥V临时，绳、轨道对球分别产生拉力、压力）
③不能过最高点条件：V最高点状态: mg+T1=mv高2/L (临界条件T1=0, 临界速度V临=, V≥V临才能通过)
最低点状态: T2- mg = mv低2/L 高到低过程机械能守恒: 1/2mv低2= 1/2mv高2+ mgh
T2- T1=6mg(g可看为等效加速度)
半圆：mgR=1/2mv2 T-mg=mv2/R T=3mg
（3）有支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点情况：
①临界条件：杆和环对小球有支持力的作用 当V=0时，N=mg（可理解为小球恰好转过或恰好转不过最高点）
恰好过最高点时，此时从高到低过程 mg2R=1/2mv2 低点：T-mg=mv2/R T=5mg
注意物理圆与几何圆的最高点、最低点的区别
(以上规律适用于物理圆,不过最高点,最低点, g都应看成等效的)
2．解决匀速圆周运动问题的一般方法
（1）明确研究对象，必要时将它从转动系统中隔离出来。
（2）找出物体圆周运动的轨道平面，从中找出圆心和半径。
（3）分析物体受力情况，千万别臆想出一个向心力来。
（4）建立直角坐标系（以指向圆心方向为x轴正方向）将力正交分解。
（5）
3．离心现象
（1）离心运动的概念：做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足于提供圆周运动的所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动称作为离心运动．
注意：离心运动的原因是合力突然消失，或不足以提供向心力，而不是物体又受到什么“离心力”．
（2）离心运动的条件：提供给物体做圆周运动的向心力不足或消失。F获＜F需
离心运动的两种情况：
①当产生向心力的合外力突然消失，物体便沿所在位置的切线方向飞出。
②当产生向心力的合外力不完全消失，而只是小于所需要的向心力，物体将沿切线和圆周之间的一条曲线运动，远离圆心而去。
设质点的质量为m，做圆周运动的半径为r，角速度为ω，线角速度为，向心力为F，如图所示
F=0 (离心运动)
F＜mω2r F= mω2r
(离心运动)
（3）对离心运动的理解：
当F=mω2r或时，物体做匀速圆周运动。
当F = 0时，物体沿切线方向飞出做直线运动。 （离心运动）
当F＜mω2r或时，物体逐渐远离圆心运动。 （离心运动）
当F＞mω2r或时，物体逐渐靠近圆心的向心运动。
若所受的合外力F大于所需的向心力时，物体就会做越来越靠近圆心的“近心”运动，人造卫星或飞船返回过程就有一阶段是做“近心”运动。
（4）离心现象的本质分析
离心现象的本质——物体惯性的表现。
分析：做匀速圆周运动的物体，由于本身有惯性，总是沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动。如果提供向心力的合外力突然消失，物体由于本身的惯性，将沿着切线方向运动，这也是牛顿第一定律的必然结果。如果提供向心力的合外力减小，使它不足以将物体限制在圆周上，物体将做半径变大的圆周运动。此时，物体逐渐远离圆心，但“远离”不能理解为“背离”。做离心运动的物体并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大 。
二.“质点做匀速圆周运动”与“物体绕固定轴做匀速转动”的区别与联系
（1)质点做匀速圆周运动是在外力作用下的运动，所以质点在做变速运动，处于非平衡状态。
(2）物体绕固定轴做匀速转动是指物体处于力矩平衡的转动状态。对于物体上不在转动轴上的任意微小质量团（可说成质点），则均在做匀速圆周运动。
【规律方法】 1.圆周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程
2. 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。
【高频考点突破】
考点一、竖直平面内圆周运动问题分析
例1、如图4－3－5所示，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5.0 m，MPQ是一半径为R＝1.6 m的
半圆，QOM在同一竖直面上，在恒力F作用下，质量m＝1 kg的物体A从L点由静止开始运动，当达到M时立即停止用力．欲使A刚好能通过Q点，则力F大小为多少？(取g＝10 m/s2)?
对物体从L到Q全过程，由动能定理得
FxLM－2mgR＝ mv2? (2分)
解得F＝8 N．?
考点二、传送带问题
例2、如图4－3－9所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在转动过程中，皮带不打滑，则 (　　)
A．a点与b点的线速度大小相等
B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的角速度大小相等
D．a点与d点的向心加速度大小相等
【变式探究】如图4－3－10所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是 (　　)
A．从动轮做顺时针转动　　 B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n D．从动轮的转速为 n
解析:根据皮带传动装置的原理可知从动轮应做逆时针转动，A错B对；两轮边缘上各点线速度大小相等，即2πn1r1＝2πn2r2，所以n2＝n1，即n2＝ n，选项C对、D错．
答案： BC
考点三、火车转弯问题
例3．“和谐”号动车组列车可以让乘客体验时速200公里的追风感觉。我们把火车转弯近似看成是做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损。为解决火车高速转弯时不使外轨受损这一难题，你认为以下措施可行的是
A．增加内外轨的高度差　　　　　　　　B．减小内外轨的高度差
C．增大弯道半径　　　　 　D．减小弯道半径
【变式探究】为适应国民经济的发展需要，我国铁路不断提速。火车转弯可以看到是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损。为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是（ ）
A．仅减小弯道半径
B．仅增大弯道半径
C．仅适当减小内外轨道的高度差
D．仅适当增加内外轨道的高度差
【答案】BD
【解析】火车转弯时为减小外轨所受压力，可使外轨略离于内轨，使轨道形成斜面，若火车速度合适，内外轨均不受挤压。此时，重力与支持力的合力提供向心力，如图。
，所以
当火车速度增大时，可适当增大转弯半径或适当增大轨道倾角，以减小外轨所受压力。
【经典考题精析】
高考在线】
1．（2014·新课标全国卷Ⅰ）如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度．下列说法正确的是(　　)
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
2．（2014·新课标Ⅱ卷）
如图，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为(　　)
A．Mg－5mg B．Mg＋mg
C．Mg＋5mg D．Mg＋10mg
3．（2014·四川卷）如图所示，水平放置的不带电的平行金属板p和b相距h，与图示电路相连，金属板厚度不计，忽略边缘效应．p板上表面光滑，涂有绝缘层，其上O点右侧相距h处有小孔K；b板上有小孔T，且O、T在同一条竖直线上，图示平面为竖直平面．质量为m、电荷量为－q(q>0)的静止粒子被发射装置(图中未画出)从O点发射，沿p板上表面运动时间t后到达K孔，不与板碰撞地进入两板之间．粒子视为质点，在图示平面内运动，电荷量保持不变，不计空气阻力，重力加速度大小为g.
(1)求发射装置对粒子做的功；
(2)电路中的直流电源内阻为r，开关S接“1”位置时，进入板间的粒子落在b板上的A点，A点与过K孔竖直线的距离为l.此后将开关S接“2”位置，求阻值为R的电阻中的电流强度；
(3)若选用恰当直流电源，电路中开关S接“1”位置，使进入板间的粒子受力平衡，此时在板间某区域加上方向垂直于图面的、磁感应强度大小合适的匀强磁场(磁感应强度B只能在0～Bm＝范围内选取)，使粒子恰好从b板的T孔飞出，求粒子飞出时速度方向与b板板面的夹角的所有可能值(可用反三角函数表示)．
【答案】(1)　(2)　(3)0<θ≤arcsin 
【解析】(1)设粒子在p板上做匀速直线运动的速度为v0，有
h＝v0t①
设发射装置对粒子做的功为W，由动能定理得
W＝mv②
联立①②可得　　　　　　W＝③
当B逐渐减小，粒子做匀速圆周运动的半径为R也随之变大，D点向b板靠近，DT与b板上表面的夹角θ也越变越小，当D点无限接近于b板上表面时，粒子离开磁场后在板间几乎沿着b板上表面运动而从T孔飞出板间区域，此时Bm>B>0满足题目要求，夹角θ趋近θ0，即
θ0＝0
则题目所求为　　0<θ≤arcsin
4．(2014·福建卷Ⅰ)图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切．点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心O恰在水面．一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力．
(1)若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面上的D点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功Wf；
(2)若游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h.(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F向＝m)
过P点时，根据向心力公式，有mgcos θ－N＝m⑦
N＝0⑧
cos θ＝⑨
由⑥⑦⑧⑨式解得h＝R.⑩
（2013·北京卷）某原子电离后其核外只有一个电子，若该电子在核的静电力作用下绕核做匀速圆周运动，那么电子运动(　　)
A．半径越大，加速度越大
B．半径越小，周期越大
C．半径越大，角速度越小
D．半径越小，线速度越小
（2013·福建卷）
如图，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0 kg的小球．现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点．地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L＝1.0 m，B点离地高度H＝1.0 m，A、B两点的高度差h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气影响，求：
(1)地面上DC两点间的距离s；
(2)轻绳所受的最大拉力大小．
【解析】(1)小球从A到B过程机械能守恒，有
mgh＝mv①
小球从B到C做平抛运动，在竖直方向上有
H＝gt2②
在水平方向上有
s＝vBt③
由①②③式解得s＝1.41 m④
(2)小球下摆到达B点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有
F－mg＝m⑤
由①⑤式解得F＝20 N
根据牛顿第三定律F′＝－F
轻绳所受的最大拉力为20 N.
（2013·广东卷） 如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
（2013·江苏卷）如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　)
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等21世纪教育网
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
（2013·新课标全国卷Ⅱ）公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处，(　　)
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
（2013·浙江卷） (20分)“电子能量分析器”主要由处于真空中的电子偏转器和探测板组成．偏转器是由两个相互绝缘、半径分别为RA和RB的同心金属半球面A和B构成，A、B为电势值不等的等势面，其过球心的截面如图所示．一束电荷量为e、质量为m的电子以不同的动能从偏转器左端M板正中间小孔垂直入射，进入偏转电场区域，最后到达偏转器右端的探测板N，其中动能为Ek0的电子沿等势面C做匀速圆周运动到达N板的正中间．忽略电场的边缘效应．
(1)判断半球面A、B的电势高低，并说明理由；
(2)求等势面C所在处电场强度E的大小；[21世纪教育网
(3)若半球面A、B和等势面C的电势分别为φA、φB和φC，则到达N板左、右边缘处的电子，经过偏转电场前、后的动能改变量ΔEk左和ΔEk右分别为多少？
(4)比较|ΔEk左|与|ΔEk右|的大小，并说明理由．
（2012?重庆）冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的(　　)
A．轨道半径约为卡戎的 B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的7倍 D．向心力大小约为卡戎的7倍
（2012·广东）21.如图6所示，飞船从轨道1变轨至轨道2。若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的　( )
A.动能大　　　
B.向心加速度大　　　　　
C.运行周期长　　　　　
D.角速度小
【答案】CD。
【解析】由万有引力定律及向心力公式得，由题知，由此可知，则，A错。，则，B错。，则，D对。，则，C对。
【考点定位】万有引力
（2012·山东）15．2012年11月3日，“神州八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神州九号”交会对接。变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为、。则等于（ 　 ）
A． B． C． D．
（2012·安徽）14.我国发身的“天宫一号”和“神州八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350km, “神州八号”的运行轨道高度为343km.它们的运行轨道均视为圆周，则 （ ）
A．“天宫一号”比“神州八号”速度大 B．“天宫一号”比“神州八号”周期长
C．“天宫一号”比“神州八号”角速度大 D．“天宫一号”比“神州八号”加速度大
【答案】B
【解析】根据卫星运行模型知越高则周期越大，线速度越小，，加速度与万有引力加速度相同，也越小。
【考点定位】万有引力和天体运动
11. （2012·海南）地球同步卫星到地心的距离r可用地球质量M、地球自转周期T与引力常量G表示为r= 。
（2012·福建）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为，已知引力常量为G,则这颗行星的质量为
A． B.
C． D.
（2012·江苏）8. 2012 年8 月,“嫦娥二号冶成功进入了环绕“日地拉格朗日点冶的轨道,我国成为世界上第三个造访该点的国家. 如图所示,该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上,一飞行器处于该点,在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动,则此飞行器的
(A) 线速度大于地球的线速度
(B) 向心加速度大于地球的向心加速度
(C) 向心力仅由太阳的引力提供
(D) 向心力仅由地球的引力提供
【答案】AB
【解析】因为角速度相同，飞行器的半径大，所以线速度大，A正确。向心加速度a=ω2×R ，飞行器的半径大，所以加速度大，B正确。项仅由地球或太阳提供向心力无法完成此运动，应该是两者合力提供向心力，所以CD错误。
【考点定位】万有引力定律
（2012·浙江）15、如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是
A.太阳对小行星的引力相同
B.各小行星绕太阳运动的周期小于一年
C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于小行星带外侧小行星的向心加速度值
D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于 地球公转的线速度值
（2012·天津）3． 一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的
A．向心加速度大小之比为4：1
B．角速度大小之比为2：1
C．周期之比为1：8
D．轨道半径之比为1：2
C正确。
（2012·四川）15．今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×m，它与另一颗同质量的同步轨道卫星（轨道半径为4.2×m）相比
A．向心力较小 B．动能较大
C．发射速度都是第一宇宙速度 D．角速度较小
（2012·北京）18．关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是
A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期
B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率
C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同
D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合
（2012·全国新课标卷）21.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为
A. B. C. D.
（2012·全国新课标卷）14.伽利略根据小球在斜面上运动的实验和理想实验，提出了惯性的概念，从而奠定了牛顿力学的基础。早期物理学家关于惯性有下列说法，其中正确的是
A.物体抵抗运动状态变化的性质是惯性
B.没有力作用，物体只能处于静止状态
C.行星在圆周轨道上保持匀速率运动的性质是惯性
D.运动物体如果没有受到力的作用，将继续以同一速度沿同一直线运动
1.（2011安徽）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向已速度υ0抛出，如图（b）所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是
A． B．
C． D．
2.（2011广东）如图6所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上。已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是
A、球的速度v等于
B、球从击出到落地的时间为
C、球从击出点到落地点的位移等于L
D、球从击出点到落地点的位移与球的质量有关
3．（2011江苏）（16分）如图所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置。将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M=km的小物块相连，小物块悬挂于管口。现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变。（重力加速度为g）
（1）求小物块下落过程中的加速度大小；
（2）求小球从管口抛出时的速度大小；
（3）试证明小球平抛运动的水平位移总小于
（3）平抛运动
解得
则，得证
4．（2011上海）以初速为，射程为的平抛运动轨迹制成一光滑轨道。一物体由静止开始从轨道顶端滑下，当其到达轨道底部时，物体的速率为 ，其水平方向的速度大小为 。
5.（2011重庆）（18分）如题24图所示，静置于水平地面的三辆手推车沿一直线排列，质量均为m，人在极短的时间内给第一辆车一水平冲量使其运动，当车运动了距离L时与第二辆车相碰，两车以共同速度继续运动了距离L时与第三车相碰，三车以共同速度又运动了距离L时停止。车运动时受到的摩擦阻力恒为车所受重力的k倍，重力加速度为g,若车与车之间仅在碰撞时发生相互作用，碰撞时间很短，忽略空气阻力，求：
⑴整个过程中摩擦阻力 所做的总功；
⑵人给第一辆车水平冲量的大小；
⑶第一次与第二次碰撞系统动能损失之比。
⑶由①⑥解得………⑦
由④⑦解得………⑧
第一次碰撞系统动能损失………⑨
由③解得………⑩
由⑤解得………
第二次碰撞系统动能损失……………
第一次与第二次碰撞系统动能损失之比……………
6．（2011天津）（16分）如图所示，圆管构成的半圆形竖直轨道固定在水平地面上，轨道半径为R，MN为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球A以某一初速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点M时与静止于该处的质量与A相同的小球B发生碰撞，碰后两球粘在一起飞出轨道，落地点距N为2R。重力加速度为g，忽略圆管内径，空气阻力及各处摩擦均不计，求：
（1）粘合后的两球从飞出轨道到落地的时间t；
（2）小球A冲进轨道时速度v的大小。
7.（2011海南）如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆。ab为沿水平方向的直径。若在a点以初速度沿ab方向抛出一小球， 小球会击中坑壁上的c点。已知c点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径。
（2011·北京高考·T15）由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的
A. 质量可以不同 B. 轨道半径可以不同
C. 轨道平面可以不同 D. 速率可以不同
【2016考纲解读】
1．掌握万有引力定律的内容，并能够用万有引力定律求解相关问题。
2．理解第一宇宙速的意义。
3．了解第二宇宙速度和第三宇宙速度
【重点知识梳理】
一.开普勒运动定律（轨道、面积、比值）
(1)开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．
(2)开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．
(3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．
二.万有引力定律
(1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．
(2)公式：F＝G,其中，（称为为有引力恒量，由卡文特许扭称实验测出）。
(3)适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体,r是两球心间的距离．
注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理意义是：G在数值上等于质量均为1kg的两个质点相距1m时相互作用的万有引力．
三、万有引力和重力
重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m2g＝G, g=GM/r2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即gh=GM/（r+h）2，比较得gh=（）2·g
在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和m2g刚好在一条直线上，则有
F＝F向＋m2g，
所以m2g=F一F向＝G－m2Rω自2因地球目转角速度很小G? m2Rω自2,所以m2g= G
假设地球自转加快，即ω自变大，由m2g＝G－m2Rω自2知物体的重力将变小，当G=m2Rω自2时，m2g=0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω自＝，比现在地球自转角速度要大得多.
四.天体表面重力加速度问题
设天体表面重力加速度为g,天体半径为R，由mg=得g=,由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为
五．天体质量和密度的计算
原理：天体对它的卫星（或行星）的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力．
G=mr，由此可得：M=；ρ===（R为行星的半径）
由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r及运行周期T，就可以算出天体的质量M．若知道行星的半径则可得行星的密度。
【高频考点突破】
考点1 万有引力定律基本公式的理解
例1、如图所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？

解析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和．其中完整的均质球体对球外质点m的引力这个引力可以看成是：m挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F1与半径为R/2的小球对质点的引力F2之和，即F=F1+F2．因半径为R/2的小球质量M/为.
考点二、与天体有关的估算问题
例2、中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备。设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A.计时表一只，B.弹簧秤一把，C.已知质量为m的物体一个，D.天平一只（附砝码一盒）。在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用时间为t，飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行第二次测量，科学家利用上述两次测量数据便可计算出月球的半径和质量。若已知万有引力常量为G，则：
（1）简述机器人是如何通过第二次测量物体在月球所受的重力F。
（2）试利用测量数据（用符号表示）球月球的半径和质量。
考点三. 描述天体运动的物理量之间的关系、 卫星变轨问题
例3、 “嫦娥一号”探月卫星以圆形轨道绕月飞行，卫星将获取的信息以微波信号发回地球，假设卫星绕月的轨道平面与地月连心线共面，各已知物理量如表中所示：
地球质量
月球质量
地球半径
月球半径
月球表面
重力加速度
月球绕地轨道半径
卫星绕月轨道半径
M
m
Ｒ
R1
g1
r
r1
（1）嫦娥一号在奔月过程中受地球和月球引力相等时离月球面的高度为多少？
（2）嫦娥一号绕月球一周所用的时间为多少？
【变式探究】我国研制的“嫦娥一号”卫星于2007年10月24日18时由长征三甲运载火箭发射升空，星箭分离后在远地点做了一次变轨，进入到16小时轨道，然后分别在16小时、24小时（停泊轨道）、48小时轨道（调相轨道）轨道近地点，各进行了一次变轨，其中在调相轨道近地点变轨后，“嫦娥一号”卫星进入地月转移轨道正式奔月，下列说法中正确的是（　　）
A．“嫦娥一号”由24小时轨道变为48小时轨道时应让其发动机在A点点火向后喷气
B．“嫦娥一号”由24小时轨道变为48小时轨道时应让其发动机在B点点火向后喷气
C．“嫦娥一号”沿24小时轨道在B点的速度大于沿24小时轨道在A点的速度
D．“嫦娥一号”沿48小时轨道在B点的加速度大于沿24小时轨道在B点的加速度
考点四 万有引力与重力的关系、“黄金代换”关系
例4、我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度．以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动。试求出月球绕地球运动的轨道半径。
（2）若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方h高处以速度v0水平抛出一个小球，小球落回到月球表面的水平距离为s。已知月球半径为R月，万有引力常量为G。试求出月球的质量M月。
【经典考题精析】
1．（2014·山东卷） 2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图所示，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为g月．以月面为零势能面，“玉兔”在h高度的引力势能可表示为Ep＝，其中G为引力常量，M为月球质量．若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为(　　)
A.(h＋2R) B.(h＋R)
C. D.
2．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是(　　)
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径(AU)
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
A.各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
3．（2014·新课标Ⅱ卷） 假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为(　　)
A. B.
C. D.
4．（2014·广东卷） 如图13所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是(　　)
A．轨道半径越大，周期越长
B．轨道半径越大，速度越大
C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
【答案】AC　【解析】根据G＝mR，可知半径越大则周期越大，故选项A正确；根据G＝
5．（2014·福建卷Ⅰ] 若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的(　　)
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
6．（2014·新课标Ⅱ卷） 假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为(　　)
A. B.
C. D.
7．（2014·浙江卷） 长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于(　　)
A．15天 B．25天 C．35天 D．45天
【答案】B　【解析】本题考查开普勒第三定律、万有引力定律等知识．根据开普勒第三定律＝，代入数据计算可得T2约等于25天．选项B正确．
8．（2014·天津卷） 研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比(　　)
A．距地面的高度变大
B．向心加速度变大
C．线速度变大
D．角速度变大
【答案】A　【解析】本题考查万有引力和同步卫星的有关知识点，根据卫星运行的特点“高轨、低速、长周期”可知周期延长时，轨道高度变大，线速度、角速度、向心加速度变小，A正确，B、C、D错误．
9．(15分)（2014·重庆卷） 题7图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图，首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月球表面高度为h1处悬停(速度为0，h1远小于月球半径)；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h2处的速度为v；此后发动机关闭，探测器仅受重力下落到月面，已知探测器总质量为m(不包括燃料)，地球和月球的半径比为k1，质量比为k2，地球表面附近的重力加速度为g，求：
题7图
(1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小；
(2)从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化．
(2)设机械能变化量为ΔE，动能变化量为ΔEk，重力势能变化量为ΔEp.
由ΔE＝ΔEk＋ΔEp
有ΔE＝m(v2＋)－mgh1
得ΔE＝mv2－mg(h1－h2)
10．（2014·四川卷） 石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物资交换．
(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1的同步轨道站，求轨道站内质量为m1的货物相对地心运动的动能．设地球自转角速度为ω，地球半径为R.
(2)当电梯仓停在距地面高度h2＝4R的站点时，求仓内质量m2＝50 kg的人对水平地板的压力大小．取地面附近重力加速度g取10 m/s2，地球自转角速度ω＝7.3×10－5 rad/s，地球半径R＝6.4×103 km.

(2)设地球质量为M，人相对地心的距离为r2，向心加速度为an，受地球的万有引力为F，则
r2＝R＋h2⑤
an＝ω2r2⑥
F＝⑦
g＝⑧
设水平地板对人的支持力大小为N，人对水平地板的压力大小为N′，则
F－N＝m2an⑨
N′＝N⑩
联立⑤～⑩式并代入数据得　　N′＝11.5 N
11．（2014·全国卷） 已知地球的自转周期和半径分别为T和R，地球同步卫星A的圆轨道半径为h，卫星B沿半径为r(r＜h)的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同．求：
(1)卫星B做圆周运动的周期；
(2)卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔(信号传输时间可忽略)．

（2013·安徽卷）质 量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为Ep＝－，其中G为引力常量，M为地球质量．该卫星原来在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为(　　)
A．GMm(－) B．GMm(－)
C.(－) D.(－)
（2013·全国卷）“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km，利用以上数据估算月球的质量约为(　　)
A．8.1×1010kg　　　　　B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
（2013·福建卷）设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足(　　)
A．GM＝　　　B．GM＝
C．GM＝　　　D．GM＝
【答案】A　
【解析】行星绕太阳公转，由万有引力提供向心力，即G＝mr，解得GM＝，A正确．
（2013·福建卷）一束由红、紫两色光组成的复色光，从空气斜射向玻璃三棱镜．下面四幅图中能正确表示该复色光经三棱镜折射分离成两束单色光的是(　　)
【答案】B　
【解析】由于紫光的折射率大于红光，进入玻璃时紫光的折射角较小，因此在玻璃中光线分成两束且紫光在上方，B正确．
（2013·江苏卷）火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
（2013·新课标全国卷Ⅰ）2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是(　　)
A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加
C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低
D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
【答案】BC
【解析】只要是绕地球运行的天体，其运行速率必定小于第一宇宙速度，故A错误；如不加干预，由于轨道处稀薄大气的阻力，则天宫一号的速率减小而做向心运动，当达到新的轨道而万有引力又重新能提供向心力时，天宫一号在新的轨道做圆周运动，此时轨道高度降低，运行的速率增大，故B、C正确；天宫一号中的航天员不是不受地球引力，而是地球引力全部充当向心力，故D错误．
（2013·山东卷）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　)
A.T　 　　　B.T　
C.T　 D.T
（2013·四川卷）迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“G1－581c”却很值得我们期待．该行星的温度在0 ℃到40 ℃之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日．“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍．设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则(　　)
A．在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同
B．如果人到了该行星，其体重是地球上的2倍
C．该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的倍
D．由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短
（2013·天津卷） (18分)(1)“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行，标志着我国探月工程的第一阶段已经完成．设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为h，已知月球的质量为M、半径为R，引力常量为G，则卫星绕月球运动的向心加速度a＝________，线速度v＝________．
（2013·浙江卷）如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是(　　)
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
（2013·福建卷）如图，实验室一台手摇交流发电机，内阻 r＝1.0 Ω，外接R＝9.0 Ω的电阻．闭合开关S，当发电机转子以某一转速匀速转动时，产生的电动势e＝10 sin10πt(V)，则(　　)
A．该交变电流的频率为10 Hz
B．该电动势的有效值为10  V
C．外接电阻R所消耗的电功率为10 W
D．电路中理想交流电流表A的示数为1.0 A
（2012?重庆）冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的(　　)
A．轨道半径约为卡戎的 B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的7倍 D．向心力大小约为卡戎的7倍
（2012·广东）21.如图6所示，飞船从轨道1变轨至轨道2。若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的　( )
A.动能大　　　
B.向心加速度大　　　　　
C.运行周期长　　　　　
D.角速度小
【答案】CD。
【解析】由万有引力定律及向心力公式得，由题知，由此可知，则，A错。，则，B错。，则，D对。，则，C对。
【考点定位】万有引力
（2012·山东）15．2012年11月3日，“神州八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神州九号”交会对接。变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为、。则等于（ 　 ）
A． B． C． D．
（2012·安徽）14.我国发身的“天宫一号”和“神州八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350km, “神州八号”的运行轨道高度为343km.它们的运行轨道均视为圆周，则 （ ）
A．“天宫一号”比“神州八号”速度大 B．“天宫一号”比“神州八号”周期长
C．“天宫一号”比“神州八号”角速度大 D．“天宫一号”比“神州八号”加速度大
11. （2012·海南）地球同步卫星到地心的距离r可用地球质量M、地球自转周期T与引力常量G表示为r= 。
（2012·福建）16、一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为，已知引力常量为G,则这颗行星的质量为
A． B.
C． D.
（2012·江苏）8. 2012 年8 月,“嫦娥二号冶成功进入了环绕“日地拉格朗日点冶的轨道,我国成为世界上第三个造访该点的国家. 如图所示,该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上,一飞行器处于该点,在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动,则此飞行器的
(A) 线速度大于地球的线速度
(B) 向心加速度大于地球的向心加速度
(C) 向心力仅由太阳的引力提供
(D) 向心力仅由地球的引力提供
（2012·浙江）15、如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是
A.太阳对小行星的引力相同
B.各小行星绕太阳运动的周期小于一年
C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于小行星带外侧小行星的向心加速度值
D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于 地球公转的线速度值
（2012·天津）3． 一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的
A．向心加速度大小之比为4：1
B．角速度大小之比为2：1
C．周期之比为1：8
D．轨道半径之比为1：2
（2012·四川）15．今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×m，它与另一颗同质量的同步轨道卫星（轨道半径为4.2×m）相比
A．向心力较小 B．动能较大
C．发射速度都是第一宇宙速度 D．角速度较小
【答案】B【解析】根据万有引力定律F 可知，半径越小万有引力越大，A错误。卫星绕地球做圆周
运动，则，可得卫星的线速度v，半径越小线速度越大，则动能越大，B正确。第一宇宙速度是最小发射速度，以第一宇宙速度发射的卫星轨道半径为地球半径6.4×km，中圆轨道卫星和同步卫星发射速度都大于第一宇宙速度，C错误。由，可得卫星的角速度，半径越小角速度越大，D错误。
【考点定位】本题考查人造卫星的发射，卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度、角速度和向心力。
（2012·北京）18．关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是
A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期
B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率
C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同
D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合
（2012·全国新课标卷）21.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为
A. B. C. D.
【考点定位】本考点主要考查万有引力定律及其计算以及题目信息的提取与理解。
（2012·全国新课标卷）14.伽利略根据小球在斜面上运动的实验和理想实验，提出了惯性的概念，从而奠定了牛顿力学的基础。早期物理学家关于惯性有下列说法，其中正确的是
A.物体抵抗运动状态变化的性质是惯性
B.没有力作用，物体只能处于静止状态
C.行星在圆周轨道上保持匀速率运动的性质是惯性
D.运动物体如果没有受到力的作用，将继续以同一速度沿同一直线运动
1.（2011全国）我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比
A．卫星动能增大，引力势能减小
C．卫星动能减小，引力势能减小
B．卫星动能增大，引力势能增大
D．卫星动能减小，引力势能增大
2．（2011福建）“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常数G，半径为R的球体体积公式V=πR3，则可估算月球的
A.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期
答案：A
3．（2011北京）由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的
A．质量可以不同 B．轨道半径可以不同
C．轨道平面可以不同 D．速率可以不同
4.（2011广东）已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G，有关同步卫星，下列表述正确的是：
A、卫星距地面的高度为
B、卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C、卫星运行时受到的向心力大小为
D、卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
5．（2011山东）甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是
A.甲的周期大于乙的周期
B.乙的速度大于第一宇宙速度
C.甲的加速度小于乙的加速度
D.甲在运行时能经过北极的正上方
答案：AC
6．（2011江苏）一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则
A．恒星的质量为 B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为 D．行星运动的加速度为
7．（2011天津）质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的
A．线速度 B．角速度 C．运行周期 D．向心加速度
【解析】万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，代入相关公式即可
【答案】AC
8．（2011四川）据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55Cancri e”该行星绕母星（中心天体）运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的
A.轨道半径之比约为 B. 轨道半径之比约为2
C.向心加速度之比约为2 D. 向心加速度之比约为
9.（2011重庆）某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如题21图所示。该行星与地球的公转半径比为
A． B.
C． D.
10．（2011浙江）为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2则（ ）
A. X星球的质量为
B. X星球表面的重力加速度为
C. 登陆舱在与轨道上运动是的速度大小之比为
D. 登陆舱在半径为轨道上做圆周运动的周期为
【答案】AD
【解析】根据、，可得、，故A、D正确；登陆舱在半径为的圆轨道上运动的向心加速度，此加速度与X星球表面的重力加速度并不相等，故C错误；根据，得，则，故C错误。
11．（2011新课标）卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送。如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105km）（ ）
A.0.1s
B.0.25s
C.0.5s
D.1s
12．（2011上海）B．人造地球卫星在运行过程中由于受到微小的阻力，轨道半径将缓慢减小。在此运动过程中，卫星所受万有引力大小将 (填“减小”或“增大”)；其动能将 (填“减小”或“增大”)。
13.（2011海南）2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多颗地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS导航系统的依赖，GPS由运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗星的同步卫星和GPS导航卫星的轨道半径分别为和，向心加速度分别为和，则=_______。=_____（可用根式表示）
又，得，所以
14.（2011安徽）（14分）
（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为M太。
（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为3.84×108m，月球绕地球运动的周期为2.36×106S，试计算地球的质M地。（G=6.67×10-11Nm2/kg2，结果保留一位有效数字）
1、（2010·全国卷2）21.已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为
A．6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时
【答案】B
【解析】地球的同步卫星的周期为T1=24小时，轨道半径为r1=7R1，密度ρ1。某行星的同步卫星周期为T2，轨道半径为r2=3.5R2，密度ρ2。根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有


两式化简得小时
2、（2010·江苏卷）6、2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有 （ ）
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
3、（2010·山东卷）18．1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点和运地点的高度分别为439km和2384km，则
A．卫星在点的势能大于点的势能
B．卫星在点的角速度大于点的角速度
C．卫星在点的加速度大于点的加速度
D．卫星在点的速度大于7．9km/s
答案：BC
4、（2010·重庆卷）16.月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成 的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为
A 1：6400 B 1：80
C 80：1 D 6400：1
【2016考纲解读】
1．掌握万有引力定律的内容，并能够用万有引力定律求解相关问题。
2．理解第一宇宙速的意义。
3．了解第二宇宙速度和第三宇宙速度
【重点知识梳理】
一、卫星的绕行角速度、周期与高度的关系
（1）由，得，∴当h↑，v↓
（2）由G=mω2（r+h），得ω=，∴当h↑，ω↓
（3）由G，得T= ∴当h↑，T↑
二、三种宇宙速度：
第一宇宙速度（环绕速度）：v1=7.9km/s，人造地球卫星的最小发射速度。也是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度。
第二宇宙速度（脱离速度）：v2=11.2km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=16.7km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
三、第一宇宙速度的计算．
方法一：地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力．
G=m，v=。当h↑，v↓，所以在地球表面附近卫星的速度是它运行的最大速度。其大小为r＞＞h（地面附近）时，=7．9×103m/s
方法二：在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力．
．当r＞＞h时．gh≈g 所以v1＝=7．9×103m/s
第一宇宙速度是在地面附近h＜＜r，卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度．
四、两种最常见的卫星
⑴近地卫星。
近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，由式②可得其线速度大小为v1=7.9×103m/s；由式③可得其周期为T=5.06×103s=84min。由②、③式可知，它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。
神舟号飞船的运行轨道离地面的高度为340km，线速度约7.6km/s，周期约90min。
⑵同步卫星。
“同步”的含义就是和地球保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期，即T=24h。由式G=m= m（r+h）可得，同步卫星离地面高度为 h＝－r＝3·58×107 m即其轨道半径是唯一确定的离地面的高度h=3.6×104km，而且该轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致即由西向东。如果仅与地球自转周期相同而不定点于赤道上空，该卫星就不能与地面保持相对静止。因为卫星轨道所在平面必然和地球绕日公转轨道平面重合，同步卫星的线速度 v==3.07×103m/s　　
通讯卫星可以实现全球的电视转播，从图可知，如果能发射三颗相对地面静止的卫星（即同步卫星）并相互联网，即可覆盖全球的每个角落。由于通讯卫星都必须位于赤道上空3.6×107m处，各卫星之间又不能相距太近，所以，通讯卫星的总数是有限的。设想在赤道所在平面内，以地球中心为圆心隔50放置一颗通讯卫星，全球通讯卫星的总数应为72个。
五.了解不同高度的卫星飞行速度及周期的数据
卫星飞行速度及周期仅由距地高度决定与质量无关。设卫星距地面高度为h，地球半径为R，地球质量为M，卫星飞行速度为v，则由万有引力充当向心力可得v=[GM/（R+h）]?。知道了卫星距离地面的高度，就可确定卫星飞行时的速度大小。
不同高度处人造地球卫星的环绕速度及周期见下表：
高度(km)
0
300
500
1000
3000
5000
35900（同步轨道）
38000（月球轨道）
环绕速度(km/s)
7.91
7 .73
7. 62
7.36
6.53
5.29
2.77
0.97
周期（分）
84.4
90 .5
94.5
105
150
210
23小时56分
28天
六、卫星的超重和失重
（1）卫星进入轨道前加速过程，卫星上物体超重．(2)卫星进入轨道后正常运转时，卫星上物体完全失重．
七、人造天体在运动过程中的能量关系
当人造天体具有较大的动能时，它将上升到较高的轨道运动，而在较高轨道上运动的人造天体却具有较小的动能。反之，如果人造天体在运动中动能减小，它的轨道半径将减小，在这一过程中，因引力对其做正功，故导致其动能将增大。
同样质量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同。其中卫星的动能为，由于重力加速度g随高度增大而减小，所以重力势能不能再用Ek=mgh计算，而要用到公式（以无穷远处引力势能为零，M为地球质量，m为卫星质量，r为卫星轨道半径。由于从无穷远向地球移动过程中万有引力做正功，所以系统势能减小，为负。）因此机械能为。同样质量的卫星，轨道半径越大，即离地面越高，卫星具有的机械能越大，发射越困难。
八、相关材料
I．人造卫星做圆轨道和椭圆轨道运行的讨论
当火箭与卫星分离时，设卫星的速度为v（此即为发射速度），卫星距离地心为r,并设此时速度与万有引力垂直（通过地面控制可以实现）如图所示，则，若卫星以v绕地球做圆周运动，则所需要的向心力为：F向＝
当F万=F向时，卫星将做圆周运动．若此时刚好是离地面最近的轨道，则可求出此时的发射速度
v＝7.9 km/s.
②当F万＜F向时，卫星将做离心运动，做椭圆运动，远离地球时引力做负功，卫星动能转化为引力势能．（神州五号即属于此种情况）
③当F万＞F向时，卫星在引力作用下，向地心做椭圆运动，若此时发生在最近轨道，则v＜7.9 km/s，卫星将坠人大气层烧毁。
因此：星箭分离时的速度是决定卫星运行轨道的主要条件．
2.人造卫星如何变轨
卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术．
以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：如图所示，在轨道A点，万有引力FA＞，要使卫星改做圆周运动，必须满足FA＝和FA⊥v，在远点已满足了FA⊥v的条件，所以只需增大速度，让速度增大到＝FA，这个任务由卫星自带的推进器完成．
这说明人造卫星要从椭圆轨道变到大圆轨道，只要在椭圆轨道的远点由推进器加速，当速度达到沿圆轨道所需的速度，人造卫星就不再沿椭圆轨道运动而转到大圆轨道．“神州五号”就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的．
九、万有引力及应用
1、基本方法：卫星或天体的运动看成匀速圆周运动, F心=F万 (类似原子模型)
2、方法：F引=G= F心= ma心= m2 R= mm4n2 R
地面附近：G= mg GM=gR2 (黄金代换式)
轨道上正常转：G= m
G=mr = m M= T2=
（M=V球=r3） s球面=4r2 s=r2 (光的垂直有效面接收，球体推进辐射) s球冠=2Rh
3、理解近地卫星：来历、意义 万有引力≈重力=向心力、 r最小时为地球半径、
最大的运行速度=v第一宇宙=7.9km/s (最小的发射速度)；T最小=84.8min=1.4h
4、同步卫星几个一定：三颗可实现全球通讯(南北极有盲区)
轨道为赤道平面 T=24h=86400s 离地高h=3.56ｘ104km(为地球半径的5.6倍)
V=3.08km/s﹤V第一宇宙=7.9km/s (=15o/h(地理上时区) a=0.23m/s2
5、卫星的能量：(类似原子模型)
r增v减小(EK减小6、 应该熟记常识：地球公转周期1年, 自转周期1天=24小时=86400s, 地球表面半径6.4ｘ103km 表面重力加速度g=9.8 m/s2 月球公转周期30天。
【高频考点突破】
考点一、同步卫星问题
同步卫星是指运行期与地球自转周期相等的地球卫星．这里所说的“静止”是相对地球静止．同步卫星只能处于赤道面上．如图5-3-3所示，若同步卫星位于赤道平面的上方或下方，则地球对它的万有引力Fa或Fb的一个分力Fa1或Fb1是它环绕地球的向心力，另一个分Fa2或Fb2将使卫星向赤道平面运动．这样，同步卫星在环绕地球运动的同时，将会在赤道附近振动，从而卫星与地球不能同步．

因此同步卫星的周期等于地球自转的周期是一定的，所以同步卫星离地面的高度也是一定的．
【例1】已知地球半径R=6.4×106m，地球质量M=6.0×1024kg，地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，第一宇宙速度v1=7.9×103m/s。若发射一颗地球同步卫星，使它在赤道上空运转，其高度和速度应为多大？
解联立方程得：
【点拨】根据万有引力提供向心力列式求解，是解决此类问题的基本思路。在本题中又可以用地面重力加速度、第一宇宙速度这些已知量做相应代换。本题计算得到的同步卫星运行速度为3.1×103m/s，比第一宇宙速度v1=7.9×103m/s小得多。第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，同步卫星是在高空中做匀速圆周运动，它的速度小于第一宇宙速度。同步卫星发射时的速度大于第一宇宙速度，一开始做大椭圆轨道运动，随后在高空中进行调整最后进入同步轨道做匀速圆周运动，速度比第一宇宙速度小。
【变式探究】我国发射的宇宙飞船的周期约为90min，如果把它绕地球的运动看做是匀速圆周运动，飞船的运动和人造地球同步卫星的运动相比，假设它们质量相等，下列判断中正确的是（ ）
A．飞船受到的向心力大于同步卫星受到的向心力
B．飞船的动能小于同步卫星的动能
C．飞船的轨道半径大于同步卫星的轨道半径
D．发射飞船过程需要的能量小于发射同步卫星过程需要的能量
，
可见轨道半径小的，线速度小，动能小。
【答案】ABD
二、能量问题及变轨道问题
只在万有引力作用下，卫星绕中心体转动机械能守恒.这里的机械能包括卫星的动能、卫星(与中心体)的引力势能．离中心星体近时速度大, 离中心星体远时速度小.
如果存在阻力或开动发动机等情况，机械能将发生变化，引起卫星转轨问题．
发射人造卫星时，先将人造卫星发射至近地的圆周轨道上运动，然后经再次启动发动机使卫星改在椭圆轨道上运动，最后定点在一定高度的圆周轨道上运动．
【例2】我国成功地发射的载人飞船，经过21 小时的太空飞行，返回舱于次日安全返回．已知飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆．椭圆的一个焦点是地球的球心，如图4-6-2所示，飞船在飞行中是无动力飞行，只受地球引力作用，在飞船从轨道A 点沿箭头方向运行到B点的过程中，有以下说法正确的是（ ）
①飞船的速度逐渐增大
②飞船的速度逐渐减小
③飞船的机械能EA=EB
④飞船的机械能EA < EB
A．② ④ B．② ③
C．① ④ D．① ③
【变式探究】设一号飞船在离地h高处环绕地球做匀速圆周运动，其动能为Ek，重力势能为Ep，二号飞船在离地2h高处环绕地球做匀速圆周运动，其动能为Ekˊ，重力势能为Epˊ，两飞船质量相等，则下列关系正确的是：
A．Ek< Ekˊ B．Ep> Epˊ
C．Ek+Ep< Ekˊ+ Epˊ D．Ek+Ep= Ekˊ+ Ep’
【解析】根据万有引力提供向心力，则有：


解得：

而，∴A错
飞船由h处变轨到2h处需有外力对飞船做正功，所以，当飞船在2h处飞行时的机械能大于在h处飞行时的机械能。故BD错。
【答案】C
三、星球的自转问题
根据万有引力定律与牛顿定律，我们可以区分随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度的不同．放在地面上的物体随地球自转的向心加速是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供．而环绕环绕地球运行的向心加速度完全由地球对其的引力提供．对应的计算方法也不同．
【例3】地球赤道上有一物体随地球自转而做圆周运动，所受到的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略）所受到的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受到的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则（ ）
A．F1=F2>F3　　　　　B．a1=a2=g>a3
C．v1=v2=v>v3　　　　 D．ω1=ω3<ω2
【解析】放在地面上的物体随地球自转的向心加速是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供．而环绕环绕地球运行的向心加速度完全由地球对其的引力提供．对应的计算方法也不同．
设地球自转的角速度为，R为地球的半径，物体在赤道上随地球自转和地球同步卫星相比
角速度
线速度21世纪教育网
向心力
向心加速度．
绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星和地球同步卫星相比




【答案】D
四、三种宇宙速度的应用
【例4】右图4-6-3是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是
A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关
C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D．在绕圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
【经典考题精析】
1．（2014·山东卷） 2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图所示，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为g月．以月面为零势能面，“玉兔”在h高度的引力势能可表示为Ep＝，其中G为引力常量，M为月球质量．若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为(　　)
A.(h＋2R) B.(h＋R)
C. D.
2．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是(　　)
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径(AU)
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
A.各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
3．（2014·广东卷） 如图13所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是(　　)
A．轨道半径越大，周期越长
B．轨道半径越大，速度越大
C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
4．（2014·福建卷Ⅰ] 若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的(　　)
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
【答案】C　【解析】由G＝m可知，卫星的环绕速度v＝，由于“宜居”行星的质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则有＝＝＝，故C项正确．
5．（2014·浙江卷） 长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于(　　)
A．15天 B．25天 C．35天 D．45天
6．（2014·天津卷） 研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比(　　)
A．距地面的高度变大
B．向心加速度变大
C．线速度变大
D．角速度变大
【答案】A　【解析】本题考查万有引力和同步卫星的有关知识点，根据卫星运行的特点“高轨、低速、长周期”可知周期延长时，轨道高度变大，线速度、角速度、向心加速度变小，A正确，B、C、D错误．
7．(15分)（2014·重庆卷） 题7图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图，首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月球表面高度为h1处悬停(速度为0，h1远小于月球半径)；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h2处的速度为v；此后发动机关闭，探测器仅受重力下落到月面，已知探测器总质量为m(不包括燃料)，地球和月球的半径比为k1，质量比为k2，地球表面附近的重力加速度为g，求：
题7图
(1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小；
(2)从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化．
【答案】(1)g　　(2)mv2－mg(h1－h2)
8．（2014·四川卷） 石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物资交换．
(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1的同步轨道站，求轨道站内质量为m1的货物相对地心运动的动能．设地球自转角速度为ω，地球半径为R.
(2)当电梯仓停在距地面高度h2＝4R的站点时，求仓内质量m2＝50 kg的人对水平地板的压力大小．取地面附近重力加速度g取10 m/s2，地球自转角速度ω＝7.3×10－5 rad/s，地球半径R＝6.4×103 km.
【答案】(1)m1ω2(R＋h1)2　(2)11.5 N
【解析】(1)设货物相对地心的距离为r1，线速度为v1，则
r1＝R＋h1①
v1＝r1ω②
货物相对地心的动能为　Ek＝m1v③
联立①②③得　　　Ek＝m1ω2(R＋h1)2④
9．（2014·全国卷） 已知地球的自转周期和半径分别为T和R，地球同步卫星A的圆轨道半径为h，卫星B沿半径为r(r＜h)的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同．求：
(1)卫星B做圆周运动的周期；
(2)卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔(信号传输时间可忽略)．

(2)设卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔为τ；
【2016考纲解读】
功和功率的分析和计算是高考考查的一个重点，解决此类问题必须抓准物理实质，建立相关物理模型，对考生能力要求比较高。对功率问题尤其是机车牵引力的功率，应处理好机车以额定功率起动和以恒定牵引力起动过程中加速度、速度随时间变化的关系，特别是对以恒定牵引力起动，开始一段时间机车做匀加速直线运动，功率增大到额定功率时，牵引力将减少，速度增加，最后机车将做匀速运动。在学习中，有必要了解两种情况下对应的图象的区别和联系。
【重点知识梳理】
一、功和功的计算
1．功的定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，就说这个力对物体做了功。
2．做功的两个必要因素：力和物体在力的方向上发生的位移，缺一不可。
如图甲所示，举重运动员举着杠铃不动时，杠铃没有发生位移，举杠铃的力对杠铃没有做功。如图乙所示，足球在水平地面上滚动时，重力对球做的功为零。
3．功的物理意义：功是能量变化的量度。
能量的转化跟做功密切相关，做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功就有多少能量发生了转化，功是能量转化的量度。
4．公式：（1）当恒力F的方向与位移l的方向一致时，力对物体所做的功为W = Fl。
（2）当恒力F的方向与位移l的方向成某一角度时，力F物体所做的功为．即力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移的夹角的余弦这三者的乘积。
5．功是标量，但有正负。
功的单位由力的单位和位移的单位决定。在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。
一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功（取绝对值）。这两种说法在意义上是相同的。例如竖直向上抛出的球，在向上运动的过程中，重力对球做了－6J的功，可以说成球克服重力做了6J的功。
由，可以看出：
（1）当=0时，，即，力对物体做正功；
（2）当时，，力对物体做正功。
（1）（2）两种情况都是外界对物体做功。
（3）当时，力与位移垂直，，即力对物体不做功，即外界和物体间无能量交换；
（4）当时，，力对物体做负功；
（5）当时，，此时，即力的方向与物体运动位移的方向完全相反，是物体运动的阻力。
（4）（5）两种情况都是物体对外界做功。
4．合力的功
当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力的合力对物体所做的功，等于各个力分别对物体所做功的代数和。
求合力的功可以先求各个力所做的功，再求这些力所做功的代数和；也可先求合外力，再求合外力的功；也可用动能定理求解。
二、 功率
1．功率是描述力做功快慢的物理量，是功与所用时间的比值。
定义式 ①
导出式②（其中中F和v两矢量的夹角）
①式中求出的P为平均功率，若功率一直不变，亦为瞬时功率。②式中若v为平均速率，则P为平均功率；若v为瞬时速率，则P为瞬时功率。一般情况下，求平均功率使用，求瞬时功率使用。.
2．功率的单位是瓦特。
3．额定功率和实际功率
额定功率是指任意机械在正常条件下可以长时间工作而不损坏机械的最大输出功率，实际功率是指机械实际工作时的功率。
一般情况下，实际功率可以小于或等于额定功率，而在特殊情况下实际功率可以超过额定功率，只能是较短时间，但尽量避免。
4．力的功率：当力F和速度v在一条直线上，力的功率；当F与v垂直，则F的功率P=0；当F与v成任意夹角，则F的功率
【高频考点突破】
考点一 功与功的计算
功是力对空间位移的积累。它和位移相对应（也和时间相对应）。计算功的常用方法有三种：
（1）按照定义求功。即：W=Fscosθ。 在高中阶段，这种方法只适用于恒力做功。
（2）用动能定理W=ΔEk求功。当F为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功。这里求得的功是该过程中外力对物体做的总功（或者说是合外力做的功）。我们将在下一讲重点讲解。
（3）功能关系。功是能量转化的量度。要注意分析参与转化的能量的形式。
【例1】如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置。在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。在此过程中，拉力F做的功各是多少？
A.
B.
C.
D.
⑴用F缓慢地拉 （ ）
⑵F为恒力 （ ）
⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零 ( )
解析：⑴若用F缓慢地拉，则显然F为变力，只能用动能定理求解。F做的功等于该过程克服重力做的功。选D
⑵若F为恒力，则可以直接按定义求功。选B
⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的。选B、D
【例2】用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升。如果前后两过程的运动时间相同，不计空气阻力，则（ ）
A．加速过程中拉力做的功比匀速过程中拉力做的功大
B．匀速过程中拉力做的功比加速过程中拉力做的功大
C．两过程中拉力做的功一样大
D．上述三种情况都有可能
考点二 一对作用力和反作用力做功的特点
（1）一对作用力和反作用力在同一段时间内，可以都做正功、或者都做负功，或者一个做正功、一个做负功，或者都不做功。
（2）一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为正、可能为负、也可能为零。
（3）一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩擦力）、可能为负（滑动摩擦力），但不可能为正。
【例3】?关于力对物体做功，以下说法正确的是（ ）
A．一对作用力和反作用力在相同时间内做的功一定大小相等，正负相反
B．不论怎样的力对物体做功，都可以用W=Fscosα
C．合外力对物体不作功，物体必定做匀速直线运动
D．滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做正功或负功
考点三 功率的分析与计算
功率是描述做功快慢的物理量。
⑴功率的定义式：，所求出的功率是时间t内的平均功率。
⑵功率的计算式：P=Fvcosθ，其中θ是力与速度间的夹角。该公式有两种用法：①求某一时刻的瞬时功率。这时F是该时刻的作用力大小，v取瞬时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率；②当v为某段位移（时间）内的平均速度时，则要求这段位移（时间）内F必须为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率。
⑶重力的功率可表示为PG=mgvy，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度之积。
【例4】从空中以10m/s的初速度平抛一个质量为1kg的物体，物体在空中运动了3s后落地，不计空气阻力，取g=10m/s2，求物体3s内重力的平均功率和落地时的瞬时功率。
解析：物体做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，落地时竖直分速度m/s
物体落地时重力的瞬时功率为P=mgvy=300W
3s内重力的平均功率为mgvy=150W
考点四 机车的两种启动问题
当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都是P=Fv和F-f = ma
（1）恒定功率的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，随着v的增大，F必将减小，a也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v达到最大值。可见恒定功率的加速一定不是匀加速。这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算（因为F为变力）。
（2）恒定牵引力的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率Pm，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，其最大速度为，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=F(s计算，不能用W=P(t计算（因为P为变功率）。
要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。
【例5】一列火车总质量M=500 t，机车发动机的额定功率P=6×105 W，在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力Ff是车重的0.01倍，求：
（1）火车在水平轨道上行驶的最大速度；
（2）在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v1=1 m/s和v2=10 m/s时，列车的瞬时加速度a1、a2各是多少；
（3）在水平轨道上以36 km/h速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′；
（4）若火车从静止开始，保持0.5m/s2的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间。
考点五 正功和负工
1．如图5－1－1所示，小物块A位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平面上，从地面上看，小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力 (　　)
A．垂直于接触面，做功为零
B．垂直于接触面，做功不为零
C．不垂直于接触面，做功为零
D．不垂直于接触面，做功不为零
答案：B
【经典考题精析】
1．（2014·重庆卷）某车以相同的功率在两种不同的水平路面上行驶，受到的阻力分别为车重的k1和k2倍，最大速率分别为v1和v2，则(　　)
A．v2＝k1v1 B．v2＝v1 C．v2＝v1 D．v2＝k2v1
（2013·四川卷）(15分)近来，我国多个城市开始重点治理“中国式过马路”行为．每年全国由于行人不遵守交通规则而引发的交通事故上万起，死亡上千人．只有科学设置交通管制，人人遵守交通规则，才能保证行人的生命安全．
　　　
如图所示，停车线AB与前方斑马线边界CD间的距离为23 m．质量8 t、车长7 m的卡车以54 km/h的速度向北匀速行驶，当车前端刚驶过停车线AB，该车前方的机动车交通信号灯由绿灯变黄灯．
(1)若此时前方C处人行横道路边等待的行人就抢先过马路，卡车司机发现行人，立即制动，卡车受到的阻力为3×104 N．求卡车的制动距离；
(2)若人人遵守交通规则，该车将不受影响地驶过前方斑马线边界CD.为确保行人安全，D处人行横道信号灯应该在南北向机动车信号灯变黄灯后至少多久变为绿灯？
s2＝v0Δt
联立上式，代入数据解得Δt＝2 s
（2013·浙江卷） (22分)为了降低潜艇噪音，提高其前进速度，可用电磁推进器替代螺旋桨．潜艇下方有左、右两组推进器，每组由6个相同的、用绝缘材料制成的直线通道推进器构成，其原理示意图如下．在直线通道内充满电阻率ρ＝0.2 Ω·m的海水，通道中a×b×c＝0.3 m×0.4 m×0.3 m的空间内，存在着由超导线圈产生的匀强磁场，其磁感应强度B＝6.4 T、方向垂直通道侧面向外．磁场区域上、下方各有a×b＝0.3 m×0.4 m的金属板M、N，当其与推进器专用直流电源相连后，在两板之间的海水中产生了从N到M，大小恒为I＝1.0×103 A的电流，设该电流只存在于磁场区域．不计电源内阻及导线电阻，海水密度ρm≈1.0×103 kg/m3.
(1)求一个直线通道推进器内磁场对通电海水的作用力大小，并判断其方向．
(2)在不改变潜艇结构的前提下，简述潜艇如何转弯？如何“倒车”？
(3)当潜艇以恒定速度v0＝30 m/s前进时，海水在出口处相对于推进器的速度v＝34 m/s，思考专用直流电源所提供的电功率如何分配，求出相应功率的大小．
【解析】(1)将通电海水看成导线，所受磁场力
F＝IBL
代入数据得：F＝IBc＝1.0×103×6.4×0.3 N＝1.92 N
用左手定则判断磁场对海水作用力方向向右(或与海水出口方向相同)
(2)考虑到潜艇下方有左、右2组推进器，可以开启或关闭不同个数的左、右两侧的直线通道推进器，实施转弯．
（2012·上海）15．质量相等的均质柔软细绳A、B平放于水平地面，绳A较长。分别捏住两绳中点缓慢提起，直至全部离开地面，两绳中点被提升的高度分别为hA、hB，上述过程中克服重力做功分别为WA、WB。若 （ ）
（A）hA=hB，则一定有WA＝WB （B）hA>hB，则可能有WA（C）hAhB，则一定有WA>WB
【答案】B
【解析】设绳长为L，由于捏住两绳中点缓慢提起，因此重心在距最高点L/4位置处，因绳A较长。若hA=hB ，A的重心较低，WAhB 两根绳子重心无法知道谁高谁低，因此可能WAWB，因此B正确而C不对；若hA（2012·福建）17.如图，表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮（不计滑轮的质量和摩擦）。初始时刻，A、B处于同一高度并恰好静止状态。剪断轻绳后A下落、B沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块（ ）
A．速率的变化量不同
B．机械能的变化量不同
C．重力势能的变化量相同
D．重力做功的平均功率相同
（2011海南）一质量为1kg的质点静止于光滑水平面上，从t=0时起，第1秒内受到2N的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1N的外力作用。下列判断正确的是
A. 0～2s内外力的平均功率是W
B.第2秒内外力所做的功是J
C.第2秒末外力的瞬时功率最大
D.第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是
答案：AD
解析：第1s内，质点的加速度，位移，1s末的速度v1=a1t=2m/s，第1s内质点动能增加量；
（2011江苏）如图所示，演员正在进行杂技表演。由图可估算出他将一只鸡蛋抛出的过程中对鸡蛋所做的功最接近于
A．0.3J
B．3J
C．30J
D．300J
（2011上海）如图，一长为的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为的小球。一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度匀速转动，当杆与水平方向成60°时，拉力的功率为
(A) (B) (C) (D)
【答案】C.
【解析】匀速转动，动能不变，拉力的功率在数值上应等于重力的功率。为此，将线速度分解，分解为水平速度和竖直速度，重力的功率，所以拉力的功率
（2011新课标）一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是（ ABC ）
A. 运动员到达最低点前重力势能始终减小
B. 蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加
C. 蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D. 蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
（2011重庆）某汽车后备箱内安装有撑起箱盖的装置，它主要由气缸和活塞组成.开箱时，密闭于气缸内的压缩气体膨胀，将箱盖顶起，如题图所示.在此过程中，若缸内气体与外界无热交换，忽略气体分子间相互作用，则缸内气体
A.对外做正功，分子的平均动能减小 B. 对外做正功，内能增大
C. 对外做负功，分子的平均动能增大 D. 对外做负功，内能减小
（2011上海）如图，在竖直向下，场强为的匀强电场中，长为的绝缘轻杆可绕固定轴在竖直面内无摩擦转动，两个小球A、B固定于杆的两端，A、B的质量分别为和 ()，A带负电，电量为，B带正电，电量为。杆从静止开始由水平位置转到竖直位置，在此过程中电场力做功为 ，在竖直位置处两球的总动能为 。
（2010新课标卷）16.如图所示，在外力作用下某质点运动的v-t图象为正弦曲线.从图中可以判断
A、在时间内，外力做正功
B、在时间内，外力的功率逐渐增大
C、在时刻，外力的功率最大
D、在时间内，外力做的总功为零
（2010四川卷）23．(16分)质量为M的拖拉机拉着耙来耙地，由静止开始做匀加速直线运动，在时间t内前进的距离为s。耙地时，拖拉机受到的牵引力恒为F，受到地面的阻力为自重的k倍，耙所受阻力恒定，连接杆质量不计且与水平面的夹角θ保持不变。求：
(1)拖拉机的加速度大小。
(2)拖拉机对连接杆的拉力大小。
(3)时间t内拖拉机对耙做的功。
【答案】⑴
⑥

【2016考纲解读】
重力做功与重力势能 机械能守恒定律及其应用 功能关系学法指导：能量转化和守恒定律专题包括各种功能关系、机械能转化和守恒定律及能量转化和守恒定律．重力的功和重力势能、弹力的功和弹性势能等功能关系及用功能关系研究实际问题是高考热点．能的转化和守恒定律是分析、解决一般问题的重要方法，机械能守恒定律和能量守恒定律更是本单元的主干知识和重要规律，本单元知识密切联系生产和生活实际及现代科学技术，常与牛顿运动定律、曲线运动、电磁学问题综合考查．
【重点知识梳理】
一、势能
1．势能：与相互作用的物体的相对位置有关的能量叫做势能。包括重力势能、弹性势能以及分子势能等。
2．重力势能
（1）由物体所处位置的高度决定的能量称为重力势能，物体的质量越大，高度越高，它的重力势能越大。
（2）计算公式为，其中h为相对于参考平面的高度我们把重力势能为零的水平面叫做参考平面。由此看出重力势能是相对的。同一物体相对不同的参考平面的重力势能不同，其值可能为正，也可能为负，也可能为零，关键就看我们所选择的参考平面。其正负表示比参考平面高或低，参考平面的选取原则是要使我们所研究的问题达到最简化。
（3）重力势能是标量。其单位与功的单位相同，国际单位是焦耳（J）。
（4）重力做功与重力势能的关系可表示为，即重力对物体做了多少正功，物体的重力势能就减少多少；反之，重力做了多少负功，物体的重力势能就增加多少。
3．弹性势能：发生形变的物体，在恢复原状时都能够对外界做功，因而具有能量，这种能量叫做弹性势能。弹性势能的大小跟形变量的大小有关系。弹性势能的表达式是。
二、机械能守恒定律
1．机械能：动能和势能统称为机械能，即。
2．机械能守恒定律：在只有重力（和系统内弹簧弹力）做功的情形下，动能和重力势能（及弹性势能）发生相互转化，而总的机械能保持不变。
3．判断机械能守恒的方法一般有两种
（1）根据机械能守恒的条件判断。分析物体系统所受的力，判断重力以外的力（不管是系统内部物体间的力还是系统外部其他物体施加给系统内物体的力）是否对物体做功，如果重力以外的力对物体系统做了功，则物体系统的机械能不守恒，否则，机械能守恒。
（2）根据能量的转化判断。对于一个物体系统，分析是否只存在动能和重力势能（或弹性势能）的相互转化。如果只存在动能和重力势能（或弹性势能）的相互转化，而不存在机械能和其他形式的能量的转化，机械能守恒，否则，机械能不守恒。
4．应用机械能守恒定律解题的方法步骤
（1）选取研究对象一一物体或物体系；
（2）分析研究对象的物理过程及其初、末状态；
（3）分析所研究的物理过程中，研究对象的受力情况和这些力的做功情况，判断是否满足机械守恒定律的适用条件；
（4）规定参考平面（用转化观点时，可省略这一步）；
（5）根据机械能守恒定律列方程；
（6）解方程，统一单位，进行运算，求出结果
【高频考点突破】
考点一 重力势能及其变化
重力势能Ep=mgh是相对的，式中的h是相对于零势能面的竖直高度差。重力势能有正、负．零点的选择不同，重力势能不同，但其变化是绝对的，与零点的选择无关．
重力势能的变化量决定于重力做功。重力做正功，重力势能减少；重力做多少正功，重力势能就减少多少。反之，重力做多少负功，重力势能就增加多少。
【例1】如图所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1，m2的物块1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态.现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面.在此过程中，物块2的重力势能增加了________，物块1的重力势能增加了________。
考点二 机械能守恒条件的判断
机械能守恒条件是：没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化；或者说只有重力做功，只有重力势能和动能之间相互转化，没有与其它形式能的转化。如果只有弹簧的弹力做功，弹簧与物体这一系统，弹性势能与动能之间发生相互转化，不与其它形式的能发生转化，系统满足机械能守恒。
【例2】如图所示的四个选项中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的力F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动。在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是
考点三 机械能守恒定律的应用
（1）机械能守恒定律的各种表达形式
①，即；
②；；
点评：用①时，需要规定重力势能的参考平面。用②时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。
（2）解题步骤
①确定研究对象和研究过程。
②判断机械能是否守恒。
③选定一种表达式，列式求解。
【例3】如图所示，半径为的光滑半圆上有两个小球，质量分别为，M>m，由细线挂着，今由静止开始自由释放，求小球升至最高点时两球的速度？
【例4】如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为（m1＋m2）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。
⑥
【经典考题精析】
1．（2014·新课标Ⅱ卷）取水平地面为重力势能零点．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力．该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为(　　)
A.　　　　　B. C. D.
2．（2014·福建卷Ⅰ）图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切．点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心O恰在水面．一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力．
(1)若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面上的D点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功Wf；
(2)若游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h.(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F向＝m)
【答案】 (1)　－(mgH－2mgR)　(2)R
【解析】 (1)游客从B点做平抛运动，有2R＝vBt①
R＝gt2②
（2013·广东卷）如下图，游乐场中，从高处A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道．甲、乙两小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，下列说法正确的有(　　)
A．甲的切向加速度始终比乙的大
B．甲、乙在同一高度的速度大小相等
C．甲、乙在同一时刻总能到达同一高度
D．甲比乙先到达B处
（2013·山东卷）如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m(M＞m)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中(　　)
A．两滑块组成系统的机械能守恒
B．重力对M做的功等于M动能的增加
C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加
D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
（2013·浙江卷）(16分)山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤，其示意图如下．图中A、B、C、D均为石头的边缘点，O为青藤的固定点，h1＝1.8 m，h2＝4.0 m，x1＝4.8 m，x2＝8.0 m．开始时，质量分别为M＝10 kg和m＝2 kg的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头的A点水平跳至中间石头．大猴抱起小猴跑到C点，抓住青藤下端，荡到右边石头上的D点，此时速度恰好为零．运动过程中猴子均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)大猴从A点水平跳离时速度的最小值；
(2)猴子抓住青藤荡起时的速度大小；
(3)猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小．
（2012·海南）如图，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的3/4圆弧轨道，两轨道相切于B点。在外力作用下，一小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤除外力。已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，重力加速度为g。求：
（1）小球在AB段运动的加速度的大小；
（2）小球从D点运动到A点所用的时间。
（2012·安徽）24.（20分）如图所示，装置的左边是足够长的光滑水平面，一轻质弹簧左端固定，右端连接着质量 M=2kg的小物块A。装置的中间是水平传送带，它与左右两边的台面等高，并能平滑对接。传送带始终以n=2m/s 的速度逆时针转动。装置的右边是一光滑的曲面，质量m=1kg的小物块B从其上距水平台面h=1.0m处由静止释放。已知物块B与传送带之间的摩擦因数 n=0.2, f=1.0m。设物块A、B中间发生的是对心弹性碰撞，第一次碰撞前物块A静止且处于平衡状态。取g=10m/s2。
（1）求物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小；（2）通过计算说明物块B与物块A第一次碰撞后能否运动到右边曲面上？（3）如果物块A、B每次碰撞后，物块A再回到平衡位置时都会立即被锁定，而当他们再次碰撞前锁定被解除，试求出物块B第n次碰撞后运动的速度大小。
联立解得： （舍去）由此可知B与A碰撞后每次只能保留碰前速度大小的，所以碰撞n次后B的速度应为 （n=0、1、2、3……）
（2012·广东）36.（18分） 图18（a）所示的装置中，小物块A、B质量均为m，水平面上PQ段长为l，与物块间的动摩擦因数为μ，其余段光滑。初始时，挡板上的轻质弹簧处于原长；长为r的连杆位于图中虚线位置；A紧靠滑杆（A、B间距大于2r）。随后，连杆以角速度ω匀速转动，带动滑杆作水平运动，滑杆的速度-时间图像如图18（b）所示。A在滑杆推动下运动，并在脱离滑杆后与静止的B发生完全非弹性碰撞。
（1）求A脱离滑杆时的速度uo，及A与B碰撞过程的机械能损失ΔE。
（2）如果AB不能与弹簧相碰，设AB从P点到运动停止所用的时间为t1，求ω得取值范围，及t1与ω的关系式。
（3）如果AB能与弹簧相碰，但不能返回道P点左侧，设每次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为Ep，求ω的取值范围，及Ep与ω的关系式（弹簧始终在弹性限度内）。
（2012·上海）16．如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是 （ ）
（2012·上海）20．如图，质量分别为mA和mB的两小球带有同种电荷，电荷最分别为qA和qB，用绝缘细线悬挂在天花板上。平衡时，两小球恰处于同一水平位置，细线与竖直方向间夹角分别为θ1与θ2（θ1＞θ2）。两小球突然失去各自所带电荷后开始摆动，最大速度分别vA和vB，最大动能分别为EkA和EkB。则 （ ）
（A）mA一定小于mB （B）qA一定大于qB
（C）vA一定大于vB （D）EkA一定大于EkB
【答案】ACD
分别对A、B进行受力分析，如图所示
两球间的库仑斥力是作用力与反作用力总是大小相等，与带电量的大小无关，因此B选项不对，
（2012·安徽）16.如图所示，在竖直平面内有一半径为的圆弧轨道，半径水平、竖直，一个质量为的小球自的正上方点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点时恰好对轨道没有压力。已知=2,重力加速度为，则小球从到的运动过程中
A. 重力做功 B. 机械能减少
C. 合外力做功 D. 克服摩擦力做功
1、（2011全国卷2）25.（18分）小球A和B的质量分别为mA 和 mB 且mA＞＞mB 在某高度处将A和B先后从静止释放。小球A与水平地面碰撞后向上弹回，在释放处的下方与释放出距离为H的地方恰好与正在下落的小球B发生正幢，设所有碰撞都是弹性的，碰撞事件极短。求小球A、B碰撞后B上升的最大高度。
④
设小球B 能够上升的最大高度为h，由运动学公式得
⑤
联立①④⑤化简得
⑥
2、（2011山东卷）22．如图所示，倾角＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为、质量为、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平。用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面（此时物块未到达地面），在此过程中
A．物块的机械能逐渐增加
B．软绳重力势能共减少了
C．物块重力势能的减少等于软绳克服摩擦力所做的功
D．软绳重力势能的减少小于其动能的增加与克服摩擦力所做功之和
3、（2011山东卷）24．（15分）如图所示、四分之一圆轨道OA与水平轨道AB相切，它们与另一水平轨道CD在同一竖直面内，圆轨道OA的半径R=0．45m，水平轨道AB长S1＝3m，OA与AB均光滑。一滑块从O点由静止释放，当滑块经过A点时，静止在CD上的小车在F=1．6N的水平恒力作用下启动，运动一段时间后撤去F。当小车在CD上运动了S2＝3．28m时速度v=2．4m/s，此时滑块恰好落入小车中。已知小车质量M=0．2kg，与CD间的动摩擦因数＝0.4。（取g=10m/）求
（1）恒力F的作用时间t．
（2）AB与CD的高度差h。
4、（2011山东卷）38． [物理—物理3-5] （4分）（2）如图所示，滑块A、C质量均为m，滑块B质量为m。开始时A、B分别以的速度沿光滑水平轨道向固定在右侧的挡板运动，现将C无初速地放在A上，并与A粘合不再分开，此时A与B相距较近，B与挡板相距足够远。若B与挡板碰撞将以原速率反弹，A与B碰撞将粘合在一起。为使B能与挡板碰撞两次，应满足什么关系？
解析：将C无初速地放在A上后，，，
A与B碰撞后粘合在一起，使B能与挡板碰撞两次，＞0
得： ＞
5、（2011北京卷）24．（20分）雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为，初速度为，下降距离后于静止的小水珠碰撞且合并，质量变为。此后每经过同样的距离后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次为、……（设各质量为已知量）。不计空气阻力。
（1）若不计重力，求第次碰撞后雨滴的速度；
（2）若考虑重力的影响，
a．求第１次碰撞前、后雨滴的速度和；
b．求第ｎ次碰撞后雨滴的动能。
6、（2011北京卷）22．（16分）如图，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从Ｏ点水平飞出，经过3.0ｓ落到斜坡上的Ａ点。已知Ｏ点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角＝37°，运动员的质量m=50kg.不计空气阻力。（取sin37°=0.60，cos37°=0.80；g取10m/s2）q求
（1）A点与O点时的速度大小；
（2）运动员离开O点时的速度大小；
（3）运动员落到A点时的动能。
7、（2011重庆卷）25.（19分）某兴趣小组用如题25所示的装置进行实验研究。他们在水平桌面上固定一内径为d的圆柱形玻璃杯，杯口上放置一直径为d,质量为m的匀质薄原板，板上放一质量为2m的小物体。板中心、物块均在杯的轴线上，物块与板间动摩擦因数为，不计板与杯口之间的摩擦力，重力加速度为g，不考虑板翻转。
（1）对板施加指向圆心的水平外力，设物块与板间最大静摩擦力为，若物块能在板上滑动，求应满足的条件。
（2）如果对板施加的指向圆心的水平外力是作用时间极短的较大冲击力，冲量为，
①应满足什么条件才能使物块从板上掉下？
②物块从开始运动到掉下时的位移为多少？
③根据与的关系式说明要使更小，冲量应如何改变。
【2016考纲解读】
1.掌握功和能的对应关系，特别是合力功、重力功、弹力功分别对应的能量转化关系
2.理解能量守恒定律，并能分析解决有关问题．
【重点知识梳理】
一、功能关系
功
能量的变化
合外力做正功
动能增加
重力做正功
重力势能减少
弹簧弹力做正功
弹性势能减少
电场力做正功
电势能减少
其他力(除重力、弹力外)做正功
机械能增加
二、能量守恒定律
1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从
一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式：ΔE减＝ΔE增．
【高频考点突破】
考点一　功能关系的应用
1．在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析．
2．只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析．
3．只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析．
4．只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析．
例1、如图所示，在升降机内固定一光滑的斜面体，一轻弹簧的一端连在位于斜面体上方的固定木板B上，另一端与质量为m的物块A相连，弹簧与斜面平行．整个系统由静止开始加速上升高度h的过程中 (　　)
A．物块A的重力势能增加量一定等于mgh
B．物块A的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和
C．物块A的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和
D．物块A和弹簧组成系统的机械能增加量等于斜面对物块的支持力和B对弹簧的拉力做功的代数和
解析　由于斜面光滑，物块A静止时弹簧弹力与斜面支持力的合力与重力平衡，当整个装置加速上升时，由牛顿第二定律可知物块A受到的合力应向上，故弹簧伸长量增加，物块A相对斜面下滑一段距离，故选项A错误；根据动能定理可知，物块A动能的增加量应等于重力、支持力及弹簧弹力对其做功的代数和，故选项B错误；物块A机械能的增加量应等于除重力以外的其他力对其做功的代数和，选项C正确；物块A和弹簧组成的系统机械能增加量应等于除重力和弹簧弹力以外的其他力做功的代数和，故选项D正确．
答案　CD
【变式探究】如图所示，一轻弹簧左端与物体A相连，右端与物体B相连，开始时，A、B均在粗糙水平面上不动，弹簧处于原长状态．在物体B上作用一水平向右的恒力F，使物体
A、B向右运动．在此过程中，下列说法正确的是 (　　)
A．合外力对物体A所做的功小于物体A的动能增量
B．外力F做的功与摩擦力对物体B做的功之和等于物体B的动能增量
C．外力F做的功及摩擦力对物体A和B做功的代数和等于物体A和B的动能增量及弹簧弹性势能增量之和
D．外力F做的功加上摩擦力对物体B做的功等于物体B的动能增量与弹簧弹性势能增量之和
答案　C
考点二　摩擦力做功的特点及应用
1．静摩擦力做功的特点
(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零．
(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能．
2．滑动摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：
①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能．
(3)摩擦生热的计算：Q＝Ffs相对．其中s相对为相互摩擦的两个物体间的相对路程．
【特别提醒】从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的功等于系统内能的增加量；从能量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量．
例2、如图所示，质量为m的长木块A静止于光滑水平面上，在其水平的上表面左端放一质量为m的滑块B，已知木块长为L，它与滑块之间的动摩擦因数为μ.现用水平向右的恒力F拉滑块B.

(1)当长木块A的位移为多少时，B从A的右端滑出？
(2)求上述过程中滑块与木块之间产生的内能．
解析　(1)设B从A的右端滑出时，A的位移为l，A、B的速度分别为vA、vB，由动能定理得
μmgl＝mv
(F－μmg)·(l＋L)＝mv
又由同时性可得
＝(其中aA＝μg，aB＝)
解得l＝.
(2)由功能关系知，拉力F做的功等于A、B动能的增加量和A、B间产生的内能，即有
F(l＋L)＝mv＋mv＋Q
解得Q＝μmgL.
答案　(1)　(2)μmgL
【变式探究】如图所示，一质量为m＝2 kg的滑块从半径为R＝0.2 m的光滑四分之一圆弧轨道的顶端A处由静止滑下，A点和圆弧对应的圆心O点等高，圆弧的底端B与水平传送带平滑相接．已知传送带匀速运行的速度为v0＝4 m/s，B点到传送带右端C点的距离为L＝2 m．当滑块滑到传送带的右端C时，其速度恰好与传送带的速度相同．(g＝10 m/s2)，求：
(1)滑块到达底端B时对轨道的压力；
(2)滑块与传送带间的动摩擦因数μ；
(3)此过程中，由于滑块与传送带之间的摩擦而产生的热量Q.
答案　(1)60 N，方向竖直向下　(2)0.3　(3)4 J
解析　(1)滑块由A到B的过程中，由机械能守恒定律得：
mgR＝mv ①
物体在B点，由牛顿第二定律得：
FB－mg＝m ②
由①②两式得：FB＝60 N
由牛顿第三定律得滑块到达底端B时对轨道的压力大小为60 N，方向竖直向下．
(2)解法一：
滑块在从B到C运动过程中，
由牛顿第二定律得：μmg＝ma ③
由运动学公式得：v－v＝2aL ④
由①③④三式得：μ＝0.3 ⑤
解法二：
滑块在从A到C整个运动过程中，
由动能定理得：mgR＋μmgL＝mv－0
解得：μ＝0.3
(3)滑块在从B到C运动过程中，设运动时间为t
由运动学公式得：v0＝vB＋at ⑥
产生的热量：Q＝μmg(v0t－L) ⑦
由①③⑤⑥⑦得：Q＝4 J.
考点三　能量守恒定律及应用
列能量守恒定律方程的两条基本思路：
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加且减少量和增加量一定相等．
例3、如图所示有一倾角为θ＝37°的硬杆，其上套一底端固定且劲度系数为k＝120 N/m的轻弹簧，弹簧与杆间无摩擦．一个质量为m＝1 kg的小球套在此硬杆上，从P点由静止开始滑下，已知小球与硬杆间的动摩擦因数μ＝0.5，P与弹簧自由端Q间的距离为l＝1 m．弹簧的弹性势能与其形变量x的关系为Ep＝kx2.求：
(1)小球从开始下滑到与弹簧自由端相碰所经历的时间t；
(2)小球运动过程中达到的最大速度vm；
(3)若使小球在P点以初速度v0下滑后又恰好回到P点，则v0需多大？
解析　(1)F合＝mgsin θ－μmgcos θ
a＝＝gsin θ－μgcos θ＝2 m/s2
l＝at2
所以t＝ ＝1 s
(2)小球从P点无初速度滑下，当弹簧的压缩量为x时小球有最大速度vm，有
mgsin θ－μmgcos θ＝kx，x＝ m
此过程由能量守恒定律可得：
mg·(l＋x)sin θ＝W弹＋μmgcos θ(l＋x)＋mv
而W弹＝kx2
代入数据解得：vm＝ m/s＝2 m/s
(3)设小球从P点以初速度v0下滑，压缩弹簧至最低点时弹簧的压缩量为x1，由能量守恒有：
mg(l＋x1)sin θ＋mv＝μmgcos θ(l＋x1)＋kx
小球从最低点经过Q点回到P点时的速度为0，则有：
kx＝mg(l＋x1)sin θ＋μmgcos θ(l＋x1)
联立以上二式解得x1＝0.5 m，v0＝2 m/s＝4.9 m/s.
答案　(1)1 s　(2)2 m/s　(3)4.9 m/s
【变式探究】假设某足球运动员罚点球直接射门时，球恰好从横梁下边缘踢进，此时的速度为v.横梁下边缘离地面的高度为h，足球质量为m，运动员对足球做的功为W1，足球运动过程中克服空气阻力做的功为W2，选地面为零势能面，下列说法正确的是 (　　)
A．运动员对足球做的功为W1＝mgh＋mv2－W2
B．足球机械能的变化量为W1－W2
C．足球克服阻力做的功为W2＝mgh＋mv2－W1
D．运动员刚踢完球的瞬间，足球的动能为mgh＋mv2
答案　B
解析　由功能关系可知：W1＝mgh＋mv2＋W2，A项错．足球机械能的变化量为除重力、弹力之外
的力做的功．ΔE机＝W1－W2，B项对；足球克服阻力做的功W2＝W1－mgh－mv2，C项错．D项中，
刚踢完球瞬间，足球的动能应为Ek＝W1＝mgh＋mv2＋W2，D项错。
考点四 传送带模型中的动力学和功能关系
1．模型概述
传送带模型是高中物理中比较成熟的模型，典型的有水平和倾斜两种情况．一般设问的角度有两个：(1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力情况分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律，求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系．(2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解．
2．传送带模型问题中的功能关系分析
(1)功能关系分析：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q.
(2)对WF和Q的理解：
①传送带的功：WF＝Fx传；
②产生的内能Q＝Ffs相对．
传送带模型问题的分析流程
例4、如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v0＝2 m/s的速率运行，现把一质量为m＝10 kg的工件(可看做质点)轻轻放在皮带的底端，经过时间t＝1.9 s，工件被传送到h＝1.5 m的高处，取g＝10 m/s2，求：

(1)工件与传送带间的动摩擦因数；
(2)电动机由于传送工件多消耗的电能．
解析　(1)由题图可知，皮带长x＝＝3 m．工件速度达到v0前，做匀加速运动的位移x1＝t1＝t1
匀速运动的位移为x－x1＝v0(t－t1)
解得加速运动的时间t1＝0.8 s
加速运动的位移x1＝0.8 m，所以加速度a＝＝2.5 m/s2
由牛顿第二定律有：μmgcos θ－mgsin θ＝ma，解得μ＝.
(2)根据能量守恒的观点，显然电动机多消耗的电能用于增加工件的动能、势能以及克服传送带与工件之间发生相对位移时摩擦力做功产生的热量．
在时间t1内，皮带运动的位移x皮＝v0t1＝1.6 m
在时间t1内，工件相对皮带的位移x相＝x皮－x1＝0.8 m
在时间t1内，摩擦产生的热量Q＝μmgcos θx相＝60 J
工件获得的动能Ek＝mv＝20 J
工件增加的势能Ep＝mgh＝150 J
电动机多消耗的电能W＝Q＋Ek＋Ep＝230 J.
答案　(1)　(2)230 J
【变式探究】如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放， 传送带由电动机带动，始终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体在滑下传送带之前能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到与传送带相对静止这一过程，下列说法中正确的是 (　　)
A．电动机多做的功为mv21
B．物体在传送带上的划痕长
C．传送带克服摩擦力做的功为mv2
D．电动机增加的功率为μmgv
答案　D
解析　小物块与传送带相对静止之前，物体做匀加速运动，由运动学公式知x物＝t，传送带做匀速运动，由运动学公式知x传＝vt，对物块根据动能定理μmgx物＝mv2，摩擦产生的热量Q＝μmgx相＝μmg(x传－x物)，四式联立得摩擦产生的热量Q＝mv2，根据能量守恒定律，电动机多做的功一部分转化为物块的动能，一部分转化为热量，故电动机多做的功等于mv2，A项错误；物体在传送带上的划痕长等于x传－x物＝x物＝，B项错误；传送带克服摩擦力做的功为μmgx传＝2μmgx物＝mv2，C项错误；电动机增加的功率也就是电动机克服摩擦力做功的功率为μmgv，D项正确．
【经典考题精析】
1．(2014·重庆卷)题7图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图，首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月球表面高度为h1处悬停(速度为0，h1远小于月球半径)；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h2处的速度为v；此后发动机关闭，探测器仅受重力下落到月面，已知探测器总质量为m(不包括燃料)，地球和月球的半径比为k1，质量比为k2，地球表面附近的重力加速度为g，求：
题7图
(1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小；
(2)从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化．
【答案】(1)g　　(2)mv2－mg(h1－h2)
本题利用探测器的落地过程将万有引力定律，重力加速度概念，匀变速直线运动，机械能等的概念融合在一起考查．设计概念比较多，需要认真审题．
【解析】(1)设地球质量和半径分别为M和R，月球的质量、半径和表面附近的重力加速度分别为M′、R′和g′，探测器刚接触月面时的速度大小为vt.
由mg′＝G和mg＝G得g′＝g
由v－v2＝2g′h2
得vt＝
(2)设机械能变化量为ΔE，动能变化量为ΔEk，重力势能变化量为ΔEp.
由ΔE＝ΔEk＋ΔEp
有ΔE＝m(v2＋)－mgh1
得ΔE＝mv2－mg(h1－h2)
2．（2014·新课标Ⅱ卷） 一物体静止在粗糙水平地面上，现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v.若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v.对于上述两个过程，用WF1、WF2分别表示拉力F1、F2所做的功，Wf1、Wf2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则(　　)
A．WF2＞4WF1，Wf2＞2Wf1
B．WF2＞4WF1，Wf2＝2Wf1
C．WF2＜4WF1，Wf2＝2Wf1
D．WF2＜4WF1，Wf2＜2Wf1
【答案】C　【解析】因物体均做匀变速直线运动，由运动学公式得前后两个过程的平均速度是2倍关系，那么位移x＝t也是2倍关系，若Wf1＝fx，则Wf2＝f·2x故Wf2＝2Wf1；由动能定理WF1－fx＝mv2和WF2－f·2x＝m(2v)2得WF2＝4WF1－2fx<4WF1，C正确．
3．（2014·广东卷） 图9是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲器结构图，图中①和②为楔块，③和④为垫板，楔块与弹簧盒、垫板间均有摩擦，在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中(　　)
A．缓冲器的机械能守恒
B．摩擦力做功消耗机械能
C．垫板的动能全部转化为内能
D．弹簧的弹性势能全部转化为动能
【答案】B　【解析】由于楔块与弹簧盒、垫块间均有摩擦，摩擦力做负功，则缓冲器的机械能部分转化为内能，故选项A错误，选项B正确；车厢撞击过程中，弹簧被压缩，摩擦力和弹簧弹力都做功，所以垫块的动能转化为内能和弹性势能，选项C、D错误．
4．（2014·福建卷Ⅰ）如图所示，两根相同的轻质弹簧，沿足够长的光滑斜面放置，下端固定在斜面底部挡板上，斜面固定不动．质量不同、形状相同的两物块分别置于两弹簧上端．现用外力作用在两物块上，使两弹簧具有相同的压缩量，若撤去外力后，两物块由静止沿斜面向上弹出并离开弹簧，则从撤去外力到物块速度第一次减为零的过程，两物块(　　)
A．最大速度相同
B．最大加速度相同
C．上升的最大高度不同
D．重力势能的变化量不同
【答案】C　【解析】设斜面倾角为θ，物块速度达到最大时，有kx＝mgsin θ，若m1v2max，此时质量为m1的物块还没达到最大速度，因此v1max>v2max，故A错；由于撤去外力前，两弹簧具有相同的压缩量，所以撤去外力时两弹簧的弹力相同，此时两物块的加速度最大，由牛顿第二定律可得a＝，因为质量不同，所以最大加速度不同，故B错误；由于撤去外力前，两弹簧具有相同的压缩量，所以两弹簧与物块分别组成的两系统具有相同的弹性势能，物块上升过程中系统机械能守恒，所以上升到最大高度时，弹性势能全部转化为重力势能，所以两物块重力势能的增加量相同，故D错误；由Ep＝mgh可知，两物块的质量不同，所以上升的最大高度不同，故C正确．
（2013·广东卷）如下图，游乐场中，从高处A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道．甲、乙两小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，下列说法正确的有(　　)
A．甲的切向加速度始终比乙的大
B．甲、乙在同一高度的速度大小相等
C．甲、乙在同一时刻总能到达同一高度
D．甲比乙先到达B处
【答案】BD
【解析】由机械能守恒定律知：下落相同的高度，获得相同的动能，故甲、乙在同一高度的速率相等，B正确；作出速率一时间图像如图所示．最初甲的加速度大，速度增加得快，下落得快，乙的加速度小，速度增加得慢，所以甲先到达B处，A、C错误，D正确．
（2013·山东卷）如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m(M＞m)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中(　　)
A．两滑块组成系统的机械能守恒
B．重力对M做的功等于M动能的增加
C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加
D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
【答案】CD　
【解析】 因为M>m，斜面倾角相同，所以M沿斜面下降，m沿斜面上升．斜面ab粗糙，所以对M有沿斜面向上的摩擦力，两滑块组成的系统机械能不守恒，A错误；对于M，重力、摩擦力、绳子的拉力做的总功等于其动能的增加，B错误；对于m，绳子拉力做的功是除了重力以外其他力的功，故等于其机械能的增加，C正确；对于两滑块组成的系统，M受到的沿斜面向上的摩擦力做的功是除了重力和弹力以外其他力的功，等于系统机械能的减少量，D正确．
（2013·浙江卷）(16分)山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤，其示意图如下．图中A、B、C、D均为石头的边缘点，O为青藤的固定点，h1＝1.8 m，h2＝4.0 m，x1＝4.8 m，x2＝8.0 m．开始时，质量分别为M＝10 kg和m＝2 kg的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头的A点水平跳至中间石头．大猴抱起小猴跑到C点，抓住青藤下端，荡到右边石头上的D点，此时速度恰好为零．运动过程中猴子均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)大猴从A点水平跳离时速度的最小值；
(2)猴子抓住青藤荡起时的速度大小；
(3)猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小．
【解析】(1)设猴子从A点水平跳离时速度的最小值为vmin，根据平抛运动规律，有
h1＝gt2①
x1＝vmint②
联立①②式，得vmin＝8 m/s③
(2)猴子抓住青藤后的运动过程中机械能守恒，设荡起时的速度为vC，有
(M＋m)gh2＝(M＋m)v④
vC＝＝ m/s≈9 m/s⑤
(3)设拉力为FT，青藤的长度为L，对最低点，由牛顿第二定律得
FT－(M＋m)g＝(M＋m)⑥
由几何关系(L－h2)2＋x＝L2⑦
得L＝10 m⑧
综合⑤⑥⑧式并代入数据解得：FT＝(M＋m)g＋(M＋m)＝216 N⑨
（2013·北京卷）(18分)蹦床比赛分成预备运动和比赛动作两个阶段．最初，运动员静止站在蹦床上；在预备运动阶段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶段．把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F＝kx(x为床面下沉的距离，k为常量)．质量m＝50 kg的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x0＝0.10 m；在预备运动中，假定运动员所做的总功W全部用于增加其机械能；在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为Δt＝2.0 s，设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为x1.取重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力的影响．
(1)求常量k，并在图中画出弹力F随x变化的示意图；
(2)求在比赛动作中，运动员离开床面后上升的最大高度hm；
(3)借助F－x图像可以确定弹力做功的规律，在此基础上，求x1和W的值．
【解析】(1)床面下沉x0＝0.10 m时，运动员受力平衡mg＝kx0
得k＝＝5.0×103 N/m
F－x图线如图．
(2)运动员从x＝0处离开床面，开始腾空，其上升、下落时间相等
hm＝g＝5.0 m
(3)参考由速度－时间图像求位移的方法，F－x图线下的面积等于弹力做的功．从x处到x＝0，弹力做功WT
WT＝·x·kx＝kx2
运动员从x1处上升到最大高度hm的过程，根据动能定理，有
kx－mg(x1＋hm)＝0
得x1＝x0＋＝1.1 m
对整个预备运动，由题设条件以及功和能的关系，有
W＋kx＝mg(hm＋x0)
得W＝2525 J≈2.5×103 J
（2013·福建卷）如图甲，空间存在一范围足够大的垂直于 xOy 平面向外的匀强磁场， 磁感应强度大小为B.让质量为m，电量为q(q>0)的粒子从坐标原点O沿 xOy 平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中．不计重力和粒子间的影响．
(1)若粒子以初速度v1沿 y 轴正向入射，恰好能经过 x 轴上的A (a，0)点，求v1的大小；
(2)已知一粒子的初速度大小为v (v>v1) ，为使该粒子能经过A (a，0) 点，其入射角θ(粒子初速度与x轴正向的夹角)有几个？并求出对应的 sinθ值；
(3)如图乙，若在此空间再加入沿 y 轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿 y 轴正向发射．研究表明：粒子在 xOy 平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的 x 分量vx与其所在位置的 y 坐标成正比，比例系数与场强大小E无关．求该粒子运动过程中的最大速度值vm.
【解析】(1)带电粒子以速率v在匀强磁场B中做匀速圆周运动，半径为R，有qvB＝m①
当粒子沿y轴正向入射，转过半个圆周至A点，该圆周半径为R1，有：R1＝②
由②代入①式得v1＝
(2)如图，O、A两点处于同一圆周上，且圆心在x＝的直线上，半径为R.当给定一个初速率v时，有2个入射角，分别在第1、2象限，有sin θ′＝sinθ＝④
由①④式解得sinθ＝⑤
(3)粒子在运动过程中仅电场力做功，因而在轨道的最高点处速率最大，用ym表示其y坐标，由动能定理，有
qEym＝mv－mv⑥
由题知，有vm＝kym⑦
若E＝0时，粒子以初速度v0沿y轴正向入射，有
qv0B＝m⑧
由⑥⑦⑧式解得
vm＝＋。
（2013·山东卷）如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m(M＞m)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中(　　)
A．两滑块组成系统的机械能守恒
B．重力对M做的功等于M动能的增加
C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加
D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
【答案】CD　
【解析】因为M>m，斜面倾角相同，所以M沿斜面下降，m沿斜面上升．斜面ab粗糙，所以对M有沿斜面向上的摩擦力，两滑块组成的系统机械能不守恒，A错误；对于M，重力、摩擦力、绳子的拉力做的总功等于其动能的增加，B错误；对于m，绳子拉力做的功是除了重力以外其他力的功，故等于其机械能的增加，C正确；对于两滑块组成的系统，M受到的沿斜面向上的摩擦力做的功是除了重力和弹力以外其他力的功，等于系统机械能的减少量，D正确．
（2013·四川卷） (15分)近来，我国多个城市开始重点治理“中国式过马路”行为．每年全国由于行人不遵守交通规则而引发的交通事故上万起，死亡上千人．只有科学设置交通管制，人人遵守交通规则，才能保证行人的生命安全．
　　　
如图所示，停车线AB与前方斑马线边界CD间的距离为23 m．质量8 t、车长7 m的卡车以54 km/h的速度向北匀速行驶，当车前端刚驶过停车线AB，该车前方的机动车交通信号灯由绿灯变黄灯．
(1)若此时前方C处人行横道路边等待的行人就抢先过马路，卡车司机发现行人，立即制动，卡车受到的阻力为3×104 N．求卡车的制动距离；
(2)若人人遵守交通规则，该车将不受影响地驶过前方斑马线边界CD.为确保行人安全，D处人行横道信号灯应该在南北向机动车信号灯变黄灯后至少多久变为绿灯？
【解析】 已知卡车质量m＝8 t＝8×103 kg，初速度v0＝54 km/h＝15 m/s.
(1)从制动到停车阻力对卡车所做的功为W，由动能定理有
W＝－mv
已知卡车所受阻力f＝－3×104 N，设卡车的制动距离s1，有
W＝fs1
联立上式，代入数据解得s1＝30 m
(2)已知车长l＝7 m，AB与CD的距离为s0＝23 m．设卡车驶过的距离为s2，D处人行横道信号灯至少需经过时间Δt后变灯，有
s2＝s0＋l
s2＝v0Δt
联立上式，代入数据解得Δt＝2 s
（2013·天津卷）
一圆筒的横截面如图所示，其圆心为O.筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆筒下面有相距为d的平行金属板M、N，其中M板带正电荷，N板带等量负电荷．质量为m、电荷量为q的带正电粒子自M板边缘的P处由静止释放，经N板的小孔S以速度v沿半径SO方向射入磁场中．粒子与圆筒发生两次碰撞后仍从S孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的情况下，求：
(1)M、N间电场强度E的大小；
(2)圆筒的半径R；
(3)保持M、N间电场强度E不变，仅将M板向上平移d，粒子仍从M板边缘的P处由静止释放，粒子自进入圆筒至从S孔射出期间，与圆筒的碰撞次数n.
【解析】 (1)设两板间的电压为U，由动能定理得
qU＝mv2①
由匀强电场中电势差与电场强度的关系得
U＝Ed②
联立上式可得
E＝③
(2)粒子进入磁场后做匀速圆周运动，运用几何关系作出圆心为O′，圆半径为r.设第一次碰撞点为A，由于粒子与圆筒发生两次碰撞又从S孔射出，因此，SA弧所对的圆心角∠AO′S等于.
由几何关系得
r＝Rtan④
粒子运动过程中洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律，得
qvB＝m⑤
联立④⑤式得
R＝⑥
(3)保持M、N间电场强度E不变，M板向上平移d后，设板间电压为U′，则U′＝＝⑦
设粒子进入S孔时的速度为v′，由①式看出
＝
综合⑦式可得
v′＝⑧
设粒子做圆周运动的半径为r′，则
r′＝⑨
设粒子从S到第一次与圆筒碰撞期间的轨迹所对圆心角为θ，比较⑥⑨两式得到r′＝R，可见
θ＝⑩
粒子须经过四个这样的圆弧才能从S孔射出，故
n＝3
（2013·天津卷）质量为m＝4 kg的小物块静止于水平地面上的A点，现用F＝10 N的水平恒力拉动物块一段时间后撤去，物块继续滑动一段位移停在B点，A、B两点相距x＝20 m，物块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2，求：
(1)物块在力F作用过程发生位移x1的大小；
(2)撤去力F后物块继续滑动的时间t.
【解析】(1)设物块受到的滑动摩擦力为F1，则
F1＝ μmg①
根据动能定理，对物块由A到B整个过程，有
Fx1－F1x＝0②
代入数据，解得
x1＝16 m③
(2)设刚撤去力F时物块的速度为v，此后物块的加速度为a，滑动的位移为x2，则
x2 ＝x－x1④
由牛顿第二定律得
a＝⑤
由匀变速直线运动公式得
v2＝2ax2⑥
以物块运动的方向为正方向，由动量定理，得
－F1t＝0－mv⑦
代入数据，解得
t＝2 s⑧
（2013·江苏卷）水平面上，一白球与一静止的灰球碰撞，两球质量相等．碰撞过程的频闪照片如图所示，据此可推断，碰撞过程中系统损失的动能约占碰撞前动能的(　　)
A．30%　　　　　　B．50%
C．70% D．90%
【答案】A　
【解析】从图中可看出，左边的白球间隔大，表示在相等的时间里运动的位移大，即速度大，右边的白球间隔小，表示速度小，所以白球是从左向右运动碰到静止的灰球，碰撞后分开运动．用刻度尺量出左边白球(碰撞前)的位移大小，约为1.35 cm，可算作135等份；再用刻度尺量出右边灰球和白球(碰撞后)的位移大小，均约为1.15 cm，可算作115等份．设照相机每隔时间t闪光一次，小球的质量为m，每等份的长度为L，则白球碰撞前的动能为
Ek0＝mv2＝m
白球碰撞后的动能为
Ek1＝m
灰球的动能与碰撞后的白球动能相等，这样就可算出损失的动能为Ek0－2Ek1，代入数据进而算出结果：＝0.36≈30%，故选项A正确．
（2013·安徽卷） 质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为Ep＝－，其中G为引力常量，M为地球质量．该卫星原来在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为(　　)
A．GMm(－) B．GMm(－)
C.(－) D.(－)
【答案】C　
【解析】本题考查万有引力与功能关系的综合知识，考查理解题目的新信息并且应用信息解决问题的能力．根据功能关系，摩擦产生的热量等于卫星机械能的减少量．卫星的机械能等于动能与引力势能之和，有E＝mv2＋(－)，由万有引力提供向心力，有G＝，可得卫星机械能E＝－，摩擦产生的热量为Q＝E1－E2＝(－)，选项C正确．
（2013·全国卷） (12分)测量小物块Q与平板P之间动摩擦因数的实验装置如图所示．AB是半径足够大的、光滑的四分之一圆弧轨道，与水平固定放置的P板的上表面BC在B点相切，C点在水平地面的垂直投影为C′ .重力加速度大小为g，实验步骤如下：
①用天平称出物块Q的质量m；
②测量出轨道AB的半径R、BC的长度L和CC′ 的长度h；
③将物块Q在A点从静止释放，在物块Q落地处标记其落地点D；
④重复步骤③，共做10次；
⑤将10个落地点用一个尽量小的圆围住，用米尺测量圆心到C′的距离s.
(1)用实验中的测量量表示：
(ⅰ)物块Q到达B点时的动能EkB＝________；
(ⅱ)物块Q到达C点时的动能EkC＝________；
(ⅲ)在物块Q从B运动到C的过程中，物块Q克服摩擦力做的功Wf＝________；
(ⅳ)物块Q与平板P之间的动摩擦因数μ＝________________________________________________________________________.
(2)回答下列问题：
(ⅰ)实验步骤④⑤的目的是______________________；
(ⅱ)已知实验测得的μ值比实际值偏大，其原因除了实验中测量量的误差之外，其他的可能是__________________________．(写出一个可能的原因即可)
【答案】(1)(ⅰ)mgR　(ⅱ)　(ⅲ)mgR－
(ⅳ)－
(2)(ⅰ)减小实验结果的误差　(ⅱ)圆弧轨道存在摩擦(或接缝B处不平滑等)
【解析】 (1)(ⅰ)由机械能守恒得，EkB＝mgR；
(ⅱ)根据平抛运动有：h＝gt2，s＝vCt，则vC＝s，所以EkC＝mv＝；
(ⅲ)根据动能定理Wf＝EkB－EkC＝mgR－；
(ⅳ)由Wf＝μmgL，所以μ＝－.
(2)多次实验取平均值有利于减小偶然误差；测得μ值偏大，说明实验阻力做功较多，原因可能有圆弧轨道不够光滑、接缝处不平滑或存在空气阻力等.
（2013·全国卷）如图，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度，沿斜面向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小g.若物块上升的最大高度为H，则此过程中，物块的(　　)
A．动能损失了2mgH B．动能损失了mgH
C．机械能损失了mgH D．机械能损失了mgH
【答案】AC　
【解析】因为加速度大小等于g，故合外力F＝mg，根据动能定理，动能损失等于克服合外力做的功，即ΔEk＝FL＝mg＝2mgH，A正确，B错误；此过程中，重力势能增加了ΔEp＝mgH，故机械能损失了ΔE＝ΔEk－ΔEp＝mgH，C正确，D错误．
（2013·新课标全国卷Ⅱ） 某同学利用下述装置对轻质弹簧的弹性势能进行探究：一轻质弹簧放置在光滑水平桌面上，弹簧左端固定，右端与一小球接触而不固连；弹簧处于原长时，小球恰好在桌面边缘，如图(a)所示．向左推小球，使弹簧压缩一段距离后由静止释放；小球离开桌面后落到水平地面．通过测量和计算，可求得弹簧被压缩后的弹性势能．
图(a)
回答下列问题：
(1)本实验中可认为，弹簧被压缩后的弹性势能Ep与小球抛出时的动能Ek相等．已知重力加速度大小为g.为求得Ek，至少需要测量下列物理量中的________(填正确答案标号)．
A．小球的质量m
B．小球抛出点到落地点的水平距离s
C．桌面到地面的高度h
D．弹簧的压缩量Δx
E．弹簧原长l0
(2)用所选取的测量量和已知量表示Ek，得Ek＝________．
(3)图(b)中的直线是实验测量得到的s－Δx图线．从理论上可推出，如果h不变，m增加，s－Δx图线的斜率会________(填“增大”“减小”或“不变”)；如果m不变，h增加，s－Δx图线的斜率会________(填“增大”“减小”或“不变”)．由图(b)中给出的直线关系和Ek的表达式可知，Ep与Δx的________次方成正比．
图(b)
【答案】(1)ABC
(2)
(3)减小　增大　2
【解析】(1)根据平抛运动规律求小球抛出时的动能．
动能Ek＝mv，根据平抛运动规律有：h＝gt2，s＝v0t，
可得：Ek＝，故需要测量小球的质量m、小球抛出点到落地点的水平距离s和桌面到地面的高度h，选项A、B、C正确．
(3)由图像可知，s与Δx成正比，设图像斜率为k，则s＝kΔx，弹性势能Ep与动能Ek的关系为Ep＝Ek＝，故Ep＝·Δx2，即弹簧的弹性势能与Δx的二次方成正比．当h不变时，m增大，k就减小；当m不变时，h增大，k就增大．
（2013·新课标全国卷Ⅱ）目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是(　　)
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
【答案】BD　
【解析】由G＝m可得v＝，轨道半径变小，则运行的速度变大，卫星的动能增大，A错误；轨道半径变小，地球引力做正功，引力势能减小，B正确；由于气体阻力做负功，产生热量，故机械能减小，C错误；由动能定理，动能增大，则克服气体阻力做的功小于引力做的功，而引力做功等于引力势能的减小，故克服气体阻力做的功小于引力势能的减小，D正确．
（2013·江苏卷） 如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连．弹簧处于自然长度时物块位于O点(图中未标出)．物块的质量为m，AB＝a，物块与桌面间的动摩擦因数为μ.现用水平向右的力将物块从O点拉至A点，拉力做的功为W.撤去拉力后物块由静止向左运动，经O点到达B点时速度为零．重力加速度为g.则上述过程中(　　)
A．物块在A点时，弹簧的弹性势能等于W－μmga
B．物块在B点时，弹簧的弹性势能小于W－μmga
C．经O点时，物块的动能小于W－μmga
D．物块动能最大时弹簧的弹性势能小于物块在B点时弹簧的弹性势能
甲
【答案】BC　
【解析】先大致画出O点所在位置，如图甲所示，设OA的距离为b.当物块从A由静止向左运动时，受力如图乙所示，f＝μmg，此过程中，弹簧在缩短，弹簧拉力FT变小；当到达O点右侧某点P时，FT与f相等，此时合力为0，由于惯性，物块继续向左运动；当物块到达O点时，水平方向只受摩擦力f，但仍向左运动至B停止．在AP段，物块除受摩擦阻力外，还受弹簧拉力这一个动力作用，而在OB段，物块除受到摩擦阻力外，还受弹簧弹力这一个阻力作用，所以物块很快停止，OB当拉力把物块从O点由静止拉至A点时，根据动能定理得W－μmgb＝EpA，即EpA＝W－μmgb（2013·天津卷）超导现象是20世纪人类重大发现之一，日前我国已研制出世界传输电流最大的高温超导电缆并成功示范运行．
(1)超导体在温度特别低时电阻可以降到几乎为零，这种性质可以通过实验研究．将一个闭合超导金属圆环水平放置在匀强磁场中，磁感线垂直于圆环平面向上，逐渐降低温度使环发生由正常态到超导态的转变后突然撤去磁场，若此后环中的电流不随时间变化，则表明其电阻为零．请指出自上往下看环中电流方向，并说明理由．
(2)为探究该圆环在超导状态的电阻率上限ρ，研究人员测得撤去磁场后环中电流为I，并经一年以上的时间t未检测出电流变化．实际上仪器只能检测出大于ΔI的电流变化，其中ΔI?I，当电流的变化小于ΔI时，仪器检测不出电流的变化，研究人员便认为电流没有变化．设环的横截面积为S，环中定向移动电子的平均速率为v，电子质量为m、电荷量为e.试用上述给出的各物理量，推导出ρ的表达式．
(3)若仍使用上述测量仪器，实验持续时间依旧为t，为使实验获得的该圆环在超导状态的电阻率上限ρ的准确程度更高，请提出你的建议，并简要说明实现方法．
【解析】 (1)逆时针方向．
撤去磁场瞬间，环所围面积的磁通量突变为零，由楞次定律可知，环中电流的磁场方向应与原磁场方向相同，即向上．由右手螺旋定则可知，环中电流的方向是沿逆时针方向．
(2)设圆环周长为l、电阻为R，由电阻定律得
R＝ρ①
设t时间内环中电流释放焦耳热而损失的能量为ΔE，由焦耳定律得
ΔE ＝I2Rt②
设环中单位体积内定向移动电子数为n，则
I＝nevS③
式中n、e、S不变，只有定向移动电子的平均速率的变化才会引起环中电流的变化．电流变化大小取ΔI时，相应定向移动电子的平均速率变化的大小为Δv，则
ΔI＝neSΔv④
设环中定向移动电子减少的动能总和为ΔEk，则
ΔEk＝nlS⑤
由于ΔI?I，可得
ΔEk＝ΔI⑥
根据能量守恒定律，得
ΔE＝ΔEk⑦
联立上述各式，得
ρ＝⑧
(3)由ρ＝看出，在题设条件限制下，适当增大超导电流，可以使实验获得ρ 的准确程度更高，通过增大穿过该环的磁通量变化率可实现增大超导电流．
(2013·四川卷)在如图所示的竖直平面内，物体A和带正电的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，分别静止于倾角θ＝37°的光滑斜面上的M点和粗糙绝缘水平面上，轻绳与对应平面平行．劲度系数 k＝5 N/m的轻弹簧一端固定在O点，一端用另一轻绳穿过固定的光滑小环D与A相连，弹簧处于原长，轻绳恰好拉直，DM垂直于斜面．水平面处于场强E＝5×104 N/C、方向水平向右的匀强电场中．已知A、B的质量分别为mA＝0.1 kg和mB＝0.2 kg，B所带电荷量q＝＋4×10－6C.设两物体均视为质点，不计滑轮质量和摩擦，绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，B电量不变．取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.
(1)求B所受静摩擦力的大小；
(2)现对A施加沿斜面向下的拉力F，使A以加速度a＝0.6 m/s2开始做匀加速直线运动．A从M到N的过程中，B的电势能增加了ΔEp＝0.06 J．已知DN沿竖直方向，B与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4.求A到达N点时拉力F的瞬时功率．
【解析】
(1)F作用之前，A、B处于静止状态．设B所受静摩擦力大小为f0，A、B间绳的张力为T0，有
对A：T0＝mAgsinθ
对B：T0＝qE＋f0
联立，代入数据即可解得f0＝0.4 N
(2)物体A从M点到N点的过程中，A、B两物体的位移均为s，A、B间绳子张力为T，有
qEs＝ΔEp
T－μmBg－qE＝mBa
设A在N点时速度为v，受弹簧拉力为F弹，弹簧的伸长量为Δx，有
v2＝2as
F弹＝k·Δx
F＋mAgsinθ－F弹sinθ－T＝mAa
由几何关系知
Δx＝
设拉力F的瞬时功率为P，有P＝Fv
联立，代入数据解得
P＝0.528 W
【重点知识梳理】
一、点电荷和库仑定律
1．如何理解电荷量、元电荷、点电荷和试探电荷？
(1)电荷量是物体带电的多少，电荷量只能是元电荷的整数倍．
(2)元电荷不是电子，也不是质子，而是最小的电荷量，电子和质子带有最小的电荷量，即e＝1.6×10－19 C.
(3)点电荷要求“线度远小于研究范围的空间尺度”，是一种理想化的模型，对其带电荷量无限制．
(4)试探电荷要求放入电场后对原来的电场不产生影响，且要求在其占据的空间内场强“相同”，故其应为带电荷量“足够小”的点电荷．
2．库仑定律的理解和应用
(1)适用条件
①在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式．
②当两个带电体的间距远大于本身的大小时，可以把带电体看成点电荷．
(2)库仑力的方向
由相互作用的两个带电体决定，且同种电荷相互排斥，为斥力；异种电荷相互吸引，为引力．
二、库仑力作用下的平衡问题
1．分析库仑力作用下的平衡问题的思路
分析带电体平衡问题的方法与力学中分析物体平衡的方法是一样的，学会把电学问题力学化．分析方法是：
(1)确定研究对象．如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”，一般是先整体后隔离．
(2)对研究对象进行受力分析．
有些点电荷如电子、质子等可不考虑重力，而尘埃、液滴等一般需考虑重力．
(3)列平衡方程(F合＝0或Fx＝0，Fy＝0)或用平衡条件推论分析．
2．三个自由点电荷的平衡问题
(1)条件：两个点电荷在第三个点电荷处的合场强为零，或每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反．
(2)规律：“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上；
“两同夹异”——正负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷．
【高频考点突破】
考点一、点电荷和库仑定律
【例1】三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电量为q，球2的带电量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变．由此可知 (　　)
A．n＝3 B．n＝4 C．n＝5 D．n＝6
【例2】如图所示，两个质量均为m的完全相同的金属球壳a与b，其壳层的厚度和质量分布均匀，将它们固定于绝缘支座上，两球心间的距离L为球半径的3倍．若使它们带上等量异种电荷，使其电荷量的绝对值均为Q，那么a、b两球之间的万有引力F引、库仑力F库分别为(　　)
A．F引＝G，F库＝k B．F引≠G，F库≠k
C．F引≠G，F库＝k D．F引＝G，F库≠k
考点二、库仑力作用下的平衡问题
【例3】如图所示，电荷量为Q1、Q2的两个正电荷分别置于A点和B点，两点相距L，在以L为直径的光滑绝缘上半圆环上，穿着一个带电小球q(可视为点电荷)在P点平衡，若不计小球的重力，那么PA与AB的夹角α与Q1、Q2的关系满足(　　)
A．tan2 α＝ B．tan2 α＝
C．tan3 α＝ D．tan3 α＝
【例4】 如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q.现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，问：C应带什么性质的电？应放于何处？所带电荷量为多少？
【经典考题精析】
1．（2014·福建卷Ⅰ）如图，真空中xOy平面直角坐标系上的A、B、C三点构成等边三角形，边长L＝2.0 m．若将电荷量均为q＝＋2.0×10－6 C的两点电荷分别固定在A、B点，已知静电力常量k＝9×109 N·m2/C2，求：
(1)两点电荷间的库仑力大小；
(2)C点的电场强度的大小和方向．
2．（2014·北京卷）如图所示，实线表示某静电场的电场线，虚线表示该电场的等势面．下列判断正确的是(　　)
A．1、2两点的场强相等
B．1、3两点的场强相等
C．1、2两点的电势相等
2、3两点的电势相等
（2013·上海卷）10．两异种点电荷电场中的部分等势面如图所示，已知A点电势高于B点电势。若位于a、b处点电荷的电荷量大小分别为qa和qb，则
(A)a处为正电荷，qa＜qb
(B)a处为正电荷，qa＞qb
(C)a处为负电荷，qa＜qb
(D)a处为负电荷，qa＞qb
（2013·海南卷）如图，电荷量为q1和q2的两个点电荷分别位于P点和Q点。已知在P、Q连线至某点R处的电场强度为零，且PR=2RQ。则
A．q1=2q2 B．q1=4q2
C．q1=-2q2 D．q1=-4q2
（2012·浙江）19、用金属箔做成一个不带电的圆环，放在干燥的绝缘桌面上。小明同学用绝缘材料做的笔套与头发摩擦后，将笔套自上而下慢慢靠近圆环，当距离约为0.5cm时圆环被吸引到笔套上，如图所示。对上述现象的判断与分析，下列说法正确的是
A.摩擦使笔套带电
B. 笔套靠近圆环时，圆环上、下部感应出异号电荷
C. 圆环被吸引到笔套的过程中，圆环所受静电力的合力大于圆环的重力
D. 笔套碰到圆环后，笔套所带的电荷立刻被全部中和
【重点知识梳理】
一、场强的三个表达式的比较及场强的叠加
1．场强的三个表达式的比较
定义式
决定式
关系式
表达式
E＝F/q
E＝kQ/r2
E＝U/d
适用范围
任何电场
真空中的点电荷
匀强电场
说明
E的大小及方向与检验电荷的电荷量及存在与否无关．
Q：场源电荷的电荷量．
r：研究点到场源电荷的距离，用于均匀带电球体(或球壳)时，r是球心到研究点的距离，Q是整个球体的带电荷量．
U：电场中两点的电势差．
d：两点沿电场方向的距离.
2.电场的叠加原理
多个电荷在电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，这种关系叫电场强度的叠加，电场强度的叠加遵循平行四边形定则．
二、对电场线的进一步认识
1．点电荷的电场线的分布特点(如图5所示)
(1)离点电荷越近，电场线越密集，场强越强．
(2)若以点电荷为球心作一个球面，电场线处处与球面垂直，在此球面上场强大小处处相等，方向各不相同．
图5
图6
2．等量异种点电荷形成的电场中电场线的分布特点(如图6所示)
(1)两点电荷连线上各点，电场线方向从正电荷指向负电荷．
(2)两点电荷连线的中垂面(线)上，场强方向均相同，且总与中垂面(线)垂直．在中垂面(线)上到O点等距离处各点的场强相等(O为两点电荷连线的中点)．
(3)关于O点对称的两点A与A′，B与B′的场强等大、同向．
图7
3．等量同种点电荷形成的电场中电场线的分布特点(如图7所示)
(1)两点电荷连线中点O处场强为零．
(2)中点O附近的电场线非常稀疏，但场强并不为零．
(3)在中垂面(线)上从O点到无穷远，电场线先变密后变疏，即场强先变大后变小．
(4)两点电荷连线中垂线上各点的场强方向和该直线平行．
(5)关于O点对称的两点A与A′，B与B′的场强等大、反向．
4．匀强电场中电场线分布特点(如图8所示)
图8
电场线是平行、等间距的直线，场强方向与电场线平行．
【高频考点突破】
考点一、场强的叠加
【例1】如图甲所示，在一个点电荷Q形成的电场中，Ox坐标轴与它的一条电场线重合，坐标轴上A、B两点的坐标分别为2.0 m和5.0 m．放在A、B两点的试探电荷受到的电场力方向都跟x轴的正方向相同，电场力的大小跟试探电荷所带电荷量的关系图象如图乙中直线a、b所示，放在A点的电荷带正电，放在B点的电荷带负电．求：
(1)B点的电场强度的大小和方向；
(2)试判断点电荷Q的电性，并说明理由；
(3)点电荷Q的位置坐标．
【例2】如图所示，电量为＋q和－q的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有(　　)
A．体中心、各面中心和各边中点
B．体中心和各边中点
C．各面中心和各边中点
D．体中心和各面中心
考点二、电场线
【例3】 某一点电荷的电场线分布图如图所示，下列表述正确的是(　　)
A．a点的电势高于b点的电势
B．该点电荷带负电
C．a点和b点电场强度的方向相同
D．a点的电场强度大于b点的电场强度
【答案】BD
【解析】沿电场线方向电势降低，故A选项错误；由图中电场线分布知，此场为一负点电荷的电场线分布图，B项正确；电场线密集处场强大，C项错误、D项正确．
【例4】如图所示，M、N为两个固定的等量同种正电荷，在其连线的中垂线上的P点放一个静止的负电荷(重力不计)，下列说法中正确的是(　　)
A．从P到O，可能加速度越来越小，速度越来越大
B．从P到O，可能加速度先变大，再变小，速度越来越大
C．越过O点后，加速度一直变大，速度一直变小
D．越过O点后，加速度一直变小，速度一直变小
考点三、电场中的力学问题
【例5】反射式速调管是常用的微波器件之一，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其振荡原理与下述过程类似．如图所示，在虚线MN两侧分别存在着方向相反的两个匀强电场，一带电微粒从A点由静止开始，在电场力作用下沿直线在A、B两点间往返运动．已知电场强度的大小分别是E1＝2.0×103 N/C和E2＝4.0×103 N/C，方向如图所示，带电微粒质量m＝1.0×10－20 kg，带电荷量q＝－1.0×10－9 C，A点距虚线MN的距离d1＝1.0 cm，不计带电微粒的重力，忽略相对论效应．求：
(1)B点距虚线MN的距离d2；
(2)带电微粒从A点运动到B点所经历的时间t.
【经典考题精析】
【2014高考在线】
1．（2014·广东卷）如图12所示，光滑绝缘的水平桌面上，固定着一个带电荷量为＋Q的小球P，带电荷量分别为－q和＋2q的小球M和N，由绝缘细杆相连，静止在桌面上，P与M相距L，P、M和N视为点电荷，下列说法正确的是(　　)
A．M与N的距离大于L
B．P、M和N在同一直线上
C．在P产生的电场中，M、N处的电势相同
D．M、N及细杆组成的系统所受合外力为零
2．（2014·福建卷Ⅰ）如图，真空中xOy平面直角坐标系上的A、B、C三点构成等边三角形，边长L＝2.0 m．若将电荷量均为q＝＋2.0×10－6 C的两点电荷分别固定在A、B点，已知静电力常量k＝9×109 N·m2/C2，求：
(1)两点电荷间的库仑力大小；
(2)C点的电场强度的大小和方向．
A、B两点电荷形成的电场在C点的合场强大小为
E＝2E1cos 30°④
由③④式并代入数据得E＝7.8×103 N/C⑤
场强E的方向沿y轴正方向．
3．（2014·北京卷）如图所示，实线表示某静电场的电场线，虚线表示该电场的等势面．下列判断正确的是(　　)
A．1、2两点的场强相等
B．1、3两点的场强相等
C．1、2两点的电势相等
D．2、3两点的电势相等
【2013高考真题】
1．（2013·江苏卷） 下列选项中的各圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各 圆环间彼此绝缘．坐标原点O处电场强度最大的是(　　)
A　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
2．（2013·新课标全国卷Ⅰ） 如图，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷．已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为(k为静电力常量)(　　)
A．k　　　　　　　　B．k
C．k D．k
3．（2013·江苏卷） 将一电荷量为＋Q的小球放在不带电的金属球附近，所形成的电场线分布如图所示，金属球表面的电势处处相等．a、b为电场中的两点，则(　　)
A．a点的电场强度比b点的大
B．a点的电势比b点的高
C．检验电荷－q在a点的电势能比在b点的大
D．将检验电荷－q从a点移到b点的过程中，电场力做负功
4.（2013·天津卷） 两个带等量正电的点电荷，固定在图中P、Q两点，MN为PQ连线的中垂线，交PQ于O点，A为MN上的一点．一带负电的试探电荷q，从A点由静止释放，只在静电力作用下运动，取无限远处的电势为零，则(　　)
A．q由A向O的运动是匀加速直线运动
B．q由A向O运动的过程电势能逐渐减小
C．q运动到O点时的动能最大
D．q运动到O点时电势能为零
【2012高考真题】
1．（2012·浙江卷） 用金属箔做成一个不带电的圆环，放在干燥的绝缘桌面上．小明同学用绝缘材料做的笔套与头发摩擦后，将笔套自上向下慢慢靠近圆环，当距离约为0.5 cm时圆环被吸引到笔套上，如图所示．对上述现象的判断与分析，下列说法正确的是(　　)
A．摩擦使笔套带电
B．笔套靠近圆环时，圆环上、下部感应出异号电荷
C．圆环被吸引到笔套的过程中，圆环所受静电力的合力大于圆环的重力
D．笔套碰到圆环后，笔套所带的电荷立刻被全部中和
【答案】ABC　【解析】笔套与头发摩擦，笔套带电，故选项A正确；带电的笔套靠近金属箔做成的圆环，由于静电感应，在圆环的上、下部感应出异种电荷，故选项B正确；圆环被吸引到笔套上的过程中，圆环有向上的加速度，静电力大于圆环的重力，故选项C正确；笔套碰到圆环后，笔套上的电荷有一部分转移到圆环，不会立刻被全部中和，故选项D错误．
2．（2012·江苏卷） 真空中，A、B 两点与点电荷Q 的距离分别为r 和3r，则A、B 两点的电场强度大小之比为(　　)
A．3∶1　　　B．1∶3　　　C．9∶1　　　D．1∶9
3．（2012·海南卷） 如图1，在两水平极板间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直于纸面向里．一带电粒子以某一速度沿水平直线通过两极板，若不计重力，下列四个物理量中哪一个改变时，粒子运动轨迹不会改变？(　　)
图1
A．粒子速度的大小
B．粒子所带的电荷量
C. 电场强度
D．磁感应强度
4．（2012·安徽卷） 如图8所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电荷量为σ，其轴线上任意一点P(坐标为x)的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E＝2πkσ[1－]，方向沿x轴．现考虑单位面积带电荷量为σ0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图9所示．则圆孔轴线上任意一点Q(坐标为x)的电场强度为(　　)
图8　　　　　　　　图9　　　
A．2πkσ0
B．2πkσ0
C．2πkσ0
D．2πkσ0
【当堂巩固】
1．一负电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的速度—时间图象如图所示．则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是下图中的(　　)
2．如图所示，有一带电物体处在一个斜向上的匀强电场E中，由静止开始沿天花板向左做匀速直线运动，下列说法正确的是(　　)
A．物体一定带正电
B．物体一定带负电
C．物体不一定受弹力的作用
D．物体一定受弹力的作用
3．如图所示，一电子沿等量异种电荷的中垂线由A→O→B匀速飞过，电子重力不计，则电子所受另一个力的大小和方向变化情况是(　　)
A．先变大后变小，方向水平向左
B．先变大后变小，方向水平向右
C．先变小后变大，方向水平向左
D．先变小后变大，方向水平向右
力应与电子所受电场力大小相等、方向相反．电子受的电场力与场强方向相反，即水平向左，电子从A→O→B过程中，电场力由小变大，再由大变小，故另一个力方向应水平向右，其大小应先变大后变小，所以选项B正确。
4．如图所示，真空中O点有一点电荷，在它产生的电场中有a、b两点，a点的场强大小为Ea，方向与ab连线成60°角，b点的场强大小为Eb，方向与ab连线成30°，关于a、b两点场强Ea、Eb及电势φa、φb的关系，正确的是(　　)
A．Ea＝3Eb，φa>φb B．Ea＝3Eb，φa<φb
C．Ea＝，φa<φb D．Ea＝Eb，φa<φb
5．如图所示，在光滑绝缘水平面上有两个分别带异种电荷的小球A和B，它们均在水平向右的匀强电场中向右做匀加速运动，且始终保持相对静止．设小球A的电荷量为QA，小球B的电荷量为QB，则下列判断正确的是(　　)
A．小球A带正电，小球B带负电，且QA＞QB
B．小球A带正电，小球B带负电，且QA＜QB
C．小球A带负电，小球B带正电，且QA＞QB
D．小球A带负电，小球B带正电，且QA＜QB
6．如图所示，一质量为m、带电荷量为q的物体处于场强按E＝E0－kt(E0、k均为大于零的常数，取水平向左为正方向)变化的电场中，物体与竖直墙壁间动摩擦因数为μ，当t＝0时刻物体处于静止状态．若物体所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且电场空间和墙面均足够大，下列说法正确的是(　　)
A．物体开始运动后加速度先增加、后减小
B．物体开始运动后加速度不断增大
C．经过时间t＝，物体在竖直墙壁上的位移达最大值
D．经过时间t＝，物体运动速度达最大值
7．如图所示，一带电荷量为q＝－5×10－3 C，质量为m＝0.1 kg的小物块处于一倾角为θ＝37°的光滑绝缘斜面上，当整个装置处于一水平向左的匀强电场中时，小物块恰处于静止状态．(g取10 m/s2)求：
(1)电场强度多大？
(2)若从某时刻开始，电场强度减小为原来的，物块下滑距离L＝1.5 m时的速度大小？
答案：(1)150 N/C　(2)3 m/s
解析：(1)小物块受力如图，由受力平衡得：qE－FNsin θ＝0①
mg－FNcos θ＝0②
由①②得E＝
代入数据得E＝150 N/C.
(2)由牛顿第二定律得：
mgsin θ－cos θ＝ma③
v2＝2aL④
由③④得v＝
代入数据得速度大小为：v＝3 m/s.
8．如图所示，倾角为θ的斜面AB是粗糙且绝缘的，AB长为L，C为AB的中点，在A、C之间加一方向垂直斜面向上的匀强电场，与斜面垂直的虚线CD为电场的边界．现有一质量为m、电荷量为q的带正电的小物块(可视为质点)，从B点开始在B、C间以速度v0沿斜面向下做匀速运动，经过C后沿斜面匀加速下滑，到达斜面底端A时的速度大小为v.试求：
(1)小物块与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)匀强电场场强E的大小．
由以上几式解得E＝.
【重点知识梳理】
一、电势能
1．定义：因电场对电荷有作用力而产生的由电荷相对位置决定的能量叫电势能。
2．电势能具有相对性，通常取无穷远处或大地为电势能的零点。
3．电势能大小：电荷在电场中某点的电势能在数值上等于把电荷从这点移到电势能为零处电场力所做的功
4．电场力做功是电势能变化的量度：电场力对电荷做正功，电荷的电势能减少；电荷克服电场力做功，电荷的电势能增加；电场力做功的多少和电势能的变化数值相等，这是判断电荷电势能如何变化的最有效方法。
二、电势
1．电势：电场中某点的电势，等于单位正电荷由该点移动到参考点（零电势点）时电场力所做的功。电势用字母φ表示。
①表达式： 单位：伏特（V），且有1V=1J/C。
②意义：电场中某一点的电势在数值等于单位电荷在那一点所具有的电势能。
③相对性：电势是相对的，只有选择零电势的位置才能确定电势的值，通常取无限远或地球的电势为零。
④标量：只有大小，没有方向，但有正、负之分，这里正负只表示比零电势高还是低。
⑤高低判断：顺着电场线方向电势越来越低。
三、等势面：电场中电势相等的点构成的面。
①意义：等势面来表示电势的高低。
②典型电场的等势面：ⅰ匀强电场； ⅱ点电荷电场； ⅲ等量的异种点电荷电场； ⅳ等量的同种点电荷电场。
③等势面的特点： ⅰ同一等势面上的任意两点间移动电荷电场力不做功；ⅱ等势面一定跟电场线垂直；
ⅲ电场线总是从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。
四、电势差
1．电势差：电荷q在电场中由一点A移动到另一点B时，电场力所做的功WAB与电荷量的q的比值。
UAB =
注意：电势差这个物理量与场中的试探电荷无关，它是一个只属于电场的量。电势差是从能量角度表征电场的一个重要物理量。
电势差也等于电场中两点电势之差
①
②电势差由电场的性质决定，与零电势点选择无关。
2．电场力做功：在电场中AB两点间移动电荷时，电场力做功等于电量与两点间电势差的乘积。 WAB = q?UAB
注意： ①该式适用于一切电场； ②电场力做功与路径无关
③利用上述结论计算时，均用绝对值代入，而功的正负，借助于力与移动方向间关系确定。
五、电势差与电场强度关系
1．电场方向是指向电势降低最快的方向。在匀强电场中，电势降低是均匀的。
2．匀强电场中，沿场强方向上的两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积。
U=E?d
在匀强电场中，场强在数值上等于沿场强方向每单位距离上降低的电势。
注意：①两式只适用于匀强电场。②d是沿场方向上的距离。
3．电场线和等势面
要牢记以下6种常见的电场的电场线和等势面：
注意电场线、等势面的特点和电场线与等势面间的关系：
①电场线的方向为该点的场强方向，电场线的疏密表示场强的大小。
②电场线互不相交，等势面也互不相交。
③电场线和等势面在相交处互相垂直。
④电场线的方向是电势降低的方向，而且是降低最快的方向。
⑤电场线密的地方等差等势面密；等差等势面密的地方电场线也密。
六、电荷引入电场
1．将电荷引入电场
将电荷引入电场后，它一定受电场力Eq，且一定具有电势能φq。
2．在电场中移动电荷电场力做的功
在电场中移动电荷电场力做的功W=qU，只与始末位置的电势差有关。在只有电场力做功的情况下，电场力做功的过程是电势能和动能相互转化的过程。W= -ΔE=ΔEK。
⑴无论对正电荷还是负电荷，只要电场力做功，电势能就减小；克服电场力做功，电势能就增大。
⑵正电荷在电势高处电势能大；负电荷在电势高处电势能小。
⑶利用公式W=qU进行计算时，各量都取绝对值，功的正负由电荷的正负和移动的方向判定。
⑷每道题都应该画出示意图，抓住电场线这个关键。（电场线能表示电场强度的大小和方向，能表示电势降低的方向。有了这个直观的示意图，可以很方便地判定点电荷在电场中受力、做功、电势能变化等情况。）
七、带电粒子在电场中的运动
1.带电粒子在匀强电场中的加速
一般情况下带电粒子所受的电场力远大于重力，所以可以认为只有电场力做功。由动能定理W=qU=ΔEK，此式与电场是否匀强无关，与带电粒子的运动性质、轨迹形状也无关。
2.带电粒子在匀强电场中的偏转
质量为m电荷量为q的带电粒子以平行于极板的初速度v0射入长L板间距离为d的平行板电容器间，两板间电压为U，求射出时的侧移、偏转角和动能增量。
（1）侧移：千万不要死记公式，要清楚物理过程。根据不同的已知条件，结论改用不同的表达形式（已知初速度、初动能、初动量或加速电压等）。
（2）偏角：，注意到，说明穿出时刻的末速度的反向延长线与初速度延长线交点恰好在水平位移的中点。这一点和平抛运动的结论相同。
⑶穿越电场过程的动能增量：ΔEK=Eqy （注意，一般来说不等于qU）
3.带电物体在电场力和重力共同作用下的运动。
当带电体的重力和电场力大小可以相比时，不能再将重力忽略不计。这时研究对象经常被称为“带电微粒”、“带电尘埃”、“带电小球”等等。这时的问题实际上变成一个力学问题，只是在考虑能量守恒的时候需要考虑到电势能的变化。
【高频考点突破】
考点一 、电场能的性质
例1、在光滑的绝缘水平面上，有一个正方形abcd，顶点a、c处分别固定一个正点电荷，电荷量相等，如图6－2－2所示．若将一个带负电的粒子置于b点，自由释放，粒子将沿着对角线bd往复运动．粒子从b点运动到d点的过程中 (　　)
A．先做匀加速运动，后做匀减速运动
B．先从高电势到低电势，后从低电势到高电势
C．电势能与机械能之和先增大，后减小
D．电势能先减小，后增大
(2)研究电势能的变化关键是分析电场力做功，电场力
做正功，电势能减少，电场力做负功，电势能增加.
考点二、带电粒子运动
例2、某空间存在竖直向上的匀强电场，质量为m的带正电的微粒水平射入电场中，微粒的运动轨迹如图所示，在相等的时间间隔内 (　　)
A．重力做的功相等
B．电场力做的功相等
C．电场力做的功大于重力做的功
D．电场力做的功小于重力做的功
【特别提醒】带电粒子在电场中运动时，如果只有电场力做功，则电势能和动能之和不变，如果只有重力和电场力做功，则电势能、重力势能和动能三者之和守恒.
考点三、综合问题探究
例3、一长为L的细线，上端固定，下端拴一质量为m、带电荷量为q的小球，处于如图所示的水平向右的匀强电场中，开始时，将线与小球拉成水平，然后释放，小球由静止开始向下摆动，当细线转过60°角时，小球到达B点速度恰好为零．试求：
(1)AB两点的电势差UAB；
(2)匀强电场的场强大小；
(3)小球到达B点时，细线对小球的拉力大小．

【经典考题精析】
【2014高考真题】
1．（2014·重庆卷）如题3图所示为某示波管内的聚焦电场，实线和虚线分别表示电场线和等势线．两电子分别从a、b两点运动到c点，设电场力对两电子做的功分别为Wa和Wb，a、b点的电场强度大小分别为Ea和Eb，则(　　)
题3图
A．Wa＝Wb，Ea＞Eb B．Wa≠Wb，Ea＞Eb
C．Wa＝Wb，Ea＜Eb D．Wa≠Wb，Ea＜Eb
2．（2014·新课标全国卷Ⅰ）如图所示，在正点电荷Q的电场中有M、N、P、F四点，M、N、P为直角三角形的三个顶点，F为MN的中点，∠M＝30°.M、N、P、F四点处的电势分别用φM、φN、φP、φF表示，已知φM＝φN，φF＝φP，点电荷Q在M、N、P三点所在平面内，则(　　)
A．点电荷Q一定在MP的连线上
B．连接PF的线段一定在同一等势面上
C．将正试探电荷从P点搬运到N点，电场力做负功
D．φP大于φM
3．（2014·新课标Ⅱ卷）关于静电场的电场强度和电势，下列说法正确的是(　　)
A．电场强度的方向处处与等电势面垂直
B．电场强度为零的地方，电势也为零
C．随着电场强度的大小逐渐减小，电势也逐渐降低
D．任一点的电场强度总是指向该点电势降落最快的方向
4．（2014·广东卷）如图12所示，光滑绝缘的水平桌面上，固定着一个带电荷量为＋Q的小球P，带电荷量分别为－q和＋2q的小球M和N，由绝缘细杆相连，静止在桌面上，P与M相距L，P、M和N视为点电荷，下列说法正确的是(　　)
A．M与N的距离大于L
B．P、M和N在同一直线上
C．在P产生的电场中，M、N处的电势相同
D．M、N及细杆组成的系统所受合外力为零
5．（2014·全国卷）地球表面附近某区域存在大小为150 N/C、方向竖直向下的电场．一质量为1.00×10－4 kg、带电荷量为－1.00×10－7 C的小球从静止释放，在电场区域内下落10.0 m．对此过程，该小球的电势能和动能的改变量分别为(重力加速度大小取9.80 m/s2，忽略空气阻力)(　　)
A．－1.50×10－4 J和9.95×10－3 J
B．1.50×10－4 J和9.95×10－3 J
C．－1.50×10－4 J和9.65×10－3 J
D．1.50×10－4 J和9.65×10－3 J
6．（2014·北京卷）如图所示，实线表示某静电场的电场线，虚线表示该电场的等势面．下列判断正确的是(　　)
A．1、2两点的场强相等
B．1、3两点的场强相等
C．1、2两点的电势相等
2、3两点的电势相等
【2013高考真题】
1．（2013·江苏卷） 将一电荷量为＋Q的小球放在不带电的金属球附近，所形成的电场线分布如图所示，金属球表面的电势处处相等．a、b为电场中的两点，则(　　)[21世纪教育网）
A．a点的电场强度比b点的大
B．a点的电势比b点的高
C．检验电荷－q在a点的电势能比在b点的大
D．将检验电荷－q从a点移到b点的过程中，电场力做负功
2．（2013·天津卷） 两个带等量正电的点电荷，固定在图中P、Q两点，MN为PQ连线的中垂线，交PQ于O点，A为MN上的一点．一带负电的试探电荷q，从A点由静止释放，只在静电力作用下运动，取无限远处的电势为零，则(　　)
A．q由A向O的运动是匀加速直线运动
B．q由A向O运动的过程电势能逐渐减小
C．q运动到O点时的动能最大
D．q运动到O点时电势能为零
【2012高考真题】
1．（2012·天津卷） 两个固定的等量异号点电荷所产生电场的等势面如图中虚线所示，一带负电的粒子以某一速度从图中A点沿图示方向进入电场在纸面内飞行，最后离开电场，粒子只受静电力作用，则粒子在电场中(　　)
A．做直线运动，电势能先变小后变大
B．做直线运动，电势能先变大后变小
C．做曲线运动，电势能先变小后变大
D．做曲线运动，电势能先变大后变小
2．（2012·山东卷） 图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷．一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点．则该粒子(　　)
A．带负电
B．在c点受力最大
C．在b点的电势能大于在c点的电势能
D．由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化
3．（2012·广东卷） 图5是某种静电矿料分选器的原理示意图，带电矿粉经漏斗落入水平匀强电场后，分落在收集板中央的两侧．对矿粉分离的过程，下列表述正确的有(　　)
图5
A．带正电的矿粉落在右侧
B．电场力对矿粉做正功
C．带负电的矿粉电势能变大
D．带正电的矿粉电势能变小
【答案】BD　【解析】电场线的方向是由右向左，所以正电荷受到向左的电场力、负电荷受到向右的电场力，电场力对正电荷或负电荷都做正功，电势能减小，故A、C错，B、D对．
4．（2012·福建卷） 如图，在点电荷Q产生的电场中，将两个带正电的试探电荷q1、q2分别置于A、B两点，虚线为等势线．取无穷远处为零电势点，若将q1、q2移动到无穷远的过程中外力克服电场力做的功相等，则下列说法正确的是(　　)
A．A点电势大于B点电势
B．A、B两点的电场强度相等
C．q1的电荷量小于q2的电荷量
D．q1在A点的电势能小于q2在B点的电势能
【答案】C　
5．（2012·安徽卷） 如图5所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0 V，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　)
图5
A．200 V/m　　　　　B．200 V/m
C．100 V/m D．100 V/m
【重点知识梳理】
1.电容器
两个彼此绝缘又相隔很近的导体都可以看成一个电容器。
2.电容器的电容
电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量，是由电容器本身的性质（导体大小、形状、相对位置及电介质）决定的。
3.平行板电容器的电容
平行板电容器的电容的决定式是：
4.两种不同变化
电容器和电源连接如图，改变板间距离、改变正对面积或改变板间电解质材料，都会改变其电容，从而可能引起电容器两板间电场的变化。这里一定要分清两种常见的变化：
（1）电键K保持闭合，则电容器两端的电压恒定（等于电源电动势），这种情况下带电量而
（2）充电后断开K，保持电容器带电量Q恒定，这种情况下
5. 电容器与恒定电流相联系
在直流电路中，电容器的充电过程非常短暂，除充电瞬间以外，电容器都可以视为断路。应该理解的是：电容器与哪部分电路并联，电容器两端的电压就必然与那部分电路两端电压相等。
6、电容器力学综合
电容器通过电学与力学知识联系起来时，解答这一类题目的关键还是在力学上，只要在对物体进行受力分析时，注意对带电体所受的电场力分析，再应用力学相关知识即可求解。必须注意的是：当带电体运动过程中与其它导体有接触时，有可能所带电量要发生变化。
【高频考点突破】
考点一、考查平行板电容器
【例1】 如图所示，用电池对电容器充电，电路a、b之间接有一灵敏电流表，两极板间有一个电荷q处于静止状态．现将两极板的间距变大，则(　　)
A．电荷将向上加速运动
B．电荷将向下加速运动
C．电流表中将有从a到b的电流
D．电流表中将有从b到a的电流
【特别提醒】求与平行板电容器有关的问题时，应从平行板电容器的电容决定式入手，首先确定不变量，然后根据电容决定式C＝，进行推导讨论，找出各物理量之间的关系，从而得出正确结论．
【经典考题精析】
【2014高考在线】
1．（2014·天津卷）如图所示，电路中R1、R2均为可变电阻，电源内阻不能忽略，平行板电容器C的极板水平放置．闭合开关S，电路达到稳定时，带电油滴悬浮在两板之间静止不动．如果仅改变下列某一个条件，油滴仍能静止不动的是(　　)
A．增大R1的阻值
B．增大R2的阻值
C．增大两板间的距离
D．断开开关S
【2013高考真题】
1．（2013·新课标全国卷Ⅰ） 一水平放置的平行板电容器的两极板间距为d，极板分别与电池两极相连，上极板中心有一小孔(小孔对电场的影响可忽略不计)．小孔正上方处的P点有一带电粒子，该粒子从静止开始下落，经过小孔进入电容器，并在下极板处(未与极板接触)返回．若将下极板向上平移，则从P点开始下落的相同粒子将(　　)
A．打到下极板上
B．在下极板处返回
C．在距上极板处返回
D．在距上极板d处返回
【2012高考真题】
1．（2012·课标全国卷） 如图，平行板电容器的两个极板与水平地面成一角度，两极板与一直流电源相连．若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器，则在此过程中，该粒子(　　)
图4
A．所受重力与电场力平衡
B．电势能逐渐增加
C．动能逐渐增加
D．做匀变速直线运动
【答案】BD　
【解析】带电粒子所受的电场力与平行板电容器垂直，粒子做直线运动，由受力分析可得粒子所受的电场力与重力的合力必与运动方向相反，粒子做匀减速直线运动，A、C错误，D正确；因电场力做负功，故粒子电势能逐渐增加，B正确．
2．（2012·江苏卷） 一充电后的平行板电容器保持两极板的正对面积、间距和电荷量不变，在两极板间插入一电介质，其电容C和两极板间的电势差U的变化情况是(　　)
A．C和U均增大 B．C增大，U减小
C．C减小，U增大 D．C和U均减小
【当堂巩固】
1．该图为静电除尘机理的示意图，尘埃在电场中通过某种机制带电，在电场力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的，下列表述正确的是(　　)
A．到达集尘极的尘埃带正电荷
B．电场方向由集尘极指向放电极
C．带电尘埃所受电场力的方向与电场方向相同
D．同一位置带电荷量越多的尘埃所受电场力越大
2．板间距为d的平行板电容器所带电荷量为Q时，两极板间电势差为U1，板间场强为E1.现将电容器所带电荷量变为2Q，板间距变为d，其他条件不变，这时两极板间电势差U2，板间场强为E2，下列说法正确的是(　　)
A．U2＝U1，E2＝E1
B．U2＝2U1，E2＝4E1
C．U2＝U1，E2＝2E1
D．U2＝2U1，E2＝2E1
3．在一块半导体基板上阵列了10万金属颗粒，每一颗粒充当电容器的一极，外表面绝缘，手指贴在其上构成电容器的另一极，这就组成了指纹传感器．当手指的指纹一面与绝缘表面接触时，由于指纹深浅不同，对应的峪和嵴与颗粒间形成一个个电容值大小不同的电容器，则(　　)
A．指纹的嵴处与半导体基板上对应的金属颗粒距离近，电容小
B．指纹的峪处与半导体基板上对应的金属颗粒距离远，电容小
C．对每个电容感应颗粒都充电至某一参考电压，在手指靠近时，各金属电极电荷量减小
D．对每个电容感应颗粒都充电至某一参考电压，在手指远离时，各金属电极均处于充电状态
4．如图所示，当S闭合后，一带电微粒在平行板电容器间处于静止状态，下列说法正确的是(　　)
A．保持S闭合，使滑片P向左滑动，微粒仍静止
B．断开S后，使两板错开一定距离，微粒仍静止
C．断开S后，使两极板靠近，则微粒将向上运动
D．断开S后，使两极板靠近，则微粒仍保持静止
5．如图所示的电路中，电容器的电容C1＝2C2，电源的电动势为E＝6.0 V，内阻为r＝1.0 Ω，电压表的规格为1.0 kΩ、6.0 V，当电路达到稳定状态后，则(　　)
A．电压表读数为3.0 V
B．电压表读数为2.0 V
C．静电计两端电势差为6.0 V
D．电压表上电势差为6.0 V
5．C　【解析】电容在直流电路视为断路，此时电压表为一无电流通过的电阻，则电压表读数为0，静电计两端电势差为6.0 V，答案为C.
6．带电小球悬挂在平行板电容器内部，闭合开关S，电容器充电后，悬线与竖直方向的夹角为θ，如图所示．下列方法中能使夹角θ减小的是(　　)
A．保持开关闭合，使两极板靠近一些
B．保持开关闭合，使滑动变阻器滑片向右移动
C．保持开关闭合，使两极板远离一些
D．断开开关，使两极板靠近一些
7．传感器是一种采集信息的重要器件，如图所示是一种测定压力的电容式传感器．当待测压力F作用于可动膜片电极上时，以下说法中正确的是(　　)
A．若F向上压膜片电极，电路中有从a到b的电流
B．若F向上压膜片电极，电路中有从b到a的电流
C．若F向上压膜片电极，电路中不会出现电流
D．若电流表有示数，则说明压力F发生变化
8．电子所带电荷量最早是由美国科学家密立根通过油滴实验测出的．油滴实验的原理如图所示，两块水平放置的平行金属板与电源连接，上、下板分别带正、负电荷．油滴从喷雾器喷出后，由于摩擦而带电．油滴进入上板中央小孔后落到匀强电场中，通过显微镜可以观察到油滴的运动情况．两金属板间的距离为d，忽略空气对油滴的浮力和阻力．
(1)调节两金属板间的电势差u，当u＝U0时，使得某个质量为m1的油滴恰好做匀速运动．该油滴所带电荷量q为多少？
(2)若油滴进入电场时的速度可以忽略，当两金属板间的电势差u＝U时，观察到某个质量为m2的油滴进入电场后做匀加速运动，经过时间t运动到下极板，求此油滴所带电荷量Q.
9．在真空中水平放置一个平行板电容器，两极板间有一个带电油滴，电容器两板间距为d，当平行板电容器的电压为U0时，油滴保持静止状态，如图所示．给电容器突然充电使其电压增加ΔU1，油滴开始向上运动；经时间Δt后，电容器突然放电使其电压减少ΔU2，又经过时间Δt，油滴恰好回到原来的位置．假设油滴在运动过程中电荷量不变，充电和放电的过程均很短暂，这段时间内油滴的位移可忽略不计，重力加速度为g.试求：
(1)带电油滴所带电荷量与质量之比；
(2)第一个Δt与第二个Δt时间内油滴运动的加速度大小之比；
(3)ΔU1与ΔU2之比．

【2015考纲解读】
1.能运用运动的合成与分解解决带电粒子的偏转问题.
2.用动力学方法解决带电粒子在电场中的直线运动问题．
【重点知识梳理】
1．带电粒子在电场中加速
若不计粒子的重力，则电场力对带电粒子做的功等于带电粒子动能的增加量．
(1)在匀强电场中：W＝qEd＝qU＝mv2－mv或F＝qE＝q＝ma.
(2)在非匀强电场中：W＝qU＝mv2－mv.
2．带电粒子在电场中的偏转
(1)条件分析：带电粒子垂直于电场线方向进入匀强电场．
(2)运动性质：匀变速曲线运动．
(3)处理方法：分解成相互垂直的两个方向上的直线运动，类似于平抛运动．
(4)运动规律：
①沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间

②沿电场力方向，做匀加速直线运动

【特别提醒】带电粒子在电场中的重力问题
(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有说明或有明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)．
(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力．
【高频考点】
考点1　带电粒子(或物体)在电场中的直线运动
例1、如图5所示，质量m＝2.0×10－4 kg、电荷量q＝1.0×10－6 C的带正电微粒静止在空间范围足够大的电场强度为E的匀强电场中．取g＝10 m/s2.
图5
(1)求匀强电场的电场强度E的大小和方向；
(2)在t＝0时刻，电场强度大小突然变为E0＝4.0×103 N/C，方向不变．求在t＝0.20 s时间内电场力做的功；
(3)在t＝0.20 s时刻突然撤掉电场，求带电微粒回到出发点时的动能．
(3)设在t＝0.20 s时刻突然撤掉电场时微粒的速度大小为v，回到出发点时的动能为Ek，则
v＝at
由动能定理得mgh＝Ek－mv2
解得：Ek＝8.0×10－4 J21世纪教育网
答案　(1)2.0×103 N/C　方向向上　(2)8.0×10－4 J　(3)8.0×10－4 J
【变式探究】电荷量为q＝1×10－4 C的带正电的小物块置于绝缘粗糙水平面上，所在空间存在沿水平方向始终不变的电场，电场强度E的大小与时间t的关系和物块的速度v与时间t的关系分别如图6甲、乙所示，若重力加速度g取10 m/s2，根据图象所提供的信息，下列说法正确的是 (　　)
　　　
甲　　　　　　　　　　　乙
图6
A．物块在4 s内的总位移x＝6 m
B．物块的质量m＝0.5 kg
C．物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2
D．物块在4 s内电势能减少14 J
考点2　带电粒子在电场中的偏转
1．带电粒子在匀强电场中偏转时的两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的．
证明：由qU0＝mv
y＝at2＝··()2
tan θ＝
得：y＝，tan θ＝
(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为.
2．带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差．
例2、如图7所示，两平行金属板A、B长为L＝8 cm，两板间距离d＝8 cm，A板比B板电势高300 V，一带正电的粒子电荷量为q＝1.0×10－10 C，质量为m＝1.0×10－20 kg，沿电场中心线RO垂直电场线飞入电场，初速度v0＝2.0×106 m/s，粒子飞出电场后经过界面MN、PS间的无电场区域，然后进入固定在O点的点电荷Q形成的电场区域(设界面PS右侧点电荷的电场分布不受界面的影响)．已知两界面MN、PS相距为12 cm，D是中心线RO与界面PS的交点，O点在中心线上，距离界面PS为9 cm，粒子穿过界面PS做匀速圆周运动，最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏bc上．(静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，粒子的重力不计)
图7
(1)求粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离多远？到达PS界面时离D点多远？
(2)在图上粗略画出粒子的运动轨迹．
(3)确定点电荷Q的电性并求其电荷量的大小．
解析　(1)粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离(侧向位移)：
y＝at2
a＝＝
L＝v0t
则y＝at2＝()2＝0.03 m＝3 cm
粒子在离开电场后将做匀速直线运动，其轨迹与PS交于H，设H到中心线的距离为Y，则有
＝，解得Y＝4y＝12 cm
【方法突破】
带电粒子在电场中运动问题的两种求解思路
1．运动学与动力学观点
(1)运动学观点是指用匀变速运动的公式来解决实际问题，一般有两种情况：
①带电粒子初速度方向与电场线共线，则粒子做匀变速直线运动；
②带电粒子的初速度方向垂直电场线，则粒子做匀变速曲线运动(类平抛运动)．
(2)当带电粒子在电场中做匀变速曲线运动时，一般要采取类似平抛运动的解决方法．
2．功能观点：首先对带电粒子受力分析，再分析运动形式，然后根据具体情况选用公式计算．
(1)若选用动能定理，则要分清有多少个力做功，是恒力做功还是变力做功，同时要明确初、末状态及运动过程中的动能的增量．
(2)若选用能量守恒定律，则要分清带电粒子在运动中共有多少种能量参与转化，哪些能量是增加的，哪些能量是减少的．
【变式探究】如图8所示，在两条平行的虚线内存在着宽度为L、电场强度为E的匀强电场，在与右侧虚线相距也为L处有一与电场平行的屏．现有一电荷量为＋q、质量为m的带电粒子(重力不计)，以垂直于电场线方向的初速度v0射入电场中，v0方向的延长线与屏的交点为O.试求：
图8
(1)粒子从射入电场到打到屏上所用的时间；
(2)粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值tan α；
(3)粒子打在屏上的点P到O点的距离x.
【高考真题例析】
1.（2014·山东卷）如图所示，场强大小为E、方向竖直向下的匀强电场中有一矩形区域abcd，水平边ab长为s，竖直边ad长为h.质量均为m、带电荷量分别为＋q和－q的两粒子，由a、c两点先后沿ab和cd方向以速率v0进入矩形区(两粒子不同时出现在电场中)．不计重力．若两粒子轨迹恰好相切，则v0等于(　　)
A. B.
C. D.
2．（2014·浙江卷）离子推进器是太空飞行器常用的动力系统．某种推进器设计的简化原理如图1所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区．Ⅰ为电离区，将氙气电离获得1价正离子；Ⅱ为加速区，长度为L，两端加有电压，形成轴向的匀强电场．Ⅰ区产生的正离子以接近0的初速度进入Ⅱ区，被加速后以速度vM从右侧喷出．
Ⅰ区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在离轴线处的C点持续射出一定速率范围的电子．假设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动，截面如图2所示(从左向右看)．电子的初速度方向与中心O点和C点的连线成α角(0＜α≤90°)．推进器工作时，向Ⅰ区注入稀薄的氙气．电子使氙气电离的最小速率为v0，电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好．已知离子质量为M；电子质量为m，电量为e.(电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞)
第25题图1
(1)求Ⅱ区的加速电压及离子的加速度大小；
(2)为取得好的电离效果，请判断Ⅰ区中的磁场方向(按图2说明是“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”)；
第25题图2
(3)α为90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率v的范围；
(4)要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率vmax与α角的关系．
1．(2013·新课标Ⅰ·16)一水平放置的平行板电容器的两极板间距为d，极板分别与电池两极相连，上极
板中心有一小孔(小孔对电场的影响可忽略不计)．小孔正上方处的P点有一带电粒子，该粒子从静止开始下落，经过小孔进入电容器，并在下极板处(未与极板接触)返回．若将下极板向上平移，则从P点开始下落的相同粒子将 (　　)
A．打到下极板上 　 B．在下极板处返回
C．在距上极板处返回 　 D．在距上极板d处返回
答案　D
解析　粒子两次落到小孔的速度相同，设为v，下极板向上平移后由E＝知场强变大，故粒子第二次在电场中减速运动的加速度变大，由v2＝2ax得第二次减速到零的位移变小，即粒子在下极板之上某位置返回，设粒子在距上极板h处返回，对粒子两次运动过程应用动能定理得mg(＋d)－qU＝0，mg(＋h)－q·h＝0.两方程联立得h＝d，选项D正确．
2．(2012·课标全国·18)如图10，平行板电容器的两个极板与水平地面成一角度，两极板与一直流电源相
连．若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器，则在此过程中，该粒子 (　　)
图10
A．所受重力与电场力平衡 B．电势能逐渐增加
C．动能逐渐增加 D．做匀变速直线运动
3．(2013·新课标Ⅱ·24)如图11，匀强电场中有一半径为r的光滑绝缘圆轨道，轨道平面与电场方向平行．a、
b为轨道直径的两端，该直径与电场方向平行．一电荷量为q(q>0)的质点沿轨道内侧运动．经过a点和b点时对轨道压力的大小分别为Na和Nb.不计重力，求电场强度的大小E、质点经过a点和b点时的动能．
图11
Ekb＝mv ⑤
根据动能定理有Ekb－Eka＝F·2r ⑥
联立①②③④⑤⑥式得E＝(Nb－Na)
Eka＝(Nb＋5Na)
Ekb＝(5Nb＋Na)
【2016考纲解读】
1．理解电流的概念
2．掌握部分电路欧姆定律，理解导体的伏安特性曲线
3．理解电阻和电阻定律
4．知道电阻率与温度的关系
【重点知识梳理】一、电流的微观解释
1．电流的微观表达式
图2
(1)建立微观模型：如图2所示，粗细均匀的一段导体长为l，横截面积为S，导体单位体积内的自由电荷数为n，每个自由电荷的电荷量为q，当导体两端加上一定的电压时，导体中的自由电荷沿导体定向移动的速率为v.
(2)在时间t内有长度l＝vt的自由电荷全部通过了截面D.
(3)这些电荷的总电荷量为Q＝nvt·S·q.
(4)电流的表达式：I＝＝nqSv.
(5)结论：从微观上看，电流由导体中自由电荷的密度、电荷定向移动的速率、导体的横截面积共同决定．
2．与电流有关的三种速率的比较
名称
电荷定向移动速率
电流的传导速率
电荷无规则热运动速率
概念
自由电荷沿某一方向运动的速率
电场的传播速率
自由电荷做无规则运动的速率
速率大小
金属导体中约为10－5 m/s
等于光速3×108 m/s
约为105 m/s
二、对电阻、电阻率的理解
1．电阻与电阻率的区别
(1)电阻是反映导体对电流阻碍作用大小的物理量．电阻率是反映制作导体的材料导电性能好坏的物理量．
(2)导体电阻与电阻率无直接关系，即电阻大，电阻率不一定大；电阻率小，电阻不一定小．
(3)金属的电阻率随温度的升高而增大．
2．电阻的定义式和决定式对比
公式
R＝
R＝ρ
适用条件
适用于任何纯电阻导体
只适用于粗细均匀的金属导体和浓度均匀的电解液
字母含义
U：导体两端的电压I：通过导体的电流
ρ：材料电阻率
l：沿电流方向导体的长度
S：垂直电流方向导体的横截面积
公式含义
反映了导体对电流的阻碍作用，不能说R∝U、R∝
R的决定式，R由ρ、l、S共同决定
3.应用电阻定律的解题技巧
R＝ρ是电阻的决定式，对于同一段导体，l与S往往是相关联的，分析求解时应全面考虑．
三、欧姆定律及伏安特性曲线的应用
1．欧姆定律
(1)公式I＝，是电流的决定式，I正比于电压，反比于电阻．
(2)公式中的I、U和R三个量必须对应同一段电路或同一段导体．
(3)适用范围：适用于金属、电解液等纯电阻电路．对于气体导电，含有电动机、电解槽等非纯电阻电路不适用．
2．对伏安特性曲线的理解(如图4甲、乙所示)
图4
(1)图线a、e、d、f表示线性元件，b、c表示非线性元件．
(2)在图甲中，斜率表示电阻的大小，斜率越大，电阻越大，Ra>Re.
在图乙中，斜率表示电阻倒数的大小．斜率越大，电阻越小，Rd(3)图线b的斜率变小，电阻变小，图线c的斜率变大，电阻变小．(注意：曲线上某点切线的斜率不是电阻或电阻的倒数．根据R＝，电阻为某点和原点连线的斜率或斜率倒数．)
【高频考点突破】
考点一、电流
注意电流的微观解释。对于金属导体有I=nqvS（n为单位体积内的自由电子个数，S为导线的横截面积，v为自由电子的定向移动速率，约10 -5m/s，远小于电子热运动的平均速率105m/s，更小于电场的传播速率3×108m/s），这个公式只适用于金属导体，千万不要到处套用。
注意：在电解液导电时，是正负离子向相反方向定向移动形成电流，在用公式I=q／t计算电流强度时应引起注意。
【例1】来自质子源的质子（初速度为零），经一加速电压为800kV的直线加速器加速，形成电流强度为1mA的细柱形质子流。已知质子电荷e=1.60×10-19C。这束质子流每秒打到靶上的质子数为_________。假定分布在质子源到靶之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距L和4L的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中的质子数分别为n1和n2，则n1∶n2=_______。
【变式探究】 一根粗细均匀的金属导线，两端加上恒定电压U时，通过金属导线的电流为I，金属导线中自由电子定向移动的平均速率为v，若将金属导线均匀拉长，使其长度变为原来的2倍，仍给它两端加上恒定电压U，则此时(　　)
A．通过金属导线的电流为
B．通过金属导线的电流为
C．自由电子定向移动的平均速率为
D．自由电子定向移动的平均速率为
考点二、欧姆定律
例2、某一导体的伏安特性曲线如图6中AB段(曲线)所示，关于导体的电阻，以下说法正确的是 (　　)
A．B点的电阻为12 Ω
B．B点的电阻为40 Ω
C．导体的电阻因温度的影响改变了1 Ω
D．导体的电阻因温度的影响改变了9 Ω
【解析】根据电阻的定义式可以求出A、B两点的电阻分别为RA＝ Ω＝30 Ω，RB＝
 Ω＝40 Ω，所以ΔR＝RB－RA＝10 Ω，故B对，A、C、D错．
【答案】B
【变式探究】在测量电珠伏安特性实验中，同学们连接的电路中有四个错误电路，如图5所示．电源内阻不计，导线连接良好．若将滑动变阻器的触头置于左端，闭合S，在向右端滑动触头过程中，会分别出现如下四种现象：
a．电珠L不亮；电流表示数几乎为零
b．电珠L亮度增加；电流表示数增大
c．电珠L开始不亮，后来忽然发光；电流表从示数不为零到线圈烧断
d．电珠L不亮；电流表从示数增大到线圈烧断
图5
与上述a、b、c、d四种现象对应的电路序号为(　　)
A．③①②④ B．③④②①
C．③①④② D．②①④③
考点三、电阻定律
导体的电阻R跟它的长度L成正比，跟它的横截面积S成反比。
要注意ρ和R的区别。前者描述材料的导电性能，后者描述导体的导电性能。材料的电阻率与温度有关系，金属的电阻率随温度的升高而增大，半导体的电阻率随温度的升高而减小。
【例3】一段均匀导线对折两次后并联在一起，测得其电阻为0.5 Ω，导线原来的电阻多大？若把这根导线的一半均匀拉长为三倍，另一半不变，其电阻是原来的多少倍？
答案：8 Ω；5倍
解析：一段导线对折两次后，变成四段相同的导线，并联后的总电阻为0.5 Ω，设每段导线的电阻为R，则=0.5 Ω，R=2 Ω，所以导线原来的电阻为4R=8 Ω。
若把这根导线的一半均匀拉长为原来的3倍，则这一半的电阻变为4Ω×9=36 Ω，另一半的电阻为4 Ω，所以拉长后的总电阻为40 Ω，是原来的5倍。
【变式探究】如图4所示，在相距40 km的A、B两地架两条输电线，电阻共为800 Ω，如果在A、B间的某处发生短路，这时接在A处的电压表示数为10 V，电流表示数为40 mA，求发生短路处距A处有多远。
考点四、导体的伏安特性曲线
电阻的伏安特性曲线：注意I-U曲线和U-I曲线的区别。还要注意：当考虑到电阻率随温度的变化时，电阻的伏安特性曲线不再是过原点的直线。
【例4】 实验室用的小灯泡灯丝的I-U特性曲线可用以下哪个图象来表示：

【经典考题精析】
（2013·北京卷）对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质．
(1)一段横截面积为S、长为l的直导线，单位体积内有n个自由电子，电子电量为e.该导线通有电流时，假设自由电子定向移动的速率均为v.
(a)求导线中的电流I；
(b)将该导线放在匀强磁场中，电流方向垂直于磁感应强度B，导线所受安培力大小为F安，导线内自由电子所受洛伦兹力大小的总和为F，推导F安＝F.
(2)正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m，单位体积内粒子数量n为恒量．为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为v，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变．利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f与m、n和v的关系．
(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明)

（2013·天津卷）超导现象是20世纪人类重大发现之一，日前我国已研制出世界传输电流最大的高温超导电缆并成功示范运行．
(1)超导体在温度特别低时电阻可以降到几乎为零，这种性质可以通过实验研究．将一个闭合超导金属圆环水平放置在匀强磁场中，磁感线垂直于圆环平面向上，逐渐降低温度使环发生由正常态到超导态的转变后突然撤去磁场，若此后环中的电流不随时间变化，则表明其电阻为零．请指出自上往下看环中电流方向，并说明理由．
(2)为探究该圆环在超导状态的电阻率上限ρ，研究人员测得撤去磁场后环中电流为I，并经一年以上的时间t未检测出电流变化．实际上仪器只能检测出大于ΔI的电流变化，其中ΔI?I，当电流的变化小于ΔI时，仪器检测不出电流的变化，研究人员便认为电流没有变化．设环的横截面积为S，环中定向移动电子的平均速率为v，电子质量为m、电荷量为e.试用上述给出的各物理量，推导出ρ的表达式．
(3)若仍使用上述测量仪器，实验持续时间依旧为t，为使实验获得的该圆环在超导状态的电阻率上限ρ的准确程度更高，请提出你的建议，并简要说明实现方法．
根据能量守恒定律，得
ΔE＝ΔEk⑦
联立上述各式，得
ρ＝⑧
(3)由ρ＝看出，在题设条件限制下，适当增大超导电流，可以使实验获得ρ 的准确程度更高，通过增大穿过该环的磁通量变化率可实现增大超导电流．
【2016考纲解读】
1.能认清电路结构，会进行电流、电压、电功、电功率在串、并联电路中的分配计算.
2.能计算非纯电阻电路中的电功、电功率.
3.会进行电表改装的分析与计算．
【重点知识梳理】
一、串并联电路分析
常用的推论
1．串联电路：串联电路的总电阻大于其中任一部分电路的总电阻．若n个相同的电阻串联，总电阻R总＝nR.
2．(1)并联电路：并联电路的总电阻小于其中任一支路的总电阻，且小于其中最小的电阻．
(2)n个相同的电阻并联，总电阻等于其中一个电阻的.即R总＝R.
(3)两个电阻并联时的总电阻R＝，当其中任一个增大或减小时总电阻也随之增大或减小．由此知：多个电阻并联时，其中任一个电阻增大或减小，总电阻也随之增大或减小．
3．无论是串联电路，还是并联电路，或者是混联电路，只要其中一个电阻增大(或减小)，总电阻就增大(或减小)．
4．无论电路怎样连接，每一段电路的总耗电功率P总等于各电阻(用电器)耗电功率之和．
二、电功与电热的计算
1．W＝IUt普遍适用于计算任何一段电路上的电功．P＝IU普遍适用于计算任何一段电路上消耗的电功率．
2．Q＝I2Rt，只用于计算电热．
3．对纯电阻电路来说，由于电能全部转化为内能，所以有关电功、电功率的所有公式和形式都适用，即
W＝IUt＝I2Rt＝t，P＝IU＝I2R＝.
4．在非纯电阻电路中，总电能中的一部分转化为热能，另一部分转化为其他形式的能，即：W总＝UIt＝E其他＋Q，电热仍用Q＝I2Rt计算．这时，W总＝IUt>Q＝I2Rt，同理P总>P热．
三、用电器正常工作的分析方法
用电器正常工作的条件：
(1)用电器两端的实际电压等于其额定电压．
(2)用电器中的实际电流等于其额定电流．
(3)用电器的实际电功率等于其额定功率．
如果以上三个条件中的任何一个得到满足，其余两个条件必定同时满足．
四、电流表、电压表的改装
1．电流表G(表头)
(1)原理：当线圈中有电流通过时，线圈在安培力作用下带动指针一起偏转，电流越大，指针偏转的角度越大，可以证明I∝θ，所以根据表头指针偏转的角度可以测出电流的大小，且表盘刻度是均匀的．
(2)三个参数：内阻Rg，满偏电流Ig，满偏电压Ug，关系是Ug＝IgRg.
2．电压表及大量程电流表(由表头改装而成)
改装为电压表
改装为大量程电流表
原理
串联电阻分压
并联电阻分流
改装原理图
分压电阻
或分流电阻
U＝Ig(R＋Rg)
所以R＝－Rg
IgRg＝(I－Ig)R
所以R＝
改装后
电表内阻
RV＝Rg＋R>Rg
RA＝【高频考点突破】
考点一、考查串并联电路
【例1】材料的电阻率ρ随温度变化的规律为ρ＝ρ0(1＋αt)，其中α称为电阻温度系数，ρ0是材料在t＝0 ℃时的电阻率．在一定的温度范围内α是与温度无关的常量．金属的电阻一般随温度的增加而增加，具有正温度系数；而某些非金属如碳等则相反，具有负温度系数．利用具有正负温度系数的两种材料的互补特性，可制成阻值在一定温度范围内不随温度变化的电阻．已知：在0 ℃时，铜的电阻率为1.7×10－8 Ω·m，碳的电阻率为3.5×10－5 Ω·m；在0 ℃附近，铜的电阻温度系数为3.9×10－3 ℃－1，碳的电阻温度系数为－5.0×10－4 ℃－1.将横截面积相同的碳棒与铜棒串接成长1.0 m的导体，要求其电阻在0 ℃附近不随温度变化，求所需碳棒的长度(忽略碳棒和铜棒的尺寸随温度的变化)．
答案： 3.8×10－3 m
解析：设所需碳棒的长度为L1，电阻率为ρ1，电阻温度系数为α1；铜棒的长度为L2，电阻率为ρ2，电阻温度系数为α2.由题意，得
考点二、考查电功与电热的计算
【例2】 如图3所示，
图3
A为电解槽，M为电动机，N为电炉子，恒定电压U＝12 V，电解槽内阻rA＝2 Ω，当K1闭合，K2、K3断开时，示数6 A；当K2闭合，K1、K3断开时，示数5 A，且电动机输出功率为35 W；当K3闭合，K1、K2断开时，示数为4 A．求：
(1)电炉子的电阻及发热功率；
(2)电动机的内阻；
(3)在电解槽工作时，电能转化为化学能的功率．
三、考查电器正常工作的分析
【例3】 如图5所示电路中E为电源，
图5
其电动势E＝9.0 V，内阻可忽略不计；AB为滑动变阻器，其电阻R＝30 Ω；L为一小灯泡，其额定电压U＝6.0 V，额定功率P＝1.8 W；S为开关．开始时滑动变阻器的触头位于B端，现在接通开关S，然后将触头缓慢地向A端滑动，当到达某一位置C处时，小灯泡刚好正常发光．则CB之间的电阻应为(　　)
A．10 Ω B．20 Ω C．15 Ω D．5 Ω
答案：B　
【变式探究】如下图所示，额定电压都是110 V，额定功率PA＝100 W，PB＝40 W的两灯泡，接在220 V电路上使用，使电灯能够正常发光，且电路中消耗电能最小的电路是哪一个(　　)
考点四、考查电流表、电压表的改装
【例4】为测量一电源的电动势及内阻
①在下列三个电压表中选一个改装成量程为9 V的电压表
A．量程为1 V，内阻大约为1 kΩ的电压表
B．量程为2 V、内阻大约为2 kΩ的电压表
C．量程为3 V、内阻为3 kΩ的电压表
选择电压表________串联________kΩ的电阻可以改装成量程为9 V的电压表．
②利用一个电阻箱、一只开关、若干导线和改装好的电压表(此表用符号、或与一个电阻串联来表示，且可视为理想电压表)，在虚线框内画出测量电源电动势及内阻的实验原理电路图．
③根据以上实验原理电路图进行实验，读出电压表示数为1.50 V时，电阻箱的阻值为15.0 Ω；电压表示数为2.00 V时，电阻箱的阻值为40.0 Ω，则电源的电动势E＝________V、内阻r＝________Ω.
【变式探究】用两个相同的小量程电流表，分别改装成了两个量程不同的大量程电流表A1、A2，若把A1、A2分别采用串联或并联的方式接入电路，如图6(a)、(b)所示，则闭合开关后，下列有关电表的示数和电表指针偏转角度的说法正确的是(　　)
图6
A．图(a)中的A1、A2的示数相同
B．图(a)中的A1、A2的指针偏角相同
C．图(b)中的A1、A2的示数和偏角都不同
D．图(b)中的A1、A2的指针偏角相同　　　　　　　　
答案：B　
解析：大量程电流表是小量程电流表并联一适当小的分流电阻改装而成的．当A1、A2并联时，由于A1、A2的电阻不同，通过A1、A2的电流不等，A1、A221世纪教育网的示数不同，但通过每个小量程电流表的电流相同，故指针偏角相同，A错，B对．当A1、A2串联时，通过A1、A2的电流相同，故示数相同，但A1、A2的量程不同，故指针偏角不同，C、D均错．
【经典考题精析】
（2013·重庆卷）(1)我国舰载飞机在“辽宁舰”上成功着舰后，某课外活动小组对舰载飞机利用阻拦索着舰的力学问题很感兴趣．他们找来了木板、钢球、铁钉、橡皮条以及墨水，制作了如图所示的装置，准备定量研究钢球在橡皮条阻拦下前进的距离与被阻拦前速率的关系．要达到实验目的，需直接测量的物理量是钢球由静止释放时的________和在橡皮条阻拦下前进的距离，还必须增加的一种实验器材是________．忽略钢球所受的摩擦力和空气阻力，重力加速度已知，根据________定律(定理)，可得到钢球被阻拦前的速率．
(2)某同学对有故障的电热毯进行探究．图1是电热毯的电路示意图，其中电热线和导线通过金属接线片连接．图2为测试电路实物图，A、B为测试表笔，电压表内阻很大，可视为理想电表．
图1
图2
请在虚线框中画出与图2对应的电路图．
②断开K1，用上述测试电路在1和1′之间检测得知电热线无故障，然后测得电热线的U－I曲线如图3所示．已知电热线材料的电阻率为2.8×10－7 Ω·m，电热线的直径为0.200 mm.可求得此电热线的电阻为________kΩ，总长度为________m．(结果均保留两位有效数字)
③为了进一步检查故障，该同学闭合开关K1和K2，用表笔A和B分别对图1中所示的各点进行测试，部分测试结果如下表所示．由此测试结果可判断出电路有断路，位置在__________之间(在“1和2”“1′和2′”“2和3”“2′和3′”中选填一项)．
图3
测试点
3和3′
1和1′
1和3
1和2′
2′和3′
电表指针有无偏转
电压表
有
有
无
有
无
电流表
无
有
有
无
有
【解析】本题考查电路图的作法、图像的分析及故障的排查．
①根据电流从电源的正极出发经过各用电器回到负极的方法，作出电路图；
【重点知识梳理】
一、闭合电路的功率计算
1．电源的总功率：P总＝EI＝IU外＋IU内＝P出＋P内．
若外电路是纯电阻电路，则有P总＝I2(R＋r)＝.
2．电源内部消耗的功率：P内＝I2r＝U内I＝P总－P出．
3．电源的输出功率：P出＝UI＝EI－I2r＝P总－P内．
若外电路是纯电阻电路，则有
P出＝I2R＝＝.
由上式可以看出
(1)当R＝r时，电源的输出功率最大为Pm＝.
(2)当R>r时，随着R的增大输出功率越来越小．
(3)当R(4)当P出(5)P出与R的关系如图4所示．
图4
4．电源的效率
η＝×100%＝×100%＝×100%
＝×100%
因此R越大，η越大；当R＝r，电源有最大输出功率时，效率仅为50%.
η－R图象如图5所示．
图5
二、电路的动态分析
根据闭合电路的欧姆定律和串联、并联电路的特点来分析电路中某电阻变化引起整个电路中各部分电学量的变化情况，常见的方法有：
1．程序法
.
(2)判定总电阻变化情况的规律
①当外电路的任何一个电阻增大(或减小)时，电路的总电阻一定增大(或减小)．
②若开关的通、断使串联的用电器增多时，电路的总电阻增大；若开关的通、断使并联的支路增多时，电路的总电阻减小．
2．直观法
任一电阻阻值增大，必引起该电阻中电流的减小和该电阻两端电压的增大．
3．“并同串反”规律
所谓“并同”，即某一电阻增大时，与它并联或间接并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将增大，反之则减小．所谓“串反”，即某一电阻增大时，与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端的电压、电功率都将减小，反之则增大．即←R↑→
4．极限法
即因变阻器滑片滑动引起电路变化的问题，可将变阻器的滑片分别滑至两个极端去讨论．
三、电路故障的分析方法
电路故障一般是短路或断路，常见的情况有：导线断芯，灯泡断丝、灯座短路、变阻器内部断路、接触不良等现象．检查故障的基本方法有两种：
1．电压表检测方法：如果电压表示数为0，说明电压表上无电流通过，则可能在并联路段之外有断路，或并联路段内有短路．
如果电压表有示数，说明电压表上有电流通过，则在并联路段之外无断路，或并联路段内无短路．
2．用多用电表的欧姆挡检测
要对检测的电路切断电源，逐一使元件脱离原电路(或对某段电路检测)后测量是通路还是断路便可找到故障所在．
四、含容电路分析
分析和计算含有电容器的直流电流时，要注意以下几点：
(1)电路稳定后，由于电容器所在支路无电流通过，所以在此支路中的电阻上无电压降，因此电容器两极间的电压就等于该支路两端电压．电容器稳定时，相当于此处电路断路．
(2)当电容器和电阻并联后接入电路时，电容器两极间的电压与其并联电阻两端的电压相等．
(3)电路的电流、电压变化时，将会引起电容器的充(放)电．如果电容器两端电压升高，电容将充电；反之，电容器将对与它并联的电路放电．
【高频考点突破】
考点一、考查闭合电路的功率计算
【例1】如图6所示，电源电动势E＝3 V，内阻r＝3 Ω，定值电阻R1＝1 Ω，滑动变阻器R2的最大阻值为10 Ω，求：
图6
(1)当滑动变阻器的阻值R2为多大时，电阻R1消耗的功率最大？电阻R1消耗的最大功率是多少？
(2)当变阻器的阻值为多大时，变阻器消耗的功率最大？变阻器消耗的最大功率是多少？
(3)当变阻器的阻值为多大时，电源输出功率最大？电源输出的最大功率是多少？
(4)三种情况下，电源的效率分别为多大？
考点二、考查电路的动态分析
【例2】如图7所示电路，电源内阻不可忽略．开关S闭合后，在变阻器R0的滑动端向下滑动的过程中(　　)
图7
A．电压表与电流表的示数都减小
B．电压表与电流表的示数都增大
C．电压表的示数增大，电流表的示数减小
D．电压表的示数减小，电流表的示数增大
答案：A
解析：在电路中，变阻器R0的滑动端向下滑动的过程中，变阻器R0接入电路中的电阻变小，从而使整个电路中的外电阻变小，干路电流变大，内阻r分得的电压U内＝Ir变大，U外变小，电压表示数变小，由U1＝IR1知U1变大，因U外＝U1＋U2，故U2变小，由于I2＝，所以流过R2的电流变小，电流表示数变小，选项A正确．
考点三、考查电路故障
【例3】用电压表检查如图8所示电路中的故障，测得Uad＝5.0 V，Ucd＝0 V，Ubc＝0 V，Uab＝5.0 V，则此故障可能是(　　)
图8
A．L断路　　　　　　 B．R断路
C．R′断路 D．S断路
考点四、考查含容电路
【例4】 如图9所示，电源电动势E＝6 V，内阻r＝1 Ω，电阻R1＝2 Ω，R2＝3 Ω，R3＝7.5 Ω，电容器的电容C＝4 μF.开关S原来断开，现在合上开关S到电路稳定，试问这一过程中通过电流表的电荷量是多少？
图9
Q′＝CU1＝7.2×10－6 C．且a板带负电，b板带正电．
据此通过电流表的电量ΔQ＝Q＋Q′＝1.92×10－5 C.
【经典考题精析】
1．（2014·天津卷）如图X13-3所示，电路中R1、R2均为可变电阻，电源内阻不能忽略，平行板电容器C的极板水平放置．闭合开关S，电路达到稳定时，带电油滴悬浮在两板之间静止不动．如果仅改变下列某一个条件，油滴仍能静止不动的是(　　)
　　
　　　　 　图X13-3　　　
A．增大R1的阻值 B．增大R2的阻值
C．增大两板间的距离 D．断开开关S
（2013·江苏卷）在输液时，药液有时会从针口流出体外，为了及时发现，设计了一种报警装置，电路如图所示．M是贴在针口处的传感器，接触到药液时其电阻RM发生变化，导致S两端电压 U增大，装置发出警报，此时(　　)
A．RM变大，且R越大，U增大越明显
B．RM变大，且R越小，U增大越明显
C．RM变小，且R越大，U增大越明显
D．RM变小，且R越小，U增大越明显
（2013·四川卷） 如图所示，边长为L、不可形变的正方形导线框内有半径为r的圆形磁场区域，其磁感应强度B随时间t的变化关系为B＝kt(常量k>0)．回路中滑动变阻器R的最大阻值为R0，滑动片P位于滑动变阻器中央，定值电阻R1＝R0、R2＝.闭合开关S，电压表的示数为U，不考虑虚线MN右侧导体的感应电动势，则(　　)
A．R2两端的电压为
B．电容器的a极板带正电
C．滑动变阻器R的热功率为电阻R2的5倍
D．正方形导线框中的感应电动势为kL2

【2016考纲解读】
1、理解磁感应强度的定义
2．理解磁感线的概念、基本性质以应用。
3．熟练掌握安培定则以及通电直导线和通电线圈周围磁场的方向的判断。
4．理解安培力并能运用左手定则判断安培力的方向。
【重点知识梳理】
一、基本概念
1.磁场的产生
⑴磁极周围有磁场。
⑵电流周围有磁场（奥斯特）。
安培提出分子电流假说（又叫磁性起源假说），认为磁极的磁场和电流的磁场都是由电荷的运动产生的。（但这并不等于说所有磁场都是由运动电荷产生的，因为麦克斯韦发现变化的电场也能产生磁场。）
⑶变化的电场在周围空间产生磁场。
2.磁场的基本性质
磁场对放入其中的磁极和电流有磁场力的作用（对磁极一定有力的作用；对电流只是可能有力的作用，当电流和磁感线平行时不受磁场力作用）。这一点应该跟电场的基本性质相比较。
3.磁场力的方向的判定
磁极和电流之间的相互作用力（包括磁极与磁极、电流与电流、磁极与电流），都是运动电荷之间通过磁场发生的相互作用。因此在分析磁极和电流间的各种相互作用力的方向时，不要再沿用初中学过的“同名磁极互相排斥，异名磁极互相吸引”的结论（该结论只有在一个磁体在另一个磁体外部时才正确），而应该用更加普遍适用的：“同向电流互相吸引，反向电流互相排斥”，或用左手定则判定。
4.磁感线
⑴用来形象地描述磁场中各点的磁场方向和强弱的曲线。磁感线上每一点的切线方向就是该点的磁场方向，也就是在该点小磁针静止时N极的指向。磁感线的疏密表示磁场的强弱。
⑵磁感线是封闭曲线（和静电场的电场线不同）。
⑶要熟记常见的几种磁场的磁感线：

⑷安培定则（右手螺旋定则）：对直导线，四指指磁感线方向；对环行电流，大拇指指中心轴线上的磁感线方向；对长直螺线管大拇指指螺线管内部的磁感线方向。
5.磁感应强度
（条件是匀强磁场中，或ΔL很小，并且L⊥B ）。
磁感应强度是矢量。单位是特斯拉，符号为T，1T=1N/（A(m）=1kg/（A(s2）
6.磁通量
如果在磁感应强度为B的匀强磁场中有一个与磁场方向垂直的平面，其面积为S，则定义B与S的乘积为穿过这个面的磁通量，用Φ表示。Φ是标量，但是有方向（进该面或出该面）。单位为韦伯，符号为Wb。1Wb=1T(m2=1V(s=1kg(m2/（A(s2）。
可以认为穿过某个面的磁感线条数就是磁通量。
在匀强磁场磁感线垂直于平面的情况下，B=Φ/S，所以磁感应强度又叫磁通密度。在匀强磁场中，当B与S的夹角为α时，有Φ=BSsinα。
二、安培力 （磁场对电流的作用力）
1.安培力方向的判定
⑴用左手定则。
⑵用“同性相斥，异性相吸”（只适用于磁铁之间或磁体位于螺线管外部时）。
⑶用“同向电流相吸，反向电流相斥”（反映了磁现象的电本质）。可以把条形磁铁等效为长直螺线管（不要把长直螺线管等效为条形磁铁）。
2.安培力大小的计算
F=BLIsinα（α为B、L间的夹角）高中只要求会计算α=0（不受安培力）和α=90°两种情况。
三、与地磁场有关的电磁现象综合问题
1.地磁场中安培力的讨论
2.地磁场中的电磁感应现象
3.如何测地磁场磁感应强度的大小和方向
地磁场的磁感线在北半球朝向偏北并倾斜指向地面，在南半球朝向偏北并倾斜指向天空，且磁倾角的大小随纬度的变化而变化.若测出地磁场磁感应强度的水平分量和竖直分量，即可测出磁感应强度的大小和方向.
【高频考点突破】
考点一 磁场 描述磁场的物理量
【例1】如图11-1-1所示，一束带电粒子沿着水平方向平行地飞过小磁针的正上方时，磁针的S极向纸内偏转，这一束带电粒子可能是（ ）
①向右飞行的负离子 ②向左飞行的负离子
③向右飞行的正离子 ④向左飞行的正离子
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【变式探究】一小磁针静止在通电螺线管内部，螺线管通过如图11-1-2所示的电流，则下列说法中正确的是（ ）
A．螺线管左端是N极，小磁针左端也是N极
B．螺线管左端是S极，小磁针左端也是S极
C．螺线管左端是N极，小磁针左端是S极
D．螺线管左端是S极，小磁针左端是N极
【感悟提高】对于磁极间的相互作用规律在应用时，一定先要弄清楚是磁铁的内部还是磁铁的外部，不能对规律生搬硬套，否则会导致错误。
考点二、描述磁场的物理量
【例2】关于磁感线的概念和性质，下列说法中正确的是（　 ）
A．磁场中任意两条磁感线可能相交
B．磁感线上各点的切线方向就是各点的磁感应强的方向
C．铁屑在磁场中分布所形成的曲线就是磁感线
D．磁感线总是从磁体N极出发指向磁体的S极
【变式探究】关于磁场中某点的磁感应强度，下列说法正确地是( )
A．由B=F/IL可知，B与F成正比，与IL的乘积成反比
B．B的大小与IL的乘积无关，由磁场本身决定
C．长通电螺线管周围的磁场是匀强磁场
D．B的方向与通电导线的受力方向相同
【感悟提高】公式B=F/IL是磁场强度的定义式，而磁感强度是由磁场本身决定的，它与外界因素无关，也就是磁感强度是磁场的属性，这个性质与电场强度是电场本身的属性相同；另外磁场强度方向就是该点磁场强度的方向，这个方向恰好与磁感线上该点的切线方向和小磁针静止时N极所指的方向相同．还有对于每个物理量的定义式是不能谈比的。
考点三、 安培力、左手定则
例3、 如图11-1-4所示，三根通电直导线P、Q、R互相平行，通过正三角形的三个顶点，三条导线通入大小相等，方向垂直纸面向里的电流；通电直导线产生磁场的磁感应强度B=KI/r，I为通电导线的电流强度，r为距通电导线的距离的垂直距离，K为常数；则R受到的磁场力的方向是（ ）
A．垂直R，指向y轴负方向
B．垂直R，指向y轴正方向
C．垂直R，指向x轴正方向
D．垂直R，指向x轴负方向
【感悟提高】 最容易混淆的是左、右手的使用．必须记清楚，只有在分析受力时才使用左手，其它情况（判断磁场方向、感应电流方向）均使用右手。
考点四、安培力作用下的平衡问题
【例4】如图11-1-6所示，在倾角为的光滑斜面上，垂直纸面放置一根长为L，质量为m的直导体棒．在导体棒中的电流I垂直纸面向里时，欲使导体棒静止在斜面上，下列外加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向正确的是（ ）
A.，方向垂直斜面向下
B.，方向垂直斜面向上
C．，方向垂直斜面向下
D．，方向垂直斜面向上
【感悟提高】在分析通电导体在磁场中的受力平衡问题，一定要注意力学规律的综合应用，如力的平行四边形法则、力的三角形法则和力的正交分解罚，因为安培力作用下的平衡问题实质上就是一个力学问题，只不过多了一个安培力而已．
考点五、安培力作用下物体运动方向的判断
安培力作用下通电导体运动方向的判断常用方法有：
1．等效法：适用于环形电流和通电螺线管与磁体或电流之间的安培力及运动方向的判断．因环形电流和通电螺线管都可以等效成条形磁铁，同样条形磁铁也可等效成环形电流或通电螺线管，从而转化为磁体与磁体之间或电流与电流之间的作用，进而判断其运动方向．
2．特殊位置法：适用于磁感线为曲线型的非匀强磁场中导体安培力方向及运动方向的判断．具体方法为：把电流或磁铁转到一个便于分析的特殊位置（如转过90°），再根据左手定则判断安培力方向，从而确定运动方向．
例5． 如图11-2-7所示，把轻质线圈用细线挂在磁铁N极附近，磁铁的轴线穿过线圈的圆心且垂直于线圈的平面，当线圈内通过图示的方向的电流时，线圈将怎样运动？
【变式探究】如图11-2-8所示，把一重力不计的通电直导线水平放在蹄形磁铁两极的正上方，导线可以自由转动，当导线通入图示方向电流I时，导线的运动情况是（从上往下看）（ ）
A． 顺时针转动，同时下降
B． 顺时针转动，同时上升
C． 逆时针转动，同时下降
D． 逆时针转动，同时上升
【感悟提高】在分析安培力作用下通电导体运动方向的判断时，通常情况下利用等效的方法，即可将电流等效为磁铁，然后根据磁场的相互作用规律进行分析．
考点六 、安培力的综合应用
例6、据报道，最近已研制出一种可投入使用的电磁轨道炮，其原理如图所示．炮弹（可视为长方形导体）置于两固定的平行导轨之间，并与轨道壁密接．开始时炮弹在导轨的一端，通以电流后炮弹会被磁力加速，最后从位于导轨另一端的出口高速射出．设两导轨之间的距离m，导轨长Ｌ＝5.0m，炮弹质量．导轨上的电流I的方向如图11-1-9中箭头所示．可以认为，炮弹在轨道内运动时，它所在处磁场的磁感应强度始终为B＝2.0Ｔ，方向垂直于纸面向里．若炮弹出口速度为，求通过导轨的电流I．忽略摩擦力与重力的影响．
【经典考题精析】
【高考在线】
1．（2014·浙江卷）如图1所示，两根光滑平行导轨水平放置，间距为L，其间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B.垂直于导轨水平对称放置一根均匀金属棒．从t＝0时刻起，棒上有如图2所示的持续交变电流I，周期为T，最大值为Im，图1中I所示方向为电流正方向．则金属棒(　　)
第20题图1
第20题图2
A．一直向右移动
B．速度随时间周期性变化
C．受到的安培力随时间周期性变化
D．受到的安培力在一个周期内做正功
2．（2014·四川卷）如图所示，不计电阻的光滑U形金属框水平放置，光滑、竖直玻璃挡板H、P固定在框上，H、P的间距很小．质量为0.2 kg的细金属杆CD恰好无挤压地放在两挡板之间，与金属框接触良好并围成边长为1 m的正方形，其有效电阻为0.1 Ω.此时在整个空间加方向与水平面成30°角且与金属杆垂直的匀强磁场，磁感应强度随时间变化规律是B＝(0.4－0.2t) T，图示磁场方向为正方向．框、挡板和杆不计形变．则(　　)
A．t＝1 s时，金属杆中感应电流方向从C到D
B．t＝3 s时，金属杆中感应电流方向从D到C
C．t＝1 s时，金属杆对挡板P的压力大小为0.1 N
D．t＝3 s时，金属杆对挡板H的压力大小0.2N
3．（2014·新课标全国卷Ⅰ）关于通电直导线在匀强磁场中所受的安培力，下列说法正确的是(　　)
A．安培力的方向可以不垂直于直导线
B．安培力的方向总是垂直于磁场的方向
C．安培力的大小与通电直导线和磁场方向的夹角无关
将直导线从中点折成直角，安培力的大小一定变为原来的一半
（2013·新课标全国卷Ⅱ）如图，在光滑绝缘水平面上，三个带电小球a、b和c分别位于边长为l的正三角形的三个顶点上；a、b带正电，电荷量均为q，c带负电．整个系统置于方向水平的匀强电场中．已知静电力常量为k.若三个小球均处于静止状态，则匀强电场场强的大小为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B　
【解析】 由题意，三个小球均处于静止状态，对c球而言，a、b两球在c球所在位置处产生的合场强与匀强电场的场强等大反向，故匀强电电场的场强大小E＝2cos30°＝，B正确．
（2013·浙江卷）为了降低潜艇噪音，提高其前进速度，可用电磁推进器替代螺旋桨．潜艇下方有左、右两组推进器，每组由6个相同的、用绝缘材料制成的直线通道推进器构成，其原理示意图如下．在直线通道内充满电阻率ρ＝0.2 Ω·m的海水，通道中a×b×c＝0.3 m×0.4 m×0.3 m的空间内，存在着由超导线圈产生的匀强磁场，其磁感应强度B＝6.4 T、方向垂直通道侧面向外．磁场区域上、下方各有a×b＝0.3 m×0.4 m的金属板M、N，当其与推进器专用直流电源相连后，在两板之间的海水中产生了从N到M，大小恒为I＝1.0×103 A的电流，设该电流只存在于磁场区域．不计电源内阻及导线电阻，海水密度ρm≈1.0×103 kg/m3.
(1)求一个直线通道推进器内磁场对通电海水的作用力大小，并判断其方向．
(2)在不改变潜艇结构的前提下，简述潜艇如何转弯？如何“倒车”？
(3)当潜艇以恒定速度v0＝30 m/s前进时，海水在出口处相对于推进器的速度v＝34 m/s，思考专用直流电源所提供的电功率如何分配，求出相应功率的大小．
由热功率公式，P＝I2R
代入数据得：P单＝I2R＝5.0×105 W
P2＝12×5.0×105W＝6.0×106 W
第三部分：单位时间内海水动能的增加值
设Δt时间内喷出的海水质量为m
P3＝12×
考虑到海水的初动能为零，
ΔΕk＝Εk＝mv
m＝ρmbcv水对地Δt
P3＝12×＝12×ρmbcv＝4.6×104 W

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【重点知识梳理】
一、带电粒子在混合场中的运动
1．速度选择器
正交的匀强磁场和匀强电场组成速度选择器。带电粒子必须以唯一确定的速度（包括大小、方向）才能匀速（或者说沿直线）通过速度选择器。否则将发生偏转。这个速度的大小可以由洛伦兹力和电场力的平衡得出：qvB=Eq，。在本图中，速度方向必须向右。
（1）这个结论与离子带何种电荷、电荷多少都无关。
（2）若速度小于这一速度，电场力将大于洛伦兹力，带电粒子向电场力方向偏转，电场力做正功，动能将增大，洛伦兹力也将增大，粒子的轨迹既不是抛物线，也不是圆，而是一条复杂曲线；若大于这一速度，将向洛伦兹力方向偏转，电场力将做负功，动能将减小，洛伦兹力也将减小，轨迹是一条复杂曲线。
2．回旋加速器
回旋加速器是高考考查的的重点内容之一，但很多同学往往对这类问题似是而非，认识不深，甚至束手无策、，因此在学习过程中，尤其是高三复习过程中应引起重视。
（1）有关物理学史知识和回旋加速器的基本结构和原理
1932年美国物理学家应用了带电粒子在磁场中运动的特点发明了回旋加速器，其原理如图所示。A0处带正电的粒子源发出带正电的粒子以速度v0垂直进入匀强磁场，在磁场中匀速转动半个周期，到达A1时，在A1 A1/处造成向上的电场，粒子被加速，速率由v0增加到v1，然后粒子以v1在磁场中匀速转动半个周期，到达A2/时，在A2/ A2处造成向下的电场，粒子又一次被加速，速率由v1增加到v2，如此继续下去，每当粒子经过A A/的交界面时都是它被加速，从而速度不断地增加。带电粒子在磁场中作匀速圆周运动的周期为，为达到不断加速的目的，只要在A A/上加上周期也为T的交变电压就可以了。即T电=
实际应用中，回旋加速是用两个D形金属盒做外壳，两个D形金属盒分别充当交流电源的两极，同时金属盒对带电粒子可起到静电屏蔽作用，金属盒可以屏蔽外界电场，盒内电场很弱，这样才能保证粒子在盒内只受磁场力作用而做匀速圆周运动。
（2）带电粒子在D形金属盒内运动的轨道半径是不等距分布的
设粒子的质量为m，电荷量为q，两D形金属盒间的加速电压为U，匀强磁场的磁感应强度为B，粒子第一次进入D形金属盒Ⅱ，被电场加速1次，以后每次进入D形金属盒Ⅱ都要被电场加速2次。粒子第n次进入D形金属盒Ⅱ时，已经被加速（2n-1）次。
由动能定理得（2n－1）qU=Mvn2。 ……①
第n次进入D形金属盒Ⅱ后，由牛顿第二定律得qvnB=m 　　…… ②
由①②两式得ｒn=　　……③
同理可得第n+1次进入D形金属盒Ⅱ时的轨道半径rn+1=　　……④
所以带电粒子在D形金属盒内任意两个相邻的圆形轨道半径之比为，可见带电粒子在D形金属盒内运动时，轨道是不等距分布的，越靠近D形金属盒的边缘，相邻两轨道的间距越小。
（3）带电粒子在回旋加速器内运动，决定其最终能量的因素
由于D形金属盒的大小一定，所以不管粒子的大小及带电量如何，粒子最终从加速器内设出时应具有相同的旋转半径。由牛顿第二定律得qvnB=m……①
和动量大小存在定量关系 m vn=…… ②
由①②两式得Ek n=……③
可见，粒子获得的能量与回旋加速器的直径有关，直径越大，粒子获得的能量就越大。
（4）决定带电粒子在回旋加速器内运动时间长短的因素
带电粒子在回旋加速器内运动时间长短，与带电粒子做匀速圆周运动的周期有关，同时还与带电粒在磁场中转动的圈数有关。设带电粒子在磁场中转动的圈数为n ，加速电压为U。因每加速一次粒子获得能量为qU，每圈有两次加速。结合Ek n=知，2nqU=，因此n=　。所以带电粒子在回旋加速器内运动时间t =nT=.=。
3．带电微粒在重力、电场力、磁场力共同作用下的运动
（1）带电微粒在三个场共同作用下做匀速圆周运动。必然是电场力和重力平衡，而洛伦兹力充当向心力。
【高频考点突破】
考点一、带电粒子在分离的电场、磁场中的运动
例1、在平面直角坐标xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为 B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的
M点以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ＝60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图所示．不计粒子重力，求：
(1)M、N两点间的电势差UMN；
(2)粒子在磁场中运动的轨道半径r；
(3)粒子从M点运动到P点的总时间t.

(2)粒子在磁场中以O′为圆心做匀速运动， 半径为O′N，有qvB＝，r＝.
【变式探究】如图所示 ，匀强电场区域和匀强磁场区域是紧邻的，且宽度相等均为d，电场方向在纸平面内竖直向下，而磁场方向垂直于纸面向里，一带正电的粒子从O点以速度v0沿垂直电场方向进入电场，从A点射出电场进入磁场，离开电场时带电粒子在电场方向的偏转位移为电场宽度的一半，当粒子从磁场右边界上C点穿出磁场时速度方向与进入电场O点时的速度方向一致，已知d、v0(带电粒子重力不计)，求：
(1)粒子从C点穿出磁场时的速度大小v；
(2)电场强度E和磁感应强度B的比值.
考点二、考查带电粒子在复合场中运动
例2、如右图所示，在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，有一足够长的绝缘细棒OO′在竖直面内 垂直于磁场方向放置，细棒与水平面夹角为α.一质量为m、带电荷量为＋q的圆环A套在OO′棒上，圆环与棒间的动摩擦因数为μ，且μ(1)圆环A的最大加速度为多大？获得最大加速度时的速度为多大？
(2)圆环A能够达到的最大速度为多大？
【变式探究】如图所示，套在很长的绝缘直棒上的小球， 质量为1.0×10－4 kg，带4.0×10－4 C正电荷，小球在棒上可以滑动，将此棒竖直放置在沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中．匀强电场的电场强度E＝10 N/C，方向水平向右，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5 T，方向为垂直纸面向里，小球与棒间动摩擦因数为μ＝0.2，求小球由静止沿棒竖直下落的最大加速度和最大速度．(设小球在运动过程中所带电荷量保持不变，g取10 m/s2)
考点三、带电粒子在复合场中运动的分类
例3、如图所示 ，在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一与磁感线垂直且水平放置的、长为L 的摆线，拴一质量为m、带有＋q电荷量的摆球，若摆球始终能在竖直平面内做圆弧运动．试求 摆球通过最低位置时绳上的拉力F的大小．
【变式探究】在竖直平面内半圆形光滑绝缘管处在如图所示的匀强磁场中，B＝1.1 T，半径R＝0.8 m，其直径AOB在竖直线上．圆环平面与磁场方向垂直，在管口A处以2 m/s水平速度射入一个直径略小于管内径的带电小球，其电荷量为＋10－4 C，问：
(1)小球滑到B处的速度为多少？
(2)若小球从B处滑出的瞬间，管子对它的弹力恰好为零，小球质量为多少？(g＝10 m/s2)
解析：(1)小球从A到B，利用动能定理得
mg2R＝mv－mv
得vB＝＝ m/s＝6 m/s.
(2)在B点，小球受到的洛伦兹力方向指向圆心，由于小球做圆周运动，所以有qvBB－mg＝
即：10－4×6×1.1－10m＝
得m＝1.2×10－5 kg.
答案：(1)6 m/s　(2)1.2×10－5 kg
【经典考题精析】
1．（2014·山东卷）如图甲所示，间距为d、垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场．取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．t＝0时刻，一质量为m、带电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0.由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区．当B0和TB取某些特定值时，可使t＝0时刻入射的粒子经Δt时间恰能垂直打在P板上(不考虑粒子反弹)．上述m、q、d、v0为已知量．
　
图甲　　　　　　　　　　图乙
(1)若Δt＝TB，求B0；
(2)若Δt＝TB，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；
(3)若B0＝，为使粒子仍能垂直打在P板上，求TB.

(3)设粒子做圆周运动的半径为R，周期为T，由圆周运动公式得
T＝⑦
由牛顿第二定律得
qv0B0＝⑧
由题意知B0＝，代入⑧式得
d＝4R⑨

当n＝0时，无解
当n＝1时，联立⑨式得
θ＝arcsin(或sin θ＝)
联立⑦⑨⑩式得
TB＝
当n≥2时，不满足0＜θ＜90°的要求.
2．（2014·全国卷）如图，在第一象限存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面(xy平面)向外；在第四象限存在匀强电场，方向沿x轴负向．在y轴正半轴上某点以与x轴正向平行、大小为v0的速度发射出一带正电荷的粒子，该粒子在(d，0)点沿垂直于x轴的方向进入电场．不计重力．若该粒子离开电场时速度方向与y轴负方向的夹角为θ，求：
(1)电场强度大小与磁感应强度大小的比值；
(2)该粒子在电场中运动的时间．
设电场强度大小为E，粒子进入电场后沿x轴负方向的加速度大小为ax，在电场中运动的时间为t，离开电场时沿x轴负方向的速度大小为vx.由牛顿定律及运动学公式得21世纪教育网
Eq＝max③
vx＝axt④
t＝d⑤
由于粒子在电场中做类平抛运动(如图)，有
tan θ＝⑥
联立①②③④⑤⑥式得
＝v0tan2 θ⑦
(2)联立⑤⑥式得
t＝⑧　
3．(2014·重庆卷)如题9图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h，质量为m，带电荷量为＋q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g.
题9图
(1)求电场强度的大小和方向．
(2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值．
(3)若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值．

n＝2时，v＝；
n＝3时，v＝
4．（2014·浙江卷）离子推进器是太空飞行器常用的动力系统．某种推进器设计的简化原理如图1所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区．Ⅰ为电离区，将氙气电离获得1价正离子；Ⅱ为加速区，长度为L，两端加有电压，形成轴向的匀强电场．Ⅰ区产生的正离子以接近0的初速度进入Ⅱ区，被加速后以速度vM从右侧喷出．
Ⅰ区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在离轴线处的C点持续射出一定速率范围的电子．假设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动，截面如图2所示(从左向右看)．电子的初速度方向与中心O点和C点的连线成α角(0＜α≤90°)．推进器工作时，向Ⅰ区注入稀薄的氙气．电子使氙气电离的最小速率为v0，电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好．已知离子质量为M；电子质量为m，电量为e.(电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞)
第25题图1
(1)求Ⅱ区的加速电压及离子的加速度大小；
(2)为取得好的电离效果，请判断Ⅰ区中的磁场方向(按图2说明是“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”)；
第25题图2
(3)α为90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率v的范围；
(4)要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率vmax与α角的关系．
25．【答案】 　(2)垂直纸面向外　(3)v0≤v≤
(4)vmax＝
【解析】本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动等知识和分析综合及应用数学解决物理问题的能力．
(1)由动能定理得Mv＝eU①
U＝②
a＝＝e＝③
（2013·福建卷）如图甲，空间存在一范围足够大的垂直于 xOy 平面向外的匀强磁场， 磁感应强度大小为B.让质量为m，电量为q(q>0)的粒子从坐标原点O沿 xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中．不计重力和粒子间的影响．
(1)若粒子以初速度v1沿 y 轴正向入射，恰好能经过 x 轴上的A (a，0)点，求v1的大小；
(2)已知一粒子的初速度大小为v (v>v1) ，为使该粒子能经过A (a，0) 点，其入射角θ(粒子初速度与x轴正向的夹角)有几个？并求出对应的 sinθ值；
(3)如图乙，若在此空间再加入沿 y 轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿 y 轴正向发射．研究表明：粒子在 xOy 平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的 x 分量vx与其所在位置的 y 坐标成正比，比例系数与场强大小E无关．求该粒子运动过程中的最大速度值vm.

（2013·北京卷）如图所示，两平行金属板间距为d，电势差为U，板间电场可视为匀强电场；金属板下方有一磁感应强度为B的匀强磁场．带电量为＋q、质量为m的粒子，由静止开始从正极板出发，经电场加速后射出，并进入磁场做匀速圆周运动．忽略重力的影响，求：
(1)匀强电场场强E的大小；
(2)粒子从电场射出时速度v的大小；
(3)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R.
（2013·江苏卷）在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制．如图1所示的xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t作周期性变化的图象如图2所示．x轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向．在坐标原点O有一粒子P，其质量和电荷量分别为m和＋q.不计重力．在t＝时刻释放P，它恰能沿一定轨道做往复运动．
(1)求P在磁场中运动时速度的大小v0；
(2)求B0 应满足的关系；
(3)在t0(0　　　　图1　　　　　　　　　　　图2
匀速圆周运动qvB0＝m，T＝
解得B0＝，(n＝1，2，3…)

（2013·重庆卷）如图所示，一段长方体形导电材料，左右两端面的边长都为a和b，内有带电量为q的某种自由运动电荷．导电材料置于方向垂直于其前表面向里的匀强磁场中，内部磁感应强度大小为B.当通以从左到右的稳恒电流I时，测得导电材料上、下表面之间的电压为U，且上表面的电势比下表面的低．由此可得该导电材料单位体积内自由运动电荷数及自由运动电荷的正负分别为(　　)
A.，负　　　　　B.，正
C.，负 D.，正
【答案】C　
（2013·山东卷）如图所示，一质量m＝0.4 kg的小物块，以v0＝2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s 的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝10 m．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝.重力加速度g取10 m/s2.
(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小．
(2)拉力F与斜面夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

(2)设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为Ff，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得
【2016高考考纲解读】
1.理解掌握带电粒子的电偏转和磁偏转的条件、运动性质，会应用牛顿运动定律进行分析研究，掌握研究带电粒子的电偏转和磁偏转的方法，能够熟练处理类平抛运动和圆周运动．
2．学会按照时间先后或空间先后顺序对运动进行分析，分析运动速度的承前启后关联、空间位置的距离关系、运动时间的分配组合等信息将各个运动联系起来．
3.能够正确对叠加场中的带电粒子从受力、运动、能量三个方面进行分析.
4.能够合理选择力学规律(牛顿运动定律、运动学规律、动能定理、能量守恒定律等)对粒子的运动进行研究．
【重点知识梳理】
1．复合场与组合场
(1)复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现．
2．三种场的比较
名称
力的特点
功和能的特点
重力场
大小：G＝mg方向：竖直向下
重力做功与路径无关重力做功改变物体的重力势能
静电场
大小：F＝qE方向：正电荷受力方向与场强方向相同；负电荷受力方向与场强方向相反
电场力做功与路径无关W＝qU电场力做功改变电势能
磁场
洛伦兹力F＝qvB方向可用左手定则判断
洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能
3.带电粒子在复合场中的运动分类
(1)静止或匀速直线运动：当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．
(2)匀速圆周运动：当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．
(3)一般的曲线运动：当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．
(4)分阶段运动：带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成．
【高频考点突破】
考点一　带电粒子在组合场中的运动问题
带电粒子在组合场中的运动是力电综合的重点和高考热点．这类问题的特点是电场、磁场或重力场依次出现，包含空间上先后出现和时间上先后出现，磁场或电场与无场区交替出现相组合的场等．其运动形式包含匀速直线运动、匀变速直线运动、类平抛运动、圆周运动等，涉及牛顿运动定律、功能关系等知识的应用．
例1.(2013·山东卷，23)如图所示，在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂
直于xOy平面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E.一带电量为＋q、质量为m的粒子，自y轴上的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场．已知OP＝d，OQ＝2d.不计粒子重力．
(1)求粒子过Q点时速度的大小和方向．
(2)若磁感应强度的大小为一确定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0.
(3)若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间．
(2)设粒子做圆周运动的半径为R1，粒子在第一象限内的运动轨迹如图所示，O1为圆心，由几何关系可知ΔO1OQ为等腰直角三角形，得
R1＝2d ⑨
由牛顿第二定律得qvB0＝m ⑩
联立⑦⑨⑩式得B0＝
答案　(1)2，方向与水平方向成45°角斜向上
(2)　(3)(2＋π)
【方法技巧】求解带电粒子在组合复合场中运动问题的分析方法
(1)正确受力分析，除重力、弹力、摩擦力外要特别注意静电力和磁场力的分析．
(2)确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合．
(3)对于粒子连续通过几个不同区域、不同种类的场时，要分阶段进行处理．
(4)画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律．
【特别注意】
(1)多过程现象中的“子过程”与“子过程”的衔接点．如一定要把握“衔接点”处速度的连续性．
(2)圆周与圆周运动的衔接点一要注意在“衔接点”处两圆有公切线，它们的半径重合．
【变式探究】如图所示装置中，区域Ⅰ和Ⅲ中分别有竖直向上和水平向右的匀强电场，电场强度分别为E和；Ⅱ区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B.一质量为m、带电荷量为q的带负电粒子(不计重力)从左边界O点正上方的M点以速度v0水平射入电场，经水平分界线OP上的A点与OP成60°角射入Ⅱ区域的磁场，并垂直竖直边界CD进入Ⅲ区域的匀强电场中．求：
(1)粒子在Ⅱ区域匀强磁场中运动的轨迹半径；
(2)O、M间的距离；
(3)粒子从M点出发到第二次通过CD边界所经历的时间．
粒子从M点出发到第二次通过CD边界所用时间为t＝t1＋t2＋t3＝＋＋＝＋.
答案　(1)　(2)　(3)＋
考点二　带电粒子在叠加场中的运动问题
带电粒子在叠加场中的运动问题是典型的力电综合问题．在同一区域内同时有电场和磁场、电场和重力场或同时存在电场、磁场和重力场等称为叠加场．带电粒子在叠加场中的运动问题有很明显的力学特征，一般要从受力、运动、功能的角度来分析．这类问题涉及的力的种类多，含重力、电场力、磁场力、弹力、摩擦力等；包含的运动种类多，含匀速直线运动、匀变速直线运动、类平抛运动、圆周运动以及其他曲线运动，综合性强，数学能力要求高．
例2、如图所示的平行板之间，存在着相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度B1＝0.20 T，方向垂直纸面向里，电场强度E1＝1.0×105 V/m，PQ为板间中线．紧靠平行板右侧边缘xOy坐标系的第一象限内，有一边界线AO，与y轴的夹角∠AOy＝45°，边界线的上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B2＝0.25 T，边界线的下方有水平向右的匀强电场，电场强度E2＝5.0×105 V/m，在x轴上固定一水平的荧光屏．一束带电荷量q＝8.0×10－19 C、质量m＝8.0×10－26 kg的正离子从P点射入平行板间，沿中线PQ做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为(0，0.4 m)的Q点垂直y轴射入磁场区，最后打到水平的荧光屏上的位置C.求：
(1)离子在平行板间运动的速度大小；
(2)离子打到荧光屏上的位置C的坐标；
(3)现只改变AOy区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不
能打到x轴上，磁感应强度大小B2′应满足什么条件？
解析　(1)设离子的速度大小为v，由于沿中线PQ做直线运动，则有qE1＝qvB1，代入数据解得v＝5.0×105 m/s.

答案　(1)5.0×105 m/s　(2)0.6 m　(3)B2′≥0.3 T
【变式探究】如图所示，在竖直平面xOy内，y轴左侧有一水平向右的电场强度为E1的匀强电场和磁感应强度为B1的匀强磁场，y轴右侧有一竖直向上的电场强度为E2的匀强电场，第一象限内有一匀强磁场，一带电荷量为＋q、质量为m的粒子从x轴上的A点以初速度v与水平方向成θ＝30°沿直线运动到y轴上的P点，OP＝d.粒子进入y轴右侧后在竖直面内做匀速圆周运动，然后垂直x轴沿半径方向从M点进入第四象限内、半径为d的圆形磁场区域，粒子在圆形磁场中偏转60°后从N点射出磁场，求：
(1)电场强度E1与E2大小之比．
(2)第一象限内磁场的磁感应强度B的大小和方向．
(3)粒子从A到N运动的时间．
解析　(1)粒子从A到P做匀速直线运动，由受力情况可得qE1＝mgtan θ。粒子从P到M做匀速圆周运动，必有重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，即qE2＝mg
联立得E1∶E2＝∶3.
答案　(1)∶3　(2)　方向垂直纸面向外 (3)
考点三　带电粒子在交变复合场中的运动
例3、如图甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E>0表示电场方向竖直向上．t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点．Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g.上述d、E0、m、v、g为已知量．
(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小．
(2)求电场变化的周期T.
(3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的
区域，求T的最小值．
【变式探究】如图甲所示，在以O为坐标原点的xOy平面内，存在着范围足够大的电场和磁场．一个质量m＝2×10－2kg，带电荷量q＝＋5×10－3C的小球在0时刻以v0＝40 m/s的速度从O点沿＋x方向(水平向右)射入该空间，在该空间同时加上如图乙所示的电场和磁场，其中电场沿－y方向(竖直向上)，场强大小E0＝40 V/m.磁场垂直于xOy平面向外，磁感应强度大小B0＝4π T．取当地的重力加速度g＝10 m/s2，计算结果中可以保留根式或π.
(1)求12 s末小球速度的大小．
(2)在给定的xOy坐标系中，大致画出小球在24 s内的运动轨
迹示意图．
(3)求26 s末小球的位置坐标．
(2)小球在24 s内的运动轨迹示意图如图所示(半径越来越大)．
【高考真题解析
【2014高考在线】
1．（2014·四川卷）如图所示，水平放置的不带电的平行金属板p和b相距h，与图示电路相连，金属板厚度不计，忽略边缘效应．p板上表面光滑，涂有绝缘层，其上O点右侧相距h处有小孔K；b板上有小孔T，且O、T在同一条竖直线上，图示平面为竖直平面．质量为m、电荷量为－q(q>0)的静止粒子被发射装置(图中未画出)从O点发射，沿p板上表面运动时间t后到达K孔，不与板碰撞地进入两板之间．粒子视为质点，在图示平面内运动，电荷量保持不变，不计空气阻力，重力加速度大小为g.
(1)求发射装置对粒子做的功；
(2)电路中的直流电源内阻为r，开关S接“1”位置时，进入板间的粒子落在b板上的A点，A点与过K孔竖直线的距离为l.此后将开关S接“2”位置，求阻值为R的电阻中的电流强度；
(3)若选用恰当直流电源，电路中开关S接“1”位置，使进入板间的粒子受力平衡，此时在板间某区域加上方向垂直于图面的、磁感应强度大小合适的匀强磁场(磁感应强度B只能在0～Bm＝范围内选取)，使粒子恰好从b板的T孔飞出，求粒子飞出时速度方向与b板板面的夹角的所有可能值(可用反三角函数表示)．

则题目所求为　　0<θ≤arcsin
2．（2014·山东卷）如图甲所示，间距为d、垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场．取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．t＝0时刻，一质量为m、带电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0.由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区．当B0和TB取某些特定值时，可使t＝0时刻入射的粒子经Δt时间恰能垂直打在P板上(不考虑粒子反弹)．上述m、q、d、v0为已知量．
　
图甲　　　　　　　　　　图乙
(1)若Δt＝TB，求B0；
(2)若Δt＝TB，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；
(3)若B0＝，为使粒子仍能垂直打在P板上，求TB.

(3)设粒子做圆周运动的半径为R，周期为T，由圆周运动公式得
T＝⑦
由牛顿第二定律得
qv0B0＝⑧
由题意知B0＝，代入⑧式得
d＝4R⑨
当n≥2时，不满足0＜θ＜90°的要求
若在B点击中P板，据题意由几何关系得
R＋2Rsin θ＋2(R＋Rsin θ)n＝d
当n＝0时，无解
当n＝1时，联立⑨式得
θ＝arcsin(或sin θ＝)
联立⑦⑨⑩式得
TB＝
当n≥2时，不满足0＜θ＜90°的要求.
3．（2014·全国卷）如图，在第一象限存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面(xy平面)向外；在第四象限存在匀强电场，方向沿x轴负向．在y轴正半轴上某点以与x轴正向平行、大小为v0的速度发射出一带正电荷的粒子，该粒子在(d，0)点沿垂直于x轴的方向进入电场．不计重力．若该粒子离开电场时速度方向与y轴负方向的夹角为θ，求：
(1)电场强度大小与磁感应强度大小的比值；
(2)该粒子在电场中运动的时间．
(2)联立⑤⑥式得
t＝⑧　
1．(2012·海南卷，2)如图所示，在两水平极板间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直于纸面向里．一带电粒子以某一速度沿水平直线通过两极板．若不计重力，下列四个物理量中哪一个改变时，粒子运动轨迹不会改变 (　　)．

A．粒子速度的大小　　
B．粒子所带的电荷量
C．电场强度　　
D．磁感应强度
2．(2012·课标全国卷，25)如图所示，一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面(纸面)．在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的粒子沿图中直线在圆上的a点射入柱形区域，在圆上的b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直．圆心O到直线的距离为R.现将磁场换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线在a点射入柱形区域，也在b点离开该区域．若磁感应强度大小为B，不计重力，求电场强度的大小．
答案　
3．(2012·重庆卷，24)有人设计了一种带电颗粒的速率分选装置，其原理如图所示．两带电金属板间有匀强电场，方向竖直向上，其中PQNM矩形区域内还有方向垂直纸面向外的匀强磁场．一束比荷(电荷量与质量之比)均为的带正电颗粒，以不同的速率沿着磁场区域的水平中心线O′O进入两金属板之间，其中速率为v0的颗粒刚好从Q点处离开磁场，然后做匀速直线运动到达收集板．重力加速度为g，PQ＝3d，NQ＝2d，收集板与NQ的距离为l，不计颗粒间相互作用．
求：(1)电场强度E的大小；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)速率为λv0(λ＞1)的颗粒打在收集板上的位置到O点的距离．
解析　(1)设带电颗粒的电荷量为q，质量为m.有Eq＝mg，将＝代入，得E＝kg.
(2)如图甲所示，有qv0B＝m，R2＝(3d)2＋(R－d)2，得B＝.
(3)如图乙所示，有qλv0B＝m，
tan θ＝，y1＝R1－，
y2＝ltan θ，y＝y1＋y2，得
y＝d(5λ－)＋.
答案　(1)kg　(2)　(3)d(5λ－)＋
4．(2012·浙江卷，24)如图所示，两块水平放置、相距为d的长金属板接在电压可调的电源上．两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场．将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面，从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v0、带相等电荷量的墨滴．调节电源电压至U，墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动；进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点．
(1)判断墨滴所带电荷的种类，并求其电荷量；
(2)求磁感应强度B的值；
(3)现保持喷口方向不变，使其竖直下移到两板中间的位置．为了使墨滴仍能到达下板M点，应将磁感应强度调至B′，则B′的大小为多少？
(3)根据题设，墨滴运动轨迹如图所示，设墨滴做圆周运动的半径为R′，有qv0B′＝m ⑤
由图可得：
R′2＝d2＋2 ⑥
由⑥式得：R′＝d ⑦
联立②⑤⑦式可得：B′＝
答案　(1)负电荷　　(2)　(3)
5．(2013·江苏卷，15)在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制．如图(a)所示的xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t作周期性变化的图象如图(b)所示．x轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向．在坐标原点O有一粒子P，其质量和电荷量分别为m和＋q.不计重力．在t＝时刻释放P，它恰能沿一定轨道做往复运动．
(1)求P在磁场中运动时速度的大小v0；
(2)求B0应满足的关系；
(3)在t0时刻释放P，求P速度为零时的坐标．
解析　(1)～τ做匀加速直线运动，τ～2τ做匀速圆周运动，电场力F＝qE0，加速度a＝，速度v0＝aτ，且t＝，解得v0＝.
(2)只有当t＝2τ时，P在磁场中做圆周运动结束并开始沿x轴负方向运动，才能沿一定轨道做往复运动，如图所示．设P在磁场中做圆周运动的周期为T.则T＝τ(n＝1,2,3，…)，匀速圆周运动qvB0＝m，T＝
解得B0＝，(n＝1,2,3…)．
解得y＝，(k＝1,2,3…)．
答案　(1)　(2)B0＝，(n＝1,2,3…)
(3)横坐标x＝0，纵坐标y＝，(k＝1,2,3…)
6.(2013·浙江高考)在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P＋和P3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示，已知离子P＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出．在电场和磁场中运动时，离子P＋和P3＋(　　)
A．在电场中的加速度之比为1∶1
B．在磁场中运动的半径之比为∶1
C．在磁场中转过的角度之比为1∶2
D．离开电场区域时的动能之比为1∶3
7.(2013·天津高考)一圆筒的横截面如图所示，其圆心为O.筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆筒下面有相距为d的平行金属板M、N，其中M板带正电荷，N板带等量负电荷．质量为m、电荷量为q的带正电粒子自M板边缘的P处由静止释放，经N板的小孔S以速度v沿半径SO方向射入磁场中．粒子与圆筒发生两次碰撞后仍从S孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的情况下，求：
(1)M、N间电场强度E的大小；
(2)圆筒的半径R；
(3)保持M、N间电场强度E不变，仅将M板向上平移d，粒子仍从M板边缘的P处由静止释放，粒子自进入圆筒至从S孔射出期间，与圆筒的碰撞次数n.

(3)保持M、N间电场强度E不变，M板向上平移d后，设板间电压为U′，则
U′＝＝⑦
设粒子进入S孔时的速度为v′，由①式看出
＝
综合⑦式可得
v′＝v⑧
设粒子做圆周运动的半径为r′，则
r′＝⑨
设粒子从S到第一次与圆筒碰撞期间的轨迹所对圆心角为θ，比较⑥⑨两式得到r′＝R，可见
θ＝⑩21世纪教育网
粒子需经过四个这样的圆弧才能从S孔射出，故
n＝3?
【答案】　(1)　(2)　(3)3
【2016考纲解读】
1、知道电磁感应现象以及产生感应电流的条件。
2．理解磁通量的定义，理解磁通量的变化、变化率以及净磁通量的概念。
3．理解棱次定律的实质，能熟练运用棱次定律来分析电磁感应现象中感应电流的方向。
4．理解右手定则并能熟练运用该定则判断感应电流的的方向。
【重点知识梳理】
一、电磁感应现象
1.产生感应电流的条件
感应电流产生的条件是：穿过闭合电路的磁通量发生变化。
以上表述是充分必要条件。不论什么情况，只要满足电路闭合和磁通量发生变化这两个条件，就必然产生感应电流；反之，只要产生了感应电流，那么电路一定是闭合的，穿过该电路的磁通量也一定发生了变化。
当闭合电路的一部分导体在磁场中做切割磁感线的运动时，电路中有感应电流产生。这个表述是充分条件，不是必要的。在导体做切割磁感线运动时用它判定比较方便。
2.感应电动势产生的条件。
感应电动势产生的条件是：穿过电路的磁通量发生变化。
这里不要求闭合。无论电路闭合与否，只要磁通量变化了，就一定有感应电动势产生。这好比一个电源：不论外电路是否闭合，电动势总是存在的。但只有当外电路闭合时，电路中才会有电流。
二、楞次定律
1．楞次定律
感应电流总具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
楞次定律解决的是感应电流的方向问题。它关系到两个磁场：感应电流的磁场（新产生的磁场）和引起感应电流的磁场（原来就有的磁场）。前者和后者的关系不是“同向”或“反向”的简单关系，而是前者“阻碍”后者“变化”的关系。
2．对“阻碍”意义的理解：
（1）阻碍原磁场的变化。“阻碍”不是阻止，而是“延缓”，感应电流的磁场不会阻止原磁场的变化，只能使原磁场的变化被延缓或者说被迟滞了，原磁场的变化趋势不会改变，不会发生逆转．
（2）阻碍的是原磁场的变化，而不是原磁场本身，如果原磁场不变化，即使它再强，也不会产生感应电流．
（3）阻碍不是相反．当原磁通减小时，感应电流的磁场与原磁场同向，以阻碍其减小；当磁体远离导体运动时，导体运动将和磁体运动同向，以阻碍其相对运动．
（4）由于“阻碍”，为了维持原磁场的变化，必须有外力克服这一“阻碍”而做功，从而导致其它形式的能转化为电能．因此楞次定律是能量转化和守恒定律在电磁感应中的体现．
3．楞次定律的具体应用
（1）从“阻碍磁通量变化”的角度来看，由磁通量计算式Φ=BSsinα可知，磁通量变化ΔΦ=Φ2-Φ1有多种形式，主要有：
①S、α不变，B改变，这时ΔΦ=ΔB(Ssinα
②B、α不变，S改变，这时ΔΦ=ΔS(Bsinα
③B、S不变，α改变，这时ΔΦ=BS（sinα2-sinα1）
当B、S、α中有两个或三个一起变化时，就要分别计算Φ1、Φ2，再求Φ2-Φ1了。
（2）从“阻碍相对运动”的角度来看，楞次定律的这个结论可以用能量守恒来解释：既然有感应电流产生，就有其它能转化为电能。又由于是由相对运动引起的，所以只能是机械能减少转化为电能，表现出的现象就是“阻碍”相对运动。
（3）从“阻碍自身电流变化”的角度来看，就是自感现象。
在应用楞次定律时一定要注意：“阻碍”不等于“反向”；“阻碍”不是“阻止”。
4．右手定则。
对一部分导线在磁场中切割磁感线产生感应电流的情况，右手定则和楞次定律的结论是完全一致的。这时，用右手定则更方便一些。
5．楞次定律的应用步骤
楞次定律的应用应该严格按以下四步进行：①确定原磁场方向；②判定原磁场如何变化（增大还是减小）；③确定感应电流的磁场方向（增反减同）；④根据安培定则判定感应电流的方向。
6．解法指导：
（1）楞次定律中的因果关联
楞次定律所揭示的电磁感应过程中有两个最基本的因果联系，一是感应磁场与原磁场磁通量变化之间的阻碍与被阻碍的关系，二是感应电流与感应磁场间的产生和被产生的关系.抓住“阻碍”和“产生”这两个因果关联点是应用楞次定律解决物理问题的关键.
（2）运用楞次定律处理问题的思路
（a）判断感应电流方向类问题的思路
运用楞次定律判定感应电流方向的基本思路可归结为：“一原、二感、三电流”，即为：
①明确原磁场：弄清原磁场的方向及磁通量的变化情况.
②确定感应磁场：即根据楞次定律中的"阻碍"原则，结合原磁场磁通量变化情况，确定出感应电流产生的感应磁场的方向.
③判定电流方向：即根据感应磁场的方向，运用安培定则判断出感应电流方向.
（b）判断闭合电路（或电路中可动部分导体）相对运动类问题的分析策略
在电磁感应问题中，有一类综合性较强的分析判断类问题，主要讲的是磁场中的闭合电路在一定条件下产生了感应电流，而此电流又处于磁场中，受到安培力作用，从而使闭合电路或电路中可动部分的导体发生了运动.（如例2）对其运动趋势的分析判断可有两种思路方法：
①常规法：
据原磁场（B原方向及ΔΦ情况）确定感应磁场（B感方向）判断感应电流（I感方向）导体受力及运动趋势.
②效果法
由楞次定律可知，感应电流的“效果”总是阻碍引起感应电流的“原因”，深刻理解“阻碍”的含义.据"阻碍"原则，可直接对运动趋势作出判断，更简捷、迅速.
【高频考点突破】
考点一 磁通量、磁通量的变化及磁通量变化率
【例1】如图12-1-2所示，两个同心圆形线圈a、b在同一平面内，其半径大小关系为raA、> B、=
C、< D、条件不足，无法判断
【感悟提高】 若磁感线沿相反方向通过同一平面，则磁通量在数值上等于正、反磁感线的代数和,这就是所谓的净磁通.当B与S间存在夹角时，要用有效的面积计算磁通量．所谓有效面积，是指面积在与磁感应强度B垂直的方向上的投影．
【变式探究】在磁感应强度为B的匀强磁场中，面积为S的线圈垂直磁场方向放置，若将此线圈翻转180°，那么穿过此线圈的磁通量的变化量是多少？
【感悟提高】若磁通量的变化量Δφ是指穿过面积末时刻的磁通量φ2与穿过这一面积初时刻的磁通量φ1之差，在计算Δφ时通常取绝对值，如果φ2与φ1反向，那么φ2与φ1的符号相反。
考点二 电磁感应现象
【例2】如图12-1-5所示，MN、GH为平行导轨，AB、CD为跨在导轨上的两根横杆，导轨和横杆均为导体。有匀强磁场垂直于导轨所在平面。用I表示回路中的电流（ ）
A.当AB不动而CD向右滑动时，I≠0且沿顺时针方向
B.当AB向左、CD向右滑动且速度大小相等时，I=0
C.当AB、CD都向右滑动且速度大小相等时，I=0
D.当AB、CD都向右滑动，且AB速度大于CD时，I≠0且沿逆时针方向
【感悟提高】大多数考生容易因为对“闭合回路”理解不透彻而出错，往往只能要注意到较为直观的回路，而忽视除了其它回路的存在．不管一任何方式，只要回路中的磁通量发生了变化，闭合回路中就会有感应电流产生。
考点三：右手定则、楞次定律
【例3】如图 4 所示，用一根长为 L质量不计的细杆与一个上弧长为 L0、下弧 长为 d0 的金属线框的中点联结并悬挂于 O 点，悬点正下方存在一个上弧 长为 2 L0 、下弧长为 2 d0 的方向垂直纸面向里的匀强磁场，且 d0<A．金属线框进入磁场时感应电流的方向为 a→d→c→b→a
B．金属线框离开磁场时感应电流的方向为 a→b→c→d→a ?
C．金属线框 dc边进入磁场与 ab边离开磁场的速度大小总是相等
D．金属线框最终将在磁场内做简谐运动
【规律总结】运用楞次定律判定感应电流方向的基本思路可归结为：“一原、二感、三电流”，即为：①明确原磁场：弄清原磁场的方向及磁通量的变化情况；②确定感应磁场：即根据楞次定律中的"阻碍"原则，结合原磁场磁通量变化情况，确定出感应电流产生的感应磁场的方向；③判定电流方向：即根据感应磁场的方向，运用安培定则判断出感应电流方向。本题也可以利用右手定则来判断同样也可得到答案D。右手定则是楞次定律的特殊表现形式，在分析直导线时较为方便．
考点四 棱次定律的综合应用
【例4】电阻R、电容C与一线圈连成闭合电路，条形磁铁静止于线圈的正上方，N极朝下，如图12-1-11所示．现使磁铁开始自由下落，在N极接近线圈上端的过程中，流过R的电流方向和电容器极板的带电情况是（ ）
A．从a到b，上极板带正电
B．从a到b，下极板带正电
C．从b到a，上极板带正电
D．从b到a，下极板带正电
【经典考题精析】
【2014高考在线】
1．（2014·新课标全国卷Ⅰ）在法拉第时代，下列验证“由磁产生电”设想的实验中，能观察到感应电流的是(　　)
A．将绕在磁铁上的线圈与电流表组成一闭合回路，然后观察电流表的变化
B．在一通电线圈旁放置一连有电流表的闭合线圈，然后观察电流表的变化
C．将一房间内的线圈两端与相邻房间的电流表连接，往线圈中插入条形磁铁后，再到相邻房间去观察电流表的变化
D．绕在同一铁环上的两个线圈，分别接电源和电流表，在给线圈通电或断电的瞬间，观察电流表的变化
2．（2014·广东卷）如图8所示，上下开口、内壁光滑的铜管P和塑料管Q竖直放置，小磁块先后在两管中从相同高度处由静止释放，并落至底部，则小磁块(　　)
A．在P和Q中都做自由落体运动
B．在两个下落过程中的机械能都守恒
C．在P中的下落时间比在Q中的长
D．落至底部时在P中的速度比在Q中的大
3．（2014·全国卷）很多相同的绝缘铜圆环沿竖直方向叠放，形成一很长的竖直圆筒．一条形磁铁沿圆筒的中心轴竖直放置，其下端与圆筒上端开口平齐．让条形磁铁从静止开始下落．条形磁铁在圆筒中的运动速率(　　)
A．均匀增大
B．先增大，后减小
C．逐渐增大，趋于不变
先增大，再减小，最后不变
4．（2014·重庆卷）某电子天平原理如题8图所示，E形磁铁的两侧为N极，中心为S极，两极间的磁感应强度大小均为B，磁极宽度均为L，忽略边缘效应，一正方形线圈套于中心磁极，其骨架与秤盘连为一体，线圈两端C、D与外电路连接，当质量为m的重物放在秤盘上时，弹簧被压缩，秤盘和线圈一起向下运动(骨架与磁极不接触)，随后外电路对线圈供电，秤盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止，由此时对应的供电电流I可确定重物的质量，已知线圈匝数为n，线圈电阻为R，重力加速度为g.问
题8图
(1)线圈向下运动过程中，线圈中感应电流是从C端还是从D端流出？
(2)供电电流I是从C端还是D端流入？求重物质量与电流的关系．
(3)若线圈消耗的最大功率为P，该电子天平能称量的最大质量是多少？
（2013·新课标全国卷Ⅱ）在物理学发展过程中，观测、实验、假说和逻辑推理等方法都起到了重要作用．下列叙述符合史实的是(　　)
A．奥斯特在实验中观察到电流的磁效应，该效应揭示了电和磁之间存在联系
B．安培根据通电螺线管的磁场和条形磁铁的磁场的相似性，提出了分子环流假说
C．法拉第在实验中观察到，在通有恒定电流的静止导线附近的固定导线圈中，会出现感应电流
D．楞次在分析了许多实验事实后提出，感应电流应具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化
（2013·天津卷）超导现象是20世纪人类重大发现之一，日前我国已研制出世界传输电流最大的高温超导电缆并成功示范运行．
(1)超导体在温度特别低时电阻可以降到几乎为零，这种性质可以通过实验研究．将一个闭合超导金属圆环水平放置在匀强磁场中，磁感线垂直于圆环平面向上，逐渐降低温度使环发生由正常态到超导态的转变后突然撤去磁场，若此后环中的电流不随时间变化，则表明其电阻为零．请指出自上往下看环中电流方向，并说明理由．
(2)为探究该圆环在超导状态的电阻率上限ρ，研究人员测得撤去磁场后环中电流为I，并经一年以上的时间t未检测出电流变化．实际上仪器只能检测出大于ΔI的电流变化，其中ΔI?I，当电流的变化小于ΔI时，仪器检测不出电流的变化，研究人员便认为电流没有变化．设环的横截面积为S，环中定向移动电子的平均速率为v，电子质量为m、电荷量为e.试用上述给出的各物理量，推导出ρ的表达式．
(3)若仍使用上述测量仪器，实验持续时间依旧为t，为使实验获得的该圆环在超导状态的电阻率上限ρ的准确程度更高，请提出你的建议，并简要说明实现方法．
【重点知识梳理】
一、法拉第电磁感应定律
1.法拉第电磁感应定律
电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，即，在国际单位制中可以证明其中的k=1，所以有。对于n匝线圈有。
在导线切割磁感线产生感应电动势的情况下，由法拉第电磁感应定律可推出感应电动势的大小是：E=BLvsinα（α是B与v之间的夹角）。
【例1】如图所示，长L1宽L2的矩形线圈电阻为R，处于磁感应强度为B的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直。求：将线圈以向右的速度v匀速拉出磁场的过程中，⑴拉力F大小； ⑵拉力的功率P； ⑶拉力做的功W； ⑷线圈中产生的电热Q ；⑸通过线圈某一截面的电荷量q 。
⑸ 与v无关
特别要注意电热Q和电荷q的区别，其中与速度无关！（这个结论以后经常会遇到）。
二、感应电量的计算
根据法拉第电磁感应定律，在电磁感应现象中，只要穿过闭合电路的磁通量发生变化，闭合电路中就会产生感应电流。设在时间内通过导线截面的电量为，则根据电流定义式及法拉第电磁感应定律，得：
如果闭合电路是一个单匝线圈（），则.
上式中为线圈的匝数，为磁通量的变化量，R为闭合电路的总电阻。
可见，在电磁感应现象中，只要穿过闭合电路的磁通量发生变化，闭合电路中就会产生感应电流，在时间内通过导线截面的电量仅由线圈的匝数、磁通量的变化量和闭合电路的电阻R决定，与发生磁通量的变化量的时间无关。
因此，要快速求得通过导体横截面积的电量，关键是正确求得磁通量的变化量。磁通量的变化量是指穿过某一面积末时刻的磁通量与穿过这一面积初时刻的磁通量之差，即。在计算时，通常只取其绝对值，如果与反向，那么与的符号相反。
线圈在匀强磁场中转动，产生交变电流，在一个周期内穿过线圈的磁通量的变化量=0，故通过线圈的电量q=0。
穿过闭合电路磁通量变化的形式一般有下列几种情况：
（1）闭合电路的面积在垂直于磁场方向上的分量S不变，磁感应强度B发生变化时，；
（2）磁感应强度B不变，闭合电路的面积在垂直于磁场方向上的分量S发生变化时，；
（3）磁感应强度B与闭合电路的面积在垂直于磁场方向的分量S均发生变化时，。下面举例说明：
【例2】如图所示，闭合导线框的质量可以忽略不计，将它从如图所示的位置匀速拉出匀强磁场。若第一次用0.3s时间拉出，外力所做的功为，通过导线截面的电量为；第二次用时间拉出，外力所做的功为，通过导线截面的电量为，则（ ）
A. B.
C. D.
三、自感现象
1、自感现象
自感现象是指当线圈自身电流发生变化时，在线圈中引起的电磁感应现象，当线圈中的电流增加时，自感电流的方向与原电流方向相反；当线圈中电流减小时，自感电流的方向与原电流的方向相同．自感电动势的大小与电流的变化率成正比．
自感系数L由线圈自身的性质决定，与线圈的长短、粗细、匝数、有无铁芯有关．
自感现象是电磁感应的特例．一般的电磁感应现象中变化的原磁场是外界提供的，而自感现象中是靠流过线圈自身变化的电流提供一个变化的磁场．它们同属电磁感应，所以自感现象遵循所有的电磁感应规律．自感电动势仅仅是减缓了原电流的变化，不会阻止原电流的变化或逆转原电流的变化．原电流最终还是要增加到稳定值或减小到零。
自感现象只有在通过电路的电流发生变化时才会产生．在判断电路性质时，一般分析方法是：当流过线圈L的电流突然增大瞬间，我们可以把L看成一个阻值很大的电阻；当流经L的电流突然减小的瞬间，我们可以把L看作一个电源，它提供一个跟原电流同向的电流．
图2电路中，当S断开时，我们只看到A灯闪亮了一下后熄灭，那么S断开时图1电路中就没有自感电流？能否看到明显的自感现象，不仅仅取决于自感电动势的大小，还取决于电路的结构．在图2电路中，我们预先在电路设计时取线圈的阻值远小于灯A的阻值，使S断开前，并联电路中的电流IL>>IR ，S断开瞬间，虽然L中电流在减小，但这一电流全部流过A灯，仍比S断开前A灯的电流大得多，且延滞了一段时间，所以我们看到A灯闪亮一下后熄灭，对图1的电路，S断开瞬间也有自感电流，但它比断开前流过两灯的电流还小，就不会出现闪亮一下的现象．
除线圈外，电路的其它部分是否存在自感现象？
当电路中的电流发生变化时，电路中每一个组成部分，甚至连导线，都会产生自感电动势去阻碍电流的变化，只不过是线圈中产生的自感电动势比较大，其它部分产生的自感电动势非常小而已。
2、自感现象的应用——日光灯
（1）启动器：利用氖管的辉光放电，起自动把电路接通和断开的作用
（2）镇流器：在日光灯点燃时，利用自感现象，产生瞬时高压，在日光灯正常发光时，，利用自感现象，起降压限流作用。
3、日光灯的工作原理图如下：
图中A镇流器，其作用是在灯开始点燃时起产生瞬时高压的作用；在日光灯正常发光时起起降压限流作用．B是日光灯管，它的内壁涂有一层荧光粉，使其发出的光为柔和的白光；C是启动器，它是一个充有氖气的小玻璃泡，里面装上两个电极，一个固定不动的静触片和一个用双金属片制成的U形触片组成．
【例3】如图所示的电路中，A1和A2是完全相同的灯泡，线圈L的电阻可以忽略不计，下列说法中正确的是（ ）
A．合上开关S接通电路时，A2先亮A1后亮，最后一样亮
B．合上开关S接通电路时，A1和A2始终一样亮
C．断开开关S切断电路时，A2立即熄灭，A1过一会熄灭
D．断开开关S切断电路时，A1和A2都要过一会才熄灭
【高频考点突破】
考点1 法拉第电磁感应定律
例1、如图12-2-11（a）所示，一端封闭的两条平行光滑导轨相距L，距左端L处的中间一段被弯成半径为H的1/4圆弧，导轨左右两段处于高度相差H的水平面上．圆弧导轨所在区域无磁场，右段区域存在磁场B0，左段区域存在均匀分布但随时间线性变化的磁场B（t），如图12-2-11（b）所示，两磁场方向均竖直向上．在圆弧顶端，放置一质量为m的金属棒ab，与导轨左段形成闭合回路，从金属棒下滑开始计时，经过时间t0滑到圆弧底端．设金属棒在回路中的电阻为R，导轨电阻不计，重力加速度为g．
（1）问金属棒在圆弧内滑动时，回路中感应电流的大小和方向是否发生改变？为什么？
（2）求0到时间t0内，回路中感应电流产生的焦耳热量．
（3）探讨在金属棒滑到圆弧底端进入匀强磁场B0的一瞬间，回路中感应电流的大小和方向．
3．对电磁感应中的平均值与瞬时值认识不到位导致错误．在电磁感应中，若金属棒不是做匀速运动，则平均电动势与瞬时电动势往往是不相同的，一定要注意它们的区别．
考点2 电磁感应中的功率问题、自感
例2、 如图12-2-4所示，在磁感强度为B的匀强磁场中有一半径为L的金属圆环．已知构成圆环的电线电阻为4r0，以O为轴可以在圆环上滑动的金属棒OA电阻为r0，电阻R1=R2=4r0．当OA棒以角速度匀速转动时，电阻R1的电功率最小值为P0为多大？（其它电阻不计）
例3、两个相同的白炽灯L1和L2，接到如图所示的电路中，灯L1与电容器串联，灯L2与电感线圈串联，当a、b处接电压最大值为Um、频率为f的正弦交流电源时，两灯都发光，且亮度相同。更换一个新的正弦交流电源后，灯L1的亮度高于灯L2的亮度。新电源的电压最大值和频率可能是（ ）
A．最大值仍为Um，而频率大于f
B．最大值仍为Um，而频率小于f
C．最大值大于Um，而频率仍为f
D．最大值小于Um，而频率仍为f
【解析】灯L1的亮度高于L2的亮度，说明L1的容抗小于L2支路的感抗，故选A。
【答案】A 。
【感悟提高】感抗与容抗是新增内容，也是教学中比较薄弱的环节，它又与大学内容相联系，故要引起重视。
考点3 流过截面的电量问题、涡流现象
1．发生电磁感应时，通过导体某一截面电量。有时也利用冲量定律来求：BILΔt=ΔP，因此有：q=ΔP/BL。
2．涡流现象指的是磁感应强度变化时在导体块内引起漩涡状感应电流的现象．
例4、如图7-1，在匀强磁场中固定放置一根串接一电阻R的直角形金属导轨aob(在纸面内)，磁场方向垂直于纸面朝里，另有两根金属导轨c、d分别平行于oa、ob放置。保持导轨之间接触良好，金属导轨的电阻不计。现经历以下四个过程：①以速度v移动d,使它与ob的距离增大一倍;②再以速率v移动c,使它与oa的距离减小一半；③然后，再以速率2v移动c,使它回到原处；④最后以速率2v移动d,使它也回到原处。设上述四个过程中通过电阻R的电量的大小依次为Q1、Q2、Q3和Q4,则（ ）
A、Q1=Q2=Q3=Q4 B、Q1=Q2=2Q3=2Q4
C、2Q1=2Q2=Q3=Q4 D、Q1≠Q2=Q3≠Q4
【答案】A。
【感悟提高】计算感应电量的两条思路：思路一、当闭合电路中的磁通量发生变化时，根据法拉第电磁感应定律，平均感应电动势E=NΔφ/Δt，平均感应电流I＝E/R＝NΔφ/RΔt，则通过导体横截面的电量q=I＝NΔφ/R。思路二、当导体棒在安培力(变力)作用下做变速运动，磁通量的变化难以确定时，常用动量定理通过求安培力的冲量求通过导体横截面积的电量。要快速求得通过导体横截面的电量Q，关键是正确求得穿过某一回路变化的磁通量ΔΦ。
考点4、感应电动势与电路
例5、如图12-2-6所示，半径为Ｒ、单位长度电阻为λ的均匀导体圆环固定在水平面上，圆环中心为Ｏ．匀强磁场垂直水平面方向向下，磁感强度为Ｂ．平行于直径ＭＯＮ的导体杆，沿垂直于杆的方向向右运动．杆的电阻可以忽略不计，杆与圆环接触良好，某时刻，杆的位置如图， ，速度为ｖ，求此时刻作用在杆上安培力的大小．
【经典考题精析】
【2014高考在线】
1.（2014·四川卷）如图所示，不计电阻的光滑U形金属框水平放置，光滑、竖直玻璃挡板H、P固定在框上，H、P的间距很小．质量为0.2 kg的细金属杆CD恰好无挤压地放在两挡板之间，与金属框接触良好并围成边长为1 m的正方形，其有效电阻为0.1 Ω.此时在整个空间加方向与水平面成30°角且与金属杆垂直的匀强磁场，磁感应强度随时间变化规律是B＝(0.4－0.2t) T，图示磁场方向为正方向．框、挡板和杆不计形变．则(　　)
A．t＝1 s时，金属杆中感应电流方向从C到D
B．t＝3 s时，金属杆中感应电流方向从D到C
C．t＝1 s时，金属杆对挡板P的压力大小为0.1 N
D．t＝3 s时，金属杆对挡板H的压力大小为0.2 N
2．（2014·江苏卷）如图X21-1所示，一正方形线圈的匝数为n，边长为a，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中．在Δt时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B均匀地增大到2B.在此过程中，线圈中产生的感应电动势为(　　)
　　　　　　
图X21-1
 B. C. D.
（2013·全国卷）纸面内两个半径均为R的圆相切于O点，两圆形区域内分别存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小相等、方向相反，且不随时间变化．一长为2R的导体杆OA绕O点且垂直于纸面的轴顺时针匀速旋转，角速度为ω.t＝0时，OA恰好位于两圆的公切线上，如图所示，若选取从O指向A的电动势为正，下列描述导体杆中感应电动势随时间变化的图像可能正确的是(　　)
（2013·北京卷）如图，在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，金属杆MN在平行金属导轨上以速度v向右匀速滑动，MN中产生的感应电动势为E1；若磁感应强度增为2B，其他条件不变，MN中产生的感应电动势变为E2.则通过电阻R的电流方向及E1与E2之比E1∶E2分别为(　　)
A．c→a，2∶1　　　　　　　B．a→c，2∶1
C．a→c，1∶2 D．c→a，1∶2
（2013·浙江卷）磁卡的磁条中有用于存储信息的磁极方向不同的磁化区，刷卡器中有检测线圈．当以速度v0刷卡时，在线圈中产生感应电动势，其E－t关系如右图所示．如果只将刷卡速度改为，线圈中的E－t关系图可能是(　　)
（2013·新课标全国卷Ⅱ）如图，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d(d>L)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右行动．t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域．下列v－t图像中，可能正确描述上述过程的是(　　)
　　
【答案】D　
【2016高考考纲解读】
1.能认识电磁感应现象中的电路结构，并能计算电动势、电压、电流、电功等.
2.能由给定的电磁感应过程判断或画出正确的图象或由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量．
【重点知识梳理】
一、电磁感应中的电路问题
1．电磁感应中电路知识的关系图
2．电磁感应中电路问题的题型特点
闭合电路中磁通量发生变化或有部分导体做切割磁感线运动，在回路中将产生感应电动势和感应电流．从而考题中常涉及电流、电压、电功等的计算，也可能涉及电磁感应与力学、电磁感应与能量的综合分析．
3．分析电磁感应电路问题的基本思路
(1)确定电源：用法拉第电磁感应定律和楞次定律或右手定则确定感应电动势的大小和方向，电源内部电流的方向是从低电势流向高电势；
(2)分析电路结构：根据“等效电源”和电路中其他元件的连接方式画出等效电路．注意区别内外电路，区别路端电压、电动势；
(3)利用电路规律求解：根据E＝BLv或E＝n结合闭合电路欧姆定律、串并联电路知识和电功率、焦耳定律等关系式联立求解．
二、电磁感应中的图象问题
1．图象类型
电磁感应中主要涉及的图象有B t图象、Φ t图象、E t图象和I t图象．还常涉及感应电动势E和感应电流I随线圈位移x变化的图象，即E x图象和I x图象．
2．常见题型
图象的选择、图象的描绘、图象的转换、图象的应用．
3．所用规律
一般包括：左手定则、安培定则、楞次定律、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等．
4．分析步骤
(1)明确图象的种类；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等规律写出函数方程；
(4)根据函数方程进行数学分析，例如分析斜率的变化、截距等；
(5)画图象或判断图象．
【高频考点突破】
考点一、电磁感应中的电路
例1、 (2013·广东卷，36)如图1(a)所示，在垂直于匀强磁场B的平面内，半径为r的金属圆盘绕过圆心O的轴转动，圆心O和边缘K通过电刷与一个电路连接，电路中的P是加上一定正向电压才能导通的电子元件，流过电流表的电流I与圆盘角速度ω的关系如图(b)所示，其中ab段和bc段均为直线，且ab段过坐标原点，ω＞0代表圆盘逆时针转动．已知：R＝3.0 Ω，B＝1.0 T，r＝0.2 m．忽略圆盘、电流表和导线的电阻．
(1)根据图(b)写出ab、bc段对应的I与ω的关系式；
(2)求出图(b)中b、c两点对应的P两端的电压Ub、Uc；
(3)分别求出ab、bc流过P的电流IP与其两端电压UP的关系式．
对应于a点元件P不导通，则对应于ab段流过P的电流IP＝0.
【变式探究】　粗细均匀的电阻丝围成图所示的线框，置于正方形有界匀强磁场中，磁感强度为B，方向垂直于线框平面，图中ab＝bc＝2cd＝2de＝2ef＝2fa＝2L.现使线框以同样大小的速度v匀速沿四个不同方向平动进入磁场，并且速度方向始终与线框先进入磁场的那条边垂直，则线框在通过如图所示位置时，下列说法中正确的是 (　　)
A．ab两点间的电势差图①中最大
B．ab两点间的电势差图②中最大
C．回路电流图③中最大
D．回路电流图④中最小
考点二、图象的选择
例2、(2013·全国新课标卷Ⅰ，17)如图所示，在水平面(纸面)内有三根相同的均匀金属棒ab、ac和MN，其中ab、ac在a点接触，构成“V”字型导轨．空间存在垂直于纸面的均匀磁场．用力使MN向右匀速运动，从图示位置开始计时，运动中MN始终与∠bac的平分线垂直且和导轨保持良好接触．下列关于回路中电流i与时间t的关系图线，可能正确的是 (　　)．
解析　设∠bac＝2θ，MN以速度v匀速运动，导体棒单位长度的电阻为R0.经过时间t，导体棒的有效切割长度L＝2vttan θ，感应电动势E＝BLv＝2Bv2ttan θ，回路的总电阻R＝(2vttan θ＋)R0，回路中电流i＝＝.故i与t无关是一个定值，选项A正确．
答案 A
【变式探究】如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为2a，磁感应强度的大小为B.一边长为a、电阻为4R的正方形均匀导线框ABCD从图示位置开始沿水平向右方向以速度v匀速穿过磁场区域，在图中线框A、B两端电压UAB与线框移动距离x的关系图象正确的是 (　　)．

考点三　图象的转换
例3、(2013·山东卷，18)将一段导线绕成图甲所示的闭合回路，并固定在水平面(纸面)内．回路的ab边置于垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ中．回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示．用F表示ab边受到的安培力，以水平向右为F的正方向，能正确反应F随时间t变化的图象是 (　　)．
【变式探究】如图甲所示，正六边形导线框abcdef放在匀强磁场中静止不动，磁场方向与线框平面垂直，磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示．t＝0时刻，磁感应强度B的方向垂直纸面向里，设产生的感应电流以顺时针方向为正、竖直边cd所受安培力的方向以水平向左为正．则下面关于感应电流i和cd边所受安培力F随时间t变化的图象正确的是 (　　)．
考点四 图象的应用
例4、水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆(见图甲)，金属杆与导轨的电阻忽略不计；磁场竖直向下．用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动．当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会变化，v与F的关系如图乙．(取重力加速度g＝10 m/s2)
(1)金属杆在匀速运动之前做什么运动？
(2)若m＝0.5 kg，L＝0.5 m，R＝0.5 Ω，磁感应强度B为多大？
(3)由v F图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？
【变式探究】如图甲所示，垂直纸面向里的有界匀强磁场的磁感应强度B＝1.0 T，质量m＝0.04 kg、高h＝0.05 m、总电阻R＝5 Ω、n＝100匝的矩形线圈竖直固定在质量M＝0.08 kg的小车上，小车与线圈的水平长度l相等．线圈和小车一起沿光滑水平面运动，并以初速度v1＝10 m/s进入磁场，线圈平面和磁场方向始终垂直．若小车运动的速度v随位移x变化的v x图象如图乙所示，则根据以上信息可知 (　　)．
A．小车的水平长度l＝15 cm
B．磁场的宽度d＝35 cm
C．小车的位移x＝10 cm时线圈中的电流I＝7 A
D．线圈通过磁场的过程中线圈产生的热量Q＝1.92 J
【高考真题解析】
1．（2014·山东卷）如图所示，一端接有定值电阻的平行金属轨道固定在水平面内，通有恒定电流的长直绝缘导线垂直并紧靠轨道固定，导体棒与轨道垂直且接触良好，在向右匀速通过M、N两区的过程中，导体棒所受安培力分别用FM、FN表示．不计轨道电阻．以下叙述正确的是(　　)
A．FM向右 B．FN向左
FM逐渐增大 D．FN逐渐减小
2．(2011·海南单科，6)如图，EOF和E′O′F′为空间一匀强磁场的边界，其中EO∥E′O′，FO∥F′O′，且EO⊥OF；OO′为∠EOF的角平分线，OO′间的距离为l；磁场方向垂直于纸面向里．一边长为l的正方形导线框沿O′O方向匀速通过磁场，t＝0时刻恰好位于图示位置．规定导线框中感应电流沿逆时针方向时为正，则感应电流i与时间t的关系图线可能正确的是 (　　)．
3．(2011·重庆理综，23)有人设计了一种可测速的跑步机，测速原理如图所示．该机底面固定有间距为L、长度为d的平行金属电极．电极间充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，且接有电压表和电阻R.绝缘橡胶带上镀有间距为d的平行细金属条，磁场中始终仅有一根金属条，且与电极接触良好，不计金属电阻．若橡胶带匀速运动时，电压表读数为U，求：
(1)橡胶带匀速运动的速率；
(2)电阻R消耗的电功率；
(3)一根金属条每次经过磁场区域克服安培力做的功．
4．(2012·福建卷，18)如图所示，一圆形闭合铜环由高处从静止开始下落，穿过一根竖直悬挂的条形磁铁，铜环的中心轴线与条形磁铁的中轴线始终保持重合．若取磁铁中心O为坐标原点，建立竖直向下为正方向的x轴，则下图中最能正确反映环中感应电流i随环心位置坐标x变化的关系图象是 (　　)．
解析　闭合铜环在下落过程中穿过铜环的磁场方向始终向上，磁通量先增加后减少，由楞次定律可判断感应电流的方向要发生变化，D项错误；因穿过闭合铜环的磁通量的变化率不是均匀变化，所以感应电流随x的变化关系不可能是线性关系，A项错误；铜环由静止开始下落，速度较小，所以穿过铜环的磁通量的变化率较小，产生的感应电流的最大值较小，过O点后，铜环的速度增大，磁通量的变化率较大，所以感应电流的反向最大值大于正向最大值，故B项正确，C项错误．
答案　B
5．(2012·重庆理综，21)如图所示，正方形区域MNPQ内有垂直纸面向里的匀强磁场．在外力作用下，一正方形闭合刚性导线框沿QN方向匀速运动，t＝0时刻，其四个顶点M′、N′、P′、Q′恰好在磁场边界中点．下列图象中能反映线框所受安培力F的大小随时间t变化规律的是 (　　)．
6． (2013·全国新课标Ⅱ·16)如图1，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d(d＞L)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右运动，t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域．下列v－t图象中，可能正确描述上述过程的是 (　　)
图1

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