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3.1 课时3 全概率公式
【学习目标】
1.理解全概率公式成立的条件.(数学抽象)
2.掌握全概率公式,用全概率公式求相应事件的概率.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
1.观察下面的韦恩图.
(1)A∩B和A∪B分别等于什么 集合M可以表示为什么
【答案】　A∩B= ,A∪B=Ω;M可以表示为M∩A与M∩B的和.
　(2)积事件MA, MB是否互斥 此时P(M)如何用P(MA),P(MB)表示
【答案】　互斥,P(M)=P(MA)+P(MB).
　(3)根据乘法公式,P(M)还可以表示为什么
【答案】　P(M)=P(A)P(M|A)+P(B)P(M|B).
2.设Ω是试验E的样本空间,A1,A2,…,An为样本空间的一组事件,则A1,A2,…,An样本空间的一个划分所满足的条件是什么
【答案】　 (1)AiAj= ,其中i≠j(i,j=1,2,…,n);(2)A1∪A2∪…∪An=Ω.
3.全概率公式P(B)=P(Ai)P(B|Ai)成立的条件是什么
【答案】　 全概率公式成立的条件是A1,A2,…,An为Ω的一个划分,且P(Ai)>0(i=1,2,…,n).
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在全概率公式中,A1,A2,…,An不一定是一组两两互斥的事件. (　　)
(2)使用全概率公式的关键在于寻找另一组事件来“分割”样本空间. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√
2.已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲.假如该地区男性、女性各占一半,从中随机选一人,则此人恰是色盲的概率是 (　　).
A.0.01245 B.0.05786 C.0.02865 D.0.03745
【答案】　D
【解析】　用事件A,B分别表示“随机选1人为男性或女性”,用事件C表示“此人恰是色盲”,则Ω=A∪B,且A,B互斥,故P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×7%+×0.49%=0.03745.
3.若一个盒子中有6个白球,4个黑球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,则第二次取到白球的概率为　　　　.
【答案】　 0.6
【解析】　设事件A为“第一次取到白球”,事件B为“第二次取到白球”,则B=AB∪B,且AB与B互斥,
所以P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()·P(B|)=×+×=0.6.
【合作探究】
探究1　全概率公式
问题1:如何理解全概率公式
【答案】　“全”部概率被分解成了许多部分之和.某事件B的发生有各种可能的原因,若B发生是由原因Ai(i=1,2,3,…,n)所引起的,则B发生的概率P(B)=P(BA1∪BA2∪…∪BAn)=P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai).
每个原因都可能导致B发生,故B发生的概率是各原因引起B发生的概率的总和.
问题2:全概率公式体现了哪种数学思想
【答案】　全概率公式体现了转化与化归的数学思想,即采用化整为零的方式,把各块的概率分别求出,再相加求和即可.
问题3:独立性的概念可以推广到任意有限个事件的情形吗
【答案】　可以.
新知生成
1.若将样本空间Ω分为A,两部分,则事件B的概率P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|).
2.全概率公式
若将样本空间Ω分为n部分,则可以推广得到以下结论:
设Ai(i=1,2,…,n )为 n个事件,
若满足(1)Ai Aj= (i≠j),(2)A1∪A2∪…∪An=Ω,(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n,
则对任一事件B,有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)=P(Ai)P(B|Ai).
新知运用
一、两个事件的全概率问题
例1　在某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学在同一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3,其中甲班中女生人数占,乙班中女生人数占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.
【解析】　如果用A1,A2分别表示居民遇到的一位同学是甲班的与乙班的,B表示遇到的是女生,那么Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,B Ω.
由题意可知,P(A1)=,P(A2)=,
且P(B|A1)=,P(B|A2)=.
由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=×+×=.
【方法总结】　　两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分:将样本空间拆分成互斥的两部分,如A1,A2(或A与).
(2)计算:利用乘法公式计算每一部分的概率.
(3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
　　某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时等可能地随机选择一家餐厅用餐,如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
【解析】　设A1=“第1天去A餐厅用餐”,B1=“第1天去B餐厅用餐”,A2=“第2天去A餐厅用餐”,则Ω=A1∪B1,且A1与B1互斥.
根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.8.
由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)·P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7,
因此,王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
二、多个事件的全概率问题
例2　某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%和35%,且这四条流水线的产品的不合格率分别为0.05,0.04,0.03和0.02,现从该厂的这种产品中任取一件,则抽到不合格品的概率是多少
【解析】　设A=“任取一件这种产品,抽到不合格品”,
Bi=“任取一件这种产品,结果是第i(i=1,2,3,4)条流水线的产品”,则Ω=B1∪B2∪B3∪B4,且B1,B2,B3,B4两两互斥.
根据题意得
P(B1)=0.15,P(B2)=0.2,P(B3)=0.3,P(B4)=0.35,P(A|B1)=0.05,P(A|B2)=0.04,P(A|B3)=0.03,P(A|B4)=0.02,
由全概率公式,得
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)+P(B4)P(A|B4)=0.15×0.05+0.2×0.04+0.3×0.03+0.35×0.02=0.0315,
故从该厂产品中任取一件,抽到不合格品的概率是0.0315.
【方法总结】　　“化整为零”求多事件的全概率问题要点
如图所示,B发生的概率与P(BAi)(i=1,2,…,n)有关,且B发生的概率等于所有这些概率的和,即P(B)=P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai).在实际问题中,若某一事件的概率难以求得,可将其转化为一系列条件下发生的概率的和.
　　有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的,其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品中正品率为90%,丙厂产品中正品率为85%.如果从这批产品中随机抽取一件,试计算该产品是正品的概率.
【解析】　设事件A,B,C分别表示“抽得的产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的”,事件D 表示“抽得的产品为正品”,
则由已知得,P(A)=50%,P(B)=30%,P(C)=20%,P(D|A)=95%,P(D|B)=90%,P(D|C)=85%,
从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到,P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)=×+×+×=0.915.
探究2　全概率公式的综合应用
例3　“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”,已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”,乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”.
(1)若从甲箱中任取2个“青团”,求这2个“青团”馅不同的概率;
(2)若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中,再从乙箱中任取1个“青团”,求取出的这个“青团”是肉松馅的概率.
【解析】　(1)从甲箱中任取2个“青团”的事件数为=21,
这2个“青团”馅不同的事件数为=12,
所以这2个“青团”馅不同的概率P==.
(2)设事件A为“从乙箱中任取1个‘青团’,取出的这个‘青团’是肉松馅”,
事件B1为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是蛋黄馅”,
事件B2为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是肉松馅”,
事件B3为“从甲箱中取出的2个‘青团’为1个蛋黄馅1个肉松馅”,
则B1,B2,B3彼此互斥.
P(B1)===,P(B2)===,P(B3)===,
P(A)=,P(A)=,P(A)=,
所以P(A)=P(B1)P(A)+P(B2)P(A)+P(B3)P(A)=×+×+×=,
所以从乙箱中任取1个“青团”,取出的这个“青团”是肉松馅的概率为.
【方法总结】　　全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.在具体问题中应用全概率公式,要明确为什么能用,什么情况下可以用,这里是用B1,B2,B3来分割样本空间.
设袋中有12个球,其中9个新球,3个旧球,第一次比赛,从中取3个球,比赛后放回,第二次比赛再从中任取3个球,则第二次比赛取得3个新球的概率为 (　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　设Ai=“第一次比赛恰取出i个新球(i=0,1,2,3)”,B=“第二次比赛取得3个新球”,
∴P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=+++=.
【随堂检测】
1.袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球.今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二人取得黄球的概率为 (　　).
A. B. C. D.
【答案】　D
【解析】　设事件A表示“第一个人取得黄球”,事件B表示“第二个人取得黄球”,则P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.
2.(2023·安庆周练)盒中有2个红球,3个黑球,2个白球,从中随机地取出1个球,观察其颜色后放回,并加入同色球1个,再从盒中抽取一球,则第二次取出的是红球的概率是 (　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　设事件A1,A2,A3分别表示“从盒中任取1球,是红球、黑球、白球”,事件B表示“第二次取出的是红球”,则A1,A2,A3彼此互斥,
则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,
P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=.
3.A,B,C三个地区暴发了流感,这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感.假设这三个地区的人口数之比为5∶7∶8,现从这三个地区中任意选取一人,则这个人患流感的概率为 (　　).
A.0.515 B.0.05 C.0.0495 D.0.0485
【答案】　D
【解析】　从这三个地区中任意选取一人,则这个人患流感的概率P=6%×+5%×+4%×=0.0485.
4.假设某品牌的玻璃杯整箱出售,每箱20只,各箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯,由营业员任取一箱,经顾客开箱随机查看4只,若无次品,则购买此箱玻璃杯,否则退回.试求顾客买下此箱玻璃杯的概率.
【解析】　记A=“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”,Bi=“箱中有i(i=0,1,2)件次品”,
由题设知,P(B0)=0.8=,P(B1)=P(B2)=0.1=,
P(A|B0)=1,P(A|B1)==,P(A|B2)==,
由全概率公式知,P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=+×+=.
23.1 课时3 全概率公式
【学习目标】
1.理解全概率公式成立的条件.(数学抽象)
2.掌握全概率公式,用全概率公式求相应事件的概率.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
1.观察下面的韦恩图.
(1)A∩B和A∪B分别等于什么 集合M可以表示为什么
　(2)积事件MA, MB是否互斥 此时P(M)如何用P(MA),P(MB)表示
　(3)根据乘法公式,P(M)还可以表示为什么
2.设Ω是试验E的样本空间,A1,A2,…,An为样本空间的一组事件,则A1,A2,…,An样本空间的一个划分所满足的条件是什么
3.全概率公式P(B)=P(Ai)P(B|Ai)成立的条件是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在全概率公式中,A1,A2,…,An不一定是一组两两互斥的事件. (　　)
(2)使用全概率公式的关键在于寻找另一组事件来“分割”样本空间. (　　)
2.已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲.假如该地区男性、女性各占一半,从中随机选一人,则此人恰是色盲的概率是 (　　).
A.0.01245 B.0.05786 C.0.02865 D.0.03745
3.若一个盒子中有6个白球,4个黑球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,则第二次取到白球的概率为　　　　.
【合作探究】
探究1　全概率公式
问题1:如何理解全概率公式
问题2:全概率公式体现了哪种数学思想
问题3:独立性的概念可以推广到任意有限个事件的情形吗
新知生成
1.若将样本空间Ω分为A,两部分,则事件B的概率P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|).
2.全概率公式
若将样本空间Ω分为n部分,则可以推广得到以下结论:
设Ai(i=1,2,…,n )为 n个事件,
若满足(1)Ai Aj= (i≠j),(2)A1∪A2∪…∪An=Ω,(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n,
则对任一事件B,有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)=P(Ai)P(B|Ai).
新知运用
一、两个事件的全概率问题
例1　在某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学在同一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3,其中甲班中女生人数占,乙班中女生人数占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.
【方法总结】　　两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分:将样本空间拆分成互斥的两部分,如A1,A2(或A与).
(2)计算:利用乘法公式计算每一部分的概率.
(3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
　　某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时等可能地随机选择一家餐厅用餐,如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
二、多个事件的全概率问题
例2　某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%和35%,且这四条流水线的产品的不合格率分别为0.05,0.04,0.03和0.02,现从该厂的这种产品中任取一件,则抽到不合格品的概率是多少
【方法总结】　　“化整为零”求多事件的全概率问题要点
如图所示,B发生的概率与P(BAi)(i=1,2,…,n)有关,且B发生的概率等于所有这些概率的和,即P(B)=P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai).在实际问题中,若某一事件的概率难以求得,可将其转化为一系列条件下发生的概率的和.
　　有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的,其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品中正品率为90%,丙厂产品中正品率为85%.如果从这批产品中随机抽取一件,试计算该产品是正品的概率.
探究2　全概率公式的综合应用
例3　“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”,已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”,乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”.
(1)若从甲箱中任取2个“青团”,求这2个“青团”馅不同的概率;
(2)若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中,再从乙箱中任取1个“青团”,求取出的这个“青团”是肉松馅的概率.
【方法总结】　　全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.在具体问题中应用全概率公式,要明确为什么能用,什么情况下可以用,这里是用B1,B2,B3来分割样本空间.
设袋中有12个球,其中9个新球,3个旧球,第一次比赛,从中取3个球,比赛后放回,第二次比赛再从中任取3个球,则第二次比赛取得3个新球的概率为 (　　).
A. B. C. D.
【随堂检测】
1.袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球.今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二人取得黄球的概率为 (　　).
A. B. C. D.
2.(2023·安庆周练)盒中有2个红球,3个黑球,2个白球,从中随机地取出1个球,观察其颜色后放回,并加入同色球1个,再从盒中抽取一球,则第二次取出的是红球的概率是 (　　).
A. B. C. D.
3.A,B,C三个地区暴发了流感,这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感.假设这三个地区的人口数之比为5∶7∶8,现从这三个地区中任意选取一人,则这个人患流感的概率为 (　　).
A.0.515 B.0.05 C.0.0495 D.0.0485
4.假设某品牌的玻璃杯整箱出售,每箱20只,各箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯,由营业员任取一箱,经顾客开箱随机查看4只,若无次品,则购买此箱玻璃杯,否则退回.试求顾客买下此箱玻璃杯的概率.
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