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第3章章末小结
【知识导图】
【题型探究】
题型1 条件概率
例1　(2022年新高考全国Ⅰ卷节选)一医疗团队为了研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
　　从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”.与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
(1)证明:R=·.
(2)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(1)的结果给出R的估计值.
【解析】　(1)因为R=·=···=·,
又·=···=·,
所以R=·.
(2)由已知得P(A|B)==,P(A|)==,
又P(|B)==,P(|)==,
所以R=·=6.
小结　求条件概率的主要方法:
(1)利用条件概率公式P(B|A)=;
(2)针对古典概型,可通过缩减基本事件总数求解.
本题渗透了逻辑推理、数学运算的核心素养.
题型2 独立事件的概率
例2　(2021年新高考全国Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　).
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
【答案】　B
【解析】　事件甲发生的概率P(甲)=,事件乙发生的概率P(乙)=,事件丙发生的概率P(丙)==,事件丁发生的概率P(丁)==.事件甲与事件丙同时发生的概率为0,P(甲丙)≠P(甲)P(丙),故A错误;事件甲与事件丁同时发生的概率为=,P(甲丁)=P(甲)P(丁),故B正确;事件乙与事件丙同时发生的概率为=,P(乙丙)≠P(乙)P(丙),故C错误;事件丙与事件丁是互斥事件,不是相互独立事件,故D错误.
小结　事件A,B之间独立性的判定方法
(1)定义法:P(AB)=P(A)P(B).
(2)借助条件概率:P(B|A)=P(B)或P(A|B)=P(A).
(3)直接法:看事件A发生对事件B有无影响.
题型3 乘法公式与全概率公式
例3　已知甲袋中有3个白球,2个黑球;乙袋中有4个白球,4个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率.
【解析】　记事件Ai为“从甲袋中取出的2个球有i个白球”,其中i=0,1,2,记事件B为“从乙袋中取到的一球为白球”,
则P(A0)==,P(A1)==,P(A2)==,
P(B|A0)==,P(B|A1)==,P(B|A2)==,
由全概率公式可得P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×+×=.
小结　本题考查利用全概率公式计算事件的概率,解题的关键在于确定从甲袋取出的2个球中白球的个数,结合全概率公式进行计算,本题渗透了数据分析以及数学运算的素养.
题型4 二项分布与超几何分布的区别与联系
例4　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本测出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到如下的样本频率分布直方图.
　　
(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列;
(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.
【解析】　(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).
(2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件,X的所有可能取值为0,1,2,
易知X服从超几何分布,
则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
故X的分布列为
X 0 1 2
P
　　(3)根据用样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505克的概率为=.
从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成二重伯努利试验,质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2,且Y~B2,,
P(Y=k)=1-2-k,k=0,1,2,
所以P(Y=0)=×2=,
P(Y=1)=××=,
P(Y=2)=×2=.
故Y的分布列为
Y 0 1 2
P
小结　学生对“超几何分布与二项分布”这两种模型的定义不能很好地理解,一遇到“取”或“摸”的题型,就认为是超几何分布,不加分析,滥用公式,运算对象不明晰,事实上,超几何分布和二项分布确实有着密切的联系,但也有明显的区别.
超几何分布的抽取是不放回的抽取,各次抽取不独立;二项分布的抽取是有放回的抽取,各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布.
题型5 离散型随机变量的均值与方差
例5　(2022年全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
【解析】　(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,则甲学校获得冠军的概率P=P(ABC)+P(BC)+P(AC)+P(AB)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.
(2)依题可知,X的可能取值为0,10,20,30,
所以P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,
P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44,
P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,
P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.
即X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
　　所以E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.
小结　求离散型随机变量的均值、方差的步骤:(1)明确随机变量的取值,以及取每个值的试验结果;(2)求出随机变量取各个值的概率;(3)列出分布列;(4)利用期望、方差公式求解.本题渗透了数据分析、数学运算的素养.
题型6 正态分布
例6　(2022年新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(22.5)=　　　　.
【答案】　0.14
【解析】　因为X~N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,
因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2小结　正态分布的概率通常有以下两种求法:(1)注意“3σ原则”的应用.记住正态总体在三个区间内取值的概率.(2)注意数形结合.由于正态分布密度曲线具有对称性,体现了数形结合的重要思想,因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题.
【拓展延伸】
　　一、高尔顿简介
弗朗西斯·高尔顿(Francis Galton, 1822—1911)是英国著名的统计学家、心理学家和遗传学家.他是达尔文的表弟,虽然不像达尔文那样声名显赫,但也不是无名之辈.并且,高尔顿幼年是神童,长大是才子,九十年的人生丰富多彩,是个名副其实的博学家.他涉猎范围广泛,研究水平颇深,纵观科学史,在同辈学者中能望其项背之人寥寥可数.他涉足的领域包括天文、地理、气象、机械、物理、统计、生物、遗传、医学、生理、心理等,还有与社会有关的人类学、民族学、教育学、宗教学,以及优生学、指纹学、照相术、登山术等.
在达尔文发表了《物种起源》之后,高尔顿也将研究方向转向生物及遗传学,他第一个对同卵双胞胎进行研究,论证了指纹的永久性和独特性.他从遗传的观点研究人类智力并提出“优生学”,是第一位强调把统计学方法应用到生物学中去的人.
二、高尔顿板
高尔顿设计了一个钉板实验,希望用统计的观点来解释遗传现象.
如图所示,木板上钉了数排(n排)等距排列的钉子,下一排的每个钉子恰好在上一排两个相邻钉子之间,从入口处放入若干直径略小于钉子间距的小球,
小球在下落的过程中碰到任何钉子后,都将以的概率滚向左边,的概率滚向右边,碰到下一排钉子时又是这样.如此继续下去,直到滚到底板的格子里为止.
让一个个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落过程中与层层小钉子碰撞,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内,如果球的数目相当大,它们在底板将组成近似中间高两头低,呈左右对称的图形.上面的钉板试验可绘制成如图所示的曲线,这就是我们学习过的正态曲线.
试验表明,只要小球足够多,它们在底板堆成的形状将近似于正态曲线.
三、以高尔顿板为背景的题目
由高尔顿板衍生出的题目很多,下面举一例,供赏析.
案例　高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与层层小木块碰撞,且等可能向左或向右滚下,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块,小球从通道口落下,第一次与第2层中间的小木块碰撞,以的概率向左或向右滚下,依次经过6次与小木块碰撞,最后掉入编号为1,2,…,7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽,则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.
(1)如图1,进行一次高尔顿板试验,求小球掉入5号球槽的概率.
(2)小红和小明在研究了高尔顿板后,利用高尔顿板来到社团文化节上进行营利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板,付费6元可以玩一次游戏,小球掉入m号球槽得到的奖金为ξ元,其中ξ=|16-4m|.小明改进了高尔顿板(如图2),首先将小木块减少成5层,然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时,有的概率向左,的概率向右滚下,最后掉入编号为1,2,…,5的球槽内,改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏,小球掉入n号球槽得到的奖金为η元,其中η=(n-4)2.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行,很多同学参加了游戏,你觉得小红和小明谁的盈利多 请说明理由.
【解析】　(1)记“这个小球掉入5号球槽”为事件A,掉入5号球槽,需要向右滚4次,向左滚2次,则P(A)=×2×4=.　
所以这个小球掉入5号球槽的概率为.
(2)小明的盈利多,理由如下:
小红的收益计算如下:每一次游戏中,ξ的可能取值为0,4,8,12,
则P(ξ=0)=P(m=4)=×3×3=,
P(ξ=4)=P(m=3)+P(m=5)=×2×4+×4×2=,
P(ξ=8)=P(m=2)+P(m=6)=××5+×5×=,
P(ξ=12)=P(m=1)+P(m=7)=×6+×6=,
所以ξ的分布列为
ξ 0 4 8 12
P
　　一次游戏付出的奖金E(ξ)=0×+4×+8×+12×=(元),则小红的收益为6-=(元).
小明的收益计算如下:每一次游戏中,η的可能取值为0,1,4,9,
则P(η=0)=P(n=4)=××3=,
P(η=1)=P(n=3)+P(n=5)=×2×2+×4=,
P(η=4)=P(n=2)=×3×=,
P(η=9)=P(n=1)=4=,
所以η的分布列为
η 0 1 4 9
P
　　一次游戏付出的奖金E(η)=0×+1×+4×+9×=1(元),则小明的收益为4-1=3(元).
显然,3>,所以小明的盈利多.
点评　本题以高尔顿板为背景,考查独立重复试验的概率问题以及离散型随机变量的分布列和数学期望,渗透了数学文化,意在考查考生的数据分析、数学运算以及逻辑推理的素养.解题关键是根据具体情况确定X的取值情况,然后利用二项分布的概率知识求出X取各个值时对应的概率,写出分布列,根据期望公式求出相应的期望,并解决问题.
2第3章章末小结
【知识导图】
【题型探究】
题型1 条件概率
例1　(2022年新高考全国Ⅰ卷节选)一医疗团队为了研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
　　从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”.与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
(1)证明:R=·.
(2)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(1)的结果给出R的估计值.
小结　求条件概率的主要方法:
(1)利用条件概率公式P(B|A)=;
(2)针对古典概型,可通过缩减基本事件总数求解.
本题渗透了逻辑推理、数学运算的核心素养.
题型2 独立事件的概率
例2　(2021年新高考全国Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　).
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
小结　事件A,B之间独立性的判定方法
(1)定义法:P(AB)=P(A)P(B).
(2)借助条件概率:P(B|A)=P(B)或P(A|B)=P(A).
(3)直接法:看事件A发生对事件B有无影响.
题型3 乘法公式与全概率公式
例3　已知甲袋中有3个白球,2个黑球;乙袋中有4个白球,4个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率.
小结　本题考查利用全概率公式计算事件的概率,解题的关键在于确定从甲袋取出的2个球中白球的个数,结合全概率公式进行计算,本题渗透了数据分析以及数学运算的素养.
题型4 二项分布与超几何分布的区别与联系
例4　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本测出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到如下的样本频率分布直方图.
　　
(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列;
(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.
小结　学生对“超几何分布与二项分布”这两种模型的定义不能很好地理解,一遇到“取”或“摸”的题型,就认为是超几何分布,不加分析,滥用公式,运算对象不明晰,事实上,超几何分布和二项分布确实有着密切的联系,但也有明显的区别.
超几何分布的抽取是不放回的抽取,各次抽取不独立;二项分布的抽取是有放回的抽取,各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布.
题型5 离散型随机变量的均值与方差
例5　(2022年全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
小结　求离散型随机变量的均值、方差的步骤:(1)明确随机变量的取值,以及取每个值的试验结果;(2)求出随机变量取各个值的概率;(3)列出分布列;(4)利用期望、方差公式求解.本题渗透了数据分析、数学运算的素养.
题型6 正态分布
例6　(2022年新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(22.5)=　　　　.
小结　正态分布的概率通常有以下两种求法:(1)注意“3σ原则”的应用.记住正态总体在三个区间内取值的概率.(2)注意数形结合.由于正态分布密度曲线具有对称性,体现了数形结合的重要思想,因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题.
【拓展延伸】
　　一、高尔顿简介
弗朗西斯·高尔顿(Francis Galton, 1822—1911)是英国著名的统计学家、心理学家和遗传学家.他是达尔文的表弟,虽然不像达尔文那样声名显赫,但也不是无名之辈.并且,高尔顿幼年是神童,长大是才子,九十年的人生丰富多彩,是个名副其实的博学家.他涉猎范围广泛,研究水平颇深,纵观科学史,在同辈学者中能望其项背之人寥寥可数.他涉足的领域包括天文、地理、气象、机械、物理、统计、生物、遗传、医学、生理、心理等,还有与社会有关的人类学、民族学、教育学、宗教学,以及优生学、指纹学、照相术、登山术等.
在达尔文发表了《物种起源》之后,高尔顿也将研究方向转向生物及遗传学,他第一个对同卵双胞胎进行研究,论证了指纹的永久性和独特性.他从遗传的观点研究人类智力并提出“优生学”,是第一位强调把统计学方法应用到生物学中去的人.
二、高尔顿板
高尔顿设计了一个钉板实验,希望用统计的观点来解释遗传现象.
如图所示,木板上钉了数排(n排)等距排列的钉子,下一排的每个钉子恰好在上一排两个相邻钉子之间,从入口处放入若干直径略小于钉子间距的小球,
小球在下落的过程中碰到任何钉子后,都将以的概率滚向左边,的概率滚向右边,碰到下一排钉子时又是这样.如此继续下去,直到滚到底板的格子里为止.
让一个个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落过程中与层层小钉子碰撞,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内,如果球的数目相当大,它们在底板将组成近似中间高两头低,呈左右对称的图形.上面的钉板试验可绘制成如图所示的曲线,这就是我们学习过的正态曲线.
试验表明,只要小球足够多,它们在底板堆成的形状将近似于正态曲线.
三、以高尔顿板为背景的题目
由高尔顿板衍生出的题目很多,下面举一例,供赏析.
案例　高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与层层小木块碰撞,且等可能向左或向右滚下,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块,小球从通道口落下,第一次与第2层中间的小木块碰撞,以的概率向左或向右滚下,依次经过6次与小木块碰撞,最后掉入编号为1,2,…,7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽,则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.
(1)如图1,进行一次高尔顿板试验,求小球掉入5号球槽的概率.
(2)小红和小明在研究了高尔顿板后,利用高尔顿板来到社团文化节上进行营利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板,付费6元可以玩一次游戏,小球掉入m号球槽得到的奖金为ξ元,其中ξ=|16-4m|.小明改进了高尔顿板(如图2),首先将小木块减少成5层,然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时,有的概率向左,的概率向右滚下,最后掉入编号为1,2,…,5的球槽内,改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏,小球掉入n号球槽得到的奖金为η元,其中η=(n-4)2.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行,很多同学参加了游戏,你觉得小红和小明谁的盈利多 请说明理由.
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