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第六章实数
1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
4．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
5．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
6．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
7．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
8．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
9．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
一、单选题
1．6的算术平方根是（ ）
A．3 B．± C．36 D．
2．若a为实数，则下列式子中一定是负数的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法中，错误的是（ ）
A．4的算术平方根是2 B．的平方根是±3
C．121的平方根是±11 D．－1的平方根是±1
4．下面语句的描述中，说法正确的是（ ）
A．的立方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的立方根是
5．实数、、、﹣π、0、0.101001 中，无理数个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
8．在，0，﹣π，，0.3，﹣中，无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．是（ ）
A．无理数 B．负分数 C．负整数 D．整数
10．下列说法：①-3是9的平方根；②125的立方根是±5；③-16的平方根是±4；④0没有算术平方根．其中，正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．任意实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对72进行如下操作：72→[]＝8→[]＝2→[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地：对数字900进行了n次操作后变为1，那么n的值为 ．
12．如果的立方根是，则的平方根为 ．
13．若，且n是正整数，则 ．
14．如果一个非负数的平方根是和，则这个非负数为 ．
15．把下列各数的序号写入相应的集合中：①，②，③，④，⑤8，⑥，⑦0，⑧，⑨，⑩（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）．
整数集合{_______．．．}；无理数集合{_______．．．}．
16．在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，﹣π中，最小的数是 ，最大的数是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．计算
（1） （2）
（3） （4）| 1- |+|-|+|-1 |
19．对于有理数a、b，定义运算：a b＝a×b＋|a|﹣b．
（1）计算5 4的值；
（2）填空：3 （﹣2）　 　（﹣2） 3（填“＞”或“＝”或“＜”）
（3）计算（－1） [（﹣2） 3]
20．已知，，求的值.
解：根据算术平方根的定义，
由，得，所以①……第一步
根据立方根的定义，
由，得②……第二步
由①②解得……第三步
把代入中，得……第四步
（1）以上解题过程存在错误，请指出错在哪些步骤，并说明错误的原因；
（2）把正确解答过程写出来.
21．计算：．
22．我们知道是无理数，其整数部分是1，于是小明用－1来表示的小数部分．
请解答下列问题：
（1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a＋b－的值；
（3）已知10＋＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x－y的相反数．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】一个正数的平方等于a，那么这个正数就叫做a的算术平方根，用表示，根据算术平方根的定义即可判断.
【详解】解：6的算术平方根为.
故选：D
【点睛】本题考查了算术平方根，正确理解算术平方根的定义，掌握算术平方根的求解方法是解题的关键.
2．B
【分析】根据任何数的平方、算术平方根、绝对值是非负数，即可作出判断．
【详解】解：A、当时，，故选项不符合题意；
B、当a为实数时，，故选项符合题意；
C、当时，，故选项不符合题意；
D、当时，，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了非负数，初中范围内的非负数有三个：任何数的平方，绝对值以及算术平方根．
3．D
【分析】根据平方根和算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】解：A、4的算术平方根是2，正确，与要求不符；
B、 =9，9的平方根是±3，正确，与要求不符；
C、121的平方根是±11，正确，与要求不符；
D、负数没有平方根，故D错误，与要求相符．
故选D．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．C
【分析】根据立方根的定义的定义，对各选项分析判断．
【详解】解：A、的立方根是4，故错误；
B、的立方根是2，故错误；
C、的立方根是，故正确；
D、的立方根是，故错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了立方根的定义，注意任何数都有立方根．
5．C
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，逐个数分析即可.
【详解】解：是有理数、是有理数、是无理数、﹣π是无理数、0是有理数、0.101001 是无理数.
∴有3个无理数，
故选：C.
【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式，①开方开不尽的数，；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如2.01001000100001 2.01001000100001 （0的个数一次多一个）.
6．B
【分析】直接利用数轴判断出原点的位置和各数的符号，依次进行判断即可．
【详解】解：因为，
所以a与b互为相反数，
所以0位于实数a与实数b的正中间，如图所示；
由绝对值的定义可知，，故A选项错误，不符合题意；
由，，所以，故B选项正确，符合题意；
由，所以，故C选项错误，不符合题意；
由a与b互为相反数，所以，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值、相反数、实数的加法法则等内容，解题的关键是牢记相关概念，正确判断各数的符号．
7．C
【分析】根据算术平方根的定义，即可求解．
【详解】解：的算术平方根是．
故选：C
【点睛】本题主要考查了求算术平方根，熟练掌握一个正数有两个平方根，其中正的平方根是这个数正数的算术平方根是解题的关键．
8．B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；﹣π是无理数；是开方开不尽的数，属于无理数；0.3是小数，属于有理数；是整数，属于有理数；
无理数有：﹣π，，共2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根以及无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
9．A
【分析】是开方开不尽的数，根据无理数的定义，可知是无理数．
【详解】解：∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，
∴是无理数，
故选A．
【点睛】本题考查无理数的判断，掌握无理数的定义及常见的无理数是解题的关键．无理数是指无限不循环小数，常见的无理数包括：含的数，开方开不尽的数等．
10．A
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义分别判断．
【详解】解：①-3是9的平方根，故正确；
②125的立方根是5，故错误；
③-16没有平方根，故错误；
④0的算术平方根为0，故错误；
故选A．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，解题的关键是掌握各自的定义．
11．4．
【分析】根据题意，计算即可判断n的值.
【详解】900→第一次[]＝30→第二次[]＝5→第三次[]＝2→第四次[]＝1，
即对数字900进行了4次操作后变为1，即n的值为4．
故答案为4．
【点睛】此题考查的是新定义类问题和算术平方根，掌握新定义类问题的定义和求一个数的算术平方根的整数部分是解决此题的关键.
12．±4
【分析】根据3 6x的立方根为 3可求出x的值，继而可求出代数式2x＋6的值，也可求出2x＋6的平方根．
【详解】解：由题意得，3 6x＝ 27，
解得：x＝5，
∴2x＋6＝16，
16的平方根为：±4．
故答案为：±4．
【点睛】此题考查了平方根及立方根的知识，属于基础题，解答本题的关键是根据立方根的知识求出x的值，另外要注意掌握一个正数的平方根有两个，不要漏解．
13．3
【详解】∵9<15<16，
∴3，
∴n=3.
故答案为3.
14．9
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a，进而求解．
【详解】因为一个非负数的平方根是2a﹣1和a﹣5，
(2a﹣1)+(a﹣5)＝0，
解得，a＝2，
所以2a﹣1＝3，32＝9，
所以这个非负数是9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查平方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
15．②⑤⑦；④⑧⑩
【分析】无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．
【详解】解：
∴整数有： 、、
无理数有：、、
故答案为：②⑤⑦；④⑧⑩
【点睛】本题考查了实数的分类．掌握无理数的定义是解题关键．
16． －π
【分析】根据实数比较大小的方法求解即可．
【详解】解：∵，，，且，
∴，
又∵|﹣3.14|＝3.14＞0，
∴，
∴最小的数是－π，最大的数是，
故答案为：－π，．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟知正实数都大于零，零大于一切负实数，两个负实数相比，绝对值大的反而小是解题的关键．
17．3
【分析】根据立方根与平方根的意义以及绝对值的意义计算．
【详解】解：
=
=
【点睛】本题考查了实数的混合运算运算，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．
18．(1) -3;(2) 0;(3); (4)+-2.
【详解】原式利用二次根式性质，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
(1)原式=2+15-20=-3；
(2)原式=2-2=0；
(3)原式=2+2-=；
(4)原式=+-2．
“点睛”本题涉及二次根式化简、绝对值、开平分、开立方4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据运算法则求得计算结果．
19．（1）21；（2）＞；（3）15
【分析】（1）根据 的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出5 4的值是多少即可；
（2）首先根据 的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出3 （-2）、（-2） 3的值各是多少，然后比较大小即可；
（3）根据a b=a×b-a-b-2，先求出（﹣2） 3=-7，再求出（-1） （-7）的值即可解答本题．
【详解】解：（1）5 4
=5×4+|5|-4
=20+5-4
=21；
（2）3 （-2）
=3×（-2）+|3|-（-2）
=-6+3+2
=-1，
（-2） 3
=（-2）×3+|-2|-3
=-6+2-3
=-7
∵-1＞-7，
∴3 （-2）＞（-2） 3．
故答案为：＞；
（3）（－1） [（﹣2） 3]
=（-1） [（﹣2）×3+|-2|-3]
=（-1） （-7）
=（-1）×（-7）+|-1|-(-7)
=15．
【点睛】本题考查有理数的混合运算．解决此题的关键是能将题述计算化为一般计算．
20．（1）错误在第一步和第四步，理由见解析；（2）当时，无解当时，
【分析】（1）根据算术平方根的定义可知错误步骤及原因；
（2）可由算术平方根和立方根的定义求出x,y的值代入求解即可，其中x的值有两个.
【详解】解：（1）错误在第一步和第四步
第一步错误原因：∵1的平方根是，∴
第四步错误原因：当时，无解
（2）解：根据算术平方根的定义，由，得，所以，根据立方根的定义，由，得，，解得
，解得
∴当时，无解
当时，
【点睛】本题考查了平方根和立方根，正确理解平方根和立方根的定义和性质是解题的关键.
21．
【分析】先计算乘方，并化简绝对值，再合并，即可求解．
【详解】解：原式．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
22．（1）3，；（2）1；（3）
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）估算出的小数部分为a，的整数部分为b，即可确定出a＋b的值；
（3）根据题意确定出x与y的值，求出x－y的相反数即可．
【详解】（1），
的整数部分为3，小数部分为；
（2），
的整数部分为2，小数部分为，
，
，
的整数部分为3，
，
；
（3），
的整数部分为1，小数部分为，
10＋＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，
，
的相反数是：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
答案第1页，共2页

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