资源简介

3.3 正态分布
【学习目标】
1.利用实际问题的直方图,了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义.(数学抽象)
2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质及意义.(数学抽象、直观想象)
3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
1.正态曲线的特点是什么
2.正态曲线p(x)中参数μ,σ的意义是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正态变量函数表达式中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差. (　　)
(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量. (　　)
(3)正态曲线是一条钟形曲线. (　　)
(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述,连续型随机变量的概率分布用分布列描述. (　　)
2.在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为　　　　.
3.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.8413,求P(-1<ξ≤0).
【合作探究】
探究1　正态曲线及特点
　　设x表示某产品的寿命(单位:h).人们对该产品有如下的了解:寿命小于500 h的概率为0.71,寿命在500 h~800 h的概率为0.22,寿命在800 h~1000 h的概率为0.07,由此我们可以画出下图.
问题1:这个图形能告诉我们产品寿命在200 h~400 h的概率是多少吗
问题2:若将组距缩小,改为下图所示,这样可以了解到更多信息,若将组距无限细分,会是什么形状
问题3:正态分布描述的随机变量X是离散型的吗
问题4:你能写出正态分布密度曲线的函数表达式吗 能从函数的角度分析它的图象特征吗
新知生成
1.正态曲线
函数p(x)=,x∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)为参数,我们称p(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
2.正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
(3)p(x)在x=μ处达到最大值;
(4)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;
(5)当μ一定时,σ越大,正态曲线越扁平,σ越小,正态曲线越尖陡;
(6)曲线与x轴之间所夹区域的面积等于1.
3.标准正态分布
随机变量X为服从参数为μ和σ2的正态分布,简记为X~N(μ,σ2).
特别地,当μ=0,σ2=1时称为标准正态分布,其密度函数记为φ(x)=(-∞新知运用
一、正态分布密度函数及正态曲线
例1　已知一个正态曲线如图所示,试根据该图象写出其正态密度函数的【解析】式,并求出总体随机变量的期望和方差.
方法指导　给出了一个正态曲线,就给出了该曲线的对称轴和最大值,从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及【解析】式.
【方法总结】　　利用图象求正态分布密度函数的【解析】式,应抓住图象的两个实质性特点:一是对称轴为直线x=μ;二是最大值为.这两点确定以后,相应的参数μ,σ的值便确定了,代入f(x)中便可求出相应的【解析】式.
二、正态曲线的性质
例2　某次我市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是 (　　).
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都居中
D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同
【方法总结】　　用正态曲线的性质可以求参数μ,σ的值:(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ的值;(2)正态曲线在x=μ处达到峰值,由此性质结合图象可求σ的值;(3)由σ的大小区分曲线的“胖瘦”.
三、利用正态分布求概率
例3　(1)设随机变量X~N(2,9),若P(X>1+c)=P(X　　(2)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=(　　).
A.0.477 B.0.954 C.0.628 D.0.977
【方法总结】　　充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解
(1)熟记正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上的概率相等.
(2)P(Xμ+a).
1.(多选题)下面给出的关于正态曲线的四个叙述中,正确的有(　　).
A.曲线在x轴上方,且与x轴不相交
B.当x>μ时,曲线下降,当x<μ时,曲线上升
C.当μ一定时,σ越小,总体分布越分散,σ越大,总体分布越集中
D.曲线关于直线x=μ对称,且当x=μ时,位于最高点
2.若随机变量X的概率分布密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=,求这个随机变量X的均值与标准差.
3.某班有50名学生,一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102).已知P(100探究2　正态分布在三个特殊区间内取值的概率值
新知生成
1.正态分布在三个特殊区间内取值的概率
落在区间(μ-σ,μ+σ)的概率约为68.27%;
落在区间(μ-2σ,μ+2σ)的概率约为95.45%;
落在区间(μ-3σ,μ+3σ)的概率约为99.73%.
2.3σ原则
在实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取区间(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称为3σ原则.
新知运用
例4　在某次数学考试中,考生的成绩X~N(90,100).
(1)求考试成绩X在(70,110)内的概率;
(2)若此次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)内的考生人数.
【方法总结】　　解决正态分布问题有三个关键点:(1)对称轴x=μ;(2)标准差σ;(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值,由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.
注意:只有在标准正态分布下对称轴才为直线x=0.
1.若某校高一年级1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152),则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有 (　　)
.(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.997人 B.972人 C.955人 D.683人
2.对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均值作为该物理量值的最后结果.已知最后结果的误差εn~N0,,为使误差εn在(-0.5,0.5)内的概率不小于0.9545,至少要测量　　　　次.(附:若X~N(μ,σ),则P(|X-μ|<2σ)≈0.9545)
探究3　正态分布在实际问题中的应用
例5　某共享单车集团为了进行项目优化,对某市月卡用户随机抽取了200人,统计了他们在同一月的使用次数(假设每月使用次数均在8至36之间).将样本数据分成[8,12),[12,16),[16,20),[20,24),[24,28),[28,32),[32,36]七组,绘制成如图所示的频率分布直方图,并用样本的频率分布估计总体的频率分布.
(1)求图中a的值;
(2)设该市月卡用户每月使用次数近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本的平均数(各区间数据用中点值近似计算),取σ=3.16,若该城市恰有1万个用户,试估计这些用户中,月使用次数X位于区间[12.36,25]内的人数;
(3)现从该市月卡用户中随机抽取10人,其中月使用次数在[24,28)的有Y人,记“事件Y=k”的概率为P(Y=k),其中k=0,1,2,…,10,当P(Y=k)最大时,求k的值.
参考数据:若随机变量ζ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ζ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤ζ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤ζ≤μ+3σ)≈0.9973.
【方法总结】　　利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个.
　　某市高二英语会考成绩X服从正态分布N(μ,9),且P(X≤90)=P(X≥96),已知英语成绩不低于90分为及格.
(1)求该市高二英语会考成绩的及格率(结果精确到0.01);
(2)若从该市参加高二英语会考的学生中任意选取100名,设Y为这100名学生中英语成绩及格的人数,利用(1)的结果,求D(2Y-1).
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
【随堂检测】
1.以下关于正态分布密度曲线的说法中,正确的个数是 (　　).
①曲线都在x轴的上方,左右两侧与x轴无限接近,最终可与x轴相交;
②曲线关于直线x=μ对称;
③曲线呈现“中间高,两边低”的钟形形状;
④曲线与x轴之间的面积为1.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知正态曲线f(x)=,则(　　).
A.μ=2,σ=3 B.μ=3,σ=2
C.μ=2,σ= D.μ=3,σ=
3.设随机变量X~N(μ,σ2),且P(X≤c)=P(X>c),则c=(　　).
A.0 B.σ C.-μ D.μ
4.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N4,,问当在一次正常的试验中取1000个零件时,不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个
23.3 正态分布
【学习目标】
1.利用实际问题的直方图,了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义.(数学抽象)
2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质及意义.(数学抽象、直观想象)
3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
1.正态曲线的特点是什么
【答案】　正态曲线的特点是中间高,两边低,左右大致对称.
2.正态曲线p(x)中参数μ,σ的意义是什么
【答案】　参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值E(X)去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本方差D(X)去估计.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正态变量函数表达式中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差. (　　)
(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量. (　　)
(3)正态曲线是一条钟形曲线. (　　)
(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述,连续型随机变量的概率分布用分布列描述. (　　)
【答案】　　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为　　　　.
【答案】　0.8
【解析】　∵X服从正态分布N(1,σ2),
∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同,均为0.4.
∴X在(0,2)内取值的概率为0.4+0.4=0.8.
3.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.8413,求P(-1<ξ≤0).
【解析】　如图所示,因为P(ξ≤1)=0.8413,所以P(ξ>1)=1-0.8413=0.1587,所以P(ξ≤-1)=0.1587,所以P(-1<ξ≤0)=0.5-0.1587=0.3413.
【合作探究】
探究1　正态曲线及特点
　　设x表示某产品的寿命(单位:h).人们对该产品有如下的了解:寿命小于500 h的概率为0.71,寿命在500 h~800 h的概率为0.22,寿命在800 h~1000 h的概率为0.07,由此我们可以画出下图.
问题1:这个图形能告诉我们产品寿命在200 h~400 h的概率是多少吗
【答案】　不能.
问题2:若将组距缩小,改为下图所示,这样可以了解到更多信息,若将组距无限细分,会是什么形状
【答案】　 若组距无限细分,一般是形状像“钟”的光滑曲线,即正态曲线.
问题3:正态分布描述的随机变量X是离散型的吗
【答案】　 不是.它是连续的.
问题4:你能写出正态分布密度曲线的函数表达式吗 能从函数的角度分析它的图象特征吗
【答案】　正态分布密度曲线的函数的【解析】式为φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)为参数,
由函数表达式可知φ(x)>0,且函数φ(x)的图象关于直线x=μ对称.
新知生成
1.正态曲线
函数p(x)=,x∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)为参数,我们称p(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
2.正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
(3)p(x)在x=μ处达到最大值;
(4)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;
(5)当μ一定时,σ越大,正态曲线越扁平,σ越小,正态曲线越尖陡;
(6)曲线与x轴之间所夹区域的面积等于1.
3.标准正态分布
随机变量X为服从参数为μ和σ2的正态分布,简记为X~N(μ,σ2).
特别地,当μ=0,σ2=1时称为标准正态分布,其密度函数记为φ(x)=(-∞新知运用
一、正态分布密度函数及正态曲线
例1　已知一个正态曲线如图所示,试根据该图象写出其正态密度函数的【解析】式,并求出总体随机变量的期望和方差.
方法指导　给出了一个正态曲线,就给出了该曲线的对称轴和最大值,从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及【解析】式.
【解析】　从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是,所以μ=20.由=,解得σ=2.
所以正态密度函数的【解析】式为f(x)=·,x∈R,
总体随机变量的期望μ=20,方差σ2=4.
【方法总结】　　利用图象求正态分布密度函数的【解析】式,应抓住图象的两个实质性特点:一是对称轴为直线x=μ;二是最大值为.这两点确定以后,相应的参数μ,σ的值便确定了,代入f(x)中便可求出相应的【解析】式.
二、正态曲线的性质
例2　某次我市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是 (　　).
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都居中
D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同
【答案】　A
【解析】　由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等,由正态密度曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越扁平,σ越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选A.
【方法总结】　　用正态曲线的性质可以求参数μ,σ的值:(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ的值;(2)正态曲线在x=μ处达到峰值,由此性质结合图象可求σ的值;(3)由σ的大小区分曲线的“胖瘦”.
三、利用正态分布求概率
例3　(1)设随机变量X~N(2,9),若P(X>1+c)=P(X　　(2)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=(　　).
A.0.477 B.0.954 C.0.628 D.0.977
【答案】　(1)2　(2)B
【解析】　(1)由X~N(2,9)可知,正态密度曲线图象关于直线x=2对称(如图所示),
又P(X>1+c)=P(X(2)画出正态曲线,如图所示,结合图象知,P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=1-2×0.023=0.954.
【方法总结】　　充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解
(1)熟记正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上的概率相等.
(2)P(Xμ+a).
1.(多选题)下面给出的关于正态曲线的四个叙述中,正确的有(　　).
A.曲线在x轴上方,且与x轴不相交
B.当x>μ时,曲线下降,当x<μ时,曲线上升
C.当μ一定时,σ越小,总体分布越分散,σ越大,总体分布越集中
D.曲线关于直线x=μ对称,且当x=μ时,位于最高点
【答案】　ABD
【解析】　只有C错误,因为当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散.
2.若随机变量X的概率分布密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=,求这个随机变量X的均值与标准差.
【解析】　由正态曲线f(x)=,知即　
故该随机变量X的均值为10,标准差为2.
3.某班有50名学生,一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102).已知P(100【答案】　8
【解析】　∵考试的成绩X服从正态分布N(110,102),
∴该正态曲线关于直线x=110对称.
又∵P(100∴P(X>120)=P(X≤100)=(1-0.34×2)=0.16.
∴该班数学成绩在120分以上的人数约为0.16×50=8.
探究2　正态分布在三个特殊区间内取值的概率值
新知生成
1.正态分布在三个特殊区间内取值的概率
落在区间(μ-σ,μ+σ)的概率约为68.27%;
落在区间(μ-2σ,μ+2σ)的概率约为95.45%;
落在区间(μ-3σ,μ+3σ)的概率约为99.73%.
2.3σ原则
在实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取区间(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称为3σ原则.
新知运用
例4　在某次数学考试中,考生的成绩X~N(90,100).
(1)求考试成绩X在(70,110)内的概率;
(2)若此次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)内的考生人数.
【解析】　(1)依题意,X~N(90,100),∴μ=90,σ=10.
P(70(2)∵P(80即考试成绩在(80,100)内的概率约为0.6827,
∴考试成绩在(80,100)内的考生大约有2000×0.6827≈1365(人).
【方法总结】　　解决正态分布问题有三个关键点:(1)对称轴x=μ;(2)标准差σ;(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值,由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.
注意:只有在标准正态分布下对称轴才为直线x=0.
1.若某校高一年级1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152),则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有 (　　)
.(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.997人 B.972人 C.955人 D.683人
【答案】　C
【解析】　依题意可知μ=90,σ=15
,故P(602.对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均值作为该物理量值的最后结果.已知最后结果的误差εn~N0,,为使误差εn在(-0.5,0.5)内的概率不小于0.9545,至少要测量　　　　次.(附:若X~N(μ,σ),则P(|X-μ|<2σ)≈0.9545)
【答案】　32
【解析】　P(|εn-μ|<2σ)=0.9545,又μ=0,σ2=,
即P(μ-2σ<εn<μ+2σ)=P-2<εn<2≈0.9545,
由题意知2≤,所以n≥32.
探究3　正态分布在实际问题中的应用
例5　某共享单车集团为了进行项目优化,对某市月卡用户随机抽取了200人,统计了他们在同一月的使用次数(假设每月使用次数均在8至36之间).将样本数据分成[8,12),[12,16),[16,20),[20,24),[24,28),[28,32),[32,36]七组,绘制成如图所示的频率分布直方图,并用样本的频率分布估计总体的频率分布.
(1)求图中a的值;
(2)设该市月卡用户每月使用次数近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本的平均数(各区间数据用中点值近似计算),取σ=3.16,若该城市恰有1万个用户,试估计这些用户中,月使用次数X位于区间[12.36,25]内的人数;
(3)现从该市月卡用户中随机抽取10人,其中月使用次数在[24,28)的有Y人,记“事件Y=k”的概率为P(Y=k),其中k=0,1,2,…,10,当P(Y=k)最大时,求k的值.
参考数据:若随机变量ζ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ζ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤ζ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤ζ≤μ+3σ)≈0.9973.
【解析】　(1)由(0.01+0.02+0.03×3+a+0.08)×4=1,得a=0.05.
(2)μ=(10×0.02+14×0.03+18×0.03+22×0.08+26×0.05+30×0.03+34×0.01)×4=21.84,又σ=3.16,
故P(12.36≤X≤25)=P(μ-3σ≤X≤μ+σ)≈=0.8400,10000×0.8400=8400(人),
所以估计1万个用户中,月使用次数X位于区间[12.36,25]内的人数为8400.
(3)依题意知Y~B(10,0.2),则P(Y=k)=×0.2k×0.810-k,其中k=0,1,2,…,10,且=,=,当P(Y=k)>P(Y=k-1)时,11-k>4k,则k<2.2;当P(Y=k)>P(Y=k+1)时,4k+4>10-k,则k>1.2.
所以当k=2时,P(Y=k)取值最大.
【方法总结】　　利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个.
　　某市高二英语会考成绩X服从正态分布N(μ,9),且P(X≤90)=P(X≥96),已知英语成绩不低于90分为及格.
(1)求该市高二英语会考成绩的及格率(结果精确到0.01);
(2)若从该市参加高二英语会考的学生中任意选取100名,设Y为这100名学生中英语成绩及格的人数,利用(1)的结果,求D(2Y-1).
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
【解析】　(1)因为P(X≤90)=P(X≥96),所以μ==93,又σ2=9,所以σ=3,
所以P(X≥90)=P(X≥μ-σ)=0.5+P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.5+=0.84135≈0.84.
故该市高二英语会考成绩的及格率约为0.84.
(2)依题意,可得Y~B(100,0.84),
所以D(Y)=100×0.84×(1-0.84)=13.44,
所以D(2Y-1)=22D(Y)=53.76.
【随堂检测】
1.以下关于正态分布密度曲线的说法中,正确的个数是 (　　).
①曲线都在x轴的上方,左右两侧与x轴无限接近,最终可与x轴相交;
②曲线关于直线x=μ对称;
③曲线呈现“中间高,两边低”的钟形形状;
④曲线与x轴之间的面积为1.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　C
【解析】　由正态分布密度曲线的特点,易知②③④说法正确,对于①,曲线与x轴不相交,故①错误.
2.已知正态曲线f(x)=,则(　　).
A.μ=2,σ=3 B.μ=3,σ=2
C.μ=2,σ= D.μ=3,σ=
【答案】　C
【解析】　由f(x)=,得μ=2,σ=.
3.设随机变量X~N(μ,σ2),且P(X≤c)=P(X>c),则c=(　　).
A.0 B.σ C.-μ D.μ
【答案】　D
【解析】　由P(X≤c)=P(X>c),知直线x=c为对称轴,又由X~N(μ,σ2)知对称轴为直线x=μ,故c=μ.
4.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N4,,问当在一次正常的试验中取1000个零件时,不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个
【解析】　∵X~N4,,∴μ=4,σ=.
∴不属于区间(3,5)的概率P
=P(X≤3)+P(X≥5)=1-P(31000×0.0027≈3(个),即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个.
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