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3.1 课时4 贝叶斯公式
【学习目标】
1.了解贝叶斯公式.(数学抽象)
2.会用贝叶斯公式求相应事件的概率.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
1.如何求在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率
2.公式P(B)=P(Ai)P(B|Ai)成立的条件是什么
3.全概率公式与贝叶斯公式的联系与区别是什么
1.已知甲盒里有3个黄球,2 个蓝球;乙盒里有4个黄球,1 个蓝球.某人随机选择一个盒子并从中摸出了一个黄球,若此人选择甲盒或乙盒的概率相等,则这个黄球来自乙盒的概率为(　　).
A. B. C. D.
2.某人从甲地到乙地,乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2,0.4,0.4,乘火车迟到的概率为0.5,乘轮船迟到的概率为0.2,乘飞机不会迟到,则这个人迟到的概率是　　　　　　;如果这个人迟到了,他乘轮船迟到的概率是　　　　　　.
3.在临床上,经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症,设事件A=“试验结果为阳性”,事件B=“试验者患有此癌症”,临床数据显示P(A|B)=0.99,P(|)=0.98.已知某地人群中患有此种癌症的占比为,现从该人群中随机抽取1人,其试验结果是阳性,则此人患有此种癌症的概率为　　　　.
【合作探究】
探究1　贝叶斯公式
　　如图,有三个外形相同的箱子,分别编号为1,2,3,其中1号箱装有1个黑球和3个白球,2号箱装有2个黑球和2个白球,3号箱装有3个黑球,这些球除颜色外完全相同.小明先从三个箱子中任取一箱,再从取出的箱子中任意摸出一球,记事件Ai(i=1,2,3)表示“球取自第i号箱”,事件B表示“取得黑球”.
　　问题1:分别求P(BA1),P(BA2),P(BA3)和P(B)的值.
问题2:若小明取出的球是黑球,问该黑球来自几号箱的概率最大 请说明理由.
问题3:问题2的解题思想是什么
问题4:如果把全概率公式看成是“由原因推结果”,那么贝叶斯公式所要研究的问题就是“已知结果求原因”,也就是说贝叶斯公式的思想是什么
新知生成
1.贝叶斯公式
公式P(B|A)=称为贝叶斯公式(又称逆概率公式).
2.贝叶斯公式的推广
设Ai(i=1,2,…,n )满足
(1)AiAj= (i≠j);
(2)A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω;
(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n.
则对任一事件B(其中P(B)> 0),由条件概率及全概率公式,有P(Ai|B)==(i=1,2,…,n).
新知运用
例1　在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.8和0.2;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.若已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.
【方法总结】　　利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步,利用全概率公式计算P(A),即P(A)=P(Bi)·P(A|Bi);
第二步,计算P(B),可利用P(AB)=P(B)P(A|B)求解;
第三步,代入P(B|A)=求解.
　　已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02,0.01,今有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为(　　).
A.0.2　　　B.0.8　　　C.0.3　　　D.0.7
探究2　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
例2　同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三个厂的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三个厂的产品数所占比例为2∶3∶5.现将所有产品混合在一起.
(1)从中任取一件,求此产品为正品的概率;
(2)现取到一件正品产品,则它由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大
【方法总结】　　P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下,人们对诸事件发生的可能性大小的认识.当有了新的信息(知道事件B发生),人们对诸事件发生的可能性大小P(Ai|B)有了新的估计,贝叶斯公式从数量上描述了这种变化.
一位教授去参加学术会议,他乘坐飞机、动车和非机动车的概率分别为0.2,0.5,0.3,现在知道他乘坐飞机、动车和非机动车迟到的概率分别为,,.
(1)求这位教授迟到的概率;
(2)现在已经知道他迟到了,求他乘坐的是飞机的概率.
【随堂检测】
1.一道考题有4个选项,正确【答案】只有一个,要求学生将正确【答案】选择出来.某考生知道正确【答案】的概率为,在乱猜时,4个选项都有机会被他选择,若他答对了,则他确实知道正确【答案】的概率是 (　　).
A. B. C. D.
2.某病毒存在人与人之间传播的现象,即存在A传B,B又传C,C又传D的传染现象,那么A,B,C就依次被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9,0.8,0.7.已知健康的小明参加了一次多人宴会,参加宴会的人中有5名第一代传播者,3名第二代传播者,2名第三代传播者,若小明参加宴会仅和1名传播者有所接触,则他被感染的概率为　　　　　;若小明被感染,则他是被第三代传播者感染的概率为　　　　　.
3.商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1.某顾客选中一箱,从中任选4只检查,结果都是好的,便买下了这一箱,问这一箱含有1只次品的概率是多少 (结果保留小数点后两位)
23.1 课时4 贝叶斯公式
【学习目标】
1.了解贝叶斯公式.(数学抽象)
2.会用贝叶斯公式求相应事件的概率.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
1.如何求在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率
【答案】　利用条件概率公式P(B|A)==.
2.公式P(B)=P(Ai)P(B|Ai)成立的条件是什么
【答案】　设Ai(i=1,2,… ,n )为 n个事件,Ω为样本空间,公式成立的条件如下:
(1)Ai Aj= (i≠j),(2)A1∪A2∪…∪An=Ω,
(3)P(Ai)> 0,i=1,2,…,n.
3.全概率公式与贝叶斯公式的联系与区别是什么
【答案】　两者最大的不同是处理的对象不同,其中全概率公式用来计算复杂事件的概率,而贝叶斯公式用来计算简单条件下发生的复杂事件的概率,也就是说,全概率公式是计算普通概率的,贝叶斯公式是用来计算条件概率的.
1.已知甲盒里有3个黄球,2 个蓝球;乙盒里有4个黄球,1 个蓝球.某人随机选择一个盒子并从中摸出了一个黄球,若此人选择甲盒或乙盒的概率相等,则这个黄球来自乙盒的概率为(　　).
A. B. C. D.
【答案】　D
【解析】　记事件A表示“摸出黄球”,事件B表示“摸出的球来自乙盒”,则P(A)=,
P(AB)=P(B)P(A|B)=×=,所以P(B|A)==×=.
2.某人从甲地到乙地,乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2,0.4,0.4,乘火车迟到的概率为0.5,乘轮船迟到的概率为0.2,乘飞机不会迟到,则这个人迟到的概率是　　　　　　;如果这个人迟到了,他乘轮船迟到的概率是　　　　　　.
【答案】　　
【解析】　设事件A表示“乘火车”,事件B表示“乘轮船”,事件C表示“乘飞机”,事件D表示“迟到”,则P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.4,
故P(D)=0.5,P(D)=0.2,P(D)=0,
D=(D∩A)∪(D∩B)∪(D∩C),
由全概率公式,可得这个人迟到的概率P(D)=0.2×0.5+0.4×0.2+0.4×0=0.18=,
如果这个人迟到了,由贝叶斯公式可得他乘轮船迟到的概率P(B)===.
3.在临床上,经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症,设事件A=“试验结果为阳性”,事件B=“试验者患有此癌症”,临床数据显示P(A|B)=0.99,P(|)=0.98.已知某地人群中患有此种癌症的占比为,现从该人群中随机抽取1人,其试验结果是阳性,则此人患有此种癌症的概率为　　　　.
【答案】　
【解析】　由题意可得,P(A|)=1-P(|)=0.02,P(B)=0.001,P()=0.999,
∴P(B|A)======.
【合作探究】
探究1　贝叶斯公式
　　如图,有三个外形相同的箱子,分别编号为1,2,3,其中1号箱装有1个黑球和3个白球,2号箱装有2个黑球和2个白球,3号箱装有3个黑球,这些球除颜色外完全相同.小明先从三个箱子中任取一箱,再从取出的箱子中任意摸出一球,记事件Ai(i=1,2,3)表示“球取自第i号箱”,事件B表示“取得黑球”.
　　问题1:分别求P(BA1),P(BA2),P(BA3)和P(B)的值.
【答案】　 由已知可得P(A1)=P(A2)=P(A3)=,
P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=1,
∴P(BA1)=P(A1)P(B|A1)=×=,
P(BA2)=P(A2)P(B|A2)=×=,
P(BA3)=P(A3)P(B|A3)=×1=,
∴P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=++=.
问题2:若小明取出的球是黑球,问该黑球来自几号箱的概率最大 请说明理由.
【答案】　P(A1|B)===,P(A2|B)===,P(A3|B)===.
∴P(A3|B)最大,即若小明取出的球是黑球,该黑球来自3号箱的概率最大.
问题3:问题2的解题思想是什么
【答案】　 执果索因.
问题4:如果把全概率公式看成是“由原因推结果”,那么贝叶斯公式所要研究的问题就是“已知结果求原因”,也就是说贝叶斯公式的思想是什么
【答案】　 执果索因,即在观察到事件A已发生的条件下,寻求导致A发生的每个原因的概率.
新知生成
1.贝叶斯公式
公式P(B|A)=称为贝叶斯公式(又称逆概率公式).
2.贝叶斯公式的推广
设Ai(i=1,2,…,n )满足
(1)AiAj= (i≠j);
(2)A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω;
(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n.
则对任一事件B(其中P(B)> 0),由条件概率及全概率公式,有P(Ai|B)==(i=1,2,…,n).
新知运用
例1　在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.8和0.2;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.若已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.
【解析】　设事件A为“发送的信号为0”,事件B为“接收的信号为0”,
则为“发送的信号为1”,为“接收的信号为1”.
由题意得,P(A)=P()=0.5,P(B|A)=0.8,P(|A)=0.2,P(B|)=0.1,P(|)=0.9.
由贝叶斯公式有P(|B)===.
【方法总结】　　利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步,利用全概率公式计算P(A),即P(A)=P(Bi)·P(A|Bi);
第二步,计算P(B),可利用P(AB)=P(B)P(A|B)求解;
第三步,代入P(B|A)=求解.
　　已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02,0.01,今有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为(　　).
A.0.2　　　B.0.8　　　C.0.3　　　D.0.7
【答案】　B
【解析】　设事件B表示“汽车中途停车修理”,事件A1表示“公路上经过的汽车是货车”,事件A2表示“公路上经过的汽车是客车”,则P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,
由贝叶斯公式,可知中途停车修理的是货车的概率P(A1|B)===0.8.
探究2　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
例2　同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三个厂的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三个厂的产品数所占比例为2∶3∶5.现将所有产品混合在一起.
(1)从中任取一件,求此产品为正品的概率;
(2)现取到一件正品产品,则它由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大
【解析】　(1)设事件A表示取到的产品为正品,B1,B2,B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产,则Ω=B1∪B2∪B3,且B1,B2,B3两两互斥,
由题意知P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,
P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8.
由全概率公式得P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86.
(2)由贝叶斯公式得
P(B1|A)===,
P(B2|A)===,
P(B3|A)===.
通过比较可知这件产品由丙厂生产的可能性最大.
【方法总结】　　P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下,人们对诸事件发生的可能性大小的认识.当有了新的信息(知道事件B发生),人们对诸事件发生的可能性大小P(Ai|B)有了新的估计,贝叶斯公式从数量上描述了这种变化.
一位教授去参加学术会议,他乘坐飞机、动车和非机动车的概率分别为0.2,0.5,0.3,现在知道他乘坐飞机、动车和非机动车迟到的概率分别为,,.
(1)求这位教授迟到的概率;
(2)现在已经知道他迟到了,求他乘坐的是飞机的概率.
【解析】　设A=“迟到”,B1=“乘飞机”,B2=“乘动车”,B3=“乘非机动车”.
(1)所求概率为P(A),由全概率公式得,
P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=×+×+×=.
(2)所求概率为P(B1|A),由贝叶斯公式得,
P(B1|A)====.
【随堂检测】
1.一道考题有4个选项,正确【答案】只有一个,要求学生将正确【答案】选择出来.某考生知道正确【答案】的概率为,在乱猜时,4个选项都有机会被他选择,若他答对了,则他确实知道正确【答案】的概率是 (　　).
A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】　设事件A表示“考生答对”,事件B表示“考生知道正确【答案】”,
由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=×1+×=.
由贝叶斯公式得P(B|A)===.
2.某病毒存在人与人之间传播的现象,即存在A传B,B又传C,C又传D的传染现象,那么A,B,C就依次被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9,0.8,0.7.已知健康的小明参加了一次多人宴会,参加宴会的人中有5名第一代传播者,3名第二代传播者,2名第三代传播者,若小明参加宴会仅和1名传播者有所接触,则他被感染的概率为　　　　　;若小明被感染,则他是被第三代传播者感染的概率为　　　　　.
【答案】　0.83　
【解析】　设事件E=“小明与第一代传播者接触”,事件F=“小明与第二代传播者接触”,事件G=“小明与第三代传播者接触”,事件D=“小明被感染”,
则P(E)=0.5,P(F)=0.3,P(G)=0.2,
P(D|E)=0.9,P(D|F)=0.8,P(D|G)=0.7,
所以小明被感染的概率
P(D)=P(D|E)P(E)+P(D|F)·P(F)+P(D|G)P(G)=0.9×0.5+0.8×0.3+0.7×0.2=0.83.
若小明被感染,则他是被第三代感染的概率P(G|D)===.
3.商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1.某顾客选中一箱,从中任选4只检查,结果都是好的,便买下了这一箱,问这一箱含有1只次品的概率是多少 (结果保留小数点后两位)
【解析】　设A=“从一箱中任取4只检查,结果都是好的”,Bi=“箱中恰有i件次品,i=0,1,2”.
已知P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,
则P(A|B0)=1,P(A|B1)==,P(A|B2)==,
由贝叶斯公式可得P(B1|A)==≈0.08.
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