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3.2 课时1 离散型随机变量及其分布
【学习目标】
1.了解随机变量和离散型随机变量的概念.(数学抽象)
2.理解离散型随机变量分布列的概念并运用其解决简单的分布列问题.(数学建模、数据分析)
3.掌握离散型随机变量的性质,并运用其解决问题.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
1.任何随机试验的结果都可以用数字表示吗
【答案】　可以.实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系,根据问题的需要选择相应数字.
2.离散型随机变量的取值必须是有限个吗
【答案】　不一定.可以是无限个,如1,2,3,…,n,….
3.抛掷一枚骰子,朝上的一面的点数X有哪些值 取每个值的概率是多少
【答案】　 X的取值有1,2,3,4,5,6,
则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,P(X=6)=.
4.若如下表格为离散型随机变量的分布列,则m为何值
X 1 2 3 4
P m
　　【答案】　由离散型随机变量分布列的性质可知,+m++=1,故m=1---=.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的取值是任意的实数. (　　)
(2)随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个. (　　)
(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值. (　　)
(4)随机变量是用来表示不同试验结果的量. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示(　　).
A.甲赢三局
B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】　D
　　【解析】　因为甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,
所以{ξ=3}有两种情况,即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.
3.在考试中,需回答三个问题,规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分.则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是　　　　.
【答案】　300, 100, -100, -300
【解析】　该同学回答这三个问题的总得分情况有4种,分别为答对3题;答对2题,答错1题;答对1题,答错2题;答错3题.所以X的所有可能取值是300,100,-100,-300.
4.一批产品分为一、二、三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品是二级品的一半,从这批产品中随机抽取一个检验质量,其级别为随机变量X,求X的分布列及 P(X>1).
【解析】　依题意,有P(X=1)=2P(X=2),P(X=3)=P(X=2).
由分布列的性质得,1=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=P(X=2),所以P(X=2)=,
所以X的分布列如下:
X 1 2 3
P
　　故P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)=.
【合作探究】
探究1　随机变量
　　在奥运射击运动中,运动员射击一次,可能出现命中0环,命中1环,…,命中10环等结果,若用X来表示他一次射击所命中的环数,则X即为随机变量.
问题1:在上述情景中,随机变量X的取值情况如何
【答案】　 随机变量X的结果可由0,1,…,10,共11个数来表示.
问题2:上述随机变量X是自变量吗
【答案】　不是.它是随试验结果变化而变化的,不是主动变化的.
问题3:随机变量的取值必须是有限个吗
【答案】　不一定.随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个.
新知生成
随机变量
(1)定义:如果随机试验每一个可能结果e,都唯一地对应着一个实数X(e),则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量.
(2)表示:随机变量通常用字母X,Y,ξ,η,…表示.
新知运用
例1　写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)袋中有大小相同的红球10个,白球5个,从袋中每次任取1个球,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数;
(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张,所取卡片上的数字之和.
【解析】　(1)设所需的取球次数为X,则X=1,2,3,4,…,10,11.
{X=i}表示“前i-1次取到红球,第i次取到白球”,i=1,2,…,11.
(2)设所取卡片上的数字之和为X,则X=3,4,5,…,11.
{X=3}表示“取出标有1,2的两张卡片”;
{X=4}表示“取出标有1,3的两张卡片”;
{X=5}表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”;
{X=6}表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”;
{X=7}表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”;
{X=8}表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”;
{X=9}表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”;
{X=10}表示“取出标有4,6的两张卡片”;
{X=11}表示“取出标有5,6的两张卡片”.
【方法总结】　　用随机变量表示随机试验的结果关键点:明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果.注意解答过程中不要漏掉某些试验结果.
　　电台在每个整点都报时,报时所需时间为0.5分钟,某人随机打开收音机对时间,他所等待的时间为ξ分钟.求随机变量ξ可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
【解析】　ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值,每一个可能取值表示他所等待的时间.
探究2　离散型随机变量
　　问题1:在一块地里种10棵树苗,设成活的树苗棵数为X,则X取什么数字
【答案】　X=0,1,2,3,…,10.
问题2:抛掷一枚质地均匀的骰子,出现向上的点数为ξ,则“ξ≥4”表示的随机事件是什么
【答案】　“ξ≥4”表示出现的点数为4,5,6.
问题3:判断一个随机变量是离散型随机变量的关键是什么
【答案】　判断一个随机变量是否为离散型随机变量的关键是看随机变量的所有可能取值能否一一列出.
新知生成
离散型随机变量
如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来,那么称X为离散型随机变量.
新知运用
例2　指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由.
(1)某教学资源网站一天内的点击量;
(2)某学生明天上学进入校门的时间;
(3)某市明年下雨的次数;
(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差.
方法指导　根据随机变量的实际背景,判断随机变量的取值是否可以一一列出,从而判断是否为离散型随机变量.
【解析】　(1)某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出,是离散型随机变量.
(2)某学生明天上学进入校门的时间,可以是某区间内任意实数,不能一一列出,不是离散型随机变量.
(3)某市明年下雨的次数可以一一列出,是离散型随机变量.
(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连续取值,不能一一列出,不是离散型随机变量.
　　下列随机变量是离散型随机变量的个数是(　　).
①掷一枚骰子出现的点数;
②投篮一次的结果;
③某同学在12:00至12:30到校的时间;
④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件,其中合格品的件数.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　C
【解析】　①中骰子出现的点数为1,2,3,4,5,6,可以一一列举出来.②中投篮一次有两种情况,若用1表示投中,0表示不中,则可以一一列举出来.④中所取3件产品的合格品件数可能为0,1,2,3,共4种情况,可以一一列举出来.③中学生到校时间可以是12:00到12:30中的任意时刻,不能一一列举出来,因此③不是离散型随机变量.故只有①②④满足.
探究3　离散型随机变量的分布列
　　一瓶中装有5个球,编号为1,2,3,4,5.从瓶中同时取3个,以X表示取出的3个球中的最大编号数.
问题1:随机变量X的可能取值是什么
【答案】　X=3,4,5.
问题2:X取不同值的概率分别为多少
【答案】　P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)===.
问题3:你能用表格表示X与P的对应关系吗
【答案】　能,X与P的对应关系可表示为
X 3 4 5
P
新知生成
1.离散型随机变量的分布列
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,其相应的概率为p1,p2,…,pn,记P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n).　(*)
或把(*)式列成下表:
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
上表或(*)式称为离散型随机变量X的概率分布列(简称为X的分布列).
2.离散型随机变量X的概率分布列的性质
(1)pi≥0,i=1,2,…,n;
(2)p1+p2+…+pn=1.
新知运用
一、离散型随机变量的分布列
例3　口袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,用X表示取出的最大号码,求X的分布列.
【解析】　随机变量X的可能取值为3,4,5,6.
从袋中随机取3个球,包含的基本事件总数为,事件“X=3”包含的基本事件总数为,事件“X=4”包含的基本事件总数为,事件“X=5”包含的基本事件总数为,事件“X=6”包含的基本事件总数为.
从而有P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==,
所以随机变量X的分布列为
X 3 4 5 6
P
【方法总结】　　求离散型随机变量分布列的一般步骤
(1)确定X的所有可能取值xi(i=1,2,…)以及每个取值所表示的意义;
(2)利用概率的相关知识,求出每个取值相应的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…);
(3)写出分布列;
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
二、离散型随机变量分布列的性质
例4　(多选题)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数):
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
　　则下列计算结果正确的有(　　).
A.a=0.1　　　　　　　　B.P(X≥2)=0.7
C.P(X≥3)=0.4 D.P(X≤1)=0.3
【答案】　ABD
【解析】　由题意得0.1+0.2+0.4+0.2+a=1,解得a=0.1,故A正确;
由分布列知P(X≥2)=0.4+0.2+0.1=0.7,P(X≥3)=0.2+0.1=0.3,P(X≤1)=0.1+0.2=0.3,故BD正确,C错误.故选ABD.
【方法总结】　　利用离散型随机变量分布列的性质:(1)可以求随机变量取某值的概率;(2)可以检验所求分布列是否正确.
1.抛掷一枚质地均匀的硬币2次,写出正面向上的次数X的分布列.
【解析】　易知每次抛掷一枚质地均匀的硬币,正面向上的概率均为P=.
X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=1-×1-=,
P(X=1)=×1-+1-×=,
P(X=2)=×=,
所以正面向上的次数X的分布列为
X 0 1 2
P
2.设随机变量X的分布列为PX==ak(k=1,2,3,4,5).
(1)求常数a的值;
(2)求PX≥;
(3)求P【解析】　题目所给随机变量X的分布列为
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
　　(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=.
(2)(法一)PX≥=PX=+PX=+P(X=1)=++=.
(法二)PX≥=1-PX≤=1-+=.
(3)因为所以P【随堂检测】
1.下列X是离散型随机变量的是(　　).
①某座大桥一天经过的车辆数X;
②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数X;
③一天之内的温度X;
④一射击员对目标进行射击,击中目标得1分,未击中得0分,该射击员在一次射击中的得分X.
A.①②③④ B.①②④
C.①③④ D.②③④
【答案】　B
【解析】　①②④中的X取值均可一一列出,而③中的X是一个范围,不能一一列举出来,故选B.
2.袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球,5个黑球,每次任取一球,若取到黑球,则放入袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为X,则表示“放回4个球”的事件为(　　).
A.X=4 B.X=5 C.X=6 D.X≤4
【答案】　B
【解析】　根据题意可知,若取到黑球,则将黑球放回,然后继续抽取,若取到红球,则停止抽取,所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球,第5次取到了红球,故X=5.
3.已知离散型随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3,…,n,且ξ取每一个值的概率相同,若P(2<ξ<5)=0.2,则n的值为(　　).　
A.4 B.6 C.9 D.10
【答案】　D
【解析】　因为P(2<ξ<5)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=+=0.2,所以n=10.
4.随机变量Y的分布列如下:
Y 1 2 3 4 5 6
P 0.2 x 0.35 0.1 0.1 0.2
则x=　　　　,P(Y≤3)=　　　　.
【答案】　0.05　0.6
【解析】　由分布列的性质得0.2+x+0.35+0.1+0.1+0.2=1,解得x=0.05.
故P(Y≤3)=P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)=0.2+0.05+0.35=0.6.
23.2 课时1 离散型随机变量及其分布
【学习目标】
1.了解随机变量和离散型随机变量的概念.(数学抽象)
2.理解离散型随机变量分布列的概念并运用其解决简单的分布列问题.(数学建模、数据分析)
3.掌握离散型随机变量的性质,并运用其解决问题.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
1.任何随机试验的结果都可以用数字表示吗
2.离散型随机变量的取值必须是有限个吗
3.抛掷一枚骰子,朝上的一面的点数X有哪些值 取每个值的概率是多少
4.若如下表格为离散型随机变量的分布列,则m为何值
X 1 2 3 4
P m
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的取值是任意的实数. (　　)
(2)随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个. (　　)
(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值. (　　)
(4)随机变量是用来表示不同试验结果的量. (　　)
2.甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示(　　).
A.甲赢三局
B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
3.在考试中,需回答三个问题,规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分.则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是　　　　.
4.一批产品分为一、二、三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品是二级品的一半,从这批产品中随机抽取一个检验质量,其级别为随机变量X,求X的分布列及 P(X>1).
【合作探究】
探究1　随机变量
　　在奥运射击运动中,运动员射击一次,可能出现命中0环,命中1环,…,命中10环等结果,若用X来表示他一次射击所命中的环数,则X即为随机变量.
问题1:在上述情景中,随机变量X的取值情况如何
问题2:上述随机变量X是自变量吗
问题3:随机变量的取值必须是有限个吗
新知生成
随机变量
(1)定义:如果随机试验每一个可能结果e,都唯一地对应着一个实数X(e),则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量.
(2)表示:随机变量通常用字母X,Y,ξ,η,…表示.
新知运用
例1　写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)袋中有大小相同的红球10个,白球5个,从袋中每次任取1个球,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数;
(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张,所取卡片上的数字之和.
【方法总结】　　用随机变量表示随机试验的结果关键点:明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果.注意解答过程中不要漏掉某些试验结果.
　　电台在每个整点都报时,报时所需时间为0.5分钟,某人随机打开收音机对时间,他所等待的时间为ξ分钟.求随机变量ξ可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
探究2　离散型随机变量
问题1:在一块地里种10棵树苗,设成活的树苗棵数为X,则X取什么数字
问题2:抛掷一枚质地均匀的骰子,出现向上的点数为ξ,则“ξ≥4”表示的随机事件是什么
问题3:判断一个随机变量是离散型随机变量的关键是什么
新知生成
离散型随机变量
如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来,那么称X为离散型随机变量.
新知运用
例2　指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由.
(1)某教学资源网站一天内的点击量;
(2)某学生明天上学进入校门的时间;
(3)某市明年下雨的次数;
(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差.
方法指导　根据随机变量的实际背景,判断随机变量的取值是否可以一一列出,从而判断是否为离散型随机变量.
　　下列随机变量是离散型随机变量的个数是(　　).
①掷一枚骰子出现的点数;
②投篮一次的结果;
③某同学在12:00至12:30到校的时间;
④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件,其中合格品的件数.
A.1 B.2 C.3 D.4
探究3　离散型随机变量的分布列
　　一瓶中装有5个球,编号为1,2,3,4,5.从瓶中同时取3个,以X表示取出的3个球中的最大编号数.
问题1:随机变量X的可能取值是什么
问题2:X取不同值的概率分别为多少
问题3:你能用表格表示X与P的对应关系吗
新知生成
1.离散型随机变量的分布列
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,其相应的概率为p1,p2,…,pn,记P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n).　(*)
或把(*)式列成下表:
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
上表或(*)式称为离散型随机变量X的概率分布列(简称为X的分布列).
2.离散型随机变量X的概率分布列的性质
(1)pi≥0,i=1,2,…,n;
(2)p1+p2+…+pn=1.
新知运用
一、离散型随机变量的分布列
例3　口袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,用X表示取出的最大号码,求X的分布列.
【解析】　随机变量X的可能取值为3,4,5,6.
从袋中随机取3个球,包含的基本事件总数为,事件“X=3”包含的基本事件总数为,事件“X=4”包含的基本事件总数为,事件“X=5”包含的基本事件总数为,事件“X=6”包含的基本事件总数为.
从而有P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==,
所以随机变量X的分布列为
X 3 4 5 6
P
【方法总结】　　求离散型随机变量分布列的一般步骤
(1)确定X的所有可能取值xi(i=1,2,…)以及每个取值所表示的意义;
(2)利用概率的相关知识,求出每个取值相应的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…);
(3)写出分布列;
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
二、离散型随机变量分布列的性质
例4　(多选题)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数):
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
　　则下列计算结果正确的有(　　).
A.a=0.1　　　　　　　　B.P(X≥2)=0.7
C.P(X≥3)=0.4 D.P(X≤1)=0.3
【答案】　ABD
【解析】　由题意得0.1+0.2+0.4+0.2+a=1,解得a=0.1,故A正确;
由分布列知P(X≥2)=0.4+0.2+0.1=0.7,P(X≥3)=0.2+0.1=0.3,P(X≤1)=0.1+0.2=0.3,故BD正确,C错误.故选ABD.
【方法总结】　　利用离散型随机变量分布列的性质:(1)可以求随机变量取某值的概率;(2)可以检验所求分布列是否正确.
1.抛掷一枚质地均匀的硬币2次,写出正面向上的次数X的分布列.
2.设随机变量X的分布列为PX==ak(k=1,2,3,4,5).
(1)求常数a的值;
(2)求PX≥;
(3)求P【随堂检测】
1.下列X是离散型随机变量的是(　　).
①某座大桥一天经过的车辆数X;
②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数X;
③一天之内的温度X;
④一射击员对目标进行射击,击中目标得1分,未击中得0分,该射击员在一次射击中的得分X.
A.①②③④ B.①②④
C.①③④ D.②③④
2.袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球,5个黑球,每次任取一球,若取到黑球,则放入袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为X,则表示“放回4个球”的事件为(　　).
A.X=4 B.X=5 C.X=6 D.X≤4
3.已知离散型随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3,…,n,且ξ取每一个值的概率相同,若P(2<ξ<5)=0.2,则n的值为(　　).　
A.4 B.6 C.9 D.10
4.随机变量Y的分布列如下:
Y 1 2 3 4 5 6
P 0.2 x 0.35 0.1 0.1 0.2
则x=　　　　,P(Y≤3)=　　　　.
2

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