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专题6 复数
知识点一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．
重难点题型一：复数的概念
例1．（2024上·云南大理·高二统考期末）已知复数，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数虚部的概念即可得解.
【详解】由题意复数的虚部为.
故选：C.
例2．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．1或6 C． D．1
【答案】D
【分析】根据实部为零，虚部不为零列式计算.
【详解】由题意可得：且，则.
故选：D.
例3．（2023·上海崇明·统考一模）若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为 ．
【答案】2
【分析】由复数的概念列方程组求解即可.
【详解】由于复数（为虚数单位）是纯虚数，所以，
解得，
故答案为：2.
例4．（2023上·北京海淀·高三中央民族大学附属中学校考阶段练习）复数的虚部是（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】根据复数的虚部的定义即可得解.
【详解】复数的虚部是.
故选：D.
重难点题型二：复数的加法与减法
例5．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）复数，，其中，为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A． B． C．6 D．7
【答案】A
【分析】由复数运算和分类可解.
【详解】由题意，，
因为为实数，为纯虚数，
所以，得，
所以.
故选：A.
例6.（2023下·西藏林芝·高二校考期末）若复数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数加法的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由复数，则.
故选：A.
例7.（2023下·四川成都·高二校联考期中） .
【答案】#
【分析】由复数的减法运算可得答案.
【详解】.
故答案为：．
例8.（2023·北京·高三统考学业考试）已知复数，，则 ．
【答案】/
【分析】利用复数的加法法则即可求解.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：.
重难点题型三：复数的乘法与除法
例9．（2024下·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考开学考试）已知复数，则为（ ）
A．i B． C．7 D．1
【答案】B
【分析】根据复数的乘法和除法法则，求得，以及其共轭复数，进而作差求解即可.
【详解】，，．
故选：B．
例10．（2024下·陕西安康·高三统考开学考试）已知复数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由复数除法运算法则结合共轭复数概念可得答案.
【详解】，则.
故选：B
例11．（2024上·天津·高三校联考期末）设，则的共轭复数为 ．
【答案】
【分析】由复数的运算化简z,再求共轭复数.
【详解】因为
故.
故答案为：.
例12．（2024·浙江台州·统考一模）若（为虚数单位），则 ．
【答案】/
【分析】根据复数模的计算公式计算可得.
【详解】因为，所以.
故答案为：
重难点题型四：复数的几何意义
例13．（2023下·湖南邵阳·高一统考期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先将复数化为一般形式，结合的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案.
【详解】
又，故
故该复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：
例14．（2024下·安徽·高三校联考阶段练习）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算求得得答案.
【详解】，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B
例15．（2022下·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，从而得到的坐标，由此得解.
【详解】因为，
所以，
则复数的在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D.
例16．（2023下·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）若复数z满足，则z的虚部是
【答案】
【分析】应用复数的减法运算求复数，即可确定其虚部.
【详解】由题设，故虚部为.
故答案为：
重难点题型五：复数的共轭复数
例17．（2022上·河南·高三专题练习）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算，先求复数，再求它的共轭复数.
【详解】因为，所以．
故选：D
例18．16．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）设为虚数单位，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算求，进而可得共轭复数.
【详解】由题意可得：，
所以.
故选：D.
例19．（2024上·云南·高三校联考阶段练习）（多选题）若复数，则（ ）
A．的共轭复数 B．
C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ABD
【分析】首先化简复数，再根据复数的相关概念，即可判断选项.
【详解】，则，故正确；
，故正确；复数的虚部为，故错误；
复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故正确.
故选：ABD
例20．（2023·全国·模拟预测）若复数，则（ ）
A．5 B． C．25 D．
【答案】A
【分析】由共轭复数的定义和复数的减法，先求出，再利用模长公式计算.
【详解】由，有，则，
所以，
故选：A．
重难点题型六：复数的模
例21．（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）已知复数，则 ．
【答案】
【分析】根据复数的加法、复数的模计算即可.
【详解】，
，
.
故答案为：
例22．（2021下·陕西渭南·高二校考阶段练习）设复数，满足，则 .
【答案】2
【分析】设，，，根据复数模的计算公式计算可得．
【详解】设，，，由已知得：
，，，
则，
，
则
故答案为：．
例23．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）若复数，则
【答案】
【分析】先求出复数，再求出求从而可求解.
【详解】因为，所以．
故答案为：.
例24．（2023下·上海闵行·高一统考期末）若复数，则 .
【答案】
【分析】先求，再根据复数的模长的定义直接进行计算即可.
【详解】∵复数，则，∴.
故答案为：.
重难点题型七：复数的三角形式
例25．（2022下·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期末）将复数化为三角形式： ．
【答案】
【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可.
【详解】解：复数中，，设为复数的辐角主值，
又
所以.
故答案为：.
例26．（2023下·广东广州·高一校考期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）
A． B．为实数
C． D．复数对应的点位于第三象限
【答案】C
【分析】利用复数的欧拉公式可判断AB选项；利用欧拉公式以及复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断C选项；利用欧拉公式以及复数的几何意义可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，为纯虚数，B错；
对于C选项，因为，
因此，，C对；
对于D选项，，则，，
所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限，D错.
故选：C.
重难点题型八：复数的综合问题
例27．（2024上·江西宜春·高三上高二中校考阶段练习）（多选题）设为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．若，则复平面内对应的点位于第二象限
C． D．若，则的最大值为2
【答案】ABD
【分析】利用复数的四则运算，复数模的性质逐个选项分析即可.
【详解】对于A，设，故，则，，故成立，故A正确，
对于B，，，显然复平面内对应的点位于第二象限，故B正确，
对于C，易知，，当时，，故C错误，
对于D，若，则，而，易得当时，最大，此时，故D正确.
故选：ABD
例28．（2022上·湖南长沙·高一周南中学校考期末）（多选题）已知i为虚数单位， ， .则下列选项中正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．在复数范围内为方程的根
【答案】ABD
【分析】对于A，结合复数模公式即可判断；对于B，结合共轭复数的定义即可判断；对于C，结合虚数不能比较大小即可判断；对于D，求解方程的根即可判断．
【详解】对于A：∵ ， .
∴，故A正确.
对于B： ，故B正确.
对于C：虚数不能比较大小，故C错误.
对于D：由求根公式可知的两个根为 ， ，D正确．
故选：ABD．
重难点题型九：复数的最值问题
例29．（2023下·河南郑州·高一校联考期中）已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】设复数在复平面内对应的点为，由复数的几何意义可知点的轨迹为，则问题转化为上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解．
【详解】设复数在复平面内对应的点为，
因为复数满足，
所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，
所以在复平面内点的轨迹为，
又表示点到点的距离，
所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值，
当为时，到定点的距离最小，最小值为1，
所以的最小值为1，
故选：A．
例30．（2017·北京·高三强基计划）已知复数z满足是实数，则的最小值等于（ ）
A． B． C．1 D．前三个答案都不对
【答案】D
【分析】利用复数的三角形式可求复数的模为或幅角为0，故可求的最小值.
【详解】设z的模为r，辐角为，则，
因此或．
情形一 当时，z所表示的点在实轴上运动，；
情形二 当时，z所表示的点在圆上运动，进而的模的最小值为．
故所求的最小值是．
故选：D
例31．（2022下·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）已知设，则，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】先求得复数实部与虚部的关系，再去求的最小值即可解决.
【详解】由，可得，可令，
则
（为锐角，且）
由，可得
则的最小值为3.
故选：A
例32．（2022·高一课时练习）在复平面内，为原点，若点对应的复数满足，则点的集合构成的图形是（ ）
A．直线 B．线段 C．圆 D．单位圆以及圆的内部
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义确定点的轨迹即可.
【详解】设点的坐标为，则点对应的复数为，
因为，由复数的几何意义可知，，
所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆及其内部，
即点的轨迹为单位圆以及圆的内部.
故选：D
1．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）复数，，其中，为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A． B． C．6 D．7
【答案】A
【分析】由复数运算和分类可解.
【详解】由题意，，
因为为实数，为纯虚数，
所以，得，
所以.
故选：A.
2．（2023·全国·模拟预测）已知复数的共轭复数是，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，然后代入化简，再结合复数相等的条件可求出，从而可求出复数.
【详解】设，则，
所以，即，
所以， 解得，
因此，
故选：C．
3．（2023下·陕西商洛·高一统考期末）若复数，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的减法运算，即可得答案.
【详解】因为 ，，所以，
故选：A
4．（2024上·河北邢台·高三统考期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算以及共轭复数的概念即可得解.
【详解】因为，所以.
故选：C.
5．（2024上·山东日照·高二统考期末）已知复数满足（其中是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的除法化简可化简复数.
【详解】因为，则.
故选：B.
6．（2023上·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接计算得到，再计算共轭复数得到答案.
【详解】，故.
故选：A.
7．（2024上·云南德宏·高三统考期末）（多选题）已知是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若，则的最小值为1
【答案】CD
【分析】结合复数的四则运算，共轭复数的定义及复数模长的公式可判断A；结合特殊值法可判断B；结合复数模长的性质可判断C；结合复数的几何意义可判断D.
【详解】对于A，设，则，但，故A错误；
对于B，令，满足，故B错误；
对于C，设，则所以，则，所以，故C正确；
对于D，设，则，
即，表示以为圆心，半径为1的圆，
表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确.
故选：CD
8．（2023下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）已知复数满足，则 .
【答案】
【分析】根据的两个方程，消去即可.
【详解】由题意得，所以.
故答案为：
9．（2023下·河北唐山·高一校联考期中）若复数，，，其中，为实数，则 .
【答案】
【分析】先根据，其中，为实数，利用复数相等求得x，y求解.
【详解】解：因为数，，，其中，为实数，
所以，解得 ，
则，，
所以，
故答案为：
10．（2022·全国·高三专题练习）若复数满足，则 ．
【答案】
【分析】利用复数的除法运算即可得解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
11．（2024上·全国·高三统考竞赛）设，则 ．
【答案】10
【分析】由复数四则运算以及模的运算公式即可求解.
【详解】由题意，所以.
故答案为：10.
12．（2024上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知是虚数单位，复数 ．
【答案】
【分析】根据复数的除法运算法则化简求解即可.
【详解】.
故答案为：.
13．（2024上·天津和平·高三统考期末）为虚数单位，复数满足，则的虚部为 ．
【答案】
【分析】根据复数的乘除法运算法则进行运算，继而可得到答案.
【详解】因为，
所以，
所以复数的虚部为，
故答案为：.
14．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）若复数z满足（i为虚数单位），则 ．
【答案】
【分析】根据复数除法运算结合复数模的公式即可得到答案.
【详解】由题意得，
则，
故答案为：.
15．（2023上·福建莆田·高二莆田第五中学校考阶段练习）已知复数(为虚数单位)，则的模等于 .
【答案】
【分析】根据的运算性质以及复数的乘法运算法则求解出，然后根据模长公式求解出结果.
【详解】因为，
所以，
故答案为：.
16．（2021·高一课时练习）复数的三角形式是 ．
【答案】
【分析】直接利用辅助角公式计算得到答案.
【详解】.
故答案为：.
17．（2022下·上海虹口·高一校考期末）在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据复数的几何意义，由，分析得关于原点对称，所以确定，再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题.
【详解】解：因为复数对应的点为
且则可确定点在以O为圆心，2为半径的圆上
又，所以为圆的直径，即关于原点对称
所以
因为
所以
又，，
则
所以
即的最大值为，所以的最大值为.
故答案为：.专题6 复数
知识点一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．
重难点题型一：复数的概念
例1．（2024上·云南大理·高二统考期末）已知复数，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
、
例2．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．1或6 C． D．1
例3．（2023·上海崇明·统考一模）若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为 ．
例4．（2023上·北京海淀·高三中央民族大学附属中学校考阶段练习）复数的虚部是（ ）
A．1 B． C．3 D．
重难点题型二：复数的加法与减法
例5．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）复数，，其中，为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A． B． C．6 D．7
例6.（2023下·西藏林芝·高二校考期末）若复数，则 （ ）
A． B． C． D．
例7.（2023下·四川成都·高二校联考期中） .
例8.（2023·北京·高三统考学业考试）已知复数，，则 ．
重难点题型三：复数的乘法与除法
例9．（2024下·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考开学考试）已知复数，则为（ ）
A．i B． C．7 D．1
例10．（2024下·陕西安康·高三统考开学考试）已知复数，则 （ ）
A． B． C． D．
例11．（2024上·天津·高三校联考期末）设，则的共轭复数为 ．
例12．（2024·浙江台州·统考一模）若（为虚数单位），则 ．
重难点题型四：复数的几何意义
例13．（2023下·湖南邵阳·高一统考期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例14．（2024下·安徽·高三校联考阶段练习）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例15．（2022下·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例16．（2023下·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）若复数z满足，则z的虚部是
重难点题型五：复数的共轭复数
例17．（2022上·河南·高三专题练习）设，则（ ）
A． B． C． D．
例18．16．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）设为虚数单位，且，则（ ）
A． B． C． D．
例19．（2024上·云南·高三校联考阶段练习）（多选题）若复数，则（ ）
A．的共轭复数 B．
C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第四象限
例20．（2023·全国·模拟预测）若复数，则（ ）
A．5 B． C．25 D．
重难点题型六：复数的模
例21．（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）已知复数，则 ．
例22．（2021下·陕西渭南·高二校考阶段练习）设复数，满足，则 .
例23．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）若复数，则
例24．（2023下·上海闵行·高一统考期末）若复数，则 .
重难点题型七：复数的三角形式
例25．（2022下·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期末）将复数化为三角形式： ．
例26．（2023下·广东广州·高一校考期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）
A． B．为实数
C． D．复数对应的点位于第三象限
重难点题型八：复数的综合问题
例27．（2024上·江西宜春·高三上高二中校考阶段练习）（多选题）设为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．若，则复平面内对应的点位于第二象限
C． D．若，则的最大值为2
例28．（2022上·湖南长沙·高一周南中学校考期末）（多选题）已知i为虚数单位， ， .则下列选项中正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．在复数范围内为方程的根
重难点题型九：复数的最值问题
例29．（2023下·河南郑州·高一校联考期中）已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
例30．（2017·北京·高三强基计划）已知复数z满足是实数，则的最小值等于（ ）
A． B． C．1 D．前三个答案都不对
例31．（2022下·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）已知设，则，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例32．（2022·高一课时练习）在复平面内，为原点，若点对应的复数满足，则点的集合构成的图形是（ ）
A．直线 B．线段 C．圆 D．单位圆以及圆的内部
1．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）复数，，其中，为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A． B． C．6 D．7
2．（2023·全国·模拟预测）已知复数的共轭复数是，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·陕西商洛·高一统考期末）若复数，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024上·河北邢台·高三统考期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·山东日照·高二统考期末）已知复数满足（其中是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024上·云南德宏·高三统考期末）（多选题）已知是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若，则的最小值为1
8．（2023下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）已知复数满足，则 .
9．（2023下·河北唐山·高一校联考期中）若复数，，，其中，为实数，则 .
10．（2022·全国·高三专题练习）若复数满足，则 ．
11．（2024上·全国·高三统考竞赛）设，则 ．
12．（2024上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知是虚数单位，复数 ．
13．（2024上·天津和平·高三统考期末）为虚数单位，复数满足，则的虚部为 ．
14．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）若复数z满足（i为虚数单位），则 ．
15．（2023上·福建莆田·高二莆田第五中学校考阶段练习）已知复数(为虚数单位)，则的模等于 .
16．（2021·高一课时练习）复数的三角形式是 ．
17．（2022下·上海虹口·高一校考期末）在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为 .

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