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专题 11 双曲线中与焦点弦有关的离心率问题
【2024届湖北名校联盟第二次联考】如图，已知，是双曲线C：的左、右焦点，以为圆心的圆与双曲线两支交于P、Q两点，且则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
根据题意利用双曲线定义设线段长，结合余弦定理建立方程构建齐次式求解即可.
解：设，，则，所以，
因为，所以，
在中，，
在中，，
所以
整理得，，.
1．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，.点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为 .
（2024上·广东·高二校联考期末）
2．已知双曲线的左 右焦点分别为.过的直线交双曲线右支于两点，且，则的离心率为（ ）
A．2 B．3 C． D．
延长与双曲线交于点，利用双曲线定义及对称性得出，再根据勾股定理及逆定理计算即可.
延长与双曲线交于点，因为，根据对称性可知.
设，则，可得，即.
所以，则，.
即，可得.
在中，由勾股定理得，即，解得.
感悟反思：遇到双曲线的问题，可以先连接双曲线上的点与两个焦点，双曲线的定义往往是解题的利器.
3．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2024上·广东佛山·高二统考期末）
4．设双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线分别交的左、右两支于、两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
根据线段关系直接利用双曲线的焦半径公式计算即可.
延长与双曲线交于点，因为，根据对称性可知.
设，则，可得，即.
设，所以，则，
，所以，故.
下面推导椭圆的焦半径公式（角度式）
由椭圆第二定义：椭圆上任意一点到焦点的距离与它到对应准线的距离之比等于离心率.
如图所示，已知椭圆，为左焦点，弦AB过点，过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为，设，由图可知
整理可得
同理可得.
同法三先求得，，设，，，利用正弦定理及焦点三角形的面积公式计算即可.
延长与双曲线交于点，因为，根据对称性可知.
设，则，可得，即.
设，，，
由正弦定理可得，，则①，
又，所以，所以②，
由①②得，，则，
所以，解得.
感悟反思：圆锥曲线中有很多二级结论，适当记一些常用的结论可能加快一些做题速度.
双曲线的左右焦点分别为、，点P是双曲线上异于实轴端点的任一点，，则.特别地，当时，有.
证明：如图，由余弦定理知，
，
，
，，
∴.
当时，.
（2024·河南·统考模拟预测）
5．设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
（2023·陕西安康·校联考模拟预测）
6．已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北·统考模拟预测）
7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·内蒙古赤峰·高三校考期中）
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，射线分别交于两点（为坐标原点），若，则的离心率为 ．
（2024·全国·模拟预测）
10．已知过原点的直线与双曲线交于M，N两点，点M在第一象限且与点Q关于x轴对称，，直线NE与双曲线的右支交于点P，若，则双曲线的离心率为 ．
11．已知点为双曲线，右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，点为线段上一点，的角平分线与线段交于点，且满足，则 ；若为线段的中点且，则双曲线的离心率为 ．
12．已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．##
【分析】设，利用双曲线定义得，利用勾股定理得m与a的关系，再利用列关系式求解
【详解】设，则由题意有：，，，
由，所以，
即.
因为，，
所以，，
即.
故答案为：
2．A
【分析】设，根据双曲线定义和线段之间的倍数关系求出，，由余弦定理求出，进而得到，得到答案.
【详解】由已知可设，则，
故，
由双曲线的定义有，故，，
故，
在中，由余弦定理得
.
在中，由余弦定理得，
即，
解得，
即，故的离心率为2.
故选：A
3．B
【分析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.
【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接，
由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，
设，则，，，
在中，，解得或m＝0（舍去），
从而有，中，，整理得，，
所以双曲线E的离心率为．
故选：B
4．D
【分析】取中点，连接，则，设，由双曲线的定义可知，，，所以，，，由勾股定理，推出、的关系，化简即可得离心率的值．
【详解】解：如图，取中点，连接，
因为，所以，，
设，因为，则，
又，所以，，
所以，，则，所以，，
过点且倾斜角为的直线方程为，，所以，，
在中，由勾股定理可得，即，①
在中，，即，②
联立①②消去化简得，所以，双曲线的离心率．
故选：D.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
5．D
【分析】
由双曲线的对称性可得、且四边形为平行四边形，由题意可得出，结合余弦定理表示出与、有关齐次式即可得离心率.
【详解】
由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形，
令，则，
由双曲线定义可知，故有，即，
即，，
，
则，即，故，
则有，
即，即，则，由，故.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于、、之间的等量关系，本题中结合题意与双曲线的定义得出、与的具体关系及的大小，借助余弦定理表示出与、有关齐次式，即可得解.
6．A
【分析】设出根据题意有，利用余弦定理表示出，，结合，求出离心率的取值范围.
【详解】
设，显然，
则，
所以的离心率．由于，
所以，所以的取值范围是；
故选：A
7．A
【分析】
根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.
【详解】
因为，所以∽，
设，则，设，则，．
因为平分，由角平分线定理可知，，
所以，所以，
由双曲线定义知，即，，①
又由得，
所以，即是等边三角形，
所以．
在中，由余弦定理知，
即，化简得，
把①代入上式得，所以离心率为．
故选：A．
8．A
【分析】根据条件求得，∴，在中，由勾股定理可得关于的等式，进而可求得离心率.
【详解】由双曲线定义知，
则，，所以，
∴的周长为，
∴，，
由，
所以，故，∴，
∴，，∴，
在中，，故.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由得到.
9．
【分析】由双曲线的对称性，结合定义与垂直关系转化将已知条件集中在与中，建立方程组消参化简可得的齐次关系，从而得到离心率.
【详解】由双曲线的对称性得，由，得，
不妨设点在的右支上，且，
在中，由双曲线定义知，
由勾股定理得，
则，
且
又，，所以，
则在中，由，得，
化简得，
即，所以，
所以，化简得.
所以的离心率为.
故答案为：.

10．##
【分析】先设出相关点的坐标，利用求得点坐标，推理证明（二阶结论），再利用和整体代入即得的齐次式，计算即得离心率.
【详解】
如图，设，则，,根据可得: ,故，
因点均为双曲线上的点，则
由①
因为，所以②，又③，
将②，③两式代入①式得：．故双曲线的离心率．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的方程与几何性质以及关于双曲线的二阶结论 是否熟悉.关键在于能否建立四条直线的斜率之间的数量关系，通过代入消去未知量，得出的齐次式.
11．
【分析】过作，交于点，作，交于点，由向量共线定理可得；再由角平分线性质定理和双曲线的定义、结合余弦定理和离心率公式，可得所求值．
【详解】解：过作交于点，作交于点，
由，得，
由角平分线定理；
因为为的中点，所以，
由双曲线的定义，，
所以，，，
在中，由余弦定理，
所以.
故答案为：；.
【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及角平分线的性质定理和余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
12．
【分析】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，先求出，，由条件可得，再根据，根据建立不等式从而可得答案.
【详解】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，则
则
同理可得
由，可得
，又
所以，即，即
所以，即，即，即
所以，即
故答案为：
答案第1页，共2页
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