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专题14 曲线与抛物线公切问题
【2024年广东2月份联考14】．若圆与抛物线在公共点处有相同的切线，且与轴切于的焦点，则______．
设圆心与切点，表示圆的标准方程，利用抛物线的切线斜率、圆的切线性质及点在圆上建立方程组，求解切点、圆心与半径及，解等腰三角形即可.
由题意可知，抛物线的焦点为，准线l为，
不妨令在第一象限，，则圆C的半径，
设，则圆C的方程为，
由，则，所以抛物线在点B处的切线m的斜率，
因为圆C与抛物线在公共点B处有相同的切线，
所以直线CB与m垂直，所以，则①，
又点B在圆C上，所以，则②，
所以，
整理可得，解得或（舍去），
所以，所以，
所以．
故答案为：．
设圆心表示圆的标准方程，利用三角换元设切点，利用抛物线的切线斜率、圆的切线性质及点在抛物线上建立方程组，求解，得切线倾斜角解等腰三角形即可.
依题意不妨设圆心，C、B位于第一象限，，则圆C：．
由点B在圆C上，设点，其中，
则．
由得．
由直线BC与曲线在点B处的切线l垂直得，
即①，
又B在抛物线上，∴②，
由①、②得，
即，
∴．
直线BC的斜率为，其倾斜角为120°．
又直线轴，∴．
1．如图，平面直角坐标系中，，，圆Q过坐标原点O且与圆L外切．若抛物线与圆L，圆Q均恰有一个公共点，则p＝ ．
（2023·全国·高二专题练习）
2．已知直线与抛物线及曲线均相切，切点分别为，若，则
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．##0.5
【分析】由两圆关系确定圆L的方程，根据抛物线与圆L恰有一个公共点且，利用导数几何意义写出该点处曲线的公切线方程，结合直线与公切线垂直关系、与公切线的距离列方程组求m值，进而可求p.
【详解】由题设，圆Q为，显然与有一个公共点，
而，由圆Q与圆L外切，则圆L的半径为，
所以圆L为，
要使与圆L恰有一个公共点且，
抛物线可得：，故过的公切线方程为，
所以，而，则，
由，即①，
又L到切线的距离为②，
联立①②并整理得：，
易知：，则.
故答案为：
2．4
【分析】设直线：，分别与和联立，根据判别式等于，求出的坐标，再根据可求出结果.
【详解】显然直线的斜率存在，设直线：，
联立，消去得，
则且，即，代入，得，
得，得，则，则.
联立，消去得，
则，且，即，
将代入，得，
得，得，又，所以，则，则，
由，得，解得，所以或，
当时，不合题意，舍去；
当时，.
综上所述：.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：利用判别式等于求出的坐标是解题关键.
答案第1页，共2页
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