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专题 2 与复数的几何意义有关的问题
【复数】在复平面上的单位圆上有三个点，其对应的复数为．若，则的面积______．
【方法名称】解三角形法
【思路分析】由题意可知，根据复数的加减法法则的几何意义及解三角形知识，即可求解．
法一：由题意知，，由复数的加减法法则的几何意义及余弦定理，
得，即，，即，
情形1：当与反向，；
情形2：当线段在的内部时，，
所以的面积为或
法二：依题知外接圆半径为1，由正弦定理可得
，∴
又∵，∴，而或
情形1：当时（如图1）
情形2：当时（如图2）
综上：或
【举一反三】
1．复数与复数在复平面内对应的点分别为、，若为坐标原点，则钝角的大小为 .
2．已知分别是复数在复平面内对应的点，为坐标原点，若，则是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）.
【方法名称】向量法
【思路分析】根据向量与复数对应关系，结合向量模与数量积求向量夹角，再根据三角形面积公式求结果.
令 则
平方得
同理由得，
情形1：当在内部时：
情形2：当在外部时：因为
所以
故答案为：或
【举一反三】
3．在复平面内，是原点，向量对应的复数是，向量对应的复数是.若，则 .
4．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为 .
方法名称】解析法
【思路分析】复数坐标表示＋几何意义＋分类讨论
设，∵，
∴点是单位圆与以为圆心，半径为的圆的交点；点是单位圆与以为圆心，半径为1的圆的交点
解得；解得
由对称性知，构成的三角形面积有两种结果．
情形1：当，，时，
情形2：当，，时，关于对称，故直线过原点，
∴
【举一反三】
5．复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ．
6．复数与复数在复平面上对应点分别是A，B，则 ．
【方法名称】三角表示法
【思路分析】复数坐标表示＋几何意义＋分类讨论
设，
∴，∴
则或，或
当，时，如图，
此时
当，时，，∴
∴
【举一反三】
7．把复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是 .
8．若（为虚数单位），则是的 条件．
9．已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ．
10．已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ．
11．若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为 .
12．在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，点C与点D关于虚轴对称，若圆M经过A，B，C，D四点，则圆M的半径为 ．
13．若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为 .
14．若，则复数 .
15．若，则在复平面对应的点的轨迹是 （填轨迹图形）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．##
【分析】
先得到、的坐标，则可求出，再由余弦定理可得，进而可求
【详解】依题意，，，，
则，，，
在中，由余弦定理得，
又，所以.
故答案为：
2．直角
【解析】由题可知,则以为邻边的平行四边形的对角线的长度相等,即可求解
【详解】因为,
所以,
故以为邻边的平行四边形的对角线的长度相等,即该平行四边形为矩形,
所以是直角三角形
故答案为:直角
【点睛】本题考查复数的几何意义的应用,考查数形结合思想
3．
【分析】求出两向量的坐标，然后由，可得，可求出的值.
【详解】因为向量对应的复数是，向量对应的复数是，
所以，，
因为，所以，得，
故答案为：
4．
【分析】
由复数与分别表示向量与，可得，则，向量的复数可求.
【详解】复数与分别表示向量与
，
的复数为
故答案为：
5．
【分析】根据即，求得点对应的复数，进而即得.
【详解】因为对应的复数是，对应的复数为，又，
所以对应的复数为，又，
所以点对应的复数为，
所以点的坐标为．
故答案为：．
6．1
【分析】
根据复数运算法则可得两点的坐标，再根据两角和的正切公式即可算出.
【详解】根据复数与对应的点的坐标为，如下图所示：
易知；
则.
故答案为：1
7．
【分析】根据已知条件，结合复数三角形式乘法的几何意义，即可求解．
【详解】复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，
所得到的向量对应的复数是
故答案为：.
8．充分不必要
【分析】根据充要条件的知识及复数的运算法则即可得解.
【详解】当时，
，
所以；
当取，
此时，且，，
所以推不出，
综上：是的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
9．8
【分析】表示以为圆心，3为半径的圆，进而根据复数减法的几何意义求解即可.
【详解】解：因为且，
所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆，
所以，表示圆上的点和点的距离，
因为圆心到点的距离为，
，
故答案为：
10．
【分析】根据复数的几何意义以及复数加减法的几何意义进行求解.
【详解】，是以复平面内点为圆心，以为半径的圆，
， ，
，即，
复数以复平面内点为圆心，半径为1和的两圆构成的圆弧，
则在复平面所对应的点组成的图形的面积为：
故答案为：.
11．9π
【分析】直接判断出点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，即可求出.
【详解】由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.
故答案为：9π
12．
【分析】根据题意依次求出点A，B，C，D的坐标，进而根据复数的几何意义即可求出结果.
【详解】因为向量所对应的复数为，所以，
又向量所对应的复数为，所以，
因为点C所对应的复数为，所以,
又因为点C与点D关于虚轴对称，所以，
设所对应的复数为，
则，故点A，B，C，D四点在以为圆心，为半径的圆上，即圆M，故圆M的半径为.
故答案为：.
13．
【分析】
求得，根据复数的概念可得出的表达式，即可求得正整数的最小值.
【详解】因为
因为为纯虚数，则，可得，
可得，又因为，当时，正整数取最小值.
故答案为：.
14．0
【解析】设，由已知可得复数对应的点为线段垂直平分线和线段垂直平分线的交点，联立两垂直平分线方程，求解即可.
【详解】设，
，复数对应的点在线段的垂直平分线上，
其方程为，，
复数对应的点在线段的垂直平分线上，其方程为，
所以复数对应的点为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查复数、复数减法和复数模的几何意义，将代数问题几何化，减少计算量，属于基础题.
15．一条过原点的直线
【分析】根据复数减法、模的几何意义，判断出的轨迹.
【详解】表示与点的距离，表示与点的距离，
所以表示的几何意义是：到点的距离和到点的距离相等，
所以的轨迹是线段的垂直平分线，也即一条过原点的直线.
故答案为：一条过原点的直线
答案第1页，共2页
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