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初中数学常见辅助线做法归纳汇总
一、中点模型的构造
1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：
(1)倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形.如图1、图2所示.
(2)三角形中位线定理.
2.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.
3.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”.
4.有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如：直角三角形中斜边中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加.
二、角平分线模型的构造
与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的
四大基本模型.
已知P是 平分线上一点，
(1)若 于点A，如图1，可以过P点作 ON于点 B,则. .可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”.
(2)若点A 是射线 OM 上任意一点，如图2，可以在 ON 上截取 ,连接 PB,构造 .可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”.
(3)若 于点P，如图3，可以延长AP交ON于点B，构造 是等腰三角形，P是底边AB的中点.可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”.
(4)若过P点作 交OM于点Q,如图4,可以构造 是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”.
三、轴对称模型的构造
下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形.
(1)线段或角度存在2倍关系的，可考虑对称.
(2)有互余、互补关系的图形，可考虑对称.
(3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称.
(4)路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解.所以最短路径问题，需考虑轴对称.几何最值问题的几种题型及解题作图方法如下表所示.
问题 作法 图形 原理
在l上找一点 P, 使 PA+PB 最小 连接AB PA+PB 最小值为AB,两点之间，线段最短
在直线l上求一点 P，使AP+BP最小 作A 关于l的对称点 A',连接A'B,与l的交点即为点 P AP+BP=A'B,两点之 间，线段最短
在直线 l ,l 上分别求点 M,N, 使△PMN 周长最小 分 别 作 P关于 两直线的对称点 P' ,P",连接P'P",与两直线交点即为M,N PM+MN+PN=P'P',两点之间，线段最短
在直线l ,l 上分别求点M,N, 使四边形 PMNQ 周长最小 分别作 点 P，Q关于两直 线 l ,l 的 对 称点 P' ,Q' , 连接 P'Q',与 直线的交点 即为M,N PQ+PM+ MN+NQ=P' Q',两点之 间，线段最 短
在 直 线 l 上求两点 M， N(M在左), 使得 MN=a, 并 使 AM + MN+NB 最小 将 A 向右平移a个单位到A',作A'关于l的对称点A",连接A"B,与l交点即为点 N, 将点 N向左平移a个单位即为M AM+MN+NB=a+A"B,两点之间，线段最短
(续表)
问题 作法 图形 原理
在直线 l上求点 P,使|AP-BP|最大 连 接 BA 并延长与直 线l的交点 即为点 P |AP-BP| =|AB,三角形任意两边之差小于第三边
在直线l上求点 P,使|AP-BP|最大 作点 B关于直线l的对称点 B',作直线 AB'与l的交点即为点 P |AP-BP| =AB', 三角形任意两边之差小于第三边
在直线l上求点 P,使|PA-PB|最小 连接AB,作 AB中垂线与l的交点即为点 P |PA-PB|=|0，垂直平分线上的点与线段两端点距离相等
点 P 在 锐 角∠AOB 内部 , 在OB边上求作一点D, 在 OA 边上求作一点 C,使 PD+CD最小 作点 P关于直线 OB的 对 称 点P',过P向直线 OA 作垂线与 OB 的交点为所求点 D，垂足即为点C PD +CD 的最小值为 P'C长度.点 P到直线 OA的距离，垂线段最短
四、圆中辅助线构造
在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
1.构造等腰三角形
利用半径相等构造等腰三角形(如图).
2.见弦作弦心距
有关弦的问题，常作其弦心距(有时还须作出相应的半径)，通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的关系(如图).
3.见直径作圆周角
在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”这一特征来证明问题(如图所示).
4.见切线作半径
(1)命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题(如图所示).
(2)证切线：①有交点：连半径，证垂直
②无交点：作垂直，证半径
5.两圆相切作公切线
对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系(如图所示).
6.两圆相交作公共弦
对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来(如图所示).
7.圆心角与圆周角倒角
五、旋转图形中辅助线的做法
1.旋转中的常见题型，在解这类题目时，什么时候需要构造旋转，怎么构造旋转.下面，就不同类型的旋转问题，给出构造旋转图形的解题方法：
遇中点，旋180°，构造中心对称；
遇90°,旋90°,造垂直;
遇60°,旋60°,造等边;
遇等腰，旋顶角.
综上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转.
2.图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点实际上是倒角，下面给出旋转常用倒角，只要是旋转，必然存在这两个倒角之一.
如图1,若∠AOB=∠COD,必有∠ ,反之亦然.
如图2,若∠A=∠D,必有∠B=∠C.
小提示：倒角是在初中数学学习中常用的名词，其意思就是通过角之间的等量关系，得到我们所需要的角的关系的过程.
六、三角形问题添加辅助线方法
1.在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明.
例如:已知如图:D,E为△ABC内两点, 求证:AB+AC>BD+DE+CE.
2.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
例如：如图：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC.
3.有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.
例如：如图：已知AD为 的中线，且 求证：
4.有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形.
例如：如图：AD为 的中线，且. 求证：
5.有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形.
例如：如图：AD为 的中线，求证： 2AD.
6.在证明三角形三边不等关系时，常用截长补短法作辅助线.
例如：已知如图：在 中, P为AD上任一点.求证：
7.在证明线段相等或角相等时，常延长已知边构造三角形.利用三角形全等证明线段或角相等.
例如：如图：已知 于A, 于 B, 求证:
8.连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决.
例如：如图： 求证：
9.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长.
例如：如图：在 中, 的延长线于 E. 求证： 2CE.
10.连接已知点，构造全等三角形.
例如:已知:如图:AC,BD相交于 O点,且. DC,AC=BD, 求证:
11.取线段中点构造全等三有形.
例如：如图： 求证：
12.特殊角直角三角形.
当图形中出现30°,45°,60°,135°,150°特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用 角直角三角形三边比为 角直角三角形三边比为1:2: 进行证明.
七、平行四边形问题添加辅助线方法
平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例如下：
1.连对角线或平移对角线如图 1.
2.过顶点作对边的垂线构造直角三角形如图2.
3.连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作
一边的平行线，构造线段平行或中位线，如图3.
4. 连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形，如图 4.
5.过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等,如图5.
八、初中几何常见辅助线口诀
人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添 把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为△和 。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆形
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
注意点
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

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