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专题3 有关二项展开式的系数和问题
（广东省2024届普通高中毕业班第二次调研考试T5） 在的展开式中，所有有理项的系数之和为（ ）
A.84 B.85 C.127 D.128
通过对所求目标式的结构特征进行分析，对二项展开式中的x分别赋值为1、-1，观察对比，联立方程整体求解．
由于，通项公式为
展开式有理项与无理项分别为奇数项和偶数项，设有理项系数和为，无理项系数和为，则
1．在的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为 ．
2．已知，则 .
通过通项公式把对应的二项式系数表示出来，再利用常用的组合数公式或性质进行求解．
通项公式为
其有理项为
∴系数和为，故选D．
通过通项公式把对应的二项式系数表示出来，因本题中项数较少，故直接利用组合数计算公式逐项计算后累加即可．
通项公式为
其有理项为
直接算，故选D．
3．已知，则 .
4．若，则 .
5．若，则 .
6．若，则 .
7．在的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和为 ．
8．，则 .
9．若，则 ．
10．设多项式， 则 .
11．设，若，则 .
12．在的展开式中，的所有奇次幂的系数和为，则其展开式中的常数项为 ．
13．设，若的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．729##
【分析】
根据二项式系数之和求出n的值，进而设出各项的系数，然后采用赋值法即可求得答案.
【详解】由题意的二项式中，所有的二项式系数之和为64，
即，
设的各项的系数为，
则各项的系数的绝对值之和为，
即为中各项的系数的和，
令，，
即各项的系数的绝对值之和为，
故答案为：729
2．
【分析】，等式两边求导，利用赋值法求解.
【详解】，
等式两边求导得：，
令，得，
故答案为：.
3．
【分析】利用二项式定理可得出，令，求出的值，利用赋值法可得出，代值计算即可得解.
【详解】因为
，
所以，，
令，
则，易知，，
.
故答案为：.
4．
【分析】通过赋值法求解二项式展开式的系数问题即可.
【详解】
令得：①，
令得：②，
由①②可得：，
等号两边同时乘以得：.
故答案为：.
5．
【分析】
观察已知条件，通过求导赋值构造出式子计算即可.
【详解】已知，对式子两边同时求导，
得，
令，得.
故答案为：240
6．
【分析】对两边同时取导数，再令，即可得出答案.
【详解】由可得：
①，
对①两边同时取导可得：
，
令，可得，
所以.
故答案为：.
7．
【分析】求出的展开式的通项，求出和，两式相加即可求出答案.
【详解】展开式中的第项为.
因的幂指数为整数，故为偶数.
记.
因为，
，
两式相加得：.
所以，.
故答案为：.
8．32
【分析】写出展开式的通项为.然后即可得出的符号，去掉绝对值，可得.令，即可得出答案.
【详解】展开式的通项为，，
所以，当时，系数；当时，系数.
所以，.
令，则.
故答案为：32.
9．
【分析】可令，求得，再令求得，再利用平方差公式求解即可．
【详解】，
令，有，
令，有，
．
故答案为：
10．
【分析】分别赋值，得到两个等式，两式相加即得偶数项系数的倍.
【详解】依题意，令，得到：，令，得到：
，两式相加可得：，故.
故答案为：
11．4
【分析】赋值法令，后两式相加即可求解.
【详解】令，得，①
令，得，②
①-②，得，得，所以，解得.
故答案为：4.
12．
【分析】分别令和，所得式子作差即可求得奇次幂的系数和，由此构造方程求得；令即可得到常数项.
【详解】设，
令得：；令得：；
两式作差得：，，
；
令得：，即展开式的常数项为.
故答案为：.
13．10
【分析】根据二项式定理确定的二项展开式中，有理项是奇数项，其系数与展开式中奇数项系数相等，这样可在的展开式中用赋值法求得奇数项系数和．
【详解】，有理项为奇数项，即，也就是的奇数项，设，并记，则，，
∴，∴．
故答案为：10．.
【点睛】本题考查二项式定理，考查用赋值法求二项展开式中的系数和，类比成的系数是解题关键．
答案第1页，共2页
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