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专题15 双曲线的离心率
【2024届T8联考16】已知双曲线的左、右焦点分别为，若过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且，又以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为______．
由双曲线的性质结合圆的性质得出，再由第一定义得出，，，，再由勾股定理得出，进而得出离心率.
由题意：以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，可得；
过作于点；
由第一定义可得：；
，故；
又，故；
在中，；
在中，，故；故
（2024上·安徽池州·高三统考期末）
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，点A在双曲线C上，点B在y轴上，，则双曲线C的离心率为 ．
（2024上·河南·高二校联考期末）
2．已知是双曲线的左 右焦点，为上一点，且（为坐标原点），，则的离心率为 .
法一：由双曲线的性质结合圆的性质得出，再由第一定义得出，，再由结合余弦定理得出，进而得出离心率；
法二：由双曲线的性质结合圆的性质得出，再由第一定义得出，，再由余弦定理结合得出，进而得出离心率.
法一：由题意：以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，可得；
由第一定义可得：；
；
又，故；
故；
可得：
解得；故
法二：由题意：以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，可得；
由第一定义可得：；
，故；
在中，
在中，
，
，解得，
（2024下·河南郑州·高三校联考阶段练习）
3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则双曲线的离心率为 .
（2024·云南昆明·昆明一中校联考一模）
4．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是右支上一点，线段与的左支交于点．若为正三角形，则的离心率为 ．
（2024上·浙江绍兴·高二统考期末）
5．已知，是双曲线C：的左右焦点，过作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为N，直线与双曲线C交于点，且均在第一象限，若，则双曲线C的离心率是 ．
（2024上·河北·高三校联考阶段练习）
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为圆与C的一个公共点，若，则C的离心率为 ．
（2024下·湖南长沙·高二湖南师大附中校考开学考试）
7．已知双曲线：，，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，连接交双曲线左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 ．
（2024下·重庆铜梁·高二铜梁中学校校考开学考试）
8．设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于点，，则的离心率为 .
（2024上·山东济宁·高二统考期末）
9．已知双曲线的左焦点为，过点的直线与圆相切于点，与的右支交于点，若，则的离心率为 ．
（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）
10．设双曲线的左、右焦点分别为，，A是右支上一点，满足，直线交双曲线于另一点，且，则双曲线的离心率为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】由题，结合图形可得，又由，结合双曲线定义及勾股定理可得答案.
【详解】因，，点B在y轴上，则.
又，则，，由勾股定理，
，由双曲线定义，
则．
故答案为：.
2．##
【分析】根据条件得出，在中，根据条件，得到，再根据双曲线的定义得出，即可建立等式，从而求出结果.
【详解】设双曲线的半焦距为，则，
因为，所以，
在中，，所以为等边三角形，所以，
根据双曲线定义可得，
在中，由勾股定理可得，整理得，
所以，解得，
所以的离心率为.
故答案为：.
3．##
【分析】设，则，，根据双曲线的定义得到，即可得到，在中利用余弦定理求出，在中利用余弦定理求出、的关系，即可求出离心率.
【详解】依题意设，则，，
又，则，所以，
在中由余弦定理可得，
在中由余弦定理可得，
即，所以，所以.
故答案为：
4．
【分析】根据题意和双曲线定义求得且，在中，利用余弦定理列出方程，化简得到，即可求得双曲线的离心率.
【详解】因为点是右支上一点，线段与的左支交于点，且，
因为为等边三角形，所以，，
由双曲线定义得，，
又由，解得，
则，且，
在中，由余弦定理得，
化简整理得，所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求离心率是圆锥曲线一类常考题，也是一个重点、难点问题，求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：
①直接求出、，可计算出离心率；
②构造、的齐次方程，求出离心率；
③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解.
5．或
【分析】易得，再根据双曲线的定义结合，求出，求出，再在中，利用余弦定理构造的齐次式，即可得解.
【详解】因为均在第一象限，
所以垂足在渐近线上，，
则，
由题意可得，所以，
又因，所以，即，
所以，所以，
故，
在中，，则，
在中，由余弦定理得，
，
即，
整理得，
即，解得或，
当时，离心率，
当时，离心率，
所以双曲线C的离心率是或.
故答案为：或.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
6．
【分析】联立双曲线和圆的方程，化简可得到，然后根据双曲线的定义，结合余弦定理，计算可得结果.
【详解】由题得，
所以，
所以，
所以，又点P在E上，
所以①．
由双曲线定义可知②，
联立①②得．在中，由余弦定理得
，
即，所以C的离心率．
故答案为：
7．
【分析】
根据双曲线的定义、余弦定理列方程，求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】
设，因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，
所以，，由双曲线的定义知，，，
所以，，又，
所以，即，
在中，由余弦定理知，，
所以，
即，整理得，，
即，所以离心率．
故答案为：
【点睛】求解双曲线离心率有关的问题，可以利用直接法来进行求解，也即通过已知条件求得和，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也即通过已知条件求得或的等量关系式，由此来求得离心率.
8．
【分析】由双曲线的对称性可得、且四边形为平行四边形，由题意可得出，结合余弦定理表示出与、有关齐次式即可得离心率.
【详解】由双曲线的对称性可得，
有四边形为平行四边形，令，则，
由双曲线定义可知，故有，即，
即，
，
则，即，故，
则有，
即，即，则，由，故.
故答案为：.
9．##
【分析】先利用条件表示出，然后在三角形中利用余弦定理列式计算得到，进而根据求出离心率.
【详解】设双曲线右焦点为，
则，
则，
所以，又，
所以，
整理得，
所以.
故答案为：.

10．
【分析】
设,由双曲线的定义得，结合题中条件可得，，由勾股定理可得，再利用勾股定理即可求得离心率.
【详解】
，则，
又，所以，
则，
，
又，所以三角形为直角三角形，
则,
即，
化为，
解得或者（舍），
此时，
在直角三角形中，,
即，所以，
所以.
故答案为：.

答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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