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专题6 平面向量的数量积的范围
【金山区一模】已知平面向量满足，，且，则的取值范围是______．
由利用平面向量的坐标表示及数量积的运算判定向量终点轨迹，建立双曲线的模型，然后转化为直线与双曲线的位置关系，利用双曲线的性质结合点到直线的距离计算即可.
解：由，设，
则，
相当于点到和的距离之差为2，且，
则的轨迹为以和为焦点，的双曲线右支，方程为，
又，结合对称性不妨设向量在直线（恰好为双曲线的渐近线）上，
由，知双曲线上存在点到直线的距离为，考虑临界状态，
则有，解得，
结合图像知，时，点都存在，所以，
即的取值范围是．
1．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为 ．
2．点在直线上，若，，则的最小值为 ．
由利用平面向量的坐标表示及数量积的运算判定向量终点轨迹，建立双曲线的模型，然后转化为直线与双曲线的位置关系，利用双曲线的性质结合点到直线的距离计算即可.
解：由，设，
则，
则，
即点到的距离比到点的距离大2，
根据双曲线的定义可知的轨迹为双曲线的一支，以2为长轴，4为焦距，则，
又，结合对称性不妨设向量在直线（恰好为双曲线的渐近线）上，
由，知双曲线上存在点到直线的距离为，考虑临界状态，
则有，解得，
结合图像知，时，点都存在，所以，
即的取值范围是．
（23-24高二上·湖北武汉·期中）
3．已知点，，在圆上运动，且，的中点为，若点的坐标为，则的最大值为 .
（2022·安徽滁州·模拟预测）
4．已知，，则的最小值是 .
5．已知，的最小值为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．均为单位向量，且它们的夹角为45°，设，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．平面向量满足，与的夹角为，且则的最小值是 ．
8．已知平面向量，满足， ，则的最小值是 ．
9．已知向量，，，若且，则的最小值是 ．
10．已知平面向量 ，满足，若，那么的最小值为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】根据题中条件，可以设，，的坐标，得到关于和的方程，运用不等式的相关解法，即可得到结果.
【详解】解：因为，设，
因为，，
所以设，
则，
所以，
解得，即，
所以，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：5.
2．
【分析】由平面向量坐标的减法运算和向量的模公式得出，可看作点，与点的距离，结合条件将最小值转化为点到直线的距离．
【详解】解：由题可知，，，
得，
则，
所以可看作点与点的距离，
而点，在直线上，
所以，的最小值为：
点到直线的距离为：，
即的最小值为：.
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量坐标运算和向量的模的最值，以及两点间的距离公式和点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.
3．15
【分析】根据向量的加法结合模的意义，得其几何意义为，圆上的点到点的距离即可求解.
【详解】设，因为，的中点为，
则，则，
则，
其几何意义为，圆上的点到点的距离，
则其最大值为.
故答案为：15
4．
【分析】设，根据条件得出点满足的条件，然后由向量的模长公式求的最小值.
【详解】设，
则
由，则
即点在以为焦点，长轴为的椭圆上
所以满足
则，且
故当时，有最小值
故答案为：
5．C
【分析】如图所示：在直角坐标系中，取点，，，得到的轨迹方程为，故，得到答案.
【详解】如图所示：在直角坐标系中，取点，，，
则，，满足，设，
过点作垂直于所在的直线与，则的最小值为，
即，根据抛物线的定义知的轨迹方程为：.
取，故，
即，
当垂直于准线时等号成立.
故选：.
【点睛】本题考查了向量和抛物线的综合应用，根据抛物线的定义得到的轨迹方程是解题的关键.
6．C
【解析】建立直角坐标系，求得向量，的终点轨迹方程是圆和直线，利用圆心到直线距离减去半径得到最小值得解
【详解】设，
以的方向为正方向，所在直线为轴，垂直于所在直线为 轴，建立平面直角坐标系
均为单位向量，且它们的夹角为45°，则 ，
，设
满足
，设
,故 ，
则，则 的最小值为圆上的点到直线 距离的最小值
其最小值为
故选:C.
【点睛】向量模长最值问题转化为点到直线距离是解题关键，属于中档题.
7．##
【分析】设，，设，根据结合数量积的运算求得C的轨迹是以为圆心，1为半径的圆,利用的几何意义可求得答案.
【详解】由题意不妨设O为坐标原点，令，，设，
由于,
∴，∴，
即，故C的轨迹是以为圆心，1为半径的圆,
故，
故答案为：
8．
【分析】根据，得到，进而得到的夹角，不妨设，得到，设，由，得到点C是以为圆心，以1为半径的圆求解.
【详解】解：因为，
所以，
则，
设，
所以，
因为，
所以，
设，则，
设，
则，
因为，
所以，
即，
所以点C是以为圆心，以1为半径的圆，
所以的最小值是原点到圆心的距离减半径，
即，
故答案为：
9．
【分析】根据条件可设，利用向量的坐标运算求出点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆，问题可转化为圆上动点到定点的距离问题求解.
【详解】，
，
，
故可设
则，
，
,
,
,
即点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，
，
即求圆M上动点到点的距离的平方的最小值减1即可，
设圆心M到的距离为，
则，
则的最小值为
，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用向量的坐标运算，求出满足条件的动点C的轨迹方程，所求的坐标表示，利用圆的几何性质是解题的关键，属于难题.
10．##
【分析】设，则即为点到点（圆上的动点）的距离与到点的距离，利用对称可求其最小值.
【详解】解析：建立直角坐标系.
设，
则
.
问题转化为点到点的距离与到点的距离之和最小，
其中点在直线上运动，
点在圆上运动，
所以.
点O关于直线对称的点为，所以
，
所以，等号可以取到，所以最小值是.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：向量的模的最值问题，可建立平面直角坐标系，将问题转化为动点到几何对象的距离和最值的问题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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