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专题4 概率中的不等式的最值问题
【2023年秋季黄冈市部分普通高中高三年级阶段性教学质量监测】甲袋中有个苹果，个橘子，乙袋中有3个苹果，2个橘子，现从甲袋中随机取一个水果放在乙袋，再从乙袋中随机取一个水果，若从乙袋中取出的水果是苹果的概率为，则的最小值为________．
由全概率公式得出，再由对勾函数的单调性得出最值.
∴，在
时为8，时为7，∴
（2021·全国·校联考模拟预测）
1．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，公元前多年的《周髀算经》就记载有勾股定理的一个特例，在国外古希腊的著名数学家毕达哥拉斯也发现了这个定理，历史上有很多勾股定理爱好者通过构造图形证明了勾股定理，下图就是其中一个，该图中四边形满足，，，在四边形内任取一点，则该点落在内的概率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2022下·浙江温州·高二校联考期中）
2．一个篮球运动员投蓝一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、），已知他投篮一次得分的均值为1，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
由古典概型得出乙袋中取出的水果是苹果概率，即，最后由对勾函数的单调性得出最值.
若从乙袋中取出的是苹果，包含从甲袋中取出一个苹果放入乙袋，
再从乙袋取出一个苹果和从甲袋中取出一个橘子放入乙袋，再从乙袋取出一个苹果两类，
共有.所以从乙袋中取出的水果是苹果概率，∴
令
根据对勾函数性质，在单调递减，在单调递增
时为，当时为，∴
（2011·辽宁·统考二模）
3．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，，且无其它得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
（2022上·湖北·高三校联考开学考试）
4．甲乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（ ）
A． B．
C． D．的最小值为
由全概率公式得出的关系，令，得出，进而由判别式法得出最值.
，
令
∴，∴的最小值为7
（2023上·四川凉山·高二统考期中）
5．若A，B互为对立事件，，，且，，则的最小值是 .
（2019上·河北邢台·高二统考期中）
6．已知甲袋中有个黑球和个白球，现随机地从甲袋中取出2个球，事件为“取出的2个球至少有1个白球”，事件为”取出的2个球都是黑球”，记事件的概率为，事件的概率为.当取得最小值时，的最小值是 .
由全概率公式得出的关系，设，则，设，判断其单调性，进而得出最值.
由得，，
设，则，
设，∵，
当时，即，当时，即，
∴，∴为中最小值，，
∴.
（2021下·全国·高三校联考阶段练习）
7．已知甲、乙两人的投篮命中率都为，丙的投篮命中率为，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为 ．
（2023下·陕西延安·高二陕西延安中学校考期中）
8．乒乓球比赛，三局二胜制．任一局甲胜的概率是，甲赢得比赛的概率是q，则的最大值为 ．
（2018下·江西抚州·高二临川一中校考期中）
9．若为对立事件，其概率分别为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2020·全国·高三专题练习）
10．若A，B互为对立事件，其概率分别为P（A）＝，P（B）＝，且x＞0，y＞0，则x＋y的最小值为（ ）
A．7 B．8
C．9 D．10
（2022·河南开封·统考三模）
11．如图，E是正方形ABCD内一动点，且满足，在正方形ABCD内随机投一个点，则该点落在图中阴影部分的概率的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2019·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）
12．已知球的半径为4，矩形的顶点都在球的球面上，球心到平面的距离为2，设球内的一个质点落在四棱锥内的概率为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2018·陕西西安·校联考一模）
13．若为对立事件，其概率分别为，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
（2019下·河北邯郸·高二统考期末）
14．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于，则n的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】计算出以及梯形的面积，利用基本不等式可以及几何概型的概率公式可求得所求概率的最小值.
【详解】四边形的面积，
是腰为的等腰直角三角形，其面积为，
因为，所以，，当且仅当时取等号，
所以在四边形内任取一点，则该点落在内的概率为，
故选：B.
2．A
【分析】依题意可求得的值，进而利用把转化为展开后利用基本不等式求得答案．
【详解】由题意得， ,
故
,当且仅当 时，取得等号，
即的最小值为，
故选：．
3．B
【分析】根据期望公式得出的关系，再由基本不等式求得的最大值．
【详解】由期望公式得，，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴，即的最大值为．
故选：B．
【点睛】本题考查随机变量的分布列与数学期望，考查基本不等式求最值．解题关键是掌握期望公式，从而得出满足的关系式．
4．ACD
【分析】要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，进而表达出，结合组合数的公式求解可得，再逐个选项判断即可.
【详解】由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，故，而，且，
，故C正确；
A：，正确；
B：，错误；
D：因为，
又，故，故随着的增大而增大.
故的最小值为，正确.
故选：ACD
5．8
【分析】根据对立事件可得，利用“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.
【详解】因为A，B互为对立事件，则，且，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是8.
故答案为：8.
6．3.
【分析】根据题意可知，运用基本不等式求出与的值，进而得与的值，即可得出答案.
【详解】解：由题意可得，则，
当且仅当时，取等号，此时的值最小.
故，，
从而的最小值是2，的最小值是1，
故的最小值是3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查概率有关问题，结合基本不等式求最值问题，属于中档题.
7．
【分析】利用对立事件概率公式可求得，利用导数可求得的最小值.
【详解】设事件为“三人每人投篮一次，至少一人命中”，则，
，
设，，
则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
即三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：利用相互独立事件求复杂事件概率的求解思路为：
（1）将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和；
（2）将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知（易求）概率的相互独立事件的积事件；
（3）代入概率的积、和公式求解．
8．
【分析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率；进而求得的最大值.
【详解】采用三局两胜制，
则甲在下列两种情况下获胜： （甲净胜二局），
（前二局甲一胜一负，第三局甲胜）．
因为 与 互斥，所以甲胜概率为
则
设
，注意到，
则函数在和 单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极大值，也是最大值，最大值为
即答案为：.
9．B
【分析】由题得，再利用基本不等式求x+y的最小值.
【详解】∵A,B为对立事件，
∴
∴.
当且仅当时取到最小值.
故选：B.
10．C
【解析】根据对立事件概率和立方程，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】由题意知，则x＋y＝（x＋y）·＝5＋≥，当且仅当，即x＝2y时等号成立．
故选：C.
【点睛】本小题主要考查对立事件概率的性质，考查基本不等式求最值的方法，属于基础题.
11．B
【分析】设正方形的边长为，，，根据几何概型求出该点落在图中阴影部分的概率，再根据三角函数知识求出最小值即可.
【详解】设正方形的边长为，，，
则，，所以的面积为
中边上的高为，所以的面积为，
所以阴影部分的面积为，
所以该点落在图中阴影部分的概率为
，
因为，所以，，
所以，
所以该点落在图中阴影部分的概率的最小值是.
故选：B
12．C
【分析】根据勾股定理，可以得到矩形两边长的平方和，利用常用的不等式，可得出面积的最大值，结合几何概型，可得是四棱锥的体积与球的体积之比，可得结果.
【详解】设矩形的两邻边为，，
由题易知，
当且仅当时，取等号.
即矩形面积的最大值为24.
由几何概型知识知当四棱锥体积最大时，
取最大值，故.
故选：C
【点睛】本题主要考查几何概型的应用，同时还考查了常用的不等式，注意取等号的条件，属基础题.
13．B
【分析】利用对立事件的概率公式建立关系，再利用“1”的妙用求解作答.
【详解】因为对立事件，其概率分别为，则，即，
，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值9.
故选：B
14．C
【分析】由正态分布解得每个零件合格的概率为，由对立事件得，
即，令，由的单调性可解得结果.
【详解】服从正态分布，且，
，即每个零件合格的概率为
合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个．
合格零件个数为零个或一个的概率为，
由，得，
令，
，单调递减，又，，
不等式的解集为的最小值为
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由对立事件得，即.
答案第1页，共2页
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