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专题 13 双曲线中含特殊角的离心率问题
【2023年江西省“三新”协同教研共同体高三联考数学】已知双曲线的两个焦点为，为上一点，，则的离心率为______.
角度一、取上一点构造相似，得出黄金三角形的边长关系结合双曲线定义计算即可；角度二、设与轴交点为，连接，利用等腰三角形边角关系得相似三角形，得出黄金三角形的边长关系结合双曲线定义计算即可.
角度一、
令，取上一点，使得，
则有，
解得（舍负根），则，，
所以．
角度二、
设与轴交点为
可得
由．
总评
本题是一道双曲线离心率的问题，难度适中，主要考查非特殊三角函数值的计算，可通过正弦定理，辅助线构造等腰三角形等方向切入．
1．已知双曲线C：的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，过点B作x轴的垂线BM，交PA于点M．若∠PAB＝∠PBM，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
利用正弦定理及黄金三角形中边长关系得特殊角三角函数值计算即可.
由题可得（利用上法一可得），
由二倍角公式可知
设，即．
这里需要记住常用的结论，对于顶角为36°的等腰三角形为黄金三角形，其腰与底的比值为，
即，对于处理问题较便捷.
2．若双曲线E：的左、右焦点分别为， 为 右支上一点，，， 的面积为2，则a＝
3．已知是双曲线的两个焦点，为上一点，，且，则的离心率为 ．
4．已知双曲线的两个焦点为为上一点，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知双曲线的左焦点为，右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线的左焦点为，过作一倾斜角为的直线交双曲线右支于点，且满足（为原点）为等腰三角形，则该双曲线的离心率为 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】设，过P作x轴的垂线，垂足为N，由已知条件得，进而可得，列出关系式即可求出，从而可得离心率.
【详解】解：设，可得，
过P作x轴的垂线，垂足为N，所以,
又因为,∠PAB＝∠PBM，所以，
可得即,所以，
结合，可得，又，
所以双曲线的离心率为.
故选：A．
2．
【分析】根据双曲线的定义与已知条件可得，再求出P点坐标，代入双曲线求解即可．
【详解】, ，， 的面积为2可得
，解得，
，代入双曲线方程可得
解得
【点睛】本题考查双曲线的焦点三角形，解题的关键是得出，再结合三角形的面积求解．
3．
【分析】根据给定的条件，利用双曲线定义结合余弦定理计算作答.
【详解】由正弦定理得，所以，
即，由双曲线的定义可得，
所以；
因为，由余弦定理可得，
整理可得，
所以，即．
故答案为：.
4．D
【分析】利用等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值结合双曲线的定义与性质计算即可.
【详解】如图，取线段的中点，连接，
因为，，
所以，且，
所以
，
设，则，
所以的离心率
．
故选：D
5．D
【分析】
结合双曲线定义可得、，借助向量模长与数量积的关系可得与、有关齐次式，即可得离心率.
【详解】由双曲线定义可知，，
又，关于原点对称，故，，
故，，
又，故、，
有，
故，
即有，
即有，故.
故选：D.
6．C
【分析】由题意可得且，确定点M的坐标，将代入双曲线方程可得，则，根据的齐次式求解出离心率的值.
【详解】不妨设点M位于第一象限，
因为是等腰直角三角形，所以且，则，
将代入双曲线方程，得，解得，
所以，即，得，
由，解得.
故选：C
7．##
【分析】
画出图形利用双曲线定义并根据为等腰三角形可得，再由勾股定理可得，即求出离心率.
【详解】
如图，连接，
因为P在双曲线的右支上，则，又易知双曲线的左焦点，
又因为为等腰三角形，，可知，
可得，即，又，
即为等边三角形，即，，
所以，
所以在直角中，，，则，
所以，即，
解得．
故答案为：
答案第1页，共2页
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