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4.2 课时2 一元线性回归模型的应用
【学习目标】
1.理解散点图在回归模型选择中的作用.(直观想象)
2.掌握不同模型拟合数据效果的评价方法.(数据分析、数学运算)
3.熟悉一元线性回归模型思想的基本步骤.(数据分析、数学运算)
【课前检测】
1.设有一个回归直线方程为y=-5.5x+2,则变量x每增加1个单位,(　　).
A.y平均增加5.5个单位 B.y平均增加2个单位
C.y平均减少5.5个单位 D.y平均减少2个单位
2.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:
父亲身高x/cm 174 176 176 176 178
儿子身高y/cm 175 175 176 177 177
则y关于x的线性回归方程为 (　　)
A.=x-1 B.=x+1
C.=x+88 D.=176
3.用模型y=cekx拟合一组数据时,为了求出回归直线方程,设z=ln y,其变换后得到的回归直线方程为z=0.5x+2,则c= (　　).
A.0.5 B.e0.5 C.2 D.e2
4.小李准备在某商场租一间商铺开服装店,为了解市场行情,在该商场调查了20家服装店,统计得到了它们的面积x(单位:m2)和日均客流量y(单位:百人)的数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),并计算得xi=2400,yi=210,=42000,(xi-)(yi-)=6300.
(1)求y关于x的回归直线方程;
(2)已知服装店每天的经济效益W=k+mx(k>0,m>0),该商场现有60 m2~150 m2的商铺出租,根据(1)的结果进行预测,要使单位面积的经济效益Z最高,小李应该租多大面积的商铺
【题型探究】
探究1　利用回归直线方程对总体进行估计
例1　下表是我国2015年至2021年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨).
年份t/年 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
处理量y/亿吨 1.8 1.97 2.1 2.26 2.4 2.55 2.69
　　(1)由数据可知,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于t的线性回归方程(精确到0.01),并预测2023年我国生活垃圾无害化处理量.
附:≈2.25,(ti-)(yi-)≈4.13,≈0.78;≈2.65;相关系数rty=;线性回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=,=-.
【方法总结】　　利用一元线性回归模型思想解决实际问题的基本步骤:
(1)确定研究对象,明确哪个变量是因变量,哪个变量是自变量;
(2)利用相关系数的计算公式,分析自变量与因变量之间的关系;
(3)利用最小二乘原理估计一元线性回归方程的系数,建立一元线性回归方程;
(4)利用一元线性回归方程进行预测.
针对训练1　如图,这是某采矿厂的污水排放量y(单位:吨)与矿产品年产量x(单位:吨)的折线图:
(1)依据折线图计算相关系数rxy(精确到0.01),并据此判断是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系.(若|rxy|>0.8,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
(2)若可用线性回归模型拟合y与x的关系,请建立y关于x的线性回归方程,并预测年产量为10吨时的污水排放量.
参考公式:相关系数rxy=,线
性回归方程=x+中,=,=-.
参考数据:≈0.55,≈0.95.
探究2　非线性回归分析
例2　某校课题小组为了研究粮食产量与化肥施用量的关系,收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理,得到了如图所示的散点图,每亩化肥施用量为x(单位:公斤),粮食亩产量为y(单位:百公斤).
参考数据:
xiyi xi yi tizi ti zi
650 91.5 52.5 1478.6 30.5 15 15 46.5
　　表中ti=ln xi,zi=ln yi(i=1,2,…,10).
(1)根据散点图判断y=cxd作为粮食亩产量y(单位:百公斤)关于每亩化肥施用量x(单位:公斤)的回归方程类型比较适宜.根据表中数据,建立y关于x的回归方程.
(2)请预测当每亩化肥施用量为27公斤时,粮食亩产量y的值.(预测时取e≈2.7)
附:对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=-.
【方法总结】　　求非线性回归方程的步骤:(1)确定变量,作出散点图;(2)根据散点图,选择恰当的拟合函数;(3)变量置换,通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题,并求出线性回归方程;(4)根据相应的变换,写出非线性回归方程.
针对训练2　调查某新能源汽车公司从2018年到2022年的汽车年销售量y(单位:万辆)得到如下散点图.(记年份代码为x,x的值为1~5,分别对应2018—2022年)
(1)根据散点图判断,模型①y=a+bx与模型②y=c+dx2,哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程 (给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果,建立y关于x的回归方程.
　　附:
xiyi yi
34 55 979 657 2805
　　==,=-.
【强化训练】
1.一只红铃虫的产卵数y和温度x有关,现收集了6组产卵数y(单位:个)与温度x(单位:℃)(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)的观测数据,令zi=ln yi,并将(xi,zi)绘制成散点图(如图).若用方程y=aebx对y与x的关系进行拟合,则(　　).
A.a>1,b>0 B.a>1,b<0
C.00 D.02.某中医药企业根据市场调研与模拟,得到研发投入x(单位:亿元)与产品收益y(单位:亿元)的数据统计如下:
研发投入x/亿元 1 2 3 4 5
产品收益y/亿元 3 7 9 10 11
(1)计算x,y的相关系数rxy,并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度.(若0.2<|rxy|<0.8,则线性相关程度一般;若|rxy|>0.8,则线性相关程度较高)
(2)求出y关于x的线性回归方程,并预测研发投入为20亿元时产品的收益.
参考数据:=10,=40,(xi-)(yi-)=19.
参考公式:相关系数rxy=,回归直线方程的斜率=,截距=-.
24.2 课时2 一元线性回归模型的应用
【学习目标】
1.理解散点图在回归模型选择中的作用.(直观想象)
2.掌握不同模型拟合数据效果的评价方法.(数据分析、数学运算)
3.熟悉一元线性回归模型思想的基本步骤.(数据分析、数学运算)
【课前检测】
1.设有一个回归直线方程为y=-5.5x+2,则变量x每增加1个单位,(　　).
A.y平均增加5.5个单位 B.y平均增加2个单位
C.y平均减少5.5个单位 D.y平均减少2个单位
【答案】　C
【解析】　因为回归直线方程斜率为-5.5,所以变量x每增加1个单位,y平均减少5.5个单位.
2.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:
父亲身高x/cm 174 176 176 176 178
儿子身高y/cm 175 175 176 177 177
则y关于x的线性回归方程为 (　　)
A.=x-1 B.=x+1
C.=x+88 D.=176
【答案】　C
【解析】　由题意得=176,=176,sxy=(xi-)(yi-)=4,=(xi-)2=8,设y关于x的线性回归方程为=x+,因为==,=176-×176=88,
所以y关于x的线性回归方程为=x+88.
3.用模型y=cekx拟合一组数据时,为了求出回归直线方程,设z=ln y,其变换后得到的回归直线方程为z=0.5x+2,则c= (　　).
A.0.5 B.e0.5 C.2 D.e2
【答案】　D
【解析】　因为y=cekx,两边取对数得ln y=ln(cekx)=ln c+ln ekx=kx+ln c,
所以z=kx+ln c,而z=0.5x+2,于是ln c=2,即c=e2.
4.小李准备在某商场租一间商铺开服装店,为了解市场行情,在该商场调查了20家服装店,统计得到了它们的面积x(单位:m2)和日均客流量y(单位:百人)的数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),并计算得xi=2400,yi=210,=42000,(xi-)(yi-)=6300.
(1)求y关于x的回归直线方程;
(2)已知服装店每天的经济效益W=k+mx(k>0,m>0),该商场现有60 m2~150 m2的商铺出租,根据(1)的结果进行预测,要使单位面积的经济效益Z最高,小李应该租多大面积的商铺
【解析】　(1)由已知可得=xi=120,=yi=10.5,===0.15,
则=-=10.5-0.15×120=-7.5,
所以y关于x的回归直线方程为=0.15x-7.5.
(2)根据题意得Z==+m=k+m,60≤x≤150.
设f(x)==-,令t=,≤t≤,
则f(x)=g(t)=0.15t-7.5t2=-7.5×(t-0.01)2+0.00075,
当t=0.01,即x=100时,f(x)取得最大值.
又因为k>0,m>0,所以此时Z也取得最大值,
因此,小李应该租100 m2的商铺.
【题型探究】
探究1　利用回归直线方程对总体进行估计
例1　下表是我国2015年至2021年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨).
年份t/年 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
处理量y/亿吨 1.8 1.97 2.1 2.26 2.4 2.55 2.69
　　(1)由数据可知,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于t的线性回归方程(精确到0.01),并预测2023年我国生活垃圾无害化处理量.
附:≈2.25,(ti-)(yi-)≈4.13,≈0.78;≈2.65;相关系数rty=;线性回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=,=-.
【解析】　(1)由表中数据可得,=2018,=28,
所以rty=≈≈0.99.
　　所以y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
(2)由(1)得=≈≈0.15,
所以=-≈2.25-0.15×2018=-300.45.
所以y关于t的线性回归方程为=-300.45+0.15t.
将t=2023代入线性回归方程得=-300.45+0.15×2023=3.
所以预测2023年我国生活垃圾无害化处理量为3亿吨.
【方法总结】　　利用一元线性回归模型思想解决实际问题的基本步骤:
(1)确定研究对象,明确哪个变量是因变量,哪个变量是自变量;
(2)利用相关系数的计算公式,分析自变量与因变量之间的关系;
(3)利用最小二乘原理估计一元线性回归方程的系数,建立一元线性回归方程;
(4)利用一元线性回归方程进行预测.
针对训练1　如图,这是某采矿厂的污水排放量y(单位:吨)与矿产品年产量x(单位:吨)的折线图:
(1)依据折线图计算相关系数rxy(精确到0.01),并据此判断是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系.(若|rxy|>0.8,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
(2)若可用线性回归模型拟合y与x的关系,请建立y关于x的线性回归方程,并预测年产量为10吨时的污水排放量.
参考公式:相关系数rxy=,线
性回归方程=x+中,=,=-.
参考数据:≈0.55,≈0.95.
【解析】　(1)由折线图的数据计算得,=5,=4,(xi-)(yi-)=6,=20,=2,所以相关系数rxy==≈0.95>0.8,所以y与x的线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合y与x的关系.
(2)由(1)得,==0.3,=-=4-0.3×5=2.5,所以y关于x的线性回归方程为=0.3x+2.5,所以当x=10时,=5.5,故预测年产量为10吨时的污水排放量为5.5吨.
探究2　非线性回归分析
例2　某校课题小组为了研究粮食产量与化肥施用量的关系,收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理,得到了如图所示的散点图,每亩化肥施用量为x(单位:公斤),粮食亩产量为y(单位:百公斤).
参考数据:
xiyi xi yi tizi ti zi
650 91.5 52.5 1478.6 30.5 15 15 46.5
　　表中ti=ln xi,zi=ln yi(i=1,2,…,10).
(1)根据散点图判断y=cxd作为粮食亩产量y(单位:百公斤)关于每亩化肥施用量x(单位:公斤)的回归方程类型比较适宜.根据表中数据,建立y关于x的回归方程.
(2)请预测当每亩化肥施用量为27公斤时,粮食亩产量y的值.(预测时取e≈2.7)
附:对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=-.
【解析】　(1)由题意对y=cxd两边取对数可得ln y=ln(cxd)=ln c+ln xd=ln c+dln x,
即ln y=dln x+ln c,又t=ln x,z=ln y,则有z=dt+ln c,
=ti=1.5,=zi=1.5,
所以d===,ln c=-d=1.5-×1.5=1,所以c=e,
所以y=e.
(2)由(1)知,当x=27时,y=e×=3e≈8.1,即当每亩化肥施用量为27公斤时,粮食亩产量约为8.1百公斤.
【方法总结】　　求非线性回归方程的步骤:(1)确定变量,作出散点图;(2)根据散点图,选择恰当的拟合函数;(3)变量置换,通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题,并求出线性回归方程;(4)根据相应的变换,写出非线性回归方程.
针对训练2　调查某新能源汽车公司从2018年到2022年的汽车年销售量y(单位:万辆)得到如下散点图.(记年份代码为x,x的值为1~5,分别对应2018—2022年)
(1)根据散点图判断,模型①y=a+bx与模型②y=c+dx2,哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程 (给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果,建立y关于x的回归方程.
　　附:
xiyi yi
34 55 979 657 2805
　　==,=-.
【解析】　(1)由散点图可知,散点图与一次函数偏差较大,与二次函数较接近,故模型②y=c+dx2更适合.
(2)由(1)可设回归方程为=+x2,
令t=x2,则回归方程为=+t.
因为==979,tiyi=yi=2805,
=ti==11,=34,
所以====2.5,
=-=34-11×2.5=6.5,
所以y关于x的回归方程为=6.5+2.5t,即=6.5+2.5x2.
【强化训练】
1.一只红铃虫的产卵数y和温度x有关,现收集了6组产卵数y(单位:个)与温度x(单位:℃)(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)的观测数据,令zi=ln yi,并将(xi,zi)绘制成散点图(如图).若用方程y=aebx对y与x的关系进行拟合,则(　　).
A.a>1,b>0 B.a>1,b<0
C.00 D.0【答案】　A
【解析】　因为y=aebx,令z=ln y,所以z与x的回归方程为z=bx+ln a.
根据散点图可知z与x正相关,所以b>0.
由回归方程的图象可知,回归直线的纵截距大于0,即ln a>0,所以a>1.
2.某中医药企业根据市场调研与模拟,得到研发投入x(单位:亿元)与产品收益y(单位:亿元)的数据统计如下:
研发投入x/亿元 1 2 3 4 5
产品收益y/亿元 3 7 9 10 11
(1)计算x,y的相关系数rxy,并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度.(若0.2<|rxy|<0.8,则线性相关程度一般;若|rxy|>0.8,则线性相关程度较高)
(2)求出y关于x的线性回归方程,并预测研发投入为20亿元时产品的收益.
参考数据:=10,=40,(xi-)(yi-)=19.
参考公式:相关系数rxy=,回归直线方程的斜率=,截距=-.
【解析】　(1)由题意得rxy====0.95>0.8,
∴该中医药企业的研发投入x与产品收益y具有较高的线性相关程度.
(2)∵===1.9,=×(1+2+3+4+5)=3,=×(3+7+9+10+11)=8,∴=8-1.9×3=2.3,∴y关于x的线性回归方程为=1.9x+2.3,
将x=20代入线性回归方程可得,=1.9×20+2.3=40.3,
故预测研发投入为20亿元时产品的收益是40.3亿元.
2

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