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八年级下册期中测试卷
考试范围：第16、17、18章
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
本试卷共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．
一．选择题（共10小题）
1．（2023春 德州期中）若二次根式有意义，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
2．（2023春 定州市期中）下列二次根式中，最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
3．（2023春 富锦市校级期中）在中，，，，则的长为　　
A．26 B．18 C．20 D．21
4．（2023秋 大丰区期中）下列各组数中，是勾股数的是　　
A．5，12，13 B．7，9，11 C．6，9，12 D．0.3，0.4，0.5
5．（2023春 南昌期中）如图，在中，，，，则的周长是　　
A．21 B．22 C．25 D．32
6．（2023秋 太原期中）如图的数轴上，点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为　　
A． B． C． D．
7．（2023秋 鹤壁期中）下列各式计算正确的是　　
A． B． C． D．
8．（2023春 昆明期中）已知，则的值为　　
A． B． C．2 D．
9．（2023春 曲靖期末）如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点，若，，则的长为　　
A． B．5 C． D．4
10．（2023春 南宁期中）如图，，于点，于点，关于下列结论：①；②；③点到的距离是线段的长度；④；⑤如果，那么．其中结论正确的序号为　　
A．①②③ B．①③⑤ C．①③④ D．②④⑤
二．填空题（共6小题）
11．（2023春 铁西区期中）若与最简二次根式可以合并，则　 　．
12．（2023春 会昌县期中）如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，请添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则添加的条件是　 　（答案不唯一，添加一个即可）．
13．（2023秋 贾汪区期中）如图，以直角的三边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则　 　．
14．（2023秋 钢城区期中）如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆端升高的高度为 　 　．
15．（2023春 汶上县期中）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如果在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为　 　．
16．（2023春 天宁区校级期中）如图，在边长为2的正方形中，点、分别是边，的中点，连接，，点、分别是，的中点，连接，则的长度为 　 　．
三．解答题（共8小题）
17．（2023秋 凤城市期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2023春 永吉县期中）如图：在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
19．（2023春 槐荫区期中）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
（1）请用文字语言叙述三角形的中位线定理：
三角形的中位线　 　于第三边，并且　 　；
（2）证明：三角形中位线定理．
已知：如图，是的中位线．
求证：　 　．
证明：
20．（2023春 玉州区期中）阅读材料，解答问题：
材料：已知，求的值，张山同学是这样解答的：，．
问题：已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
21．（2023春 花都区期中）如图，在四边形中，，过点作的角平分线交于点，连接交于点，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的周长为36，求菱形的面积．
22．（2023春 增城区期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
（1）请判断的形状？
（2）求修建的公路的长．
23．（2023秋 中牟县期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章《回顾与思考》时，李芳老师带领同学们进行如下的探究活动：如图①，是用硬纸板剪成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形．
（1）如图②，是李明拼成的示意图，请你利用图②验证勾股定理；
（2）一个零件的形状如图③，按规定这个零件中和都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：如图④所示，这个零件符合要求吗？
24．（2023春 东莞市期中）如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒1个单位的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒．
（1）若，求的长；
（2）请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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八年级下册期中测试卷
考试范围：第16、17、18章
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
本试卷共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．
一．选择题（共10小题）
1．（2023春 德州期中）若二次根式有意义，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】二次根式的被开方数．
【解析】根据题意，得
，
解得；
故选．
2．（2023春 定州市期中）下列二次根式中，最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义选择即可．
【解析】．，不符合题意；
．，不符合题意；
．是最简二次根式，符合题意；
．，不符合题意；
故选．
3．（2023春 富锦市校级期中）在中，，，，则的长为　　
A．26 B．18 C．20 D．21
【答案】
【分析】根据，可知表示斜边，、分别表示直角边；接下来，在中，利用勾股定理求斜边的长即可．
【解析】中，，，，
．
故选．
4．（2023秋 大丰区期中）下列各组数中，是勾股数的是　　
A．5，12，13 B．7，9，11 C．6，9，12 D．0.3，0.4，0.5
【答案】
【分析】根据勾股数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解析】、，是勾股数，符合题意；
、，不是勾股数，不符合题意；
、，不是勾股数，不符合题意
、，0.4，0.5不是整数、，不是勾股数，不符合题意．
故选．
5．（2023春 南昌期中）如图，在中，，，，则的周长是　　
A．21 B．22 C．25 D．32
【答案】
【分析】构建平行四边形的性质对角线互相平分，求出、即可解决问题．
【解析】四边形是平行四边形，，，
，，
，
的周长为．
故选．
6．（2023秋 太原期中）如图的数轴上，点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用勾股定理即可求得的长度，然后根据实数与数轴的关系即可求得答案．
【解析】由题意可得，，，
则，
那么点表示的实数为，
故选．
7．（2023秋 鹤壁期中）下列各式计算正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，然后对照，即可得到哪个选项是正确的．
【解析】不能合并，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确；
，故选项错误；
故选．
8．（2023春 昆明期中）已知，则的值为　　
A． B． C．2 D．
【答案】
【分析】先求出，，再把所求式子通分后整体代入求值．
【解析】，，
，，
，
故选．
9．（2023春 曲靖期末）如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点，若，，则的长为　　
A． B．5 C． D．4
【答案】
【分析】首先利用矩形的性质说明是等边三角形，得，再利用三角形中位线定理可得答案．
【解析】四边形是矩形，
，，，
，，
是等边三角形，
，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，
故选．
10．（2023春 南宁期中）如图，，于点，于点，关于下列结论：①；②；③点到的距离是线段的长度；④；⑤如果，那么．其中结论正确的序号为　　
A．①②③ B．①③⑤ C．①③④ D．②④⑤
【答案】
【分析】利用平行线的性质，垂直的定义，点到直线的距离即可进行判断．
【解析】于点，，
，
，故①正确；
和不一定平行，
和不一定相等，故②不正确；
，
点到的距离是线段的长，故③正确；
，故④不正确；
，
，
，
，
．故⑤正确．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2023春 铁西区期中）若与最简二次根式可以合并，则　2　．
【答案】2
【分析】根据二次根式的性质得出，根据同类二次根式的定义得出，再求出即可．
【解析】，
与最简二次根式可以合并，
，
解得：．
故答案为：2．
12．（2023春 会昌县期中）如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，请添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则添加的条件是　　（答案不唯一，添加一个即可）．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，添加，即可得，进而可得结论．
【解析】四边形平行四边形，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形．
故答案为：．
13．（2023秋 贾汪区期中）如图，以直角的三边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则　15　．
【答案】15
【分析】根据勾股定理，得，根据正方形的面积公式，得、、，从而得到，代入计算即可．
【解析】中，，
，
以的三边向外作正方形，其面积分别为、、，
、、，
，
，，
，
故答案为：15．
14．（2023秋 钢城区期中）如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆端升高的高度为 　米　．
【答案】米
【分析】过点作于点，由含角的直角三角形的性质得米，再由勾股定理求出的长即可．
【解析】如图过点作于点，
则，
由题意可知：米，
，
，
（米，
（米，
即栏杆端升高的高度为米，
故答案为：米．
15．（2023春 汶上县期中）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如果在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为　　．
【答案】
【分析】根据，，的值，求出的值，代入公式计算即可求出．
【解析】，，，
，
则．
故答案为：．
16．（2023春 天宁区校级期中）如图，在边长为2的正方形中，点、分别是边，的中点，连接，，点、分别是，的中点，连接，则的长度为 　　．
【答案】
【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解析】连接并延长交于，连接，
四边形是正方形，
，，，
，分别是边，的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点，分别是，的中点，
．
三．解答题（共8小题）
17．（2023秋 凤城市期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简，再合并同类二次根式得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解析】（1）
；
（2）
．
18．（2023春 永吉县期中）如图：在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【分析】在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，再由及的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，根据四边形的面积直角三角形的面积直角三角形的面积，即可求出四边形的面积．
【解析】，
为直角三角形，
又，，
根据勾股定理得：，
又，，
，，
，
为直角三角形，，
则．
故四边形的面积是36．
19．（2023春 槐荫区期中）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
（1）请用文字语言叙述三角形的中位线定理：
三角形的中位线　平行　于第三边，并且　　；
（2）证明：三角形中位线定理．
已知：如图，是的中位线．
求证：　　．
证明：
【分析】作出图形，然后写出已知、求证，延长到，使，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再求出，根据内错角相等，两直线平行判断出，然后判断出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，．
【解析】（1）定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
（2）已知：中，点、分别是、的中点，
求证：，，
证明：如图，延长到，使，连接，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
点是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
且．
故答案为：平行；等于第三边的一半；，．
20．（2023春 玉州区期中）阅读材料，解答问题：
材料：已知，求的值，张山同学是这样解答的：，．
问题：已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】（1）仿照材料，利用平方差公式进行计算即可得到答案；
（2）由（1）得到，求解即可得到答案．
【解析】（1），
又，
；
（2），，
，
，
，
解得：；
经检验，是原方程的根，
．
21．（2023春 花都区期中）如图，在四边形中，，过点作的角平分线交于点，连接交于点，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的周长为36，求菱形的面积．
【分析】（1）证四边形是平行四边形，，再证，则，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，，再求出，则，然后由勾股定理得，则，即可解决问题．
【解析】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，
，，，，
的周长为36，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
菱形的面积．
22．（2023春 增城区期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
（1）请判断的形状？
（2）求修建的公路的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形．
（2）利用的面积公式可得，，从而求出的长．
【解析】（1）是直角三角形．
，，，
，
，
，
是直角三角形．
（2），
，
．
答：修建的公路的长是．
23．（2023秋 中牟县期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章《回顾与思考》时，李芳老师带领同学们进行如下的探究活动：如图①，是用硬纸板剪成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形．
（1）如图②，是李明拼成的示意图，请你利用图②验证勾股定理；
（2）一个零件的形状如图③，按规定这个零件中和都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：如图④所示，这个零件符合要求吗？
【分析】（1）用不同方式表示出图②中正方形的面积，得到等式，整理即可验证勾股定理；
（2）根据勾股定理的逆定理验证，是否为直角即可判断这个零件是否符合要求．
【解析】（1）正方形面积可表示为：，
根据图②，正方形面积还可以表示为：，
，
即，
；
（2）在中，，
所以是直角三角形，是直角．
在中，，，
．
所以不是直角三角形，不是直角．
因此，这个零件不符合要求．
24．（2023春 东莞市期中）如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒1个单位的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒．
（1）若，求的长；
（2）请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作于，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出和是等腰直角三角形，得出，，由得出方程，解方程即可；
（2）由平行四边形的判定得出，得出方程，解方程即可．
【解析】（1）作于，设交于．如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
和是等腰直角三角形，
，，
，
，
解得：，所以；
（2）存在，或12；理由如下：
若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，
则，
或
解得：或12
存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，或12．
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