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专题7 复数运算问题
【2024年2月数海一模】（多选）已知模长均为1的复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
根据复数模和共轭复数的性质判断AB；由因式分解结合复数的运算判断CD.
对于A：，故正确；
对于B：，同理，
由，
所以，故B正确；
对于：由得，
，
所以错误，且，即正确.
综上，选.
1．设x，y，z，w是复数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
（2024·广东佛山·二模）
2．已知复数，均不为0，则（ ）
A． B．
C． D．
将复数表示为三角形式，利用复数相等得出，进而由复数的运算求解即可.
设，
则
，
于是.
平方相加，有，
又移项平方相加：
得，同理，即.
故中有一个为，另一个为，
即一个为，另一个为，
代入计算可得，故选
（浙江省宁波市效实中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题）
3．下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则 .
B．若，则.
C．设复数满足，且，则.
D．若复数满足，则的最小值为.
（21-22高三上·广东东莞·期末）
4．已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
由韦达定理构建方程，解方程结合欧拉公式逐一判断即可.
设为复数，
则为方程两根，
故，
不妨，
（注：欧拉公式：）
又，所以，
由于，故不为0，故
于是，得，下同前，，故选
（23-24高三上·湖北宜昌·期中）
5．设是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（23-24高三下·江西·开学考试）
6．若、为复数，则（ ）
A． B．
C． D．
（2024·山东淄博·一模）
7．设，是复数，则下列命题中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
（21-22高一下·江苏镇江·阶段练习）
8．已知，下列关于说法正确的是（ ）
A．若，则和互为共轭复数 B．若，则和中至少有一个为0
C．若，则 D．若，且，则
（21-22高一下·重庆沙坪坝·期中）
9．下列关于复数z的运算结论，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
（20-21高一下·上海宝山·期末）
10．设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．ABCD
【分析】
根据共轭复数及其运算性质，结合已知关系，可判断各项的正误.
【详解】
由
又，则，
所以，A正确；
由，
，B正确；
由，即，故，又，
则，即，
所以，同理得，C、D正确；
故选：ABCD
2．ABD
【分析】
设出、，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.
【详解】
设，则
对A，由得所以，
，即，故A正确；
对B，由得
所以，
，即，故B正确；
对C，由，得，，
，即，故C错误；
对D，，
，即，故D正确.
故选：ABD.
3．CD
【分析】
对于A，根据复数的概念即可判定；对于B项，根据复数的除法运算及共轭复数的定义计算即可；对于C、D项，由复数的几何意义计算即可；
【详解】对于A项，虚数不能比大小，故A错误；
对于B项，设，则，，故B错误；
对于C项，由条件可设，
则，
即，
所以，故C正确；
对于D项，如图所示，在复平面中，，以A为圆心作单位圆，则有由题意设，则点B在A为圆心的单位圆上，连接OA交单位圆于C，显然当B、C重合时，，故D正确.

故选：CD
4．ABC
【分析】若 ，则， ，利用复数代数运算，可以判断AB；利用复数的三角运算，可以判断C；利用数形结合，可以判断D.
【详解】对于A：
若 ，则，故，
所以A正确；
对于B：
若，则，
所以B正确；
对于C：
设 ，
则 ，故 ，
所以C正确；
对于D：
如下图所示，若 ，，则，，故 ，
所以D错误.
故选：ABC
5．AC
【分析】根据举例说明即可判断ABD；设，结合复数的模和乘法运算即可判断C.
【详解】A：若，则互为共轭复数，故，故A正确；
B：若，则，而，故B错误；
C：设，
若，则，即，
又，
故，故C正确；
D：若，则，而，故D错误．
故选：AC
6．BD
【分析】
利用特殊值法可判断AC选项；利用共轭复数的定义、复数的加法可判断B选项；利用复数的模长公式、共轭复数的定义以及复数的乘法可判断D选项.
【详解】对于A选项，取，，则，，
所以，，，所以，，
所以，，，故，A错；
对于B选项，设，，
则，，
，，则，所以，，B对；
对于C选项，不妨取，，则，，，
所以，，故，C错；
对于D选项，设，则，所以，，
所以，，D对.
故选：BD.
7．AD
【分析】利用复数的概念和复数模长的定义求解.
【详解】A：设，
若，则，
所以，所以，
即，故A正确；
B：设，则
而，所以，故B错误；
C：设，
则
而，故C错误；
D：表示以原点为圆心，1为半径的圆上的点M，
表示以原点为圆心，2为半径的圆上的点N，
所以表示M到N的距离，
所以，
，
所以，故D正确.
故选：AD
8．BD
【分析】根据复数的运算、共轭复数的性质逐项判断即可.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：令，，均为实数，若，，但是和不是共轭复数，故A错误；
对于选项B：令，
则有，可知
于是或
则或
故和中至少有一个为0，B正确；
对于选项C：令，，，，，所以，故C错误；
对于选项D：令，
则
又
，
，则或（舍去）
故，
故D正确.
故选：BD
9．ACD
【分析】设出复数直接计算可得.
【详解】记，则
则，A正确；
因为，故B错误；
因为，
所以
又，故C正确；
因为
所以，D正确.
故选：ACD
10．
【分析】根据题意，将复数改写成三角形式，结合已知条件分别算出、、、和，即可求解.
【详解】由，得，由，得，
因，所以，即，且，
又因，所以，即，且,
因此.
故答案为：.
答案第1页，共2页
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