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专题3 复数与数列的碰撞
【湖北省黄冈市2023-2024学年高三上学期9月调研考试数学试题】
若复数，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【方法名称】直接法+周期性
【思路分析】分析：i的方幂是周期为4，故只需计算一个周期内的值，再算清楚有几个周期即可.
1-i+i^2-i^3=0，原式共2024项，共506个周期，故原式化简为z=0.所以|z|=0
【举一反三】
1．已知是方程的虚数根，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．若，其中是虚数单位，则 ．
【方法名称】公式法+等比数列的求和公式
【思路分析】注意到各项为公比为-i的等比数列，直接利用公式求和.
，∴
【举一反三】
3．已知复数，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【方法名称】等比数列求和＋复数定义运算
【思路分析】首先两项合并后，提取公因式，然后构造等比数列求和.
原式
∴，则
【方法名称】错位相减法
【思路分析】通过等式两边同时乘以i，借助错位相见法求和.
∵，∴
两式相减：，而，∴，∴
【举一反三】
4．复数的虚部为( ).
A． B． C．1011 D．2022
【方法名称】分组求和法
【思路分析】利用，分组求和（即），共2024项偶数项1012奇数项1012
故
【举一反三】
5．若，则 .
6．已知复数数列满足，则 .
7．
8．若为虚数单位，则计算 ．
9．已知是虚数单位，复数，则|z|＝ ．
10． .（为虚数单位）
11．已知复数，，其中是实数.
(1)若，求实数的值；
(2)若是纯虚数，求.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】由题设有且，将目标式化简为，即可得结果.
【详解】由题设，且，
而，
所以原式等于.
故选：C
2．
【分析】应用复数除法化简，进而得到，利用周期性求目标式的值.
【详解】由，则，
所以，
则.
故答案为：
3．A
【分析】根据复数i的性质计算可得，由此利用等比数列的前n项和公式计算，即可求得答案.
【详解】由于复数，故，
，
故，
故选：A.
4．A
【分析】利用错位相减法求和，结合复数的除法运算求出复数z，即可求得答案.
【详解】由题意得，
所以，
所以
，
所以
，
所以复数z的虚部为1012，
故选：A
5．
【分析】采用赋值法，分别令和，得到两等式，相加减可得到奇数项和偶数项的系数相关的和式，再相加，结合复数的运算，即可求得答案.
【详解】令，则，
令，则，
两式相加可得，
两式相减得，
将以上两式相加即得：
，
故答案为：
6．
【分析】首先求出，则，利用裂项相消法计算可得.
【详解】因为，则，
所以
所以，
所以
.
故答案为：
7．
【分析】利用复数的除法可得，再根据的性质可求前者.
【详解】因为，故，
而，，
，
故，
故，
故答案为：
8．
【分析】设，两边乘以相减，结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则，计算可得所求和．
【详解】设，
，
上面两式相减可得，
，
则．
故答案为：．
9．
【分析】根据复数的运算法则和周期性可得结果.
【详解】根据的周期性（周期为），
即，，，，
所以有,
可知,.
故答案为：
10．
【分析】
利用的周期性及复数的加减运算法则即可求解.
【详解】
由题意，的周期为4，
所以原式.
故答案为：.
11．(1)
(2)
【分析】
（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出a的值.
（2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出，再利用乘方的周期性求解作答.
【详解】（1）复数，则，
又a是实数，因此，解得，
所以实数a的值是.
（2）复数，，，则，
因为是纯虚数，于是，解得，因此，
又，
则，即有，
所以.
答案第1页，共2页
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