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2024年中考数学复习二次函数与几何模型专题讲解
问题背景：在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A(-3, 0), B(1, 0)两点, 与y轴交于点C(0, 3).
一、线段和差问题：
(1) 点 M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作 MN∥y轴交直线AC于点N，当点M 的坐标为多少时，线段 MN有最大值，并求出其最大值：
思路点拔：设/ 则N(m, m+3)且-3∵-1<0, ∴开口向下
∴当 时，MN的最大值 此时
(2) 点M 为直线AC上方抛物线上一动点，过 M点作MN∥y轴交直线AC 于点 N，作 于点E，当点M的坐标为多少时，△MEN的周长有最大值，并求出其最大值：
变式：△MEN的面积有最大值，并求出其最大值.
思路点拔：
易证△MEN∽△AOC,
∴△MEN为等腰直角三角形，
∴当MN取最大值时, CAMEN最大
由(1) 得当 时，MN的最大值
∴C△MENE的最大值为：
(3)如图, 直线y=kx(k<0) 与该抛物线在第二象限的交点为M, 与AC交于点E, 求 的最大值；(斜线段转横平竖直线段)
思路点拔：作 轴交AC于 N, 则
∴当MN取最大值时， 最大，
由(1) 得当 时, MN 的最大值为:
的最大值为：
变式：如图，直线y=kx(k<0)与该抛物线在第二象限的交点为M，与AC交于点E，求 时点直线 y=kx的解析式.
二、面积问题：
(4) 点M 是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点 M，使 的面积最大 若存在，求出点 M的坐标；若不存在，说明理由；(铅垂法)
思路点拔: 作MN//y轴交AC于 N,
则:
∴开口向下
∴当 时,S△ACM的最大值为：
此时
方法②: (切线法)
作直线AC的平行线l，设其解析式为y=x+b，当直线l与抛物线有唯一公共点时△ACM 的面积最大，其M的位置就是其唯一公共点.
由 得,
∴x +3x+b-3=0 Δ=9-4(b-3) 由△=0得
将 代入. 解得
所以此时
(弊端：计算量较大，如果需要求面积最大值还要进行转化，因为ME这条垂线段的长度不太好求.)
变式：点M 是直线AC上方的抛物线上一动点，使△ACM 的面积为整数的点M有几个，并说明理由；(建议结合问题(6) 中的平行转化面积的方法进行解答)
(5) 点M 是直线AC下方的抛物线上一动点，是否存在点M，使 若存在，求出点M的坐标； 若不存在，说明理由；(铅垂法)
思路点拔：
作 MN∥y轴交AC于 N,
则:
解得：
(6) 点P 是抛物线的顶点，在抛物线上是否存在异于 P 点的点 Q，使 若存在，求出点Q的坐标； 若不存在，说明理由；(转化法)
思路点拔: 易求 P(-1, 4)
方法①：求出△PAC的面积为3，所以可以利用问题(4)和问题(5)中的铅垂法 求出Q点的坐标.
(注意：分点Q在AC 上方和点Q在AC下方两种情况.)
方法②：平行线转化法
① 过 P 点作AC的平行线l 交抛物线于点 Q，则 此时直线PQ的解析式: y=x+5由 求出两组解，其中一组对应P点坐标，应舍去，另一组解即为Q 点的坐标.
② 当Q在AC下方时,由平移可知: 直线l 为y=x+1解 可得 Q 、Q 的坐标.
(7) 点 M是抛物线上一动点，是否存在点M，使 若存在，求出点M 的坐标：若不存在，说明理由：(转化法或铅垂法)
思路点拔：
方法①：易求出. 的面积为 由 得 所以可以利用问题(4) 和问题(5)中的铅垂法求出 时M点的坐标.
(注意：分点 M在AC 上方和点 M在AC下方两种情况.)
方法②：平行线转化法
由 得:
∴可在x轴上取点Q(-1, 0) 或(-5, 0), 则
∴只须在抛物线上找到点M，使 即可，
∴可以利用问题(6) 中的平行线法求解，可以过Q作AC的平行线，求出与抛物线的交点坐标即可.
(8) 抛物线上是否存在点 P，使 若存在，求出点 P的坐标，若不存在，说明理由；(同侧作平行，异侧过中点)
思路点拔：
① 当点A 与点C在直线OP的同侧时，可以过O作直线l 平行于AC，直线l 与抛物线的交点即为所求的P 和P .
易求直线l 的解析式为y=x，
由 求出两组解即为P 和P 的坐标
② 当点A与点C在直线OP的异侧时，OP一定过AC的中点M，易得直线OM 的解析式为y=-x
由 求出两组解即为P 和P 的坐标
变式：
如图，已知点 H(1，0)，在抛物线上是否存在点 G，使得 若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.
三、特殊三角形问题：
(9) 点P为直线AC上方的抛物线上一动点，过P 点作 PE垂直于x轴于E，交AC于点F，当△CPF为等腰直角三角形时，求P点的坐标.
思路点拔：
因为∠PFC=45°, 所以分∠FCP=90°和∠FPC=90°两类考虑.
① 当∠FCP=90°时, 易得直线PC的解析式为: y=-x+3
由 求出两组解 舍去)
∴P (-1,4)
② 当∠FPC=90°时, 易得∠FCP=45°, 所以CP∥x轴
由对称性可知：
综上：P (-1,4), P (-2,3)
变式：点P为直线AC上方的抛物线上一动点，过P 点作 PE垂直于x轴于 E，交AC于点 F，当△CPF为等腰三角形时，求P 点的坐标.
思路点拔：
若 PF=PC,则∠PCF=∠PFC=45°, 所以PC平行于x轴, 由抛物线的对称性易得 P点的坐标;若 CP=CF, 易得. 所以.
解得: m=0(舍去), m=-1
若QP=FC, 易得
解得: m=0(舍去), 从而求出P点的坐标。
(10) 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q 使 是等腰三角形 若存在，求出点Q的坐标； 若不存在，说明理由；(等腰三角形：两圆一线)
几何法：先利用“两圆一线”画出Q 点的位置，再利用勾股定理、三线合一或相似三角形求点Q 的坐标.(具体方法可参考等腰三角形模型之单动点平行四边形存在性问题微课)
解析法：
设点 Q的坐标为 则:
又
① 当 时，有 所以：
解得：
经检验, m=6时, Q、 C、B 三个点在同一直线上, 应舍去:
② 当QC=QB时,有( 所以：
解得：
③ 当QB = BC 时,有 所以：
解得：
所以，点Q的坐标为
(11) 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为直角三角形；若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；(直角三角形：两线一圆)
思路点拔：
方法①:
①当∠ACQ=90°时,过C点作AC的垂线交对称轴于点 Q;
利用等腰直角三角形或三垂直结构易求(
②当∠CAQ=90°时,过A点作AC的垂线交对称轴于点 Q; 同理可求(
③当∠AQC=90°时，以AC为直径作一个圆与对称轴交于两点，
则这两点分别为Q 、Q ，利用勾股定理或相似易求Q 、Q 的坐标.
方法②:
设点Q 的坐标为(-1, m), 则:
又
①当∠ACQ=90°时,
②当∠CAQ=90°时,
③ 当∠AQC=90°时,
五、相似与角度问题：
(17)点Q是抛物线上一动点，过点Q作 QE 垂直于x轴，垂足为E. 是否存在点Q，使以点A、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
思路点拔：
方法①：(先函数，后几何)
设 所以有
由相似的分类讨论得： 或
所以： 或
(注意：分子可以分解因式，或直接利用交点式y=-(x+3)(x-1)设Q 点的坐标)
方法②：(先几何，后函数)
由相似的分类讨论得： 或 利用直线中k的几何意义，
从而求出直线AQ 的解析式可以是
再利用直AQ的解析式与二次函数的解析式y=-(x+3)(x-1)，联立可求对应的Q点的坐标.
AQ的解析式还可以是 或y=3x+9或y=-3x-9
小技巧：
①可利用因式分析简化计算，用二次函数的交点式；
②还可利用韦达定理求Q点的坐标.
(18) 点P为抛物线的顶点，作 PH⊥AB于H，Q是为x轴上方的抛物线上一动点(点 Q 与点 P不重合),过Q点作QM⊥AP 于 M,当△QMP 与△APH 相似时,求点Q的坐标;
思路点拔：
(a) 当△QMP∽△PHA时, 如图1, 易得∠MPQ=∠HAP,
延长 PQ交x轴于T, 所以有等腰△ATP,设T的坐标为(t, 0),
利用相似或勾股定理可求T点的坐标为(2，0)，从而求出直线 PQ 的解析式为 再利用 求出Q 点的坐标；可以利用 得 再利用韦达定理可得 从而得
(b) 当△QMP∽△AHP 时, 如图2,
方法①：可以利用∠QPM=∠APH，构造三垂直相似求 R点的坐标，
从而求出R(-5, 1), 可得 RP的解析式为
再利用 求出Q点的坐标；
方法②: 利用∠QPM=∠APH, 可证 PT垂直于 PQ ,利用相似(或射影定理) 可求T点的坐标，从而可得 PQ的解析式为 再利用 求出Q 点的坐标；
方法③: 利用∠QPM=∠APH, 可证 PT 垂直于 PQ ,利用互相垂直的两条直线 求 PQ的解析式为 再利用 求出Q点的坐标.
(19) 抛物线上是否存在的点Q，使∠QBC=45°，若存在，求出Q点的坐标； 若不存在，说明理由；思路点拔：
利用45°角的常见思路是构造等腰直角三角形，再利用弦图去解决问题.
如图，构造等腰直角三角 MBC，过M和C分别作x轴和y轴的垂线交于点N，易得 从而求出点M的坐标为(-3，2)，再求BM 的解析式为
再利用 求Q点坐标.
注意：①可用前面的小技巧简化计算；
②若 则α+β=45°,若 则
(20) 抛物线上是否存在的点Q, 使∠QCA+∠OCB=45°,若存在, 求出Q点的坐标; 若不存在, 说明理由；
思路点拔：
将角度和转化为等角去完成
①先在 AC的下方找∠QCA(如图), 作B关于x轴的对称点B', 则
∴∠OCB'=∠OCB,可得
故点 Q 即为直线B'C 与抛物线的另一个交点，直线B'C 的解析式为y=3x+3,
解 可得Q 的坐标；
②将B'C 沿AC对称可得直线 B"C的解析式为
解 可得Q 的坐标；
小技巧：
求满足条件的点的坐标时，可以先找出点所在的线，即点的运动范围，很多时候都是先找到与轴的交点来确定线，然后根据函数图象求交点的方法去求点的坐标.
(21) 抛物线的对称轴与x轴交于点E，在对称轴上是否存在一点Q，使∠AQE=2∠BCO，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由：
变式：在对称轴上是否存在一点P，使∠APB=∠BCO，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
思路点拔：
方法①: 构造∠AQE的一半
如图①,在对称轴上找到一个点 M,使∠AME=∠BCO,易得M(-1, 6), 再在ME上找到点Q, 使AQ=MQ, 则∠AQE=2∠AME=2∠BCO;利用相似或勾股定理易求点Q 的坐标为 沿x轴对称可以得到Q 坐标为
方法②: 构造∠BCO 的两倍
如图②,在CO上找到一个点N, 使 CN=BN, 则. 可以利用相似或勾股定理求 N点坐标 所以只需在对称轴上找一个点Q，使 即可，利用相似或三角函数可求点 Q 的坐标为 沿x轴对称可以得到Q 坐标为
(22) M为线段AB上一动点，过点M作MN∥AC交 BC于点N，当点M的坐标为多少时△ACM∽△CMN;
思路点拔：
方法①:由MN∥AC得∠ACM=∠CMN,所以当 时,△ACM∽△CMN,所以( 设M(m,0), 由 得
所以
由Rt△CMO得:
解得： (舍去),
方法②:
由MN∥AC得∠ACM=∠CMN, 所以当∠MCN=∠CAM时, 所以将相似问题转化成了45°角的问题. 利用等腰直角△CRB 易求R(-2，-1)，从而求出直线 CR的解析式，再求M点的坐标.
变式：M为线段AB 上一动点，过点 M作. 交BC 于点 N, 求 的面积的最大值及此时点 M的坐标，并判断此时△ACM与 是否相似
(24) 点Q是抛物线上一动点，点M为抛物线对称轴上一动点，当以A、O、M、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求出点 Q的坐标；
思路点拔：
(a)当 时，可得Q的横坐标为-4，代入二次函数解析式可以求出 Q 点的纵坐标；
(b)当 时，可得Q的横坐标为2，代入二次函数解析式可以求出 Q 点的纵坐标；
(c) 当MQ为对角线时，取AO的中点I，则I的坐标为 易得Q点的横坐标为-2，代入二次函数解析式可以求出 Q点的纵坐标.
(25) 点 M 为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形 若存在，求出点Q的坐标； 若不存在，说明理由；
思路点拔：
(a) 当AC为平行四边形的一边时，
方法①:
易得 M点的纵坐标分别为3或-3，代入二次函数解析式 可求M点的坐标(舍去点C)，再根据平移法则可求 Q点的坐标；
方法②:
设Q(t,0), 根据平移法则易得M(t+3, 3)或(t-3, -3), 将M点坐标代入 解出t的值，从而得到Q点的坐标；(计算时可以利用整体思想先算出t+3、t-3的值，再求t的值)
(b) 当AC为平行四边形的对角线时，
方法①: (通法)
设Q(t, 0), 由中点坐标公式得 M点的纵坐标为(-3-t, 3), 代入 解出t的值，从而得到Q点的坐标；
方法②:
当AC为平行四边形的对角线时,有 CM∥AQ, 所以AQ=CM=2, 所以Q(-1,0)故满足条件的Q点有4个.(答案略)
(26) P 为抛物线的对称轴上一动点，点 Q在坐标平面内，若以B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，求Q点的坐标； 以B、C、P、Q为顶点的四边形能为正方形吗 若能，请直接写出此时Q点和P点的坐标；(矩形存在性问题转化成直角三角形存在性问题)
思路点拔：
先确定矩形的一半：直角三角形，再利用单动点的平行四边形存在性问题的套路和方法确定Q点的坐标. 确定直角三角形时采用直角三角形存在性问题的“两线一圆”去完成，充分利用三垂直相似或构股定理构造方程求解
(a) 作CP垂直于 CB交对称轴于点 P, 作 CM 垂直于对称轴于M,易证△CMP∽△COB从而求出 P点的坐标，再利用平移法则或中点坐标公式确定Q点的坐标；
(b)作BP垂直于 BC交对称轴于点 P,易得△BEP∽△COB,易求P点的坐标,同理求 Q点的坐标;
(c)当∠CPB=90°时, 如图, 易得△BEP∽△PMC, 设 P(-1, m), 则 解得: m=1或2(可以以BC为直径画圆看圆与对称轴交点的个数)，再求Q点的坐标
综上，满足条件的Q点有4个(计算略)
显然, 当m=1时,△BEP≌△PMC, 易得矩形CPBQ为正方形, 此时P(-1, 1), Q(2, 2)
(27)点P为抛物线上一动点，以AP为边按顺时针方向作如图所示的正方形APMN，当点M 或N落在y轴上时求P 点的坐标.
思路点拔：
设
(a)当M落在y轴上时,如图1,△PEA≌△MFP, 可得PE=MF, 所以 (两个结果根据P 点位置舍去一个正值)
(b) 当N落在y轴上时, 如图2,△PEA≌△AON, 可得 PE=AO=3, 所以 解得m=-2或0(经验证两个结果都满足题意，m=0如图3)
(c) 当M落在y轴上时,如图4,△PEA≌△MFP, 可得 PE=MF, 所以 (两个结果根据P 点位置舍去一个负值)
注意：(c)中的方程其实和第一个方程完全相同，但根据图形中线段与坐标之间的关系求解后应舍去负值，所以满足条件的P点共有4个.
(28) Q为直线AC上一动点，点 P在坐标平面内，若以A、O、P、Q为顶点的四边形为菱形，求P点的坐标；(菱形存在性问题转化为等腰三角形存在性问题)
思路点拔：
菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题，此题属于单动点的等腰三角形的存在性问题，可以利用“两圆一线”去找点，利用相似，勾股定理等求出Q点的坐标，再利用平移法则或沿底边对称得到点 P.
(a)以A为圆心，AO的长为半径画圆，交直线AC于点Q ，Q ，易求Q ，Q 的坐标，再利用平移法则或对称性得到对应的 P 点坐标；
(b)以O为圆心，OA的长为半径画圆，交直线AC于点Q ，显然Q 与点C 重合，易求对应P点的坐标；
(c)当AC为底边时，易得QA=AO，所以可以作AO的垂直平分线交AC于点 Q，再对称求出 P点的坐标.
综上，满足条件的Q点和P点各有4 个.
(29) 点P 是抛物线上一动点,点M是y轴上一点, 点Q 是直线AC上一点, 当以C、Q、P、M为顶点的四边形为菱形时，求点P的坐标；
变式：点 P 是抛物线上一动点，点M 是坐标平面内一点，过P作y轴的平行线交直线AC于点 Q当以C、Q、P、M为顶点的四边形为菱形时，求点P的坐标；
思路点拔：
菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题，此题中的等腰三角形属于双动点的等腰三角形存在性问题，需要根据P 点位置分三个区域进行分类讨论，再根据对底边和腰长进行分类，动点P、Q的分析往定点 C转移. 设
(a) 当点P在AC上方时,易得∠PQC=45°(定角)
①若PQ=PC, 则∠PCQ=∠PQC=45°,所以PC平行于x轴,由抛物线的对称性易得P点的坐标，沿底边 QC 对称易得 M 点的位置；
②若QP=QC, 易得 易得
解得: m=0(舍去),
③若CP=CQ, 易得 所以 解得: m=0(舍去), (这种情况中的P点也可根据CP垂直于AC来求，其实这时的P正好是抛物线的顶点)
(b) 当点P在A点左侧时，易得 (定角)
所以只有 QP=QC这一种情况，易得
解得： (舍去),
(这种情况可以和第②种情况可归结为一类，列方程时加绝对值即可)
(c) 当点P在 C 点右侧时, 为钝角，所以只可能 ,而∠PQC=45°≠∠CPQ,所以这种情况不存在. (具体解析可参考)
七、几何变换问题
(30) D为抛物线的顶点，P为线段AD上一动点，PE垂直于y轴于E，把 沿直线EA折叠，点P 的对应点为P'，当 P'落在坐标轴上时，求此时 P点的坐标；
思路点拔：
(1) 当P'落在y轴上时, 易得∠AEP'=45°,所以OE=OA=3,此时E点与C 点重合
(2)当 落在x轴上时，易得四边形APEP'为菱形，
方法①: 易求直线AD 的解析式为y=2x+6,可设P(m, 2m+6),则( 由 可得： 所以：
方法②：先用 设 则
解出a，代入P点坐标 求解.
变式：D为抛物线的顶点，P为线段AD上一动点，PE垂直于y轴于E，作 PF垂直于x轴于F，当矩形PEOF的面积取最大值时，连接EF，把 沿直线 EF 折叠, 点 P的对应点为P', 求出 P'的坐标，并判断P'是否在该抛物线上.
思路点拔：
易求直线AD的解析式为. 可设
易求当 时，矩形的面积最大，此时 P点的坐标为 此时E与 C 重合
可得 利用三垂直相似模型可求 '点的坐标，再代入抛物线解析式检查是否在此抛物线上.
(31)将该抛物线位于x轴上方的部分沿x轴翻折，其余保持不变，得到一个形如M的新图象记作M，请你结合新图象回答，当直线y=x+n与图象 M有两个公共点时，求n的取值范围；
思路点拔：
利用对称性易求对称后的抛物线的解析式为
①当直线y=x+n过A 点时,可求n=3, 此时直线y=x+n与图象M有唯一公共点;当直线y=x+n过B点时, 可求n=-1, 此时直线y=x+n与图象M有三个公共点;
∴当-1②当直线y=x+n继续往下运动，运动到与抛物线
有唯一公共点(类似于相切) 时，此时直线y=x+n与图象 M有三个公共点；
由 得 由△=0解得
∴当 时，直线y=x+n与图象M有两个公共点；
综上所述：当直线y=x+n与图象 M有两个公共点时，
有-1(32) 过C的直线l绕着点C 旋转，在旋转过程中与抛物线的另一交点为P，当点B到直线l的距离最大时求 P 点的坐标并直接写出其最大距离：
思路点拔：
此题难度不大，主要考查几何最值模型中的垂线段最短(斜边大于直角边)，如图，可得BN≤BC，所以当直线l旋转到使BC垂直于l时，此时点 BN有最大值等于 BC=3，
方法①:
利用两直线的垂直位置关系，易求直线l的解析式为
解方程组 得 P 点坐标;(舍去x=0)
方法②：设P 点坐标 过 P作 PH垂直于 OC，利用相似三角形可求P 点坐标.

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