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3.2 课时4 离散型随机变量的方差
【学习目标】
1.通过具体实例,理解离散型随机变量的分布列及方差的概念.(数学抽象、数学运算)
2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.离散型随机变量的方差与样本的方差都是变量吗
【答案】　样本的方差随样本的不同而变化,是一个随机变量,而离散型随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常数而非变量.
2.D(X)的取值范围是什么 若b为常数,则D(b)为何值
【答案】　①因为D(X)=pi,其中(xi-E(X))2≥0,pi≥0,所以D(X)的取值范围为[0,+∞).
②因为b为常数,所以x1=x2=…=xn=E(X)=b,故D(b)=0.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大, 随机变量越稳定. (　　)
(2)若a是常数, 则D(a)=0. (　　)
(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度. (　　)
(4)D(X)=E((X-E(X))2). (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.已知随机变量X,D(X)=,则X的标准差为　　　　.
【答案】　
【解析】　X的标准差==.
3.已知X的分布列为
X -1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
求D(X).
【解析】　E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,
D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61.
4.在一次投篮游戏中,每人投篮3次,每投中1次记10分,没有投中扣5分,某人每次投中的概率为.
(1)求此人恰好投中2次的概率;
(2)求此人得分的方差.
【解析】　(1)记X为投中的次数,由题意可知,X~B3,,
所以在3次投篮中,此人恰好投中2次的概率P(X=2)=××1-=.
(2)记Y为此人的得分,由题意可知,Y=10X-5(3-X)=15X-15,所以得分的方差D(Y)=D(15X-15)=152D(X)=15×15×3××1-=150.
【合作探究】
探究1　离散型随机变量的方差
　　要从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩纪录,第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为
X1 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
　　第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为
X2 5 6 7 8 9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
　　问题1: E(X1),E(X2)各为何值
【答案】　 E(X1)=8,E(X2)=8.
问题2:能否根据X1和X2的均值来决定派哪名同学参赛
【答案】　不能.
问题3:除平均中靶环数外,还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗
【答案】　有,可以用两名同学射击成绩的稳定性来刻画两名同学的射击成绩.
问题4:如何定量刻画随机变量的稳定性
【答案】　 利用样本的方差来刻画随机变量的稳定性.
新知生成
　　方差与标准差
若离散型随机变量X的分布列如下表:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
　　则|xi-E(X)|描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离大小,而E{|X-E(x)|}表示平均偏离的大小,但由于绝对值运算在数学处理上有许多不便,于是用D(X)=E((X-E(X))2)=(xi-E(X))2pi来刻画随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.我们称D(X)为随机变量X的方差,其算术平方根为随机变量X的标准差,方差记作σ2,标准差记作σ.
随机变量的方差D(X)和标准差σ都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差(标准差) 越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小;反之,方差(标准差)越大,则随机变量的取值越分散.
新知运用
例1　某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)设事件A为“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望与方差.
【解析】　(1)由已知得P(A)==.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
　　所以E(X)=0×+1×+2×=1,
D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.
【方法总结】　　求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤:(1)理解X的意义,写出X的全部取值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列;(4)求E(X),D(X).
　　袋中有形状、大小完全相同的3个球,编号分别为1,2,3.有放回地从袋中取两次,每次取1个球,用X表示取出的2个球中的最大号码.
(1)写出X的分布列;
(2)求X的均值与方差.
【解析】　(1)由题意可知X的所有可能取值为1,2,3,有放回地从袋中取两次,每次取1个球的所有情况为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3).
故P(X=1)=,P(X=2)==,P(X=3)=,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
　　(2)由(1)可得,X的均值E(X)=1×+2×+3×=,
方差D(X)=1-2×+2-2×+3-2×=.
探究2　方差的性质以及几个特殊分布的方差
问题1:若随机变量X~B(1,p),如何求方差D(X)
【答案】　因为X~B(1,p),所以E(X)=p,
所以D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p).
问题2:我们知道,常数的期望是它本身,那么常数的方差是否是本身呢
【答案】　不是,因为E(X)=c,所以D(c)=(c-E(X))2pi=0.
新知生成
1.若X~B(1,p),则D(X)=p(1-p).
2.若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).
3.若Y=aX+b,a,b为常数,则D(aX+b)=a2D(X).
新知运用
例2　设随机变量X~B(n,0.4),Y=X+2,若E(Y)=6,则D(Y)=　　　　　.
【答案】　1.2
【解析】　因为X~B(n,0.4),所以E(X)=0.4n,D(X)=n×0.4×0.6=0.24n.
因为Y=X+2,E(Y)=6,所以E(Y)=E(X)+2=×0.4n+2=6,解得n=20,
所以D(X)=4.8,所以D(Y)=D(X)=1.2.
【方法总结】　　计算随机变量函数Y=aX+b的方差的方法:一种是先求Y的分布列,再求其均值,最后求方差;另一种是应用公式D(aX+b)=a2D(X)求解.
　　某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的方差为　　　　.
【答案】　360
【解析】　将没有发芽的种子数记为Y,则Y~B(1000,0.1),
∴D(Y)=1000×0.1×0.9=90,
又X=2Y,∴D(X)=D(2Y)=4D(Y)=360.
探究3　随机变量均值、方差的综合应用
　　A,B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出现次品的概率如下表:
A机床
次品数X1 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
B机床
次品数X2 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
　　问题1:如何求E(X1),E(X2)
【答案】　E(X1)=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44.
E(X2)=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
问题2:在问题1中,由E(X1),E(X2)能比较两台机床的产品质量吗 为什么
【答案】　不能.因为E(X1)=E(X2).
问题3:利用什么指标可以比较A,B两台机床加工质量
【答案】　利用样本的方差.方差越小,加工的质量越稳定.
新知生成
　　利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤:
(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.
(2)在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.
(3)下结论.依据均值与方差的几何意义做出结论.
新知运用
例3　某投资公司计划在2024年年初将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择.
项目一:新能源汽车,据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和.
项目二:通信设备,据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和.
针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.
【解析】　若按“项目一”投资,设获利X1万元,
则X1的分布列为
X1 300 -150
P
　　所以E(X1)=300×+(-150)×=200(万元),
D(X1)=(300-200)2×+(-150-200)2×=35000.
若按“项目二”投资,设获利X2万元,
则X2的分布列为
X2 500 -300 0
P
　　所以E(X2)=500×+(-300)×+0×=200(万元),
D(X2)=(500-200)2×+(-300-200)2×+(0-200)2×=140000.
可知E(X1)=E(X2),D(X1)这说明虽然项目一、项目二获利均值相等,但项目一更稳妥,所以建议该投资公司选择项目一投资.
【方法总结】　　均值、方差在决策中的作用
(1)均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,均值越大,平均水平越高.
(2)方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度,方差越大越不稳定.
(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断.
　　甲、乙两人去某公司应聘面试.该公司的面试方案如下:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照答对题目的个数进行筛选.已知6道备选题中,应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能正确完成;应聘者乙每道题正确完成的概率都是.每道题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数量的概率分布,并计算其均值;
(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性较大.
【解析】　(1)设X为甲正确完成面试题的数量,Y为乙正确完成面试题的数量,
由题意可得,X服从超几何分布,
∴P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
∴X的分布列为
X 1 2 3
P
　　∴E(X)=1×+2×+3×=2.
由题意可得,Y~B3,,
∴P(Y=0)=03=,
P(Y=1)=12==,
P(Y=2)=21==,
P(Y=3)=30=,
∴Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
　　∴E(Y)=0×+1×+2×+3×=2.
(2)D(X)=×(1-2)2+(2-2)2×+(3-2)2×=,
D(Y)=np(1-p)=3××=,
∵D(X)∴甲发挥的稳定性更强,则甲通过面试的概率较大.
【随堂检测】
1.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本方差分别为D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计 (　　).
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
【答案】　B
【解析】　∵D(X甲)>D(X乙),∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.
2.已知X服从二项分布B(n,p),且E(3X+2)=9.2,D(3X+2)=12.96,则二项分布的参数n,p的值分别为 (　　).
A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4
C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1
【答案】　B
【解析】　由E(3X+2)=3E(X)+2,D(3X+2)=9D(X),且当X~B(n,p)时,E(X)=np,D(X)=np(1-p),可知解得
3.若某事件在一次试验中发生次数的方差为0.25,则该事件在一次试验中发生的概率为　　　　.
【答案】　0.5
【解析】　设该事件在一次试验中发生的概率为p,事件在一次试验中发生次数记为X,则X服从两点分布,所以D(X)=p(1-p),所以p(1-p)=0.25,解得p=0.5.
4.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的个数是X.
(1)求随机变量X的概率分布列;
(2)求随机变量X的数学期望和方差.
【解析】　(1)X的所有可能取值为0,1,3,P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=3)==.
∴X的分布列为
X 0 1 3
P
　　(2)E(X)=0×+1×+3×=1.
D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(3-1)2×=1.
23.2 课时4 离散型随机变量的方差
【学习目标】
1.通过具体实例,理解离散型随机变量的分布列及方差的概念.(数学抽象、数学运算)
2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.离散型随机变量的方差与样本的方差都是变量吗
2.D(X)的取值范围是什么 若b为常数,则D(b)为何值
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大, 随机变量越稳定. (　　)
(2)若a是常数, 则D(a)=0. (　　)
(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度. (　　)
(4)D(X)=E((X-E(X))2). (　　)
2.已知随机变量X,D(X)=,则X的标准差为　　　　.
3.已知X的分布列为
X -1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
求D(X).
4.在一次投篮游戏中,每人投篮3次,每投中1次记10分,没有投中扣5分,某人每次投中的概率为.
(1)求此人恰好投中2次的概率;
(2)求此人得分的方差.
【合作探究】
探究1　离散型随机变量的方差
　　要从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩纪录,第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为
X1 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
　　第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为
X2 5 6 7 8 9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
　　问题1: E(X1),E(X2)各为何值
问题2:能否根据X1和X2的均值来决定派哪名同学参赛
问题3:除平均中靶环数外,还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗
问题4:如何定量刻画随机变量的稳定性
新知生成
　　方差与标准差
若离散型随机变量X的分布列如下表:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
　　则|xi-E(X)|描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离大小,而E{|X-E(x)|}表示平均偏离的大小,但由于绝对值运算在数学处理上有许多不便,于是用D(X)=E((X-E(X))2)=(xi-E(X))2pi来刻画随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.我们称D(X)为随机变量X的方差,其算术平方根为随机变量X的标准差,方差记作σ2,标准差记作σ.
随机变量的方差D(X)和标准差σ都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差(标准差) 越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小;反之,方差(标准差)越大,则随机变量的取值越分散.
新知运用
例1　某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)设事件A为“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望与方差.
【方法总结】　　求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤:(1)理解X的意义,写出X的全部取值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列;(4)求E(X),D(X).
　　袋中有形状、大小完全相同的3个球,编号分别为1,2,3.有放回地从袋中取两次,每次取1个球,用X表示取出的2个球中的最大号码.
(1)写出X的分布列;
(2)求X的均值与方差.
探究2　方差的性质以及几个特殊分布的方差
问题1:若随机变量X~B(1,p),如何求方差D(X)
问题2:我们知道,常数的期望是它本身,那么常数的方差是否是本身呢
新知生成
1.若X~B(1,p),则D(X)=p(1-p).
2.若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).
3.若Y=aX+b,a,b为常数,则D(aX+b)=a2D(X).
新知运用
例2　设随机变量X~B(n,0.4),Y=X+2,若E(Y)=6,则D(Y)=　　　　　.
【方法总结】　　计算随机变量函数Y=aX+b的方差的方法:一种是先求Y的分布列,再求其均值,最后求方差;另一种是应用公式D(aX+b)=a2D(X)求解.
　　某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的方差为　　　　.
探究3　随机变量均值、方差的综合应用
　　A,B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出现次品的概率如下表:
A机床
次品数X1 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
B机床
次品数X2 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
　　问题1:如何求E(X1),E(X2)
问题2:在问题1中,由E(X1),E(X2)能比较两台机床的产品质量吗 为什么
问题3:利用什么指标可以比较A,B两台机床加工质量
新知生成
　　利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤:
(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.
(2)在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.
(3)下结论.依据均值与方差的几何意义做出结论.
新知运用
例3　某投资公司计划在2024年年初将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择.
项目一:新能源汽车,据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和.
项目二:通信设备,据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和.
针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.
【方法总结】　　均值、方差在决策中的作用
(1)均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,均值越大,平均水平越高.
(2)方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度,方差越大越不稳定.
(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断.
　　甲、乙两人去某公司应聘面试.该公司的面试方案如下:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照答对题目的个数进行筛选.已知6道备选题中,应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能正确完成;应聘者乙每道题正确完成的概率都是.每道题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数量的概率分布,并计算其均值;
(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性较大.
【随堂检测】
1.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本方差分别为D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计 (　　).
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
2.已知X服从二项分布B(n,p),且E(3X+2)=9.2,D(3X+2)=12.96,则二项分布的参数n,p的值分别为 (　　).
A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4
C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1
3.若某事件在一次试验中发生次数的方差为0.25,则该事件在一次试验中发生的概率为　　　　.
4.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的个数是X.
(1)求随机变量X的概率分布列;
(2)求随机变量X的数学期望和方差.
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