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3.2 课时2 几个常用的分布
【学习目标】
1.理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念和应用.(数学抽象、数学建模)
2.利用两点分布、二项分布、超几何分布解决离散型随机变量的分布列问题.(数据分析、数学运算)
【自主预习】
1.什么情况下用两点分布来描述随机变量
【答案】　当只考虑成功与否时,可以用两点分布来描述随机变量.
2.在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互有影响吗
【答案】　在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互没有影响.因为每次试验是在相同条件下独立进行的.
3.满足二项分布的条件是什么
【答案】　①每次试验都是在相同条件下进行的;②每次试验都只有两种可能的结果,即要么A发生,要么A不发生;③各次试验的结果是相互独立的,即一次试验中A发生与否,不会对其余各次试验中A发生的概率产生影响,即每次试验中P(A)保持不变.
4.设某试验成功的概率为p,将该试验独立重复n次,用X表示试验成功的次数,则X=k时的概率是多少
【答案】　P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.
5.超几何分布模型是放回抽样吗
【答案】　不是,超几何分布模型是一种不放回抽样.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在n重伯努利试验中,各次试验的结果相互没有影响. (　　)
(2)在n重伯努利试验中,各次试验中某事件发生的概率可以不同. (　　)
(3)超几何分布的模型是不放回抽样. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
2.某电子管的正品率为,次品率为,现对该批电子管进行测试,设第ξ次首次测到正品,则P(ξ=3)= (　　).
A.2× B.2×
C.2× D.2×
【答案】　C
【解析】　ξ=3表示第3次首次测到正品,而前两次都没有测到正品,故其概率是×.
3.某10人组成兴趣小组,其中有5名团员,从这10人中任选4人参加某种活动,用X表示4人中的团员人数,则P(X=3)=　　　　.　
【答案】　
【解析】　P(X=3)==.
4.一批产品中次品率为5%,随机抽取1件,定义X=求X的分布列.
【解析】　根据X的定义,知{X=1}=“抽到次品”,{X=0}=“抽到正品”,则P(X=0)=0.95,P(X=1)=0.05.
则X的分布列为
X 0 1
P 0.95 0.05
【合作探究】
探究1　两点分布
问题1:利用随机变量研究一类问题,如抽取的奖券是否中奖,买回的一件产品是否为正品,投篮是否命中等,这些问题有什么共同点
【答案】　这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果.定义一个随机变量,使其中一个结果对应1,另一个结果对应0,即可得到服从两点分布的随机变量.
问题2:只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布
【答案】　不一定.如随机变量X的分布列为
X 2 5
P 0.3 0.7
　　X不服从两点分布,因为X的取值不是0或1.
新知生成
两点分布
如果随机变量X只取值0或1,且其概率分布是P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,p∈(0,1),那么称随机变量X服从两点分布,记作X~B(1,p).
新知运用
例1　一批200件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的不合格品数,求X的分布列.
【解析】　由题意知,X服从两点分布,P(X=0)==,
所以P(X=1)=1-=.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1
P
【方法总结】　　两点分布的4个特点:(1)两点分布中只有两个对应结果,且两结果是对立的;(2)两点分布中的两结果一个对应1,另一个对应0;(3)由互斥事件的概率求法可知,已知P(X=0)(或P(X=1)),便可求出P(X=1)(或P(X=0));(4)在有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,就可以利用两点分布来研究它.
某袋中装有10个红球,5个白球,从中摸出2个球,记X=求X的分布列.
【解析】　由题设知X服从两点分布,且P(X=0)==,P(X=1)=1-P(X=0)=.
所以X的分布列为
X 0 1
P
探究2　二项分布
　　“三个臭皮匠,顶个诸葛亮”,这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高,他独自一人解决项目M的概率P1=0.3;同时,有n个水平相同的人组成的智囊团也在研究项目M,他们各自独立解决项目M的概率都是0.1.
问题1:现在李某单独研究项目M,且智囊团由2个人组成,也同时研究项目M,试比较李某和智囊团解决项目M的概率.
【答案】　李某独自一人解决项目M的概率P1=0.3,智囊团研究项目M,他们各自独立解决项目M的概率都是0.1,
设这个2人智囊团解决项目M的概率为P2,则P2=1-0.92=1-0.81=0.19,所以P2问题2:现在李某单独研究项目M,且智囊团由5个人组成,也同时研究项目M,试比较李某和智囊团解决项目M的概率.
【答案】　 李某独自一人解决项目M的概率P1=0.3,智囊团研究项目M,他们各自独立解决项目M的概率都是0.1,
设这个5人智囊团解决项目M的概率为P2,则P2=1-(0.9)5=1-0.95=1-0.59049=0.40951,所以P2>P1,故智囊团解决项目M的概率大于李某解决项目M的概率.
问题3:你能说明两点分布与二项分布之间的关系吗
【答案】　两点分布是特殊的二项分布,即X~B(n,p)中,当n=1时,二项分布便是两点分布,也就是说二项分布是两点分布的一般形式.
新知生成
1.伯努利试验
一般地,在相同条件下进行n次重复试验,如果每次试验只有两种可能的结果 A 与 ,并且 P(A)保持不变,各次试验的结果相互独立,那么称这样的试验为伯努利试验,它也是一种n次独立重复试验.
2.二项分布
一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事件A出现的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则X有概率分布:P(X=k)=pkqn-k,k=0,1,2,…,n,其中q=1-p.
故称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).其中 n,p为参数,p为事件A发生的概率.
新知运用
一、n重伯努利试验的判断
例2　判断下列试验是不是n重伯努利试验:
(1)依次抛掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上;
(2)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次,有6次击中目标;
(3)口袋中装有5个白球,3个红球,2个黑球,依次从中抽取5个球,恰好抽出4个白球.
【解析】　(1)由于试验的条件不同(质地不同),因此不是n重伯努利试验.
(2)某人射击且击中的概率是稳定的,因此是n重伯努利试验.
(3)每次抽取,试验的结果有三种不同的颜色,且每种颜色出现的可能性不相等,因此不是n重伯努利试验.
【方法总结】　　n重伯努利试验的判断依据
(1)该试验在相同的条件下可以重复进行.
(2)每次试验相互独立,互不影响.
(3)每次试验都只有两种结果,即事件发生,不发生.
二、n次独立重复试验的概率分布
例3　甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,,,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.
(1)求随机变量ξ的分布列;
(2)用事件A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”,用事件B表示“甲队总得分大于乙队总得分”,求P(AB).
【解析】　(1)由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3,
则p(ξ=0)=1-3=,
P(ξ=1)=×1-2=,
P(ξ=2)=21-=,
P(ξ=3)=3=.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
　　(2)用事件C表示“甲得2分乙得1分”,用事件D表示“甲得3分乙得0分”,所以AB=C∪D,且C,D互斥,
又P(C)=21-××+××+××=,P(D)=3×××=,
由互斥事件的概率公式得P(AB)=P(C)+P(D)=+=.
【方法总结】　　(1)独立重复试验概率求法的三个步骤:①判断是否是n次独立重复试验;②判断所求事件是否需要分拆;③计算.
(2)解决二项分布问题时,先判断一个随机变量是否服从二项分布,其关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次,再利用二项分布的概率公式求解.
1.(多选题)下列事件不是n重伯努利试验的是(　　).
A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D.在相同的条件下,甲射击10次,5次击中目标
【答案】　ABC
【解析】　A,C符合互斥事件的概念,是互斥事件;B是相互独立事件;D是n重伯努利试验.
2.甲、乙两人约定以“五局三胜”制进行乒乓球比赛,比赛没有平局.已知甲在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立.在某次比赛中,乙赢了第一局比赛.
(1)求甲获胜的概率;(用分数作答)
(2)设比赛总的局数为X,求X的概率分布.
【解析】　(1)甲获胜的概率P=3+××=.
(2)由题意知,X的所有可能取值为3,4,5,
P(X=3)=2=,
P(X=4)=3+××=,
P(X=5)=22+××=.
∴X的概率分布为
X 3 4 5
P
探究3　超几何分布
　　已知一箱节能灯共100个,其中有8个次品.
问题1:有放回地随机抽取4个,设抽取的4个产品中次品数为X,求随机变量X的分布列.
【答案】　 如果采用有放回抽样,那么每次抽到次品的概率均为0.08,且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X~B(4,0.08).
问题2:如果采用不放回抽样,那么抽取的4个产品中次品数X是否也服从二项分布
【答案】　采用不放回抽样,每次抽取不是同一个试验,而且各次抽取的结果也不独立,不符合n重伯努利试验的特征,因此X不服从二项分布.
问题3:采用不放回抽样,如果不服从二项分布,那么X的分布列是什么
【答案】　 可以根据古典概型求X的分布列.由题意可知,X可能的取值为0,1,2,3,4.从100个产品中任取4个,样本空间包含个样本点,且每个样本点都是等可能发生的.其中4个产品中恰有k个次品的结果数为.由古典概型的知识得,X的分布列为P(X=k)=, k=0,1,2,3,4.
计算的具体结果(精确到0.00001)如表所示.
X 0 1 2 3 4
P 0.71257 0.25621 0.02989 0.00131 0.00002
新知生成
1.超几何分布的概念
对一般情形,若N件产品中有M(M≤N)件次品,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,…,l,其中l=min{M,n},且M≤N,n≤N-M,n,M,N∈N+,称分布列
X 0 1 2 … l
P …
为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,就称X服从超几何分布,记作X~H(N,M,n).
2.超几何分布的注意点
(1)在超几何分布的模型中,“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件,连续取n件”.
(2)超几何分布的特点:①不放回抽样;②考察对象分两类;
③实质是古典概型.
新知运用
一、超几何分布的辨析
例4　(多选题)下列随机变量中,服从超几何分布的有(　　).
A.在10件产品中有3件次品,一件一件不放回地任意取出4件,记取到的次品数为X
B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台,记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C.一名学生骑自行车上学,途中有6个交通岗,记此学生遇到红灯的数为随机变量X
D.从10名男生,5名女生中选3人参加植树活动,其中男生人数记为X
【答案】　ABD
【解析】　依据超几何分布模型的定义可知,ABD中随机变量X服从超几何分布.而C项显然不能看作一个不放回抽样问题,故随机变量X不服从超几何分布.
【方法总结】　　判断一个随机变量是否服从超几何分布,应注意以下三点:
(1)总体是否可分为两类明确的对象.
(2)是否为不放回抽样.
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
二、超几何分布的概率与分布列
例5　一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;
(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.
【解析】　(1)从袋中一次随机抽取3个球,基本事件总数n==20,取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为=6,所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P==.
(2)由题意知X=0,1,2,3,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
【方法总结】　　解决超几何分布问题的两个关键点:(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.(2)超几何分布中,只要知道M,N,n的值,就可以利用公式求出X取不同k值时的概率P(X=k),从而求出X的分布列.
　　现有10张奖券,其中8张1元的,2张5元的,从中同时任取3张,求所得金额的分布列.
【解析】　设所得金额为X元,则X的可能取值为3,7,11.
P(X=3)==,P(X=7)==,P(X=11)==.
故X的分布列为
X 3 7 11
P
【随堂检测】
1.已知X~B6,,则P(X=2)=(　　).
A. B. C. D.
【答案】　D
【解析】　P(X=2)=×2×4=.
2.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率等于的是(　　).
A.P(X=2) B.P(X≤2) C.P(X=4) D.P(X≤4)
【答案】　C
【解析】　15个村庄中,7个村庄交通不方便,8个村庄交通方便,表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便,6个交通方便的村庄,故P(X=4)=.
3.若一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为　　　　(用数字作答).
【答案】　0.9477
【解析】　至少3人被治愈的概率为(0.9)3×(0.1)1+(0.9)4=0.9477.
4.在一次英语口语考试中,有备选的10道试题,已知某考生能答对其中的8道试题.规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试,至少答对2道题才算合格,求该考生答对试题数X的分布列,并求该考生合格的概率.
【解析】　由题意知,X的可能取值为1,2,3,
P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
　　故该考生合格的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.
23.2 课时2 几个常用的分布
【学习目标】
1.理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念和应用.(数学抽象、数学建模)
2.利用两点分布、二项分布、超几何分布解决离散型随机变量的分布列问题.(数据分析、数学运算)
【自主预习】
1.什么情况下用两点分布来描述随机变量
2.在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互有影响吗
3.满足二项分布的条件是什么
4.设某试验成功的概率为p,将该试验独立重复n次,用X表示试验成功的次数,则X=k时的概率是多少
5.超几何分布模型是放回抽样吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在n重伯努利试验中,各次试验的结果相互没有影响. (　　)
(2)在n重伯努利试验中,各次试验中某事件发生的概率可以不同. (　　)
(3)超几何分布的模型是不放回抽样. (　　)
2.某电子管的正品率为,次品率为,现对该批电子管进行测试,设第ξ次首次测到正品,则P(ξ=3)= (　　).
A.2× B.2×
C.2× D.2×
3.某10人组成兴趣小组,其中有5名团员,从这10人中任选4人参加某种活动,用X表示4人中的团员人数,则P(X=3)=　　　　.　
4.一批产品中次品率为5%,随机抽取1件,定义X=求X的分布列.
【合作探究】
探究1　两点分布
问题1:利用随机变量研究一类问题,如抽取的奖券是否中奖,买回的一件产品是否为正品,投篮是否命中等,这些问题有什么共同点
问题2:只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布
新知生成
两点分布
如果随机变量X只取值0或1,且其概率分布是P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,p∈(0,1),那么称随机变量X服从两点分布,记作X~B(1,p).
新知运用
例1　一批200件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的不合格品数,求X的分布列.
【方法总结】　　两点分布的4个特点:(1)两点分布中只有两个对应结果,且两结果是对立的;(2)两点分布中的两结果一个对应1,另一个对应0;(3)由互斥事件的概率求法可知,已知P(X=0)(或P(X=1)),便可求出P(X=1)(或P(X=0));(4)在有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,就可以利用两点分布来研究它.
某袋中装有10个红球,5个白球,从中摸出2个球,记X=求X的分布列.
探究2　二项分布
　　“三个臭皮匠,顶个诸葛亮”,这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高,他独自一人解决项目M的概率P1=0.3;同时,有n个水平相同的人组成的智囊团也在研究项目M,他们各自独立解决项目M的概率都是0.1.
问题1:现在李某单独研究项目M,且智囊团由2个人组成,也同时研究项目M,试比较李某和智囊团解决项目M的概率.
问题2:现在李某单独研究项目M,且智囊团由5个人组成,也同时研究项目M,试比较李某和智囊团解决项目M的概率.
问题3:你能说明两点分布与二项分布之间的关系吗
新知生成
1.伯努利试验
一般地,在相同条件下进行n次重复试验,如果每次试验只有两种可能的结果 A 与 ,并且 P(A)保持不变,各次试验的结果相互独立,那么称这样的试验为伯努利试验,它也是一种n次独立重复试验.
2.二项分布
一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事件A出现的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则X有概率分布:P(X=k)=pkqn-k,k=0,1,2,…,n,其中q=1-p.
故称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).其中 n,p为参数,p为事件A发生的概率.
新知运用
一、n重伯努利试验的判断
例2　判断下列试验是不是n重伯努利试验:
(1)依次抛掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上;
(2)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次,有6次击中目标;
(3)口袋中装有5个白球,3个红球,2个黑球,依次从中抽取5个球,恰好抽出4个白球.
【方法总结】　　n重伯努利试验的判断依据
(1)该试验在相同的条件下可以重复进行.
(2)每次试验相互独立,互不影响.
(3)每次试验都只有两种结果,即事件发生,不发生.
二、n次独立重复试验的概率分布
例3　甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,,,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.
(1)求随机变量ξ的分布列;
(2)用事件A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”,用事件B表示“甲队总得分大于乙队总得分”,求P(AB).
【方法总结】　　(1)独立重复试验概率求法的三个步骤:①判断是否是n次独立重复试验;②判断所求事件是否需要分拆;③计算.
(2)解决二项分布问题时,先判断一个随机变量是否服从二项分布,其关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次,再利用二项分布的概率公式求解.
1.(多选题)下列事件不是n重伯努利试验的是(　　).
A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D.在相同的条件下,甲射击10次,5次击中目标
2.甲、乙两人约定以“五局三胜”制进行乒乓球比赛,比赛没有平局.已知甲在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立.在某次比赛中,乙赢了第一局比赛.
(1)求甲获胜的概率;(用分数作答)
(2)设比赛总的局数为X,求X的概率分布.
探究3　超几何分布
　　已知一箱节能灯共100个,其中有8个次品.
问题1:有放回地随机抽取4个,设抽取的4个产品中次品数为X,求随机变量X的分布列.
问题2:如果采用不放回抽样,那么抽取的4个产品中次品数X是否也服从二项分布
问题3:采用不放回抽样,如果不服从二项分布,那么X的分布列是什么
新知生成
1.超几何分布的概念
对一般情形,若N件产品中有M(M≤N)件次品,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,…,l,其中l=min{M,n},且M≤N,n≤N-M,n,M,N∈N+,称分布列
X 0 1 2 … l
P …
为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,就称X服从超几何分布,记作X~H(N,M,n).
2.超几何分布的注意点
(1)在超几何分布的模型中,“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件,连续取n件”.
(2)超几何分布的特点:①不放回抽样;②考察对象分两类;
③实质是古典概型.
新知运用
一、超几何分布的辨析
例4　(多选题)下列随机变量中,服从超几何分布的有(　　).
A.在10件产品中有3件次品,一件一件不放回地任意取出4件,记取到的次品数为X
B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台,记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C.一名学生骑自行车上学,途中有6个交通岗,记此学生遇到红灯的数为随机变量X
D.从10名男生,5名女生中选3人参加植树活动,其中男生人数记为X
【方法总结】　　判断一个随机变量是否服从超几何分布,应注意以下三点:
(1)总体是否可分为两类明确的对象.
(2)是否为不放回抽样.
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
二、超几何分布的概率与分布列
例5　一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;
(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.
【方法总结】　　解决超几何分布问题的两个关键点:(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.(2)超几何分布中,只要知道M,N,n的值,就可以利用公式求出X取不同k值时的概率P(X=k),从而求出X的分布列.
　　现有10张奖券,其中8张1元的,2张5元的,从中同时任取3张,求所得金额的分布列.
【随堂检测】
1.已知X~B6,,则P(X=2)=(　　).
A. B. C. D.
2.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率等于的是(　　).
A.P(X=2) B.P(X≤2) C.P(X=4) D.P(X≤4)
3.若一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为　　　　(用数字作答).
4.在一次英语口语考试中,有备选的10道试题,已知某考生能答对其中的8道试题.规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试,至少答对2道题才算合格,求该考生答对试题数X的分布列,并求该考生合格的概率.
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