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专题 2 马尔科夫链问题
（浙江强基联盟2023学年第一学期高三联考T22）甲口袋中装有2个红球和1个黑球，乙口袋中装有1个红球和2个黑球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为一次球交换的操作，重复次这样的操作，记甲口袋中红球个数为．
（1）求；
（2）求的概率分布列并求出；
（3）证明：．
基于定义的视角，思路自然，重在代数的恒等变形，在变形过程中，需要清晰的目标作为指引，使得解题过程变得简洁．
（1）要使事件发生，则第一次交换时，甲口袋需取红球，乙口袋需取黑球．从而．
（2）由题得可能取值为，则．
．
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以．
（3）因为，
，
，
又，
因此，
．
基于后一状态有前一状态决定的事实，因此可用数列的递推关系去刻画前后状态的关系，数列的递推关系是刻画概率关系的良好工具．
记“甲口袋1红2黑，乙口袋2红1黑”叫做状态，“甲口袋2红1黑，乙口袋1红2黑”叫做状态，“甲口袋3红，乙口袋3黑”叫做状态，“甲口袋3黑，乙口袋3红”叫做状态．用表示交换球后从状态变为状态，则
；
，
．
设交换次后，处于状态的概率分别为．
则．
而．
因此，
1．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n(n∈N*)次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn，则下列结论正确的是（ ）
A．p2＝，q2＝
B．数列{2pn＋qn－1}是等比数列
C．Xn的数学期望E(Xn)＝(n∈N*)
D．数列{pn}的通项公式为pn＝(n∈N*)
2．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．的数学期望
利用期望的线性性质：，
可以简化运算．
记．
则．又，
所以．
3．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1，q1和p2，q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用 n表示) ．
4．袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程次后，袋中白球的个数记为．
（1）求随机变量的概率分布及数学期望；
（2）求随机变量的数学期望关于的表达式．
5．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
(1)求的分布列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求的期望.
6．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
7．甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：放置一张纸片在地面指定位置，其中一人在固定位置投篮，若篮球被篮板反弹后击中纸片，则本次游戏成功，此人继续投篮，否则游戏失败，换为对方投篮．已知第一次投篮的人是甲、乙的概率分别为和，甲、乙两人每次游戏成功的概率分别为和．
(1)求第2次投篮的人是甲的概率；
(2)记第次投篮的人是甲的概率为，
①用表示；
②求．
8．从甲 乙 丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；
(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，
①直接写出的值；
②求与的关系式，并求.
9．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
10．一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为．
(1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望;
(2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式．
11．第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左 中 右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左 中 右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲 乙 丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知．
①试证明：为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．BC
【分析】利用已知条件求出，，推出；即可判断．推出，，得到，推出，说明数列是首项为，公比为的等比数列，然后求解的通项公式以及期望即判断，；把代入，可判断．
【详解】解：由题意可知：，，
则；
．故错误；
由题意可知：，
，
两式相加可得：
，
，
，
，数列是首项为，公比为的等比数列，故正确；
数列是首项为，公比为的等比数列，
，即，
，，故正确；
若数列的通项公式为，
则，故错误．
故选：．
2．ACD
【分析】
利用已知条件求出，，即可判断A，B；
利用推出，可判断C；
利用可判断D.
【详解】由题意，，故A正确；
，，故B错误；
当时，
整理得，
，
故可知是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；
，
，
，
因，
所以，
，
故D正确，
故选：ACD.
3．（1）（2）
【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；
（2）根据操作，依次求，即得递推关系，构造等比数列求得，最后根据数学期望公式求结果.
【详解】（1），
，
.
（2），
，
因此，
从而，
即.
又的分布列为
0 1 2
故.
【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.
4．（1）概率分布详见解析，；（2）．
【解析】（1）的可能取值为3，4，5，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.
（2）设，则，计算概率得到数学期望，整理化简得到，根据数列知识得到答案.
【详解】（1）由题意可知3，4，5．
当时，即二次摸球均摸到白球，其概率是；
当时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，
其概率是；
当时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是，
所以随机变量的概率分布如下表：
数学期望.
（2）设，0，1，2，3，4，5．
则，．
，，，
，，
，
∴
，
由此可知，，
又，故是首项为，公比为的等比数列，
∴，即.
【点睛】本题考查了分布列，数学期望，根据递推公式求通项公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，确定是解题的关键.
5．(1)答案见解析
(2)
(3)1
【分析】（1）由题意分析的可能取值为0，1，2.分别求出概率，写出分布列；（2）由全概率公式得到，判断出数列为以为首项，以为公比的等比数列即可求解；（3）利用全概率公式求出求出，进而求出.
【详解】（1）（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
;;，
故的分布列如下表：
0 1 2
（2）由全概率公式可知：
，
即：，
所以，
所以，
又，
所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
即：.
（3）由全概率公式可得：
,
即：,
又,
所以,
所以,
又,
所以,
所以,
所以,
所以.
6．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3）因为，，
所以当时，，
故．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解．
7．(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
【分析】（1）分为第1次甲投篮且游戏成功和第1次乙投篮且游戏失败两种情形，结合全概率即可得结果；
（2）（ⅰ）第次投篮的人是甲包含第次甲投篮且游戏成功和第次乙投篮且游戏失败两种情况，由全概率公式可得解；（ⅱ）通过构造数列是以为首项，为公比的等比数列，求解即可.
【详解】（1）第2次投篮的人是甲包含两种情况：
①第1次甲投篮且游戏成功，其概率为；
②第1次乙投篮且游戏失败，其概率为，
由全概率公式得第2次投篮的人是甲的概率为．
（2）（ⅰ）第次投篮的人是甲包含两种情况：
①第次甲投篮且游戏成功，其概率为；
②第次乙投篮且游戏失败，其概率为，
由全概率公式得，即．
（ⅱ）由（ⅰ）得，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即．
8．(1)分布列见解析
(2)①，，；②；
【分析】
（1）由离散型随机变量的分布列可解；
（2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求
再由数列知识，由递推公式求得通项公式.
【详解】（1）可能取值为，
；；
所以随机变量的分布列为
1 2 3
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且次传球后球在甲手中的概率为，
则有
记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，
所以
即，
所以，且
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以所以
即次传球后球在甲手中的概率是.
9．（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）.
【分析】（1）首先确定所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合和的值可求得；再次利用累加法可求出.
【详解】（1）由题意可知所有可能的取值为：，，
；；
则的分布列如下：
（2），
，，
（i）
即
整理可得：
是以为首项，为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
，，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.
10．(1)分布列见解析;
(2),
【分析】(1)设妻子驾车天数为,写出的可能取值,根据题意求出相对应的概率,列出分布列,根据期望公式求出结果即可;
(2)由于丈夫驾车的概率与前一天驾车的对象有关系,不妨假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,得到关于的递推关系式,构造等比数列,求出等比数列通项公式即可求得通项公式.
【详解】（1）解:设妻子驾车天数为,则的可能取值为:,
由题意可知:,
,
,
所以的分布列如下表所示:
0 1 2
所以;
（2）假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,
此时第n天时,由丈夫驾车的概率为,
即,则有,
所以,因为,
所以是以为首项,为公比的等比数列,
即,故.
11．(1)分布列见解析；期望为
(2)①证明见解析 ；②
【分析】（1）方法一：先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；
方法二：判断，结合二项分布的分布列和期望公式确定结论；
（2）①记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，由条件确定的关系，结合等比数列定义完成证明；
②由①求出，比较其大小即可.
【详解】（1）方法一：的所有可能取值为，
在一次扑球中，扑到点球的概率，
所以，
，
所以的分布列如下：
0 1 2 3
方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为，易知，
所以，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以的期望．
（2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
②由①可知，所以，
所以，
故．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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