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3.1 课时1 条件概率
【学习目标】
1.结合古典概型,理解条件概率的概念.(数学抽象)
2.能计算简单随机事件的条件概率.(数学运算)
3.会用条件概率解决实际问题.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
1.古典概型的特征是什么
2.你能写出古典概型的概率计算公式吗
3.抛掷一枚质地均匀的硬币2次.
(1)2次都是正面向上的概率是多少
(2)在已知有1次出现正面向上的条件下,2次都是正面向上的概率是多少
上述2个问题有什么区别 它们之间有什么关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1. (　　)
(2)P(B|A)与P(A|B)不同. (　　)
(3)P(A∩B|A)=P(B). (　　)
2.已知P(A)=0.8,P(B)=0.3,P(AB)=0.24,则P(A|B)=(　　).　
A.0.24 B.0.8 C.0.3 D.0.16
3.已知10道试题中有4道选择题,甲、乙两人依次不放回地抽取1道,求:
(1)甲抽到选择题的概率;
(2)在甲抽到选择题的情况下,乙抽到选择题的概率.
【合作探究】
探究1　条件概率的定义
　　问题1:小明是2022年北京冬奥会的志愿者,服务结束获得了一个冬奥会的吉祥物冰墩墩,小明有三个侄子,都想要这个冰墩墩,他不知如何分配.三个侄子都说抓阄,其中较大的一个说:“我让你们,我最后一个抓.”请问他抽中的概率是否比前两个的小
问题2:如果已经知道第一个人没有抽到冰墩墩,那么最后一个人抽到冰墩墩的概率又是多少
问题3:若用A表示事件“第一个人没有抽到冰墩墩”,用B表示事件“最后一个人抽到冰墩墩”,则将事件“已知第一个人没有抽到冰墩墩的条件下,最后一个人抽到冰墩墩”发生的概率记为P(B|A).试说明:已知第一个人的抽奖结果,为什么会影响最后一个人抽到冰墩墩的概率.
问题4:对于问题3中的事件A和事件B,P(B|A)与它们的概率有什么关系
问题5:如何判断条件概率
新知生成
条件概率
如果事件A,B是两个随机事件,且P(A)>0,那么在事件A发生的条件下事件B发生的概率叫作条件概率,记为P(B|A).　
新知运用
例1　朝阳小学五年级有两个班,其中甲班科技课外兴趣小组有6人(4男2女),乙班科技课外兴趣小组有6人(3男3女),学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2名学生参加全市科技竞赛.
(1)求选到的两名学生来自同一名班的概率;
(2)在已知其中一名是男生的条件下,求另一名也是男生的概率.
【方法总结】　　将原来的全体基本事件Ω缩小为已知的条件事件A,原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件,每个基本事件发生的概率相等,从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率,即P(B|A)=,这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的.
若有5个乒乓球,其中3个是新的,2个是旧的,每次取一个,不放回地取两次,则在第一次取到新球的条件下,第二次取到新球的概率为　　　　　.
探究2　条件概率公式
问题1: P(B|A)=P(A∩B)对吗
问题2:P(B|A)和P(A|B)相同吗
问题3:在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,第1次抽到理科题的概率是多少 第1次和第2次都抽到理科题的概率是多少 在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率又是多少
问题4:你能从问题3中得出什么结论
新知生成
条件概率公式
1.一般地,在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率为P(B|A)=(P(A)>0).
我们可以借助下图来理解上述计算公式.
2.用n(A),n(AB)分别表示 A,AB中的样本点个数,由条件概率的定义可知,在事件A发生的条件下事件B发生的概率,等于在事件A发生的条件下事件A和事件B同时发生的概率,即P(B|A)==,类似地,P(A|B)=(P(B)>0).
新知运用
例2　盒子里装有16个球,其中6个是玻璃球,10个是木质球.玻璃球中有2个是红球,4个是蓝球;木质球中有3个是红球,7个是蓝球.现从中任取一个球(假设每个球被取到是等可能的),若取出的球是蓝球,则该球是玻璃球的概率是多少
【方法总结】　　本题数据较多,关系有点复杂,可采用列表法理顺关系,这样不仅过程简单,同时还能快捷地找出计算条件概率时所需的相关事件的概率.
　　一个袋子中有2个黑球和3个白球,如果不放回地抽取2个球,记事件A为“第一次抽到黑球”,事件B为“第二次抽到黑球”.
(1)分别求事件A,事件B,事件AB发生的概率;
(2)求P(B|A).
探究3　条件概率的应用
例3　某校从学生文艺部7名成员(4男3女)中,挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
(1)求男生甲被选中的概率;
(2)在已知男生甲被选中的条件下,求女生乙被选中的概率;
(3)在要求被选中的2人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率.
【方法总结】　　用定义法求条件概率P(B|A)的步骤:
(1)分析题意,弄清概率模型;
(2)计算P(A),P(AB)的值;
(3)代入公式求P(B|A)的值.
　　2023年6月22日,是我国的传统节日“端午节”.这天,小明的妈妈煮了5个粽子,其中两个腊肉馅,三个豆沙馅.小明随机抽取出两个粽子,若已知小明取到的两个粽子为同一种馅,则这两个粽子都为腊肉馅的概率为(　　).
A. B. C. D.
【随堂检测】
1.若某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,使用寿命超过2年的概率为0.3,则已经使用了1年的该种元件使用寿命超过2年的概率为(　　).
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.1
2.若抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记A={两次的点数均为奇数},B={两次的点数之和为8},则P(B|A)=(　　).
A. B. C. D.
3.根据教育部的规定,2021年9月1日以来,全国各地的中小学都开展了课后延时服务.各个学校都及时安排老师参加课后延时服务工作,学校要求张老师在每个星期的周一至周五要有三天参加课后延时服务.若张老师周二一定参加课后延时服务,则他周三也参加课后延时服务的概率为(　　).
A. B. C. D.
4.已知一个盒子内装有形状、大小完全相同的5个小球,其中3个红球,2个白球.如果不放回地依次抽取3个球,那么在第一次抽到红球的条件下,第二次抽到红球的概率为　　　　.
23.1 课时1 条件概率
【学习目标】
1.结合古典概型,理解条件概率的概念.(数学抽象)
2.能计算简单随机事件的条件概率.(数学运算)
3.会用条件概率解决实际问题.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
1.古典概型的特征是什么
【答案】　(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个.(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
2.你能写出古典概型的概率计算公式吗
【答案】　设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则事件A发生的概率P(A)==.
3.抛掷一枚质地均匀的硬币2次.
(1)2次都是正面向上的概率是多少
(2)在已知有1次出现正面向上的条件下,2次都是正面向上的概率是多少
上述2个问题有什么区别 它们之间有什么关系
【答案】　抛掷2次硬币,试验的样本点组成的样本空间Ω={正正,正反,反正,反反},且所有样本点是等可能的.
(1)记“抛掷硬币2次,2次都是正面向上”为事件B,则B={正正},故P(B)==.
(2)记“抛掷硬币2次,有1次出现正面向上”为事件A,则A={正正,正反,反正},那么在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为P(B|A)==.
这说明,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率产生了变化,并且在事件A发生的条件下事件B发生的概率实际上是以A为样本空间,事件AB发生的概率.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1. (　　)
(2)P(B|A)与P(A|B)不同. (　　)
(3)P(A∩B|A)=P(B). (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×
2.已知P(A)=0.8,P(B)=0.3,P(AB)=0.24,则P(A|B)=(　　).　
A.0.24 B.0.8 C.0.3 D.0.16
【答案】　B
【解析】　P(A|B)===0.8.
3.已知10道试题中有4道选择题,甲、乙两人依次不放回地抽取1道,求:
(1)甲抽到选择题的概率;
(2)在甲抽到选择题的情况下,乙抽到选择题的概率.
【解析】　(1)甲抽到选择题的概率P==.
(2)在甲抽到选择题的情况下,乙抽到选择题的概率P==.
【合作探究】
探究1　条件概率的定义
　　问题1:小明是2022年北京冬奥会的志愿者,服务结束获得了一个冬奥会的吉祥物冰墩墩,小明有三个侄子,都想要这个冰墩墩,他不知如何分配.三个侄子都说抓阄,其中较大的一个说:“我让你们,我最后一个抓.”请问他抽中的概率是否比前两个的小
【答案】　如果三张阄分别用X1,X2,Y表示,其中Y表示“抽中冰墩墩”,那么三人抽的结果共有六种可能,分别为X1X2Y,X1YX2,X2X1Y,X2YX1,YX1X2,YX2X1.用事件A,B,C分别表示事件“第一个人抽到冰墩墩”“第二个人抽到冰墩墩”“最后一个人抽到冰墩墩”,则事件A包含基本事件YX1X2,YX2X1;事件B包含基本事件X1YX2,X2YX1;事件C包含基本事件X1X2Y,X2X1Y.故P(A)=P(B)=P(C)==,即最后一个人抽到冰墩墩的概率与前两个人抽到冰墩墩的概率一样.
问题2:如果已经知道第一个人没有抽到冰墩墩,那么最后一个人抽到冰墩墩的概率又是多少
【答案】　因为已知第一个人没有抽中冰墩墩,所以可能出现的基本事件只有X1X2Y,X1YX2,X2X1Y和X2YX1.而“最后一个人抽到冰墩墩”包含的基本事件仍是X1X2Y和X2X1Y,由古典概型计算概率的公式可知,最后一个人抽到冰墩墩的概率为,即.
问题3:若用A表示事件“第一个人没有抽到冰墩墩”,用B表示事件“最后一个人抽到冰墩墩”,则将事件“已知第一个人没有抽到冰墩墩的条件下,最后一个人抽到冰墩墩”发生的概率记为P(B|A).试说明:已知第一个人的抽奖结果,为什么会影响最后一个人抽到冰墩墩的概率.
【答案】　在这个问题中,知道第一个人没有抽到冰墩墩,等价于知道事件A一定会发生,导致可能出现的基本事件必然在事件A中,从而影响事件B发生的概率,使得P(B|A)≠P(B).　
问题4:对于问题3中的事件A和事件B,P(B|A)与它们的概率有什么关系
【答案】　用Ω表示三个人可能抽取的结果的全体,则它由六个基本事件组成,即Ω={X1X2Y,X1YX2,X2X1Y,X2YX1,YX1X2,YX2X1}.既然已知事件A已发生,那么只需在A={X1X2Y,X1YX2,X2X1Y,X2YX1}的范围内考虑问题,即只有四个基本事件.在事件A发生的情况下,事件B发生等价于事件A和事件B同时发生,即事件AB发生.而事件AB中含X1X2Y,X2X1Y两个基本事件,因此P(B|A)==,其中n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件个数.另一方面,根据古典概型计算概率的公式可知,P(AB)=,P(A)=,其中n(Ω)表示Ω中包含的基本事件个数.所以P(B|A)=.
问题5:如何判断条件概率
【答案】　 题目中出现“在已知……前提下(或条件下)”“在A发生的条件下”等关键词,表明这个前提已成立或条件已发生,此时通常涉及条件概率.
新知生成
条件概率
如果事件A,B是两个随机事件,且P(A)>0,那么在事件A发生的条件下事件B发生的概率叫作条件概率,记为P(B|A).　
新知运用
例1　朝阳小学五年级有两个班,其中甲班科技课外兴趣小组有6人(4男2女),乙班科技课外兴趣小组有6人(3男3女),学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2名学生参加全市科技竞赛.
(1)求选到的两名学生来自同一名班的概率;
(2)在已知其中一名是男生的条件下,求另一名也是男生的概率.
【解析】　(1)记“选到的两名学生来自同一个班”为事件A,则P(A)=+=.
(2)记“其中一名是男生”为事件A1,“另一名也是男生”为事件A2,
则P(A2)====.
【方法总结】　　将原来的全体基本事件Ω缩小为已知的条件事件A,原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件,每个基本事件发生的概率相等,从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率,即P(B|A)=,这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的.
若有5个乒乓球,其中3个是新的,2个是旧的,每次取一个,不放回地取两次,则在第一次取到新球的条件下,第二次取到新球的概率为　　　　　.
【答案】　
【解析】　设“第1次取到新球”为事件A,“第2次取到新球”为事件B,则P(B|A)===.
探究2　条件概率公式
问题1: P(B|A)=P(A∩B)对吗
【答案】　不对.事件B|A是指在事件A发生的条件下,事件B发生,而事件A∩B是指事件A与事件B同时发生,故P(B|A)≠P(A∩B).
问题2:P(B|A)和P(A|B)相同吗
【答案】　P(B|A)是指在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;而P(A|B)是指在事件B发生的条件下,事件A发生的概率.因此P(B|A)和P(A|B)不同.
问题3:在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,第1次抽到理科题的概率是多少 第1次和第2次都抽到理科题的概率是多少 在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率又是多少
【答案】　设“第1次抽到理科题”为事件A,“第2次抽到理科题”为事件B,则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件A∩B.从5道题中不放回地依次抽取2道题的基本事件总数为=20.事件A所包含基本事件的总数为×=12.故P(A)==.因为事件A∩B包含=6个基本事件,事件A包含12个基本事件,所以P(A∩B)==,P(B|A)==.
问题4:你能从问题3中得出什么结论
【答案】　由问题3可知,P(A)=,P(A∩B)=,P(B|A)=,可以发现P(B|A)==.
新知生成
条件概率公式
1.一般地,在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率为P(B|A)=(P(A)>0).
我们可以借助下图来理解上述计算公式.
2.用n(A),n(AB)分别表示 A,AB中的样本点个数,由条件概率的定义可知,在事件A发生的条件下事件B发生的概率,等于在事件A发生的条件下事件A和事件B同时发生的概率,即P(B|A)==,类似地,P(A|B)=(P(B)>0).
新知运用
例2　盒子里装有16个球,其中6个是玻璃球,10个是木质球.玻璃球中有2个是红球,4个是蓝球;木质球中有3个是红球,7个是蓝球.现从中任取一个球(假设每个球被取到是等可能的),若取出的球是蓝球,则该球是玻璃球的概率是多少
【解析】　设事件A为“任取一个球,该球是玻璃球”;事件B为“任取一个球,该球是蓝球”.由题中数据列表:
红球 蓝球 小计
玻璃球 2 4 6
木质球 3 7 10
小计 5 11 16
　　由表知,P(B)=,P(AB)=,
故所求事件的概率为P(A|B)==.
【方法总结】　　本题数据较多,关系有点复杂,可采用列表法理顺关系,这样不仅过程简单,同时还能快捷地找出计算条件概率时所需的相关事件的概率.
　　一个袋子中有2个黑球和3个白球,如果不放回地抽取2个球,记事件A为“第一次抽到黑球”,事件B为“第二次抽到黑球”.
(1)分别求事件A,事件B,事件AB发生的概率;
(2)求P(B|A).
【解析】　(1)由古典概型的概率公式可知,P(A)=,P(B)===,P(AB)==.
(2)P(B|A)===.
探究3　条件概率的应用
例3　某校从学生文艺部7名成员(4男3女)中,挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
(1)求男生甲被选中的概率;
(2)在已知男生甲被选中的条件下,求女生乙被选中的概率;
(3)在要求被选中的2人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率.
【解析】　(1)从7名成员中挑选2名成员,共有=21种情况.
记“男生甲被选中”为事件A,事件A所包含的基本事件数为,
故P(A)==.
(2)记“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,
则P(AB)=,且P(A)=,
故P(A)===.
(3)记“挑选的2人中必须一男一女”为事件C,事件C所包含的基本事件数为×=12,
则P(C)==.
记“女生乙被选中”为事件B,则P(BC)==,
故P(B)===.
【方法总结】　　用定义法求条件概率P(B|A)的步骤:
(1)分析题意,弄清概率模型;
(2)计算P(A),P(AB)的值;
(3)代入公式求P(B|A)的值.
　　2023年6月22日,是我国的传统节日“端午节”.这天,小明的妈妈煮了5个粽子,其中两个腊肉馅,三个豆沙馅.小明随机抽取出两个粽子,若已知小明取到的两个粽子为同一种馅,则这两个粽子都为腊肉馅的概率为(　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　设事件A为“取出的两个粽子为同一种馅”,事件B为“取出的两个粽子都为腊肉馅”,
则P(A)==,P(AB)==,
故P(B|A)==.
即在已知小明取到的两个粽子为同一种馅的条件下,这两个粽子都为腊肉馅的概率为.
【随堂检测】
1.若某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,使用寿命超过2年的概率为0.3,则已经使用了1年的该种元件使用寿命超过2年的概率为(　　).
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.1
【答案】　B
【解析】　设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”,事件B为“该元件的使用寿命超过2年”,则P(A)=0.6,P(B)=0.3.因为B A,所以P(AB)=P(B)=0.3,所以P(B|A)===0.5.
2.若抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记A={两次的点数均为奇数},B={两次的点数之和为8},则P(B|A)=(　　).
A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】　P(B|A)=,其中AB表示两次点数均为奇数,且两次点数之和为8,共有两种情况,即(3,5),(5,3),故n(AB)=2,而n(A)==9,所以P(B|A)==.
3.根据教育部的规定,2021年9月1日以来,全国各地的中小学都开展了课后延时服务.各个学校都及时安排老师参加课后延时服务工作,学校要求张老师在每个星期的周一至周五要有三天参加课后延时服务.若张老师周二一定参加课后延时服务,则他周三也参加课后延时服务的概率为(　　).
A. B. C. D.
【答案】　D
【解析】　设事件A为“张老师周二参加课后延时服务”,事件B为“张老师周三参加课后延时服务”.
(法一)如果张老师周二一定参加课后延时服务,那么他需要再从另外的4天中任选2天参加课后延时服务,则方案有n(A)==6(种).
如果周二一定参加,周三也参加课后延时服务,那么需要再从另外的3天中任选1天,则安排的方案有n(AB)==3(种),
所以所求概率P(B|A)===.
(法二)因为P(A)==,P(AB)==,
所以P(B|A)==.故选D.
4.已知一个盒子内装有形状、大小完全相同的5个小球,其中3个红球,2个白球.如果不放回地依次抽取3个球,那么在第一次抽到红球的条件下,第二次抽到红球的概率为　　　　.
【答案】　
【解析】　记事件A为“第一次抽到红球”,事件B为“第二次抽到红球”,则P(A)=,P(AB)==,因此所求概率P(B|A)==×=.
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