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第2章章末小结
【知识导图】
【题型探究】
题型1 空间向量的线性运算
例1　如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都等于1,∠BAA1=∠CAA1=60°.
(1)设=a,=b,=c,用向量a,b,c表示,并求出BC1的长度;
(2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.
【解析】　(1)=+=+-=+-=a+c-b.
因为a·b=|a|·|b|cos∠BAA1=1×1×cos 60°=,同理可得a·c=b·c=,
所以||=
=
==.
(2)因为=a+b,所以||====,
因为·=(a+b)·(a+c-b)=a2+a·c-a·b+b·a+c·b-b2=1+-++-1=1,
所以cos<,>===.
所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.
小结　在几何体中,根据图形的特点,选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为一组基,或选择有公共起点且关系最明确的三个不共面的向量作为一组基,这样更利于解题.
题型2 空间向量的坐标运算
例2　(2021年新高考全国Ⅰ卷)(多选题)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足=λ+μ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则(　　).
A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值
B.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值
C.当λ=时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥BP
D.当μ=时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1P
【答案】　BD
【解析】　易知,点P在正方形BCC1B1内部(含边界).当λ=1时,=+μ=+μ,即此时点P∈线段CC1,故△AB1P的周长不是定值,故A错误.
当μ=1时,=λ+=+λ,故此时点P的轨迹为线段B1C1,而B1C1∥BC,B1C1 平面A1BC,BC 平面A1BC,所以B1C1∥平面A1BC,则点P到平面A1BC的距离为定值,所以三棱锥P-A1BC的体积为定值,故B正确.
当λ=时,=+μ,取BC,B1C1的中点分别为Q,H,连接AQ,QH,则=+μ,所以点P的轨迹为线段QH,以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1,0,1,P(0,0,μ),B0,,0,则=-,0,μ-1,=0,-,μ,
令·=μ(μ-1)=0,得μ=0或μ=1,所以点H,Q均满足,故C错误.
当μ=时,=λ+,取BB1,CC1的中点分别为M,N,则=+λ,所以点P的轨迹为线段MN.设P0,y0,,因为A,0,0,所以=-,y0,,=-,,-1,若A1B⊥平面AB1P,则A1B⊥AP,故·=+y0-=0,可得y0=-,此时点P与点N重合,故D正确.故选BD.
小结　熟记空间向量的坐标运算公式是解题的关键.在利用坐标运算公式时,注意先对向量式子进行化简再运算.综合考查了学生的直观想象、逻辑推理以及数学运算的核心素养.
题型3 利用空间向量解决平行、垂直问题
例3　(2022年全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　　).
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
【答案】　A
【解析】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD,
又EF 平面ABCD,所以DD1⊥EF,因为E,F分别为AB,BC的中点,
所以EF∥AC,所以EF⊥BD,又BD∩DD1=D,BD,DD1 平面BDD1,
所以EF⊥平面BDD1,又EF 平面B1EF,
所以平面B1EF⊥平面BDD1,故A正确.
如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
设AB=2,
则B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),
则=(-1,1,0),=(0,1,2),=(2,2,0),=(2,0,2),=(0,0,2),=(-2,2,0),=(-2,2,0).
设平面B1EF的法向量为m=(x1,y1,z1),
则令x1=2,则y1=2,z1=-1,可得m=(2,2,-1),
同理可得平面A1BD的法向量为n1=(1,-1,-1),平面A1AC的法向量为n2=(1,1,0),平面A1C1D的法向量为n3=(1,1,-1),
则m·n1=2-2+1=1≠0,
所以平面B1EF与平面A1BD不垂直,故B错误.
因为m与n2不平行,
所以平面B1EF与平面A1AC不平行,故C错误.
因为m与n3不平行,
所以平面B1EF与平面A1C1D不平行,故D错误.
故选A.
小结　用向量法证明立体几何中的平行或垂直问题,主要应用直线的方向向量和平面的法向量,同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理.解题过程渗透了逻辑推理、直观想象以及数学运算的核心素养.
题型4 利用空间向量求距离
例4　如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,E,F分别为SA,SC的中点.AB=BC=2,AD=1,SB与底面ABCD成60°角.
(1)求异面直线EF与CD所成角的余弦值;
(2)求点D到平面SBC的距离.
方法指导　(1)先确定SB与底面ABCD所成的角,计算SA,再建立空间直角坐标系,利用向量数量积求异面直线EF与CD所成角的余弦值;(2)先求平面SBC的一个法向量,再利用向量投影求点D到平面SBC的距离.
【解析】　(1)∵SA⊥平面ABCD,∴∠SBA是SB与底面ABCD所成的角,即∠SBA=60°.
∵AB=2,∴SA=2.
以A为坐标原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(图略),则D(1,0,0),A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),S(0,0,2),
从而E(0,0,),F(1,1,),∴=(1,1,0),=(-1,-2,0),
因此cos<,>==-,
∴异面直线EF与CD所成角的余弦值为.
(2)设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),由(1)可得=(0,2,-2),=(2,0,0).
∵n·=0,n·=0,∴2y-2z=0,2x=0,
令z=1,则y=,x=0,故平面SBC的一个法向量为n=(0,,1),
从而点D到平面SBC的距离为==.
小结　(1)求点到平面的距离,常常利用向量法,转化为平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量上的投影向量的长度.
(2)求直线到平面的距离,往往转化为点到平面的距离求解,且这个点要适当选取,以易于求解为准则.
题型5 利用空间向量求线面角
例5　(2022年全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=.
(1)证明:BD⊥PA.
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
【解析】　(1)∵PD⊥底面ABCD,BD 底面ABCD,
∴PD⊥BD,
取AB的中点为E,连接DE(图略),则CD∥BE,且CD=BE,
∴四边形BCDE为平行四边形,∴DE=CB=1.
∵DE=AB,
∴△ABD为直角三角形,且AB为斜边,∴BD⊥AD.
又PD∩AD=D,PD 平面PAD,AD 平面PAD,
∴BD⊥平面PAD,又PA 平面PAD,∴BD⊥PA.
(2)(法一)由(1)知,PD,AD,BD两两互相垂直,故建立如图①所示的空间直角坐标系,BD==,
图①
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),P(0,0,),
∴=(0,0,-),=(1,0,-),=(-1,,0).
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,则可取n=(,1,1).
设PD与平面PAB所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|==,
∴PD与平面PAB所成的角的正弦值为.
(法二:几何法)作DH⊥AB,交AB于点H,连接PH,如图②所示.
图②
∵PD⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,∴DP⊥AB.
又DP∩DH=D,AB 平面PDH,
∴AB⊥平面PDH,又AB 平面PAB,∴平面PAB⊥平面PDH.
过点D作平面PAB的垂线,垂足在平面PAB与平面PDH的交线上,
∴直线PD与平面PAB所成的角为∠DPH.
在△PDH中,PD=,DH=,PH==,
∴sin∠DPH===,
∴PD与平面PAB所成的角的正弦值为.
(法三)设点D到平面PAB的距离为h,在△PAB中,PA==2,PB==,AB=2,
∴S△PAB=.
∵AD⊥BD,∴S△DAB=,由等体积法得V三棱锥P-ABD=V三棱锥D-PAB.
∴S△DAB·PD=S△PAB·h,∴h=.
设PD与平面PAB所成的角为θ,
则sin θ==,
∴PD与平面PAB所成的角的正弦值为.
小结　利用空间向量求线面角的解题模型
题型6 利用空间向量求平面与平面所成的角
例6　(2023年新高考全国Ⅱ卷)如图,在三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.
(1)证明:BC⊥DA.
(2)若点F满足=,求二面角D-AB-F的正弦值.
【解析】　(1)如图,连接DE,AE,
因为DC=DB,且E为BC的中点,所以DE⊥BC.
因为∠ADB=∠ADC=60°,DA=DA,DC=DB,
所以△ADB≌△ADC(SAS).
可得AC=AB,故AE⊥BC.
因为DE∩AE=E,DE,AE 平面ADE,所以BC⊥平面ADE.
又DA 平面ADE,所以BC⊥DA.
(2)由(1)知,DE⊥BC,AE⊥BC.
不妨设DA=DB=DC=2,因为∠ADB=∠ADC=60°,所以AB=AC=2.
由题可知△DBC为等腰直角三角形,故DE=EB=EC=.
因为AE⊥BC,所以AE==.
在△ADE中,AE2+ED2=AD2,所以AE⊥ED.
以E为坐标原点,ED所在直线为x轴,EB所在直线为y轴,EA所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图,则D(,0,0),B(0,,0),A(0,0,),=(-,0,),=(0,-,).
设F(xF,yF,zF),因为=,所以(xF,yF,zF)=(-,0,),可得F(-,0,),
所以=(,0,0).
设平面DAB的法向量为m=(x1,y1,z1),
则即取x1=1,则y1=z1=1,所以m=(1,1,1).
设平面ABF的法向量为n=(x2,y2,z2),
则即得x2=0,取y2=1,则z2=1,所以n=(0,1,1).
所以cos===.
记二面角D-AB-F的大小为θ,则sin θ===,
故二面角D-AB-F的正弦值为.
小结　利用空间向量求平面与平面所成角的解题模型
题型7 利用空间向量解决探究性问题
例7　(2021年全国甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC,CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.
(1)证明:BF⊥DE.
(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小
【解析】　因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以BB1⊥底面ABC,又AB 平面ABC,所以BB1⊥AB,
因为A1B1∥AB,BF⊥A1B1,所以BF⊥AB,
又BB1∩BF=B,BB1,BF 平面BB1C1C,所以AB⊥平面BB1C1C,
所以BA,BC,BB1两两垂直.
如图,以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
所以B(0,0,0),A(2,0,0),E(1,1,0),F(0,2,1).
由题意设D(a,0,2)(0≤a≤2).
(1)因为=(0,2,1),=(1-a,1,-2),
所以·=0×(1-a)+2×1+1×(-2)=0,所以BF⊥DE.
(2)设平面DFE的法向量为m=(x,y,z),
因为=(-1,1,1),=(1-a,1,-2),
所以即
令z=2-a,得x=3,y=1+a,则m=(3,1+a,2-a).
因为平面BB1C1C的一个法向量为=(2,0,0),
设平面BB1C1C与平面DFE所成二面角的平面角为θ,
所以|cos θ|===.
当a=时,2a2-2a+14取得最小值,最小值为,
此时|cos θ|取得最大值,最大值为=,
所以(sin θ)min==,此时B1D=.
小结　解决存在性问题的基本策略
通常假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论,则说明假设不成立,即不存在.本题第二问中通过余弦值的绝对值最大,找到正弦值最小是关键一步.
【拓展延伸】
空间向量的发展及应用
向量是高中数学新课程中的重要内容,早在19世纪就已成为数学家和物理学家研究的对象.20世纪初被引入中学数学.我国在1996年高中数学大纲中引入了向量.大约公元350年前,古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle,公元前384~公元前322)就知道了力可以表示成向量,他在《力学》一书中记载了“速度”的平行四边形法则,3个世纪以后又被海伦证明.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.
从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间向量的结构并未被数学家们所认识,直到19世纪末20世纪初,人们才把空间向量的性质与向量的运算联系起来,使向量具有一套优良运算通性的数学体系.
向量在物理中应用广泛,通过本章的学习我们已经有所了解.例如,在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.不仅向量知识是解决物理问题的有力工具,而且用数学的方法审视相关物理现象,研究相关的物理问题可使我们对物理问题认识更深刻.
1.空间向量在生活中的应用也非常广泛,如:给定空间一个单位基底,任意一个空间向量,都可用三元有序实数组(a1,a2,a3)表示,则由三元有序实数组(a1,a2,a3)表示的空间向量又称为三维向量,一般地,n元有序实数组(a1,a2,…,an)称为n维向量.n维向量的全体构成的集合,赋予相应的结构后,叫作n维向量空间.定义n维向量空间中A(a1,a2,…,an),B(b1,b2,…,bn)两点间的“距离”dAB=.
例1　某校服公司根据以往制作校服的经验,得出适用于本地区高一男生的四种校服标准型号及相应的测量指标参数值,如表所示:
型号 身高/cm 胸围/cm 腰围/cm 肩宽/cm
L 170 92 78 42
XL 175 96 82 44
XXL 180 100 86 46
XXXL 185 104 90 48
为了给某中学高一的男生制作校服,该校统计了每名男生的身高、胸围、腰围、肩宽,我们把测量得到的数据按照身高a1,胸围a2,腰围a3,肩宽a4的顺序排列,则每名学生的身材可以用四维向量(a1,a2,a3,a4)表示,并且可以把它看作四维向量空间中的一个点.依据“距离”来选择衣服型号是一种常用的方法,即计算每个向量与标准点的距离,与哪个标准点的距离最近,就选择哪种型号.若某同学的身材点为P(172,95,80,43),试问该同学应该订的校服的最佳型号是哪种
【解析】　依题意,
dPL=
=,
dPXL=
=,
dPXXL=
=,
dPXXXL=
=,
因为<<<,所以该同学应该订的校服的最佳型号为XL.
2.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现平面上到两定点A,B距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆,该圆简称为阿氏圆.根据以上信息,解决下面的问题:
例2　如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1=6,点E在棱AB上,BE=2AE,动点P满足BP=PE.若点P在平面ABCD内运动,求点P所形成的阿氏圆的半径;若点P在长方体ABCD-A1B1C1D1内部运动,F为棱C1D1的中点,M为CP的中点,求点M到平面B1CF的距离的最小值.
【解析】　以A为坐标原点,以AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(6,0,0),E(2,0,0).
①设P(x,y,0),由BP=PE,得(x-6)2+y2=3[(x-2)2+y2],
所以x2+y2=12,所以若点P在平面ABCD内运动,则点P所形成的阿氏圆的半径为2.
②设点P(x,y,z),由BP=PE,得(x-6)2+y2+z2=3[(x-2)2+y2+z2],
所以x2+y2+z2=12.
由题意得F(3,3,3),B1(6,0,3),C(6,3,0),
所以=(3,-3,0),=(0,3,-3),
设平面B1CF的法向量为n=(x0,y0,z0),
所以令x0=1,得y0=1,z0=1,则n=(1,1,1).
由题意得=(x-6,y-3,z),所以点P到平面B1CF的距离h==,
因为3(x2+y2+z2)=x2+y2+z2+x2+y2+y2+z2+x2+z2≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=(x+y+z)2,
所以-6≤x+y+z≤6,
所以hmin==,
所以点M到平面B1CF的最小距离为.
总之,向量在物理、数学、现代科学技术中应用非常广泛,在生活、学习中,同学们要注意挖掘空间向量的应用,记住,留心,处处是学问!
2第2章章末小结
【知识导图】
【题型探究】
题型1 空间向量的线性运算
例1　如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都等于1,∠BAA1=∠CAA1=60°.
(1)设=a,=b,=c,用向量a,b,c表示,并求出BC1的长度;
(2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.
小结　在几何体中,根据图形的特点,选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为一组基,或选择有公共起点且关系最明确的三个不共面的向量作为一组基,这样更利于解题.
题型2 空间向量的坐标运算
例2　(2021年新高考全国Ⅰ卷)(多选题)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足=λ+μ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则(　　).
A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值
B.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值
C.当λ=时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥BP
D.当μ=时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1P
小结　熟记空间向量的坐标运算公式是解题的关键.在利用坐标运算公式时,注意先对向量式子进行化简再运算.综合考查了学生的直观想象、逻辑推理以及数学运算的核心素养.
题型3 利用空间向量解决平行、垂直问题
例3　(2022年全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　　).
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
小结　用向量法证明立体几何中的平行或垂直问题,主要应用直线的方向向量和平面的法向量,同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理.解题过程渗透了逻辑推理、直观想象以及数学运算的核心素养.
题型4 利用空间向量求距离
例4　如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,E,F分别为SA,SC的中点.AB=BC=2,AD=1,SB与底面ABCD成60°角.
(1)求异面直线EF与CD所成角的余弦值;
(2)求点D到平面SBC的距离.
方法指导　(1)先确定SB与底面ABCD所成的角,计算SA,再建立空间直角坐标系,利用向量数量积求异面直线EF与CD所成角的余弦值;(2)先求平面SBC的一个法向量,再利用向量投影求点D到平面SBC的距离.
小结　(1)求点到平面的距离,常常利用向量法,转化为平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量上的投影向量的长度.
(2)求直线到平面的距离,往往转化为点到平面的距离求解,且这个点要适当选取,以易于求解为准则.
题型5 利用空间向量求线面角
例5　(2022年全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=.
(1)证明:BD⊥PA.
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
小结　利用空间向量求线面角的解题模型
题型6 利用空间向量求平面与平面所成的角
例6　(2023年新高考全国Ⅱ卷)如图,在三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.
(1)证明:BC⊥DA.
(2)若点F满足=,求二面角D-AB-F的正弦值.
小结　利用空间向量求平面与平面所成角的解题模型
题型7 利用空间向量解决探究性问题
例7　(2021年全国甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC,CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.
(1)证明:BF⊥DE.
(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小
小结　解决存在性问题的基本策略
通常假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论,则说明假设不成立,即不存在.本题第二问中通过余弦值的绝对值最大,找到正弦值最小是关键一步.
【拓展延伸】
空间向量的发展及应用
向量是高中数学新课程中的重要内容,早在19世纪就已成为数学家和物理学家研究的对象.20世纪初被引入中学数学.我国在1996年高中数学大纲中引入了向量.大约公元350年前,古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle,公元前384~公元前322)就知道了力可以表示成向量,他在《力学》一书中记载了“速度”的平行四边形法则,3个世纪以后又被海伦证明.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.
从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间向量的结构并未被数学家们所认识,直到19世纪末20世纪初,人们才把空间向量的性质与向量的运算联系起来,使向量具有一套优良运算通性的数学体系.
向量在物理中应用广泛,通过本章的学习我们已经有所了解.例如,在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.不仅向量知识是解决物理问题的有力工具,而且用数学的方法审视相关物理现象,研究相关的物理问题可使我们对物理问题认识更深刻.
1.空间向量在生活中的应用也非常广泛,如:给定空间一个单位基底,任意一个空间向量,都可用三元有序实数组(a1,a2,a3)表示,则由三元有序实数组(a1,a2,a3)表示的空间向量又称为三维向量,一般地,n元有序实数组(a1,a2,…,an)称为n维向量.n维向量的全体构成的集合,赋予相应的结构后,叫作n维向量空间.定义n维向量空间中A(a1,a2,…,an),B(b1,b2,…,bn)两点间的“距离”dAB=.
例1　某校服公司根据以往制作校服的经验,得出适用于本地区高一男生的四种校服标准型号及相应的测量指标参数值,如表所示:
型号 身高/cm 胸围/cm 腰围/cm 肩宽/cm
L 170 92 78 42
XL 175 96 82 44
XXL 180 100 86 46
XXXL 185 104 90 48
为了给某中学高一的男生制作校服,该校统计了每名男生的身高、胸围、腰围、肩宽,我们把测量得到的数据按照身高a1,胸围a2,腰围a3,肩宽a4的顺序排列,则每名学生的身材可以用四维向量(a1,a2,a3,a4)表示,并且可以把它看作四维向量空间中的一个点.依据“距离”来选择衣服型号是一种常用的方法,即计算每个向量与标准点的距离,与哪个标准点的距离最近,就选择哪种型号.若某同学的身材点为P(172,95,80,43),试问该同学应该订的校服的最佳型号是哪种
2.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现平面上到两定点A,B距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆,该圆简称为阿氏圆.根据以上信息,解决下面的问题:
例2　如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1=6,点E在棱AB上,BE=2AE,动点P满足BP=PE.若点P在平面ABCD内运动,求点P所形成的阿氏圆的半径;若点P在长方体ABCD-A1B1C1D1内部运动,F为棱C1D1的中点,M为CP的中点,求点M到平面B1CF的距离的最小值.
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