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3.1 课时2 事件的独立性与乘法公式
【学习目标】
1.理解事件的独立性的定义.(数学抽象)
2.掌握独立事件的概率乘法公式,并能运用它解决实际问题.(数学运算、数据分析)
3.掌握乘法公式及其推广,能用乘法公式计算相应的概率.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
1.前面我们学过相互独立事件,它的定义是什么,事件A,B相互独立的条件是什么
2.必然事件、不可能事件与任意事件是否相互独立
3.根据条件概率公式,什么情况下P(B|A)=P(B)
4.如果三个事件A,B,C不相互独立,那么如何求P(ABC)呢
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)相互独立事件就是互斥事件. (　　)
(2)对于任意两个事件A,B,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立. (　　)
(3)公式P(AB)=P(A)P(B),可以推广为P(ABC)=P(A)P(B)P(C). (　　)
(4)若P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An),则A1,A2,…,An相互独立. (　　)
2.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击,则他们同时中靶的概率是 (　　).
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3.分别掷两枚质地均匀的硬币,若“第一枚为正面”记为事件A,“第二枚为正面”记为事件B,“两枚结果相同”记为事件C,则事件A与B,A与C间的关系是(　　).
A.A与B,A与C均相互独立
B.A与B相互独立,A与C互斥
C.A与B,A与C均互斥
D.A与B互斥,A与C相互独立
4.甲、乙两人独立破译一份密码,已知各自能破译的概率分别是,,求:
(1)两人都成功破译的概率;
(2)密码被成功破译的概率.
【合作探究】
探究1　相互独立事件的定义
问题1:两个事件相互独立与互斥有什么区别
问题2:公式P(AB)=P(A)P(B)使用的前提条件是什么
问题3:独立性的概念可以推广到任意有限个事件的情形吗
新知生成
事件的相互独立
如果n(n>2)个事件A1,A2,…,An中任何一个事件发生的概率都不受其余事件发生与否的影响,那么称事件 A1,A2,…,An相互独立.
新知运用
例1　(多选题)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 (　　 ).
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.乙与丁相互独立
　　从一副扑克牌(52张,不含大王、小王)中任抽一张,设A=“抽得老K”,B=“抽得红牌”,那么事件A与B是否相互独立 是否互斥 是否对立 为什么
探究2　相互独立事件的概率公式
问题:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)使用的前提条件是什么
新知生成
相互独立事件的概率公式
一般地,当n(n>2)个事件A1,A2,…,An相互独立时,有以下公式成立:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).
注意:上式并不表示A1,A2,…,An相互独立.
新知运用
例2　已知快乐中学高一某班小丽、小许、小静三人分别独自进行投篮训练,命中的概率分别是,,.设每个人各次投篮都相互独立.
(1)若小许投篮三次,求恰有两次命中的概率;
(2)若小丽、小许、小静三人各投篮一次,求至少一人命中的概率.
【方法总结】　求相互独立事件同时发生的概率的步骤:(1)首先确定各事件之间是相互独立的;(2)确定这些事件可以同时发生;(3)求出每个事件的概率,再求积.注意:使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生.
　　面对某种病毒,各国医疗科研机构都在研究疫苗,现有A,B,C三个独立的研究机构,他们在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是,,.求:
(1)他们都研制出疫苗的概率;
(2)他们都失败的概率;
(3)他们能够研制出疫苗的概率.
探究3　乘法公式
　　在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4.连续抛掷这个正四面体木块两次,并记录每次正四面体木块朝上的面上的数字,记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”,事件B为“第一次记录的数字为偶数”,事件C为“第二次记录的数字为偶数”.
问题1:事件A与事件B是相互独立事件吗
问题2:事件A,B,C是否两两独立
问题3:事件A,B,C是否相互独立
问题4:若P(AB)>0,如何证明P(ABC)=P(A)P(B|A)·P(C|AB)
新知生成
概率乘法公式
1.若P(AB)>0,则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
2.若Ai(i=1,2,3,…,n)为随机事件,且P(A1A2…An-1)>0,
则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An-1).
新知运用
例3　4张奖券中有一张有奖,甲、乙、丙、丁4个人抽奖,则最后一人抽到有奖奖券的概率是多少
【方法总结】　　乘法公式给出了一种计算“积事件”的概率的求法,即当不好直接计算P(AB)时,可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B),再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解.
设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为,若第一次落下未被打破,第二次落下被打破的概率为,若前两次落下未被打破,第三次落下被打破的概率为.试求透镜落下三次而未被打破的概率.
【随堂检测】
1.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,用事件B表示“第二次摸得白球”,则A与B是(　　).
A.互斥事件 B.相互独立事件
C.对立事件 D.不相互独立事件
2.已知P(B|A)=,P(AB)=,则P(A)=(　　).
A. B. C. D.
3.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.9,在两批种子中各取一粒,则恰有一粒种子能发芽的概率是　　　　.
4.(2023·长沙周练)10个考题中有4个难题,甲、乙、丙3人进行不放回抽题作答,甲先抽,乙第二个抽,丙最后抽.求:
(1)甲抽到难题的概率;
(2)甲、乙都抽到难题的概率;
(3)甲没有抽到难题,而乙抽到难题的概率;
(4)甲、乙、丙都抽到难题的概率.
23.1 课时2 事件的独立性与乘法公式
【学习目标】
1.理解事件的独立性的定义.(数学抽象)
2.掌握独立事件的概率乘法公式,并能运用它解决实际问题.(数学运算、数据分析)
3.掌握乘法公式及其推广,能用乘法公式计算相应的概率.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
1.前面我们学过相互独立事件,它的定义是什么,事件A,B相互独立的条件是什么
【答案】　对于两个事件A,B,如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响,就把它们叫作相互独立事件.
事件A与事件B相互独立的条件是P(AB)=P(A)·P(B)成立.
2.必然事件、不可能事件与任意事件是否相互独立
【答案】　由相互独立事件的定义可知,必然事件、不可能事件与任意事件相互独立.
3.根据条件概率公式,什么情况下P(B|A)=P(B)
【答案】　若事件A与事件B相互独立,则事件 A的发生不会影响事件B发生的概率,即有P(B|A)=P(B).
4.如果三个事件A,B,C不相互独立,那么如何求P(ABC)呢
【答案】　可利用如下公式求解,
若P(AB)>0,则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)相互独立事件就是互斥事件. (　　)
(2)对于任意两个事件A,B,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立. (　　)
(3)公式P(AB)=P(A)P(B),可以推广为P(ABC)=P(A)P(B)P(C). (　　)
(4)若P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An),则A1,A2,…,An相互独立. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击,则他们同时中靶的概率是 (　　).
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【答案】　A
【解析】　由题意知P甲==,P乙=,所以P=P甲·P乙=.
3.分别掷两枚质地均匀的硬币,若“第一枚为正面”记为事件A,“第二枚为正面”记为事件B,“两枚结果相同”记为事件C,则事件A与B,A与C间的关系是(　　).
A.A与B,A与C均相互独立
B.A与B相互独立,A与C互斥
C.A与B,A与C均互斥
D.A与B互斥,A与C相互独立
【答案】　A
【解析】　因为事件A是否发生对事件B,C发生不产生影响,所以A与B,A与C均相互独立.
4.甲、乙两人独立破译一份密码,已知各自能破译的概率分别是,,求:
(1)两人都成功破译的概率;
(2)密码被成功破译的概率.
【解析】　(1)记“甲译出密码”为事件A,“乙译出密码”为事件B,
则P(A)=,P(B)=,
所以P(AB)=P(A)P(B)=×=,
故两人都成功破译的概率为.
(2)记“密码被成功破译”为事件C,由(1)知P(A)=,P(B)=,则事件A的对立事件的概率P()=1-=,事件B的对立事件的概率P()=1-=,
则甲、乙两人都没有成功破译密码的概率P()=P()·P()=×=,
所以P(C)=1-P()=1-=,故密码被成功破译的概率为.
【合作探究】
探究1　相互独立事件的定义
问题1:两个事件相互独立与互斥有什么区别
【答案】　两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生,而相互独立的两个事件是可以同时发生的,相互独立事件和互斥事件之间没有联系.
问题2:公式P(AB)=P(A)P(B)使用的前提条件是什么
【答案】　事件A与事件B相互独立.
问题3:独立性的概念可以推广到任意有限个事件的情形吗
【答案】　可以.
新知生成
事件的相互独立
如果n(n>2)个事件A1,A2,…,An中任何一个事件发生的概率都不受其余事件发生与否的影响,那么称事件 A1,A2,…,An相互独立.
新知运用
例1　(多选题)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 (　　 ).
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.乙与丁相互独立
【答案】　AC
【解析】　设甲、乙、丙、丁四个事件的发生概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D),
因此有P(A)=P(B)=,P(C)==,P(D)==.
因为P(AC)===P(A)P(C),所以甲与丙相互独立,故A正确;
因为P(AD)=0≠P(A)P(D),所以甲与丁不相互独立,故B不正确;
因为P(BC)===P(B)P(C),所以乙与丙相互独立,故C正确;
因为P(BD)==≠P(B)P(D),所以乙与丁不相互独立,故D不正确.
故选AC.
　　从一副扑克牌(52张,不含大王、小王)中任抽一张,设A=“抽得老K”,B=“抽得红牌”,那么事件A与B是否相互独立 是否互斥 是否对立 为什么
【解析】　由于事件A为“抽得老K”,事件B为“抽得红牌”,故抽得红牌,即有可能抽到红桃老K或方块老K,即有可能抽到老K,故事件A,B有可能同时发生,显然它们不是互斥事件,更不是对立事件,以下考虑它们是否互为独立事件:抽到老K的概率为P(A)==,抽到红牌的概率P(B)==,故P(A)P(B)=×=,事件A∩B即为“既抽得老K又抽得红牌”,亦即“抽得红老桃K或方块老K”,故P(A∩B)==,从而有P(A)P(B)=P(A∩B),因此A与B互为独立事件.
探究2　相互独立事件的概率公式
问题:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)使用的前提条件是什么
【答案】　公式使用的前提条件是A1,A2,…,An相互独立.
新知生成
相互独立事件的概率公式
一般地,当n(n>2)个事件A1,A2,…,An相互独立时,有以下公式成立:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).
注意:上式并不表示A1,A2,…,An相互独立.
新知运用
例2　已知快乐中学高一某班小丽、小许、小静三人分别独自进行投篮训练,命中的概率分别是,,.设每个人各次投篮都相互独立.
(1)若小许投篮三次,求恰有两次命中的概率;
(2)若小丽、小许、小静三人各投篮一次,求至少一人命中的概率.
【解析】　(1)设“小许第一次命中”为事件B1,“小许第二次命中”为事件B2,“小许第三次命中”为事件B3,“小许投篮三次,恰有两次命中”为事件E,
则P(E)=P(B2B3)+P(B1B3)+P(B1B2)
=××+××+××=.
(2)记“三人投篮,至少一人命中”为事件A,
可知“三人投篮,均未命中”为事件,
所以P(A)=1-P(),
因为P()=1-×1-×1-=,
所以P(A)=1-=,
所以三人各投篮一次,至少一人命中的概率为.
【方法总结】　求相互独立事件同时发生的概率的步骤:(1)首先确定各事件之间是相互独立的;(2)确定这些事件可以同时发生;(3)求出每个事件的概率,再求积.注意:使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生.
　　面对某种病毒,各国医疗科研机构都在研究疫苗,现有A,B,C三个独立的研究机构,他们在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是,,.求:
(1)他们都研制出疫苗的概率;
(2)他们都失败的概率;
(3)他们能够研制出疫苗的概率.
【解析】　记事件A,B,C分别表示A,B,C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗,依题意可知,事件A,B,C相互独立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)他们都研制出疫苗,即事件A,B,C同时发生.
故P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=.
(2)他们都失败,即事件,,同时发生.
故P()=P()P()P()
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
=1-×1-×1-
=××=.
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”,结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P=1-P()=1-=.
探究3　乘法公式
　　在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4.连续抛掷这个正四面体木块两次,并记录每次正四面体木块朝上的面上的数字,记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”,事件B为“第一次记录的数字为偶数”,事件C为“第二次记录的数字为偶数”.
问题1:事件A与事件B是相互独立事件吗
【答案】　是.因为P(A)==,P(B)==,P(AB)===P(A)·P(B),所以事件A与事件B是相互独立事件.
问题2:事件A,B,C是否两两独立
【答案】　是.类比问题1,可推出P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),
所以事件A,B,C两两独立.
问题3:事件A,B,C是否相互独立
【答案】　不是,因为P(C)==,P(A)==,P(B)==,所以P(A)P(B)P(C)=,而P(ABC)==,所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),
所以事件A,B,C不相互独立.
问题4:若P(AB)>0,如何证明P(ABC)=P(A)P(B|A)·P(C|AB)
【答案】　因为P(A)P(B|A)P(C|AB)=P(A)··=P(ABC),
所以P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
新知生成
概率乘法公式
1.若P(AB)>0,则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
2.若Ai(i=1,2,3,…,n)为随机事件,且P(A1A2…An-1)>0,
则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An-1).
新知运用
例3　4张奖券中有一张有奖,甲、乙、丙、丁4个人抽奖,则最后一人抽到有奖奖券的概率是多少
【解析】　用Ai(i=1,2,…,4)表示第i个人抽到有奖奖券,则表示第i个人没抽到有奖奖券.
由题意得P(A1)=,P()=,
由乘法公式得P(A2)=P()P(A2|)=×=.
同理P(A3)=P(A3)=P()P(|)P(A3|)=××=,
所以P(A4)=P(A4)=P()P(|)·P(|)P(A4|)=×××1=.
【方法总结】　　乘法公式给出了一种计算“积事件”的概率的求法,即当不好直接计算P(AB)时,可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B),再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解.
设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为,若第一次落下未被打破,第二次落下被打破的概率为,若前两次落下未被打破,第三次落下被打破的概率为.试求透镜落下三次而未被打破的概率.
【解析】　以Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第i次落下被打破”,B表示事件“透镜落下三次而未被打破”,
则B=,故有P(B)=P()=P()P(|)P(|)=1-1-1-=.
【随堂检测】
1.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,用事件B表示“第二次摸得白球”,则A与B是(　　).
A.互斥事件 B.相互独立事件
C.对立事件 D.不相互独立事件
【答案】　D
【解析】　由题意可得P(A)=,若事件A发生,则P(B|A)=,若事件A不发生,则P(B|)=,事件A的结果对事件B有影响.根据互斥事件、对立事件的定义可知,A与B不是互斥事件,也不是对立事件.又P(B)=,P(AB)=,所以由相互独立事件的定义可知,A与B不是相互独立事件.
2.已知P(B|A)=,P(AB)=,则P(A)=(　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　由题意可知P(A)==.
3.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.9,在两批种子中各取一粒,则恰有一粒种子能发芽的概率是　　　　.
【答案】　0.26
【解析】　所求概率P=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.
4.(2023·长沙周练)10个考题中有4个难题,甲、乙、丙3人进行不放回抽题作答,甲先抽,乙第二个抽,丙最后抽.求:
(1)甲抽到难题的概率;
(2)甲、乙都抽到难题的概率;
(3)甲没有抽到难题,而乙抽到难题的概率;
(4)甲、乙、丙都抽到难题的概率.
【解析】　用事件A,B,C分别表示“甲、乙、丙抽到难题”.
(1)由题意可得,P(A)==,P()=,
即甲抽到难题的概率是.
(2)甲、乙都抽到难题的概率为P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
(3)甲没有抽到难题,而乙抽到难题的概率为P(B)=P()P(B|)=×=.
(4)甲、乙、丙都抽到难题的概率为P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=××=.
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