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3.2 课时3 离散型随机变量的数学期望
【学习目标】
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质.(数学抽象)
2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值.(逻辑推理、数学运算)
3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
1.随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量
2.随着样本容量的增加,样本的平均值与总体的平均值有什么关系
3.当离散型随机变量X服从超几何分布H(N,M,n)时,如何计算它的数学期望
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)随机变量的均值反映了样本的平均水平. (　　)
(2)若随机变量X的均值E(X)=2,则E(2X)=4. (　　)
(3)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=P(X=1). (　　)
2.已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的数学期望E(X)=(　　).
A. B.2 C. D.3
3.某袋中装有黑球、白球共7个,从中任取2个球,令取到白球的个数为X,且E(X)=,则该袋中白球的个数为　　　　.
4.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次,随机变量X表示“正面朝上”出现的次数.求:
(1)X的分布列;
(2)E(X).
【合作探究】
探究1　离散型随机变量的期望
　　问题1:某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理
问题2:什么是权数 什么是加权平均
问题3:如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,你能解释权数的实际含义吗
新知生成
　　离散型随机变量的数学期望
设离散型随机变量X的分布列如下表:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
　　则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的数学期望(简称期望)或均值.
均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,反映了离散型随机变量X取值的平均水平,是随机变量X的一个重要特征.
新知运用
例1　某赛事的某个项目招募志愿者,报名人员需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试,测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道,规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试,至少答对2道题者视为合格,已知每位参加测试的人员测试能否合格是相互独立的.若甲能答对其中的6道题,乙能答对其中的8道题.求:
(1)甲、乙两人至多一人测试合格的概率;
(2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望.
【方法总结】　　求离散型随机变量ξ的均值的步骤:(1)根据ξ的实际意义,写出ξ的全部取值;(2)求出ξ的每个值的概率;(3)写出ξ的分布列;(4)利用定义求出均值.其中第(1)(2)两条是解答此类题目的关键,在求解过程中应注重应用概率的相关知识.
　　某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”,规则如下:嘉宾需要猜三道题目,猜对一道题目可得1分,猜对两道题目可得3分,三道题目完全猜对可得6分,若三道题目全部猜错,则扣掉4分.已知某嘉宾猜对这三道题目的概率分别为,,,且每题是否答对相互独立.求该嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与期望.
探究2　几个特殊分布的期望
问题1:若c为常数,如何计算E(c)
问题2:若X~B(1,p),如何求E(X)
问题3:若X~B(n,p),如何求E(X)
新知生成
1.若X~B(1,p),则E(X)=p.
2.若X~B(n,p),则E(X)=np.
3.若X~H(N,M,n),则E(X)=.
新知运用
例2　已知条件:①采用无放回抽取,②采用有放回抽取.请在上述两个条件中任选一个,补充在下面的问题中的横线上并作答.
　　问题:在一个口袋中装有3个红球和4个白球,这些球除颜色外完全相同,若　　　　　,从这7个球中随机抽取3个球,记取出的3个球中红球的个数为X,求随机变量X的分布列和期望.
【方法总结】　　利用特殊分布的期望公式求期望的关键是先判断随机变量的分布模型,然后选用适当的公式求解.
1.某工厂生产的10件产品中,有3件次品,现从这10件产品中任取3件产品,设X为取出的3件产品中次品的件数,则X的均值为　　　　.
2.毛猴是老北京的传统手工艺品,制作材料都取自中药材,工序大致分为三步,第一步用蝉蜕做头和四肢,第二步用辛夷做身子,第三步用木桶做道具.已知小萌同学在每个环节制作合格的概率分别为,,,只有当每个环节制作都合格时,这件作品才算制作成功.
(1)求小萌同学成功制作1件作品的概率;
(2)若小萌同学制作了3件作品,假设每次制作成功与否相互独立,设其中成功的作品数为X,求X的分布列及期望.
探究3　期望的性质
　　已知随机变量X的分布列如下:
X -2 -1 0 1 2
P m
　　问题1:求m的值.
问题2:求E(X).
问题3:若Y=2X-3,求E(Y).
问题4:若Y=aX+b,根据问题3,E(X)与E(Y)之间有什么关系
新知生成
若Y=aX+b,a,b为常数,则E(aX+b)=aE(X)+b.
新知运用
例3　已知随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1
P m
　　若随机变量Y=-2X,则E(Y)=　　　　.
【方法总结】　　与离散型随机变量期望的性质有关的问题的解题思路:若给出的随机变量Y与X的关系为Y=aX+b,a,b为常数,一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y);也可以利用X的分布列得到Y的分布列,关键是由X的取值计算Y的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(Y).
　　已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P a
　　设随机变量Y=2X+1,则Y的数学期望E(Y)的值是(　　).
A.- B. C.1 D.
【随堂检测】
1.设50个产品中有10个次品,从这50个产品中任取20个产品,取到的次品数为X,则E(X)=(　　).
A.4 B.3 C.2 D.1
2.已知随机变量X~B6,,随机变量Y=X-3,则E(Y)=(　　).
A.3 B.4 C.6 D.8
3.若随机抛掷一颗质地均匀的正方体骰子1次,则所得点数X的均值是　　　　.
4.某医疗器械公司计划投资呼吸机或心电监护仪项目,若投资呼吸机,据预期,每年的收益率为40%的概率为p,收益率为-10%的概率为1-p;若投资心电监护仪,据预期,每年的收益率为40%的概率为0.4,收益率为-10%的概率为0.2,收益率为零的概率为0.4.已知投资呼吸机的收益率的期望大于投资心电监护仪的收益率的期望,求p的取值范围.
23.2 课时3 离散型随机变量的数学期望
【学习目标】
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质.(数学抽象)
2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值.(逻辑推理、数学运算)
3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
1.随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量
【答案】　随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取;样本的平均值是一个随机变量,它是随着样本的不同而变化的.
2.随着样本容量的增加,样本的平均值与总体的平均值有什么关系
【答案】　随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于总体的平均值.
3.当离散型随机变量X服从超几何分布H(N,M,n)时,如何计算它的数学期望
【答案】　列出分布列,利用期望公式计算,也可以利用超几何分布的期望公式E(X)=计算.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)随机变量的均值反映了样本的平均水平. (　　)
(2)若随机变量X的均值E(X)=2,则E(2X)=4. (　　)
(3)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=P(X=1). (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　
2.已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的数学期望E(X)=(　　).
A. B.2 C. D.3
【答案】　 A
【解析】　E(X)=1×+2×+3×=.
3.某袋中装有黑球、白球共7个,从中任取2个球,令取到白球的个数为X,且E(X)=,则该袋中白球的个数为　　　　.
【答案】　3
【解析】　设该袋中白球的个数为M,则X~H(7,M,2),所以E(X)=2×=,解得M=3,即该袋中白球的个数为3.
4.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次,随机变量X表示“正面朝上”出现的次数.求:
(1)X的分布列;
(2)E(X).
【解析】　(1)依题意,抛一枚质地均匀的硬币,正面、反面朝上的概率均为,
所以将一枚均匀的硬币重复抛掷4次,正面朝上的次数X~B4,,故P(X=k)==,0≤k≤4,k∈Z,
即P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
　　(2)因为X~B4,,所以E(X)=4×=2.
【合作探究】
探究1　离散型随机变量的期望
　　问题1:某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理
【答案】　因为平均在每1 kg的混合糖果中,3种糖果的质量分别是 kg, kg和 kg,所以混合糖果的合理价格应该是18×+24×+36×=23(元/kg).它是三种糖果价格的一种加权平均,这里的权数分别是,和.
问题2:什么是权数 什么是加权平均
【答案】　权是秤锤,权数是起权衡轻重作用的数值.加权平均是指在计算若干个数量的平均数时,考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同,分别给予不同的权数.
问题3:如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,你能解释权数的实际含义吗
【答案】　 根据古典概型计算概率的公式可知,在混合糖果中,任取一颗糖果,这颗糖果为第一、二、三种糖果的概率分别为,,,即取出的这颗糖果的价格为18元/kg,24元/kg,36元/kg的概率分别为,,.用X表示这颗糖果的价格,则它是一个离散型随机变量,其分布列为
X 18 24 36
P
　　因此权数恰好是随机变量X取每种价格的概率.
新知生成
　　离散型随机变量的数学期望
设离散型随机变量X的分布列如下表:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
　　则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的数学期望(简称期望)或均值.
均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,反映了离散型随机变量X取值的平均水平,是随机变量X的一个重要特征.
新知运用
例1　某赛事的某个项目招募志愿者,报名人员需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试,测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道,规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试,至少答对2道题者视为合格,已知每位参加测试的人员测试能否合格是相互独立的.若甲能答对其中的6道题,乙能答对其中的8道题.求:
(1)甲、乙两人至多一人测试合格的概率;
(2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望.
【解析】　(1)根据题意,甲测试合格的概率为==,
乙测试合格的概率为==,
故甲、乙两人都测试合格的概率为×=,
则甲、乙两人至多一人测试合格的概率为1-=.
(2)由题可知,甲答对的试题数X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)===,
P(X=1)===,
P(X=2)===,
P(X=3)===,
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
　　则X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
【方法总结】　　求离散型随机变量ξ的均值的步骤:(1)根据ξ的实际意义,写出ξ的全部取值;(2)求出ξ的每个值的概率;(3)写出ξ的分布列;(4)利用定义求出均值.其中第(1)(2)两条是解答此类题目的关键,在求解过程中应注重应用概率的相关知识.
　　某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”,规则如下:嘉宾需要猜三道题目,猜对一道题目可得1分,猜对两道题目可得3分,三道题目完全猜对可得6分,若三道题目全部猜错,则扣掉4分.已知某嘉宾猜对这三道题目的概率分别为,,,且每题是否答对相互独立.求该嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与期望.
【解析】　根据题意,设该嘉宾所得分数为X,则X的所有可能取值为-4,1,3,6,
∴P(X=-4)=1-×1-×1-=,
P(X=1)=××+××+××=,
P(X=3)=××+××+××=,
P(X=6)=××=.
∴X的分布列为
X -4 1 3 6
P
　　∴E(X)=(-4)×+1×+3×+6×=.
探究2　几个特殊分布的期望
问题1:若c为常数,如何计算E(c)
【答案】　期望可以看作是平均数,一个常数的平均数当然是它本身,所以E(c)=c.
问题2:若X~B(1,p),如何求E(X)
【答案】　由题意知X的可能取值为0,1,且P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,
所以E(X)=1×p+0×(1-p)=p,即X的期望为p.
问题3:若X~B(n,p),如何求E(X)
【答案】　因为P(X=k)=pkqn-k,k=0,1,…,n,其中q=1-p,
所以E(X)=0×p0qn+1×p1qn-1+2×p2qn-2+…+n×pnq0,
又因为当k≥1时,k=k=n·=n,　
所以E(X)=npp0qn-1+npp1qn-2+…+np·pn-1q0.
令m=n-1,
则E(X)=np(p0qm+p1qm-1+…+pmq0)=np(p+q)m=np.
新知生成
1.若X~B(1,p),则E(X)=p.
2.若X~B(n,p),则E(X)=np.
3.若X~H(N,M,n),则E(X)=.
新知运用
例2　已知条件:①采用无放回抽取,②采用有放回抽取.请在上述两个条件中任选一个,补充在下面的问题中的横线上并作答.
　　问题:在一个口袋中装有3个红球和4个白球,这些球除颜色外完全相同,若　　　　　,从这7个球中随机抽取3个球,记取出的3个球中红球的个数为X,求随机变量X的分布列和期望.
【解析】　若选①,依题意,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
　　因为X~H(7,3,3),所以期望E(X)==.
若选②,由题意,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,且X~B3,,
所以P(X=0)=1-3=,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××1-=,
P(X=3)=3=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
　　期望E(X)=3×=.
【方法总结】　　利用特殊分布的期望公式求期望的关键是先判断随机变量的分布模型,然后选用适当的公式求解.
1.某工厂生产的10件产品中,有3件次品,现从这10件产品中任取3件产品,设X为取出的3件产品中次品的件数,则X的均值为　　　　.
【答案】　0.9
【解析】　因为X~H(10,3,3),所以X的均值E(X)==0.9.
2.毛猴是老北京的传统手工艺品,制作材料都取自中药材,工序大致分为三步,第一步用蝉蜕做头和四肢,第二步用辛夷做身子,第三步用木桶做道具.已知小萌同学在每个环节制作合格的概率分别为,,,只有当每个环节制作都合格时,这件作品才算制作成功.
(1)求小萌同学成功制作1件作品的概率;
(2)若小萌同学制作了3件作品,假设每次制作成功与否相互独立,设其中成功的作品数为X,求X的分布列及期望.
【解析】　(1)根据题意知,由相互独立事件的概率乘法公式得,小萌同学成功制作1件作品的概率P=××=.
(2)根据题意知,X的可能取值为0,1,2,3,显然X~B3,,则P(X=0)=03=,
P(X=1)=12=,
P(X=2)=21=,
P(X=3)=30=.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
　　X的数学期望E(X)=3×=.
探究3　期望的性质
　　已知随机变量X的分布列如下:
X -2 -1 0 1 2
P m
　　问题1:求m的值.
【答案】　由随机变量分布列的性质,得+++m+=1,解得m=.
问题2:求E(X).
【答案】　E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-.
问题3:若Y=2X-3,求E(Y).
【答案】　(法一)因为Y=2X-3,
所以Y的分布列为
Y -7 -5 -3 -1 1
P
　　所以E(Y)=(-7)×+(-5)×+(-3)×+(-1)×+1×=-.
(法二)由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×--3=-.
问题4:若Y=aX+b,根据问题3,E(X)与E(Y)之间有什么关系
【答案】　E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
新知生成
若Y=aX+b,a,b为常数,则E(aX+b)=aE(X)+b.
新知运用
例3　已知随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1
P m
　　若随机变量Y=-2X,则E(Y)=　　　　.
【答案】　-
【解析】　由随机变量分布列的性质,得+++m=1,解得m=,
∴E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×=.
由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X),
即E(Y)=-2×=-.
【方法总结】　　与离散型随机变量期望的性质有关的问题的解题思路:若给出的随机变量Y与X的关系为Y=aX+b,a,b为常数,一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y);也可以利用X的分布列得到Y的分布列,关键是由X的取值计算Y的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(Y).
　　已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P a
　　设随机变量Y=2X+1,则Y的数学期望E(Y)的值是(　　).
A.- B. C.1 D.
【答案】　B
【解析】　根据分布列的性质,可得++a=1,解得a=,
所以随机变量X的期望E(X)=-1×+0×+1×=-,　
由Y=2X+1,得E(Y)=2E(X)+1=2×-+1=.
【随堂检测】
1.设50个产品中有10个次品,从这50个产品中任取20个产品,取到的次品数为X,则E(X)=(　　).
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】　A
【解析】　由题意可知X~H(50,10,20),所以E(X)==4.
2.已知随机变量X~B6,,随机变量Y=X-3,则E(Y)=(　　).
A.3 B.4 C.6 D.8
【答案】　A
【解析】　因为X~B6,,所以E(X)=6×=4.因为Y=X-3,所以E(Y)=E(X)-3=3.
3.若随机抛掷一颗质地均匀的正方体骰子1次,则所得点数X的均值是　　　　.
【答案】　3.5
【解析】　由题意得,X的所有可能取值为1,2,3,4,5,6,且P(X=i)=,i=1,2,3,4,5,6,
所以E(X)=×(1+2+3+4+5+6)=3.5.
4.某医疗器械公司计划投资呼吸机或心电监护仪项目,若投资呼吸机,据预期,每年的收益率为40%的概率为p,收益率为-10%的概率为1-p;若投资心电监护仪,据预期,每年的收益率为40%的概率为0.4,收益率为-10%的概率为0.2,收益率为零的概率为0.4.已知投资呼吸机的收益率的期望大于投资心电监护仪的收益率的期望,求p的取值范围.
【解析】　若投资呼吸机项目,设收益率为X,则X的分布列为
X 0.4 -0.1
P p 1-p
　　所以E(X)=0.4×p-0.1×(1-p)=0.5p-0.1.
若投资心电监护仪项目,设收益率为Y,则Y的分布列为
Y 0.4 -0.1 0
P 0.4 0.2 0.4
　　所以E(Y)=0.4×0.4-0.1×0.2+0×0.4=0.14.
因为投资呼吸机的收益率的期望大于投资心电监护仪的收益率的期望,
所以0.5p-0.1>0.14,所以p>0.48,又0≤p≤1,所以0.482

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