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§8-1-3 功的求解
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contents
平均值法
01
02
图像法
03
微元法
04
转换对象法
05
功率法
【热点概述】
功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=Fscosα,只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，但高考中变力做功问题也是经常考查的一类题目。
现结合例题分析变力做功的五种求解方法。
平均值法
01
平均值法
01
方法 介绍 当力的方向不变，而大小随位移线性变化时，可先求出力的算术平均值，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解
解题 关键 采用本法解题的关键是正确判断力与位移是否成线性关系，只有力与位移成线性关系时，才可应用此法
【典例】如图所示，放在水平地面上的木块与一劲度系数k＝200 N/m的轻质弹簧相连，现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.2 m，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.4 m，求上述过程中拉力所做的功。
【变式1】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比．已知铁锤第一次使铁钉进入木板的深度为d，接着敲第二锤，如果铁锤第二次敲铁钉时对铁钉做的功与第一次相同，那么，第二次使铁钉进入木板的深度为(　)
图像法
02
图像法
02
方法 介绍 功表示力的作用效果在一段位移上的累积效应，如果力F随位移l的变化关系明确，初末位置清楚，那么就可以在平面直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移l，作出F-l图像（如图所示），则图线与横坐标轴所围成的面积在数值上等于力对物体做功的大小。
解题 关键 采用本法的解题关键是能把抽象复杂的物理过
程有针对性地表示成物理图像，正确将物理量
间的代数关系转变为几何关系，由此达到化难
为易、化繁为简的目的 。
在F x图像中，图线与x轴所围的“面积”的代数和表示F做的功。“面积”有正负，在x轴上方的“面积”为正，在x轴下方的“面积”为负．如图甲、乙所示，这与运动学中由v-t图像求位移的原理相同。
关键点拨
Fcosα—l 图像法（一般简称“图像法”或“F—l 图像法 ”）
O
F
l
O
F
l
O
F
l
适用条件：一般适用于方向不变，大小相对位移成线性变化的变力。
（大小非线性变化也可以表示，只是中学阶段可能不能求出具体数值）
O
l
F
f
F
O
l
F
【例题4】一个物体所受的力F 随位移 l 变化的图像如图所示,在这一过程中,力F对物体做的功为 (　　 )
A.3 J B.6 J C.7 J D.8 J
B
【解析】力F对物体做的功等于l轴上方梯形“面积”所表示的正功与l轴下方三角形“面积”所表示的负功的代数和。
W1= ×(3+4)×2 J=7 J,
W2=- ×(5-4)×2 J=-1 J,
所以力F对物体做的功为W=7 J-1 J=6 J,
选项B正确。
【变式】如图1所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F的大小随物块所在位置坐标x的变化关系如图2所示，图线为半圆。则小物块运动到x0处时F所做的总功为（　　 ）
A．0 B． Fmx0 C． Fmx0 D．
C
微元法
03
微元法
03
方法 介绍 将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。此法在中学阶段常应用于求解力的大小不变、方向改变的变力做功问题。
解题 关键 采用本法解题的关键是树立化整为零的微分思想，明确当把位移细分为无穷小时，力的方向与位移的方向在一条直线上，从而可直接应用恒力做功的公式求出这一小段上力做的功，进而求出一大段路程上的总功。
微元法（无限分割法）
当力的大小不变,力的方向时刻与速度同向(或反向)时,把物体的运动过程分为很多小段,这样每一小段可以看成直线,先求力在每一小段上的功，再求和即可。过程无限分小后， 可认为每小段是恒力做功。
（1）适用对象：力的大小不变，方向变化且始终与运动方向相同或相反。
（2）在曲线运动或往复运动中，滑动摩擦力、空气阻力等变力的功是力对路程的积累。
【例题】用水平拉力拉着物块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图所示，已知物块与轨道间的动摩擦因数为μ，物块质量为m，求此过程中摩擦力做的功。
Wf = – fΔs1+ （– fΔs2 ）+（– fΔs3 ）+（– fΔs4 ）+（– fΔs5）+……
= – f（ Δs1+Δs2+Δs3+Δs4 +Δs5+…… ）
= – μmg2πR
解：摩擦力的方向时刻在变，是变力做功的问题，不能直接由功的公式计算，采用微元法解，将圆分成很多很多小段，在这些小段中，力可以看作恒力，于是：
【例题】如图所示，在西部的偏远山区，人们至今还通过“驴拉磨”的方式把小麦颗粒加工成粗面来食用。假设驴拉磨的平均拉力大小为300 N，驴做圆周运动的等效半径r=1.5m，则驴拉磨转动一周所做的功约为（　 　）
A．0 B．300J C．1400J D．2800J
D
【变式】（多选）如图所示，半径为R的孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度v在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为μ，设从开始运动的一周内小球从A到B和从B到A的过程中摩擦力对小球做功分别为W1和W2，在这一周内摩擦力做的总功为W3，则下列关系式正确的是（　 　）
A．W3=0 B．W3=W1+W2
C．W1=W2 D．W1>W2
BD
做曲线运动的物体，当力的大小不变,力的方向时刻与速度同向(或反向)时,把物体的运动过程分为很多小段,这样每一小段可以看成直线,先求力在每一小段上做的功,再求和即可。用微元累积法的关键是如何选择恰当的微元，如何对微元作恰当的物理和数学处理。
例如,滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反,可把运动过程细分,其中每一小段都是恒力做功,整个运动过程中所做的总功是各个阶段所做功的和,即力与路程的乘积。
关键点拨
拓展一
【经典例题】如图所示，质量为m的小车以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动，已知小车与竖直圆轨道间的摩擦因数为μ，试求小车从轨道最低点运动到最高点的过程中，克服摩擦力做的功。
转换对象法
04
转换对象法
04
方法 介绍 直接求解变力做功时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可转化为恒力做功，可以用W=Fscosα求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
解题 关键 采用本法解题的关键是根据题设情景，发现将变力转化为恒力的等效替代关系，然后再根据几何知识求出恒力的位移大小，从而求出变力所做的功。
【典例】如图，用恒力F通过跨过光滑定滑轮的轻绳，将静止于水平面上的物体从位置A拉到位置B，物体和滑轮的大小均忽略，定滑轮距水平面高为h，物体在位置A、B时，细绳与水平面的夹角分别为α和β，求绳的拉力F对物体做的功。
【分析】设绳对物体的拉力为FT，显然人对绳的拉力F等于FT ， FT在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题．但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。功是能量转化的量度，轻绳不存储能量，恒力F 做功通过绳子将能量转移到物体上，故此恒力F做功应该等于绳子对物体做的功。
h
A
B
F
拉力F的作用点的位移大小为
绳的拉力对物体所做功为
【变式】人在A点拉着绳通过一个光滑定滑轮以加速度a匀加速吊起质量为m的物体，如图所示，保持人手与滑轮间的竖直距离不变，大小为h,开始时绳与水平方向成 600 角，当人拉着绳由A点沿水平方向运动到B点时，绳与水平方向成300 角，求人对绳的拉力做了多少功？（不计摩擦）
h
【分析】对m：
功率法
05
功率法
05
方法 介绍 涉及到机车的启动、吊车吊物体等问题，如果在某个过程中保持功率P恒定，随着机车或物体速度的改变，牵引力也改变，要求该过程中牵引力的功，可以通过W=Pt求变力做功。
解题 关键 明确机车运动中的状态，如果在某个过程中保持功率P恒定，此时就可以确定做功的方式除W=FS外还有W=Pt，此时的重点就是要明确做功这段时间的初末状态。
【典例】一台抽水机每秒能把30kg的水抽到10m高的水塔上，这台抽水机输出的功率至少多大？如果保持这一输出功率，半小时内能做多少功？
解：
这台抽水机的输出功率：
它半小时能够做功：
【变式】（多选）为了获取某款车的有关数据，某次试车过程中，试车员驾驶汽车从静止开始沿平直公路启动，并控制汽车功率按图示规律变化。已知汽车的质量为m，额定功率为P0，汽车在行驶过程中所受阻力恒为车重的K倍，在t2时刻汽车刚好获得最大速度。则下列说法正确的是（　 　）
A．在t1~t2时间内汽车做匀速直线运动
B．在0~t1时间内汽车平均功率为
C．在0~t2时间内汽车发动机所做的功为
D．在t2时刻汽车的运动速度为
BD
典例分析
06
【例题】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1 cm，问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）
分析：本题考查对功概念的理解能力及理论联系实际抽象建立模型的能力，铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=-f=kx.此题可以用平均力法解答，也可以用图象法解答。
感谢您的耐心聆听
I'd like to finish by saying how grateful I am for your attention.

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