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专题4 平面向量的数量积及其应用
知识点一．平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
知识点二．数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；②；③．
知识点三．数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．④．⑤．
知识点四．数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要 条件
的充要 条件
与 的关系 （当且仅当时等号成立）
题型一：平面向量的数量积运算
例1．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据数量积得运算律计算即可.
【详解】由，
所以，则.
故选：C
例2．（2024上·河南周口·高三项城市第一级中学校联考期末）已知向量在向量上的投影向量，且，则 .
【答案】
【分析】由题意设，结合，求出，再根据投影向量的定义，列式计算，即可求得答案.
【详解】由题意知向量在向量上的投影向量为，
设，由，得，
故，即，
故，
故答案为：
变式1．（2024上·山东青岛·高三统考期末）在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】A
【分析】利用中点坐标公式以及向量的坐标表示进行数量积运算.
【详解】由题意，
则，，
.
故选：A
变式2．（2022·全国·模拟预测）已知，则夹角的余弦值为 .
【答案】
【分析】直接运用向量的坐标运算公式即可.
【详解】由题意得，，
.
故答案为：
题型二：夹角
例3．（2023·全国·重庆市育才中学校联考模拟预测）已知向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得，得到，即可求解.
【详解】由向量，可得，所以，
所以与的夹角为.
故选：C.
例4．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，则向量与夹角的余弦值为 ．
【答案】/
【分析】由向量加法以及向量夹角余弦的坐标公式运算即可得解.
【详解】由题意得，则向量与夹角的余弦值.
故答案为：.
变式3．（2023下·新疆喀什·高一统考期中）已知向量，，则与的夹角为 .
【答案】
【分析】利用向量夹角的公式，代入计算，即可求解.
【详解】由题意设与的夹角为，，
所以，解得.
故答案为：.
变式24．（2023·四川成都·统考一模）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
题型三：模长
例5．（2024上·全国·高三校联考竞赛）平面向量，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
【答案】B
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及模的坐标表示即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：B
例6．（2022下·广东广州·高一广州市第八十六中学校考期末）已知向量，，若，则（ ）
A．5 B． C． D．10
【答案】B
【分析】根据向量垂直、向量减法、向量的模的坐标运算公式计算.
【详解】因为向量，，若，
所以，得，
所以，，
所以，
所以.
故选：B
变式5．（2024上·广东·高三统考期末）已知向量，，且，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】由求出，从而可求解.
【详解】由，，所以，
因为，所以，得，
所以，故A正确.
故选：A.
变式6．（2023下·山东淄博·高一统考期末）已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】利用投影向量的定义求出该向量，再求出模作答.
【详解】向量，，则是单位向量，且，
因此在上的投影向量为，其模为1.
故选：C
题型四：投影与投影向量
例7．（2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习）已知，，则在上的投影向量的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据射影向量的定义及向量的数量积、模运算即可.
【详解】在方向上的投影向量为．
故答案为：
例8．（2024上·江苏扬州·高三统考期末）已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合向量的数量积的坐标运算，根据投影向量的定义，即可求得答案.
【详解】由题意知平面向量，
故在上的投影向量为，
故选：B
变式7．（2024上·山东青岛·高三青岛二中校考期末）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量在向量上的投影向量公式：计算即得.
【详解】根据平面向量的投影向量的规定可得: 向量在向量上的投影向量为：，即，
因，则，，则向量在向量上的投影向量为：.
故选：D.
变式8．（2023上·安徽安庆·高三安庆市第九中学校考阶段练习）已知向量，则在上的投影向量的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据向量的坐标运算可得，进而结合投影向量的定义运算求解.
【详解】由题意可得：，
所以在上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
题型五：平行与垂直
例9．（2023下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）已知向量，且，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】借助向量垂直，则数量积为计算即可得.
【详解】，由，可得，
即有，解得.
故答案为：.
例10．（2016·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）已知向量，，若与平行，则m的值是 ．
【答案】/
【分析】根据平面向量的坐标运算与向量平行的坐标表示列出方程求出m的值．
【详解】∵向量，，∴，
又与平行，
∴，解得.
故答案为：．
变式9．（2022上·河南·高三专题练习）已知向量，且，则 ．
【答案】
【分析】根据向量的坐标运算求出向量的坐标，根据向量垂直的坐标表示，列式计算，即可求得答案.
【详解】由题意知，
得，
因为，所以，解得，
故答案为：
变式10．（2023下·四川绵阳·高一校考阶段练习）已知向量，，且，则实数m的值为 .
【答案】
【分析】根据向量平行的坐标公式，即可求解.
【详解】因为，所以，得.
故答案为：
题型六：平面向量的综合应用
例11．（2023上·江苏南京·高二统考期中）已知向量,，，则向量最大夹角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】设，根据得到满足关系式，然后利用向量夹角公式算出夹角余弦的表达式，利用一元二次方程的判别式算出的取值范围，进而算出向量最大夹角的余弦值.
【详解】根据题意设，可得，
所以，
设向量夹角为，
则，
设，得，代入，
整理得，
由，得，
即，
解得，
则当时，有最大值，
此时有最小值，
由于，可知最小时角最大，所以最大夹角的余弦值为.
故答案为:.
例12．（2024·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．2
【答案】A
【分析】设且，建立直角坐标系，得到，求得，得到，结合基本不等式和函数上的单调性，即可求解.
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设且，
因为，可得，
则，
所以，
又因为向量满足，可得，解得，
所以，
，
则，
设，因为，当且仅当，
所以，
又因为在上为单调递增函数，
所以，即的最小值为.
故选：A.
变式11．（2023下·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）向量，且，则 ．
【答案】/0.8
【分析】根据给定条件，结合数量积的运算律可得，再建立平面直角坐标系，利用坐标求解夹角的余弦作答.
【详解】由，得，即，而，则，即，
以的方向分别为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图，
则，于是，有，
所以.
故答案为：
变式2．（2022下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国，各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF（如图②）．已知正六边形ABCDEF的边长为2，若点P是线段EC上的动点（包括端点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正六边形的对称性，考虑以其中心为原点建系，求得相关点坐标，设出点坐标，利用表示出，通过向量坐标运算推得，运用二次函数的值域即可求得的取值范围.
【详解】
如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点，方向为轴正方向，建立直角坐标系.
因正六边形边长为2，故得：,
设点，, 则得：，故，
于是， ，
则：，
因，故得：，即：.
故选：A.
1．（2024上·青海西宁·高三统考期末）已知向量，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】根据向量运算的坐标表示求得正确答案.
【详解】.
故选：A
2．（2024上·云南·高三校联考阶段练习）已知向量，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量夹角的坐标表示计算．
【详解】因为，则，
所以.
故选：D．
3．（2022·全国·校联考模拟预测）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求得，结合，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，，可得，
因为，可得，解得，所以.
故选：C.
4．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）设，向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用投影向量的概念求得的表达式，再利用二次函数的性质求解最小值.
【详解】向量在向量上的投影向量为，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
5．（2023上·海南省直辖县级单位·高二校考期末）（多选题）已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
【答案】ABC
【分析】根据向量平行的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可判断C；由向量与向量的夹角为钝角，可得且不共线，进而可判断D.
【详解】对于A，若，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，，
则，
当时，，故C正确；
对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，
所以且不共线，
由，得，
由得，
所以的取值范围为，故D错误.
故选：ABC.
7．（2024上·陕西汉中·高二统考期末）已知正方体的棱长为与相交于点，则的值为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量坐标公式求解.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，
因为易知O为中点，所以，
所以，，
所以
故答案为：
8．（2023下·高一课时练习）若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由已知得且与不共线，列出不等式组，求解即可．
【详解】因为与的夹角为锐角，
所以且与不共线，即，解得且，
所以的取值范围是，
故答案为：．
9．（2022上·江苏连云港·高三江苏省赣榆高级中学校考阶段练习）已知向量，，若，则 ．
【答案】
【分析】由向量平行的坐标表示可得，再应用向量模长的坐标计算求.
【详解】由得：，可得，
所以，则.
故答案为：
10．（2024上·辽宁·高三校联考期末）向量，，若，则 .
【答案】6
【分析】由已知，可得，根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】由已知，所以，
可得，解得.
故答案为：6.专题4 平面向量的数量积及其应用
知识点一．平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
知识点二．数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；②；③．
知识点三．数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．④．⑤．
知识点四．数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要 条件
的充要 条件
与 的关系 （当且仅当时等号成立）
题型一：平面向量的数量积运算
例1．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
例2．（2024上·河南周口·高三项城市第一级中学校联考期末）已知向量在向量上的投影向量，且，则 .
变式1．（2024上·山东青岛·高三统考期末）在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
变式2．（2022·全国·模拟预测）已知，则夹角的余弦值为 .
题型二：夹角
例3．（2023·全国·重庆市育才中学校联考模拟预测）已知向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，则向量与夹角的余弦值为 ．
变式3．（2023下·新疆喀什·高一统考期中）已知向量，，则与的夹角为 .
变式24．（2023·四川成都·统考一模）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：模长
例5．（2024上·全国·高三校联考竞赛）平面向量，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
例6．（2022下·广东广州·高一广州市第八十六中学校考期末）已知向量，，若，则（ ）
A．5 B． C． D．10
变式5．（2024上·广东·高三统考期末）已知向量，，且，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
变式6．（2023下·山东淄博·高一统考期末）已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ）
A．2 B． C．1 D．
题型四：投影与投影向量
例7．（2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习）已知，，则在上的投影向量的坐标为 ．
例8．（2024上·江苏扬州·高三统考期末）已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
变式7．（2024上·山东青岛·高三青岛二中校考期末）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
变式8．（2023上·安徽安庆·高三安庆市第九中学校考阶段练习）已知向量，则在上的投影向量的坐标为 ．
题型五：平行与垂直
例9．（2023下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）已知向量，且，则实数的值为 ．
例10．（2016·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）已知向量，，若与平行，则m的值是 ．
变式9．（2022上·河南·高三专题练习）已知向量，且，则 ．
变式10．（2023下·四川绵阳·高一校考阶段练习）已知向量，，且，则实数m的值为 .
题型六：平面向量的综合应用
例11．（2023上·江苏南京·高二统考期中）已知向量,，，则向量最大夹角的余弦值为 ．
例12．（2024·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．2
变式11．（2023下·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）向量，且，则 ．
变式2．（2022下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国，各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF（如图②）．已知正六边形ABCDEF的边长为2，若点P是线段EC上的动点（包括端点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024上·青海西宁·高三统考期末）已知向量，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2024上·云南·高三校联考阶段练习）已知向量，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·校联考模拟预测）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）设，向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·海南省直辖县级单位·高二校考期末）（多选题）已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
7．（2024上·陕西汉中·高二统考期末）已知正方体的棱长为与相交于点，则的值为 ．
8．（2023下·高一课时练习）若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 ．
9．（2022上·江苏连云港·高三江苏省赣榆高级中学校考阶段练习）已知向量，，若，则 ．
10．（2024上·辽宁·高三校联考期末）向量，，若，则 .

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