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专题
1排列组合中的计数问题
【排列组合】
在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军” “八女投江”等，因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”.如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8，这样的数称为“英雄数”（比如1223，，就是一个“英雄数”），则所有的“英雄数”有个（用数字回答）
【方法名称】分类求解
【思路分析】根据四位数的“英雄数”中含0的个数进行分类求解
法一：根据题意，8个相同的小球排成一排，8个小球两两之间不包括头尾共有7个空位中，
若四位数的“英雄数”中不含0，则需要在这7个空位中随机安排3个挡板，可以将小球分为4组每两个挡板之间的小球的数目依次对应四位数的千 百 十 个位数字，共有个，
若四位数的“英雄数”中只有一个0，则需要在这7个空位中随机安排2个挡板，可以将小球分成个数不为0的3组，0可以作为百 十 个位其中一位上的数字，此时共有个，
若四位数的“英雄数”中有两个0，则需要在这7个空位中随机安排1个挡板，可以将小球分成个数不为0的2组，0可以作为百 十 个位其中两位上的数字，此时共有个，
若四位数的“英雄数”中有3个0，则只能是8000，只有一种情况，
综上：共有个“英雄数”.
故答案为：120.
法二：情况1：当千位为8时，只有1种情况，8000
情况2：当千位为7时，后面3个数位随机一位是1，有种
情况3：当千位为6时，可固定1位数字为2，有种；可固定1位为0，有种
∴故有种
情况4：当千位为5时，可为5111，所以有1种，可固定一个数位是3，有种，也可每个数位都不同，有种（对3个空全排列），∴共有种
情况5：当千位为4时，可固定一个数字为4，其余为0，有种，可固定一位为0，其余为2，有种，可固定一位为2，其余为1，有种，也可不固定，共有种，∴共有15种
情况6：当千位为3时，可固定一位为5，其余为0，为种，可固定一位为3，两位为1，有种，可固定一位为1，其余为2，有种
可排014三数在百十个位上，有种，也可排023，同理有种，∴共有21种
情况7：当千位为2时，固定一位为6，其余为0，为种，固定一位为0，其余为3，有种，固定一位为4，其余为1，有种，也可为2222，有一种，
同上可将百十个位上排为015，有种，将百十个位上排为024，有种，将百十个位上排为123，有种，∴此种有28种
情况8：当千位为1时，固定一位为7，其余为0，为种，固定一位为5，其余为1，为种，固定一位为1，其余为3，为种，固定一位为3，其余为2，为种，固定一位为7，其余为0，为种，百十个位上可为016，有种，百十个位上可为025，有种，百十个位上可为034，有种，百十个位上可为124，有种，∴此种情况有36种，
∴共有120种情况
【举一反三】
1．有5张卡片，每张卡片的正反两面分别标有两个数字，且第张卡片上的两个数字分别为和．用这五张卡片排成一排，一共可以组成 个不同的五位数（用数字作答）．
2．某高中学校在新学期增设了“传统文化” “数学文化” “综合实践” “科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有 种.（用数字作答）
【方法名称】转化为加隔板法
【思路分析】先把8看作8个1，再依次插入隔板得四位数，最后除顺序数得解.
法一：设四位数为，（其中），则.
由于，，可以为0，∴原式化为，
∴，，，均不为0，构造换型，11个小球之间有10个空隙，插入3个隔板，即，每一种隔板对应一个数
法二：先把8看作8个1，第一次在八个空（首位1前空去掉）插入一个隔板，有8种方法；第二次在九个空（首位1前空去掉）插入一个隔板，有9种方法；第三次在十个空（首位1前空去掉）插入一个隔板，有10种方法；由于隔板无差别，所以除以顺序数，即共有种“英雄数”，
故答案为：120
【举一反三】
3．把6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每个人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有 种．（用数字作答）
4．有本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数为 （用数字作答）．
5．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有 种不同的染色方案.
6．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 .
7．关于，，的方程（其中，，）的解共有 组．
8．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为 （用数字作答）
9．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有 种.（用数字作答）
10．甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有 种．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．3456
【分析】先分析每张卡片上数字，再分类讨论，利用排列组合数及两个计数原理求解.
【详解】第1张卡片上的两个数字分别为0和1；第2张卡片上的两个数字分别为2和3；
第3张卡片上的两个数字分别为4和5；第2张卡片上的两个数字分别为6和7；
第5张卡片上的两个数字分别为8和9，
若第1张卡片上选数字0，则可以组成不同的五位数的个数为；
若第1张卡片上选数字1，则可以组成不同的五位数的个数为；
由一共可以组成不同的五位数的个数为.
故答案为：3456.
2．36
【分析】分两类：所选课程恰有一门相同和没有相同，利用排列、组合分别求出每类的种数，再利用分类计数原理即可求出结果.
【详解】当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时：
相同的课程为“数学文化”时，有种，
相同的课程不是“数学文化”时，有种，
所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有种，
当小明和小华两位同学所选的课程没有相同时，有,
所以，两位同学不同的选课方案有，
故答案为：36
3．144
【分析】根据题意分2步进行：①先将票分为符合条件的4份，有2个人各一张，2个人各2张；②再将分好的4份全排列，对应到4个人，即可得答案.
【详解】解：根据题意，可分为两步进行：
①先将票分为符合条件的4份，4人分6张票，且每人至少一张，至多两张，
则有2个人各一张，2个人各2张，且分得的票必须连号，相当于将1，2，3，4，5，6这6个数字用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号，
即在其中的5个空隙中插入3个板子，其有种情况；
其中出现3张三连号的有：123，4，5，6；1，234，5，6；1，2，345，6；1，2，3，456；共4种情况，不满足题意，
所以有10-4=6种情况；
②再将分好的4份全排列，对应到4个人，有种情况，
由分步计数原理可得，共有种不同的分法.
故答案为：144
4．
【分析】
由题意可知，只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可，结合隔板法可得结果.
【详解】将本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，
只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可，
所以，不同的分法种数为种.
故答案为：.
5．96
【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即同色，同色，同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即，，三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和．
【详解】解：要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，
即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；
第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法．
由分类加法原理得总的染色种数为种．
故答案为：96．
【点睛】本题考查了排列、组合、及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，明确相邻的两区域不能染相同的颜色，属于中档题．
6．240.
【分析】先把5本书取出两本看做一个元素，这一元素和其他的三个元素分给四个同学，相当于在四个位置全排列，根据分步乘法计数原理即可得出结果.
【详解】从5本书中取出两本看做一个元素共有种不同的取法，
这一元素与其他三个元素分给四个同学共有种不同的分法，
根据分步乘法计数原理，共有种不同的分法.
故答案为240
【点睛】本题主要考查了排列组合的综合应用，分步乘法计数原理，属于中档题.
7．15
【分析】将7分解成为7个1，将这些1分为三组，每一组都不为0，则1的个数分别代表，，的值.
【详解】将7分解成为7个1，现在将7个1分为三组，每一组都有1，则分组方式为，
即关于，，的方程（其中，，）的解共有15组.
故答案为：15.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于理解本题的实质是组合问题，将问题转化为熟悉的模型，利用隔板法即可求解.
8．
【分析】通过先分析个位数字的可能，再排列十位和千位即得答案.
【详解】根据题意，个位数字是1,3,5共有3种可能，由于还剩下4个数字，排列两个位置
故可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为,故答案为36.
【点睛】本题主要考查排列组合相关知识，难度不大.
9．180
【分析】由派遣8名干部分成两个小组，每组至少3人，可得分组的方案有3、5和4、4两类，分别求得两类分法的种数，再由分类计数原理，即可求解．
【详解】由题意，派遣8名干部分成两个小组，每组至少3人，可得分组的方案有3、5和4、4两类，第一类有种；第二类有种，
由分类计数原理，可得共有种不同的方案.
【点睛】本题主要考查了分类计数原理，及排列、组合的应用，其中解答中根据题意合理分组，分别求得两组分法的种数，再由分类计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
10．50
【分析】因为E工作只有乙能完成，所以分为两类，①乙只完成E工作②乙不止完成E工作，再利用两个原理及排列组合的知识即可求得
【详解】由题意可分为两类
（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有种安排方式
（2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有
种安排方式
综上共有种安排方式
故答案为：50
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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